2016届高考考前60天冲刺--统计和概率专练学生

高考数学 冲刺60天解题策略 专题四 概率与统计 第三节概率与统计的综合应用近几年高考中，概率与统计的应用题多出现在解答题中，难度以中档和中档偏易为多，难度值在0.5～0.8.命题形式以学生生活实践为背景材料进行考查. 考试要求：（1）以大纲为准则，考查相关概率在实际问题中的应用；（2）理解各种统计方法；（3）会分析样本数据，并会求数据的特征数字（如平均数、标准差）；（4）会用正确的算法求解概率统计和其他数学知识的交汇（如三角函数、框图、算法、几何等）问题.题型一 随机抽样方法及其应用例1 （1）用系统抽样方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—160编号，按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，…，153—160号），若第16组抽出的号码是126，则第1组用抽签方法确定的号码是 .点拨：本题考查随机抽样的系统抽样.三种抽样方法均为等概率抽样，系统抽样是按简单随机抽样抽取第一个样本，再按相同的间隔抽取其他样本，即抽取号码成等差数列.公式为(1),(m n l p l =-+为间隔长，n 为组数，p 为第一个样本号).解：16,8,126, 6.n l m p ===∴=易错点：式中的第几组的组号应减“1”.变式与引申1：⑴某单位200名职工的年龄分布情况 如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分 为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）. 若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.⑵从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等且为251002D. 都相等且为40题型二 例2 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名 高三学生的视力情况，得到频率直方图如图432--所示，由于 不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组 的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的 学生数为b ，求,a b 的值. 点拨：（1）此题数据是以图形给出，注意观察图中数据及变化情况；（2）看清图中横、纵坐标的实际意义；（3）结合等差与等比数列知识，本题有一定的综合性.解：组距=0.1， 4.3~4.4的频数100=⨯0.10.11⨯=，4.4~4.5的频数3=. 前4组频数成等比数列， 4.5∴~4.6的频数9=，4.6~4.7的频数27=.又后6组频数成等差数列，设公差为d ，6(61)62710013872d ⨯-∴⨯+⨯=-=， 5020% 30%40—5040岁以下50岁以上 图431-- O 0.30.15d ∴=，从而 4.6~ 5.0的频数27(27=+5)(2710)(2715)78-+-+-=. 0.27,78a b ∴==.易错点：要注意1 频数=⨯⨯组距组距频率样本容量；2区别频数与频率，审清题意.变式与引申2：如图433(1)(2)--，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分A. B A B A s s x x >>,B. B A B A s s x x ><,C. B A B A s s x x <>,D. B A B A s s x x <<,题型三 概率与统计和其他数学知识交汇（如三角函数、框图算法、几何等）例3 如下图434(1)--是某公司金融危机时员工的月工资条形统计图，从左到右的各条形表示的员工人数依次记为1210,,,A A A （如2A 表示工资为[2500,2550)内的人数，（单位：元））.图434(2)--是统计图434(1)--中工资在一定范围内员工人数的一个算法流程图。

【巩固练习】1.（2016 茂名一模）2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．2．在区间(－2π，2π)上随机取一个数x ，则使得tan x ∈[－3,3]的概率为( )A. 13 B. 2π C.12D.233．（2016 江西新余期末）茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（ ）A ．110 B ．19 C ．15 D ．454.在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于3的椭圆的概率为 A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 5.如果一个n 位十进制数n a a a a 321的数位上的数字满足“小大小大 小大”的顺序，即满足：654321a a a a a a <><><，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的概率是（ ） A.152 B. 154 C. 52 D.158 6.设随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为 （ ） A ．5 B ．3 C ．35 D ．377.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为错误!未找到引用源。

，则该队员的每次罚球命中率为A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

8．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于3S的概率是________． 9．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，且B ＝A ，定义A 与B 的距离d (A ，B )＝41||ii ai =-∑，则d (A ，B )＝2的概率为______．10．在某市2013年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市前________名左右．11.从3男2女这5位舞蹈选手中，随机(等可能)抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是 ．12. （2015 郑州一模）若不等式x 2+y 2≤2所表示的区域为M ，不等式组表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为 ．13.（2016 威海二模）2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人． (I)求等级为非常满意的人数：(II)现从等级为不满意市民中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改监督员，求3人中恰有1人评分在[40，50)的概率；(III)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．(注：满意指数=100满意程度的平均分)14．公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于今年4月1日起正式施行.酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤<时，为酒后驾车；当80Q ≥时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）.依据上述材料回答下列问题：(1）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；(2）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a,b,c,d表示）15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:[)[)[)0,10,10,20,20,30,[)30,40,[)40,50,[]50,60.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1）求图中x的值;(2）从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[]50,60内的人数记为X，求X的数学期望()E X.16．某校高一年段理科有8个班，在一次数学考试中成绩情况分析如下：(1）求145分以上成绩y对班级序号x的回归直线方程。

