公理集合论

公理化集合论集合论是数学的基础，也是计算机科学的核心内容。

它探讨了一类特殊的数学结构集合，以及相关的结构和概念，如函数，类型和关系。

公理化集合论是一门研究使用公理（或语言）来表示集合，结构和关系的数学领域。

公理化集合论是建立在符号逻辑的基础上的，它的基本思想是使用公理来表达数学概念，而不使用严格的数学语言。

公理化集合论的发展可以追溯到中国古代的“说明书”，它们用数学的方法来研究数学的概念。

也可以追溯到古希腊的科学思想，以及19世纪末初的符号逻辑和哥德尔群（Gdelgroup）的发展。

公理化集合论是20世纪最早发展起来的数学领域之一，其发展受到许多因素的影响，如集合论、符号逻辑、数量论、数论和不可计算性理论。

公理化集合论主要根据Zermelo-Fraenkel公理（ZF公理）来研究集合，它由Ernst Zermelo和Abraham Fraenkel共同提出，也被称为“基本集合论”。

它的基本思想是，所有的集合可以由公理表示，并可以使用一些公理定义集合的运算，如并集、交集、差集和封闭性。

此外，公理化集合论还研究了一些其他的集合概念，如结构、函数和类型的定义。

公理化集合论的研究可以帮助我们更加深入地理解集合论，可以帮助我们构建数学模型，以解决一些复杂的数学问题，也可以帮助我们更轻松地应用其它数学领域的知识。

此外，公理化集合论还可以应用于计算机科学，比如程序和算法的设计、系统编程和计算机系统的设计。

公理化集合论的研究产生了许多有用的结果，如计算机程序设计语言和编程模型，公理化数学模型，数据库结构和分布式计算，以及计算机图形学和信息可视化。

这些结果给计算机科学和程序开发带来了实质性的改进，也使公理化集合论成为一个重要的应用领域。

可以说，公理化集合论一直在不断发展，至今仍是一个活跃的研究领域。

它已经孕育出许多新的结构和理论，其研究结果也在不断改善现有的程序语言和编程模型，以及新程序语言的设计。

这些结果使得计算机程序员更加容易开发和维护计算机系统，帮助计算机获得更强大的功能。

数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)(2010-10-28 00:14:03)转自新浪博客1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。

哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。

同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。

而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。

五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。

1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。

研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。

这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。

要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。

自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。

许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。

从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。

这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。

因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。

“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。

这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。

第三章集合论的公理化§1 几点通俗的说明将集合论公理化的直接目的是排除悖论，即希望按公理化建立的集合论是协调的，不产生逻辑矛盾．但在建立公理时，还要考虑将集合论中所有对数学有意义的内容得以保留．集合论公理系统由两部分组成，一部分是它的逻辑基础，包括展开理论的语言规范，逻辑公理和推理规则；另一部分是该理论自身的公理．公理化集合论有两种表现形式，一种为形式化公理系统，除了对语言规定的说明，它完全由符号和公式组成；一种是朴素的公理化集合论，它以我们的日常语言表述，它所要探讨的是那些在我们心目中认为对纯粹理论数学有意义的集合及其关系．在现代，人们也将这种朴素的公理化集合论称为朴素集合论，它是对康托集合论的限制和改进．对于不从事集合论研究的人来说，集合在他们眼中是一种“实在”的具体的对象．在这种情况下，人们感兴趣的是实质集合论．康托建立的集合论，最初给人的印象就是一种“实质集合论”．因为在人们眼中，所论的集合大多“客观”存在，尽管其存在不都是物理意义上的．但对于纯数学而言，其研究的内容是各种“形式关系”．比如，从数学角度研究3与9之间有何关系时，并不关心这个3与9是由“牛”还是“马”的集合抽象出来的；又由于康托集合论出现了悖论，所以有人想到：对纯数学而言，只需考虑一部分“实质”的集合，利用这些集合之间的关系可以将数学所要研究的形式关系充分表现出来就可以了．为了达到这一目的，就要改变过去那种几乎无限制地运用“集合”概念的状况．朴素的公理集合论所列的各条公理，在本质上是限定集合论（与主要数学分支）的论域，换句话说，也就是限定对“集合”作为纯数学概念的理解和使用．这种限制具有强烈的“人为”色彩，它不仅排除了已有的集合论悖论，也排除了大量在现实世界中被认为是“集合”的实在对象．但它保留了充分多的对纯数学研究有意义的集合．在此意义上，朴素的公理集合论可看成是一种狭义的“实质集合论”．其中的集合概念，已自然不同于日常生活中那个广义的“集合”概念了．注：也有人认为这种朴素的公理集合论不算是实质集论，因为其对象不先于公理“存在”，由于“存在”概念是哲学上最基本的不定义概念，人们对“存在”有着大相径庭的理解，所以对事物有不同看法也是正常的．对一个朴素的公理化理论（可认为是有实质意义的），用特定而严格的方式将这个公理系统符号化和公式化，就得到一个纯符号化的系统．在组成该系统时，明确规定这个系统中的各种符号如何合理组成公式，以及一些公式怎样合理变形成其它公式，并要求可以经过类似于机械化的手段，在有限步骤内确定其是否符合规则．这样的符号系统就称为形式系统．虽然一个形式系统通常是由有意义的理论转化而成的，但它形成之后，人们可以忘记它代表的意义．不考虑形式符号含义时，形式系统中的公式就成了毫无实际意义的符号串了．一个形式系统是一个没有指定任何内在含义的符号系统．看上去，集论的形式化系统是朴素的公理化集合论的符号表示，而朴素的公理化集合论是集论形式化系统的具体解释．在我们学习集合论时，通常也是这么理解的．但是假如我们将一段有意义的语言编成由一些数学符号和其它符号表示的密码时（就象将朴素公理集合论编制成一个形式系统），那些不了解我们意图的人若想知道这些符号的意义，就要破译密码．在密码破译时有三种可能：1、得到与我们原来意思相同的语言内容；2、得到一种与我们原意不相符的另一些语言内容，但也能“自圆其说”（对照密码组成中的联系方式）；3、破译不出任何有意义的语言内容．暂不说第三种情况．由于可能出现第二种情况，一个形式系统也许会有不只一种“合理”的解释，了解这一点很重要．建立形式系统的兴趣不在于它原来所要表示的内容，而只在于它内部的“形式关系”．如果人们不关心这种内部的形式关系，是根本用不着把实质化的理论搞成形式系统的．读者也许奇怪，好端端的有内容、有意义的理论为什么要搞成没意义的符号系统呢？为什么要关心内容的形式关系呢？对于其思想背景，我们将不作详细的说明，这里举些例子来说明形式系统对集合论研究的意义．我们知道，一个数学证明是从一些已知条件推导出某些结果，这些已知条件和结果都是以命题或公式给出的．而命题可以用适当规定的符号表示，比如说：“R 是不可数的”，可粗略表示为“]))[((ωωf r R r r R f f ∉∧∈∃→∈∀”．这样，命题就成了符号公式．而所谓推导，则是按一定的逻辑规则将公式逐步变形．正确的逻辑推导，只是在“形式”上符合规则要求，并不考查命题与概念的内容．