概率与统计一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1. 某学校有高一学生7现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是 （ ）A.480B.640C.800D.9602. 将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表： （ ）则第6组频率为 （ ）A.0.14B.14C. 0.15D.153. 从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”； ②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少1只白球”； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”.其中是对立事件的有 （ ）A.①②B.②③C.③④D.③4. 盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 （ ） A.51 B.41 C. 54 D.101 5. 某城市的空气质量状况如表所示：其中污染指数50≤T 时，空气质量为优；10050≤<T 时，空气质量为良；150100≤<T 时，空气质量为轻微污染，该城市空气质量达到良或优的概率为 （ ） A.53 B.1801 C. 191 D.65 6.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是 （ ）A.一定不会淋雨B.淋雨的可能性为43C. 淋雨的可能性为21D. 淋雨的可能性为417. 在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是 （ ） A.41 B.π81 C. π41D.π411-8. 集合{}+∈-≥=N x x y y x A ,1),(，集合{}+∈+-≤=N x x y y x B ,5),(.先后掷两枚骰子，设掷第一枚骰子得点数记作a ，掷第二枚骰子得点数记作b ，则B A b a ⋂∈),(的概率等于 （ ） A.41 B.92 C. 367 D.3659. 在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需的汽车的概率等于 （ ） A.21 B.32 C. 53 D.5210. 甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们的限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为 （ ） A.103 B.107C. 10049D.10051 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上. 11. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 .12. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 .13. 在边长为4的正三角形内任投一点，则该点到三边距离都不小于33的概率为 .14.在等腰直角三角形ABC 中，6==BC AC ，在斜边AB 上任取一点P ，则2≤CP 的概率为 .15. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程02=++c bx x 有实根的概率是 .三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （12分）一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ （1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （3）已知245,245≥≥z y ，求高三年级中女生不比男生多的概率.18. （12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎 叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．（12分）已知关于x 的二次函数14)(2+-=bx ax x f .51-=x y 4（1）设集合{}5,4,3,2,1,1-=P 和{}4,3,2,1,1,2--=Q ，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间),1[+∞上是增函数的概率；（2）设点),(b a 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞上是增函数的概率.21. （14分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元） 之间有如下对应关系：（1）画出散点图，判断与是否线性相关；（2）若y 与x 之间有线性相关关系，求其回归方程；（3）若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？专题四测试卷（答案）)2,3(),3,2(，从而所求事件的概率92368==P .一、 填空题 11.150 12. 0.3 13.41 14. 3315.3619提示：12.此题考察了互斥事件和对立事件有关知识，由题意可知，所求事件的概率3.028.042.01=--=P .15.{}6,5,4,3,2,1,∈c b ，),(c b ∴的可能结果共有3666=⨯（个），又由题意可知需满足c b 42≥，当2=b 时，1=c ，)1,2(),(=c b ；4=b 时，4,3,2,1=c ，)4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),(=c b ；5=b 时，)6,5)(5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),(,6,5,4,3,2,1==c b c ；6=b 时，),2,6(),1,6(),(,6,5,4,3,2,1==c b c)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(，),(c b ∴的结果共有1966421=++++（个），从而所求事件的概率3619=P . 三、解答题16. 解：设{}看见红灯=A ，{}看见黄灯=B ，{}看见的不是红灯=C ，524053030(A)=++=P ，151405305(B)=++=P ，53521(C)=-=P . 17. 解：（1）19.02000=x，380=∴x （人）.（2） 高三学生数是500)380370377373(2000=+++-=+z y .∴高三中应抽取人数是12200048500=⨯（人）. （3）500,245,245=+≥≥z y z y ，),253,247(),252,246(),245,245(),(=∴z y)245,255(),246,254(),247,253(),248,252(),249,251(),250,250(),251,249(),252,248(，基本事件数为11个，其中满足z y ≤的有6个，分别为),253,247(),254,246(),255,245()250,250(),251,249(),252,248(，∴所求事件的概率为116.18. 解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180:之间．因此乙班平均身高高于甲班;(2) 15816216316816817017117917918217010x +++++++++==甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+-()()()()()22222170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝57 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件； ()42105P A ∴== ．19. 解：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B 配方生产的产品平均一件的利润为68.2)442254)2(4(1001=⨯+⨯+-⨯⨯（元） 解：（1）),(,,b a Q b P a ∴∈∈ 可能结果为),1,1(),2,5(),2,4(),2,3(),2,2(),2,1(),2,1(---------),2,3(),2,2(),2,1(),2,1(),1,5(),1,4(),1,3(),1,2(),1,1(),1,1(),1,5(),1,4(),1,3(),1,2(),1,1(------- )4,5(),4,4(),4,3(),4,2(),4,1(),4,1(),3,5(),3,4(),3,3(),3,2(),3,1(),3,1(),2,5(),2,4(--，共36个.令14)(2+-=bx ax x f ，∴对称轴方程为ab x 2=.∴函数)(x f y =在区间),1[+∞上是增函数，⎪⎩⎪⎨⎧≤>∴120ab a ，从而a b ≤2.1=a 时，2,1--=b ，)2,1(),1,1(),(--=b a ； 2=a 时，1,2,1--=b ，)1,2(),2,2(),1,2(),(--=b a ； 3=a 时，1,2,1--=b ，)1,3(),2,3(),1,3(),(--=b a ； 4=a 时，2,1,2,1--=b ，)2,4(),1,4(),2,4(),1,4(),(--=b a ； 5=a 时，2,1,2,1--=b ，)2,5(),1,5(),2,5(),1,5(),(--=b a .∴所求事件的概率943616==P . （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>>≤-+ab b a b a 20008 ，∴所求事件的概率3213323P ==.。

2015、2016高考试题概率、统计专题1.（2015北京卷16）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅱ) 如果25(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2.（2015福建卷16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.3.（2015湖北卷20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．4.（2015湖南卷18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.5.（2015陕西卷19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（I）求T的分布列与数学期望(II) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．6.（2015四川卷17）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（I）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（II）某场比赛前。

2016年高考备考之考前十天自主复习 第七天（理科）回顾一：排列组合与二项式定理 （1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有m 1种不同的方法，完成第二个步骤有m 2种不同的方法，……，完成第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （2）排列与组合：①排列与排列数：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.排列数公式： !(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅.规定0! = 1。

另外，!)!1(!n n n n -+=⋅；111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A ； 11--=m n m n nA A ，!1)!1(1!1n n n n --=-。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

高考数学 冲刺60天解题策略 专题四 概率与统计 第二节统计、统计案例统计与统计案例是高中数学的重要学习内容，它是一种处理问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，统计的基础知识成为每个公民的必备常识． 由于中学数学中所学习统计与统计案例内容是基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题或一个解答题，难度值在0.5～0.8.考试要求：统计：（1）随机抽样：① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）：用样本估计总体① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性：① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.统计案例：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用.题型一 抽样方法例1（1）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．（2）利用简单随机抽样的方法，从n 个个体（n ＞13）中抽取13个个体，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为361，则在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为 点拨: （1）在分层抽样中应注意总体中各个层次人数的比例，在样本中应保持比例不变（2）简单随机抽样过程中，每一次的抽取，剩下的个体被抽到的概率都是一样的，所以应先求n ． 解：（1）总体甲:乙:丙:丁=3:3:8:6，所以样本中丙专业抽取的学生人数=840163386=+++⨯(1)由题意得：361211=-n 解得398=n ， ∴在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为39813． 易错点:（1） 把样本中的各层次的比例算错.（2）误认为在简单随机抽样的每一次抽取中个体被抽到的概率不同导致错误．变式与引申1:某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ____，____， ____辆．变式与引申2：经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人． 题型二 统计图表问题例2 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件，测得其产品尺寸后，画得其频率直方图如下.尺寸在［15,45)内的频数为46. (1)求n 的值；(2)求尺寸在［20,25)内产品的个数.点拨:用样本频率分布去估计总体分布．解：(1)由题意得，尺寸在［10,15)内的 概率 是5×0.016=0.08.所以尺寸在［15,45)内的概率为1－0.08=0.92.由n46=0.92,∴n =50. (2)尺寸在［20,25)内的概率是0.04×5=0.2. 故在该区间内产品的个数是50×0.2=10(个)易错点:在直方图中频率每一个长方形的面积，而不是其高度．变式与引申3: ⑴有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22； ［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.①列出样本的频率分布表；②画出频率分布直方图；③估计数据小于30.5的概率题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题例3一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）A ．9.4，0.484B ．9.4，0.016C ．9.5，0.04D ．9.5，0.016 点拨:本题考查平均数与方差的计算公式；解：5.957.96.934.9=++⨯=x ，016.0])5.97.9()5.96.9(3)5.94.9[(512222=-+-+⨯-=s 答案：D易错点:没理解记忆,公式记错. 变式与引申4: x 是12100,,x x x 的平均数，a 是1240,,x x x 的平均数，b 是4142100,,x x x 的平均数，则x ，a ，b 之间的关系为 ．变式与引申5：某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为x 、y 、10、11、9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 题型四 线性回归分析例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据:（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性 回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？点拨：本题中散点图好作，本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决． 解：（1）散点图如图422--；（2）方法一：设线性回归方程为y bx a =+，则222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52ba b -==-时， (,)f a b 取得最小值， 2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-,即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时, (),f a b 取得最小值．所以线性回归方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯93.50.70.352a =-⨯=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+． （3）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．易错点:本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．变式与引申6: 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学8888831117992110811001112x3 4 5 6 y2.5344.5物理994 991 1108 996 1104 1101 1106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议． 本节主要考查：（1）三种抽样方法；总体分布的估计；线性回归等．（2）解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化思想的运用． 点评：（1）简单随机抽样方法应注意抽样的公平性，分层抽样应注意每个层次个体的比值；（2）用样本频率分布去估计总体分布；用样本的某种数学特征去估计总体相应数学特征．解题途径：应用所掌握的基础知识进行计算.（3）进行总体平均数的估计与总体方差的估计. 解题途径：利用样本的平均数与方差分别作为总体的期望值和方差的估计.（4）线性回归分析．解题途径：先作出散点图，再根据公式确定回归方程中的参数b a ,，并可以根据求出的方程做预测或给出建议．习题4-21. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法 C ．系统抽样法，分层抽样法 D ．简单随机抽样法，分层抽样法2.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n = .3. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图4-2-3是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是 .4.（2011年高考北京卷。

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月中档大题规范练2 概率与统计理1.某校为了了解学生孝敬父母的情况(选项，A：为父母洗一次脚；B：帮父母做一次家务；C：给父母买一件礼物；D：其他).在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表(部分信息未给出)：学生孝敬父母情况统计表选项频数频率A m 0.15B 60pC n 0.4D 480.2学生孝敬父母情况条形统计图根据以上信息解答下列问题：(1)这次被调查的学生有多少人？(2)求表中m、n、p的值，并补全条形统计图.(3)该校有1 600名学生，估计该校全体学生中选择B选项的有多少人？2.为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：请根据以上提供的信息解答下列问题：(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整.(2)写出下表中a，b，c的值：平均数(分)中位数(分)众数(分)一班 a b 90二班87.680c(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析；①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩；②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩；③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成绩.3.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？4.小昆和小明相约玩一种“造数”游戏，游戏规划如下：同时抛掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子，硬币的正、反面分别表示“新数”的符号(约定硬币正面向上记为“＋”号，反面上记为“－”号)，与骰子投出面朝上的数字组合成一个“新数”；如抛掷结果为硬币反面向上，骰子面朝上的数字是“4”，记为“－4”.(1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果； (2)写出组合成的所有“新数”；(3)若约定投掷一次的结果所组合的“新数”是3的倍数，则小昆获胜；若是4或5的倍数，则小明获胜.你觉得他们的约定公平吗？为什么？5.2014年12月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地6个储存牛肉的冷库有1个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒DNA来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.方案乙：将样品分为两组，每组3个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染牛肉在这3个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组样品中逐个进行化验.(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；(2)首次化验化验费10元，第二次化验化验费8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？ (3)试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.6.某次知识竞赛中，从6道备选题中一次性随机抽取3道，并独立完成所抽取的3道题.甲选手能正确完成其中4道题；乙选手能正确完成每道题的概率都为23，且每道题正确完成与否互不影响.规定至少正确答对其中2道题目便可过关. (1)求甲选手能晋级的概率；(2)记所抽取的3道题中，甲选手答对的题目数为ξ，写出ξ的分布列，并求E (ξ)； (3)乙选手能答对的题目数为η，求η的分布列与D (η).7.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据.x 4 5 7 8 y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.(相关公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )8.我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A，B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00，9：00－10：00两个时间段内各发一趟由A城开往B城的列车(两车发车情况互不影响)，A城发车时间及其概率如表所示：发车时间8：108：308：509：109：309：50概率161312161312若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站候车的时间分别是周六8：00和周日8：20(只考虑候车时间，不考虑其他因素).(1)求甲、乙二人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ).答案精析中档大题规范练21.解 (1)∵48÷0.2＝240， ∴这次被调查的学生有240人.(2)m ＝240×0.15＝36，n ＝240×0.4＝96，p ＝60÷240＝0.25.补全条形统计图如图.(3)∵1 600×0.25＝400.∴估计该校全体学生中选择B 选项的有400人. 2.解 (1)25－6－12－5＝2(人).(2)a ＝87.6，b ＝90，c ＝100.(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成绩好于二班. ②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班； ③B 级以上(包括B 级)一班18人，二班12人，故一班的成绩好于二班. 3.解 (1)甲至少有一次未击中目标的概率为P 1＝P 1(1)＋P 1(2)＋P 1(3)＋P 1(4)＝1－P 1(0)＝1－(23)4(13)0＝6581.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P 2＝C24(23)2(13)2＝827，乙射击4次恰击中3次的概率为P 3＝C34(34)3×14＝2764，由乘法公式，所求概率P ＝P 2·P 3＝827×2764＝18.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P ＝(34)3(14)2＋C12(34)2(14)3＝451 024.4.解 (1)根据题意画树状图如下：(2)组成的新数为1,2,3,4,5,6，－1，－2，－3，－4，－5，－6.(3)所有的组合成的新数中是3的倍数的有3,6，－3，－6这四个，因此P (3的倍数)＝412＝13，是4或5的倍数的有4,5，－4，－5这四个，因此P (4或5的倍数)＝412＝13，由于两者的概率相同，所以他们的约定公平.5.解 (1)方案乙所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA ，再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为C 35C 36×1C 13＝16.第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA ，再从中逐个化验，恰第1个样品含有病毒的概率为C 25C 36×1C 13＝16. 所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5，对应的化验费用为η元，则P (ξ＝1)＝P (η＝10)＝16，P (ξ＝2)＝P (η＝18)＝56×15＝16，P (ξ＝3)＝P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (ξ＝4)＝P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (ξ＝5)＝P (η＝36)＝56×45×34×23＝13.则其化验费用η的分布列为η10 18 24 30 36 P1616161613所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元).所以甲方案平均需要化验费773元. (3)由(2)知方案甲平均化验次数为E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×13＝103.设方案乙化验的次数为δ，则δ可能的取值为2,3， 所以P (δ＝2)＝13，P (δ＝3)＝1－P (δ＝2)＝23，所以E (δ)＝2×13＋3×23＝83.则E (ξ)>E (δ)，所以方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库. 6.解 (1)记甲选手能晋级为事件A ，则基本事件总数n ＝C 36＝20，事件A 包含的基本事件m ＝C 34＋C 24C 12＝16，所以P (A )＝m n ＝45.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15.则ξ的分布列为ξ1 2 3 P153515所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(3)依题意知，η服从B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.P (η＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝⎛⎭⎪⎫1－233－k，k ＝0,1,2,3.即P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫230⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127， P (η＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29， P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49， P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝827. 则η的分布列为 η 01 2 3 P127 29 49 827 所以D (η)＝3×23×13＝23. 7.解 (1)散点图如图所示.(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154， 则b ^＝∑4i ＝1x i y i－4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝106－4×6×4154－4×62＝1， a ^＝y －b ^x ＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝x －2.(3)由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.8.解 (1)甲到达火车站的时间为周六8：00，所以甲的候车时间有三种情况，如表所示.发车时间8：10 8：30 8：50 候车时间(分) 10 30 50乙到达火车站的时间为周日8：20，所以乙的候车时间有五种情况，如表所示.发车时间 8：30 8：50 9：10 9：30 9：50 候车时间(分)10 30 50 70 90 根据表格可知：甲、乙二人候车时间均为10分钟的概率为：16×13＝118；甲、乙二人候车时间圴为30分钟的概率为：13×12＝16；甲、乙二人候车时间均为50分钟的概率为：12×16×16＝172.所以甲、乙二人候车时间相等的概率为： 118＋16＋172＝1772.(2)乙候车所需时间为随机变量ξ＝10,30,50,70,90. P (ξ＝10)＝13；P (ξ＝30)＝12；P (ξ＝50)＝16×16＝136；P (ξ＝70)＝16×13＝118；P (ξ＝90)＝16×12＝112.所以ξ的分布列为：ξ 10 30 50 70 90P 13 12 136 118 112数学期望E(ξ)＝10×13＋30×12＋50×136＋70×118＋90×112＝2809.。