所以推导中关心的只是概念、命题之间的“形式联系”．现在考虑一种情况．给定一个数学理论的公理系统T 和该理论中的一个命题A ．假设存在这样一个客观事实：A 不能由T 中的公理给以证明，也不能被否定，即A 与T 是互相独立的．那么我们怎么能确切地知道这一事实呢？显然，只在T 内考虑是没有出路的．即使一万年没有找到一个明确的证明，人们也不能说A 是不可以证明的．所以，如果A 与T 中的公理互相独立是客观的事实，人们就只能在T 之外认识这一事实．当从外面看待T 与A 的关系时，T 与A 一样都是被直接研究的对象．又由于我们的目的只是探讨T 中是否存在着证明A 的形式推导“程序”，所以就不必考虑T 中命题及A 的实际意义，而只考察各种公式之间的形式关系．此时，若不能将T 转化成形式系统，大量含混不清的语言含义便会使人在研究时感到无章可循．所以，将通常的实质理论转化成严格的形式系统，并研究它可能给出的形式证明，就是有重要意义的工作了．此外，在证明一个公理系统是否协调或相对协调时，也要以形式系统为研究对象．§2 集合论的ZFC 系统有几种不同的集合论公理系统，它们在实质上没有重大差别．主要的几个公理系统在展开集合论内容时，得到的结果基本上是一样的．而ZFC 系统最流行，也是在研究中被讨论得最多的公理系统．所以本书只介绍ZFC 系统．这个公理系统最初是由策莫罗（Zermelo,E ）提出，后经弗兰凯尔（Fraenkel.A.A ）等人改进而形成今天这种形式．之所以称为ZFC 系统，除了Z 与F 分别表示上述两人的名字之外，C 表示选择公理（Chioce ）．如果只写 ZF ，则表示去掉“选择公理”后的公理系统．下面以对照的方式介绍这个公理系统，在介绍其形式化的构成与表达方式的每一部分后面，是我们对这种形式系统给出的“通常”解释．经这种解释的公理，就是我们心目中的那个狭义的实质集合论的公理．我们之所以说“通常”解释，如§1所述，形式系统的解释一般可能不是唯一的，尤其用日常语言解释便更有多种选择．还应特别指出，虽然我们介绍了形式化ZFC 系统，但我们真正要讨论的却是那个经过解释的朴素的公理集合论．之所以介绍形式化 ZFC 系统，一是让读者对“形式化”有个初步印象，二是对朴素公理化集论与形式化集论之间的关系有一定的认识．严格说来，人们提到 ZF 系统时，指的应是ZF 形式系统．然而，现代集论在数学其它分支中的应用，都是以 ZFC 的解释（即朴素的公理集论）为其基础，所以许多人也将ZFC 系统的朴素解释称为ZFC 公理集论．为了避免混乱，本书将以ZF 形式系统和 ZF 公理集论来区别形式化的公理系统和朴素的公理系统．ZFC 公理系统一、 语言与逻辑1、语言的构成（规则）ⅰ)符号表变元符号：,...,,...,,,,,1010y y x x z y x ,...,10z z谓词符号：∈,=逻辑符号：∀∃↔→∨∧⌝,,,,,,技术性括号：（，），[ ，]．[解释] 这些变元符号表示我们心目中的集合．所有的集合构成集合论的论域．变元的变域就是这个论域．在讨论时，为了简明，我们在本书中也会引入一些别的字母符号表示指定的集合（但无论如何我们能使用的符号至多有可列个）．“∈”表示属于关系，“=”表示相等关系． 在第一章里我们已介绍了上述的逻辑符号．括号是为了分清语言的层次和顺序．ⅱ)公式的形成规则①基本公式：y x y x =∈,②若A 与B 是公式，则 ))((),(),(,B A B A B A B A A ↔→∨∧⌝是公式． ③若A(x)是公式，且x 在A(x)中自由出现，则 )(),(x xA x xA ∃∀ 都是公式．在)(x xA ∀与)(x xA ∃中的x 称为约束变元，即不是自由出现的变元．[解释] 基本公式是集论中最基本的“句子”，由“∈”、“=”的解释可知其含义． 较复杂的公式是由基本公式加括号或合理运用逻辑连接词递归地构造的．其它一些逻辑常识，请读者参阅第一章第一节．注：在组成公式时，只要规定好逻辑联结词的结合“顺序”．有些括号是可以省略的．2．逻辑公理与推演规则ⅰ)逻辑公理①)(ϕψϕ→→②))((ηψϕ→→))()((ηϕψϕ→→→→③)()(ϕψψϕ→→⌝→⌝④))()((x x ψϕ→∀))()((x x ψϕ∀→→，其中在ϕ中的自由变元没有x ． ⑤)()(t x x ϕϕ→∀，其中)(t ϕ中的t 自由代换)(x ϕ中的x ．[解释] ①–⑤是逻辑的公理模式，它们被看成是永真的．比如公式①逻辑等价于)()(ψϕ⌝∨⌝ϕ∨．①、②、③涉及命题运算，④与⑤涉及谓词演算．其中的⑤还涉及“项”的定义，比较抽象和啰嗦．在直观上可以这样粗略地理解⑤的含义：如果对每个x ，()x ϕ成立，那么对于具体的t 而言，()t ϕ是成立的．上述公理属于一阶谓词演算的公理．ZFC 的逻辑基础就是一阶谓词演算．这里只是十分简要的介绍了集论展开过程中，被直接用到一阶谓词逻辑中的部分内容．关于一阶谓词演算的详细介绍，可参见某些数理逻辑的教材．ⅱ)推演（或证明）规则：设Γ是由一些公式组成的集，ϕ是某一公式，以ϕ⇒Γ表示ϕ可由Γ形式证明，即存在由有限个公式组成的序列n ϕϕϕ,...,,21，使得n ϕ就是ϕ．而且这个公式序列是按如下规则得到的：①若序列中已有i ϕ,则可以写出公式i x ϕ∀；②若序列中已有i ϕ及)(j i ϕϕ→，则后面可以写出j ϕ；③Γ中任一公式可以在序列中任何位置写出；④前述逻辑公理中的5条公式中的任一条可以写在序列中的任何位置上； ⑤如下与等词“=”有关的公式可以写在序列的任何位置上．();x x =x y y x =→=；z x z y y x =→=∧=)(；))()((y x y x ϕϕ→→=；其中)(y ϕ是将)(x ϕ中的x 替换成y 之后得到的公式，而且y x ,在ϕ中都是自由出现的．[解释] 我们通常说的证明都是在一定的前提之下，用有限个句子完成的．在证明过程中的每个句子都要有根据，这些句子或是已给定的条件命题，或是由已知命题按形式逻辑的推理规则得到的新的命题．上边的推演规则就是将我们平时证明中的各种合理推证步骤抽象出来而形成的．比如其中第②条可解释为：若句子i ϕ成立且“如果i ϕ则j ϕ”成立，那么j ϕ成立．第⑤条是对等号（等词）的规定，它十分严格地限制了对等词的解释，也称为等词公理．其余各条规则都很容易给出通常意义的解释．注：在我们展开集合论内容的讨论时，还会引入大量新的关系符号（谓词符号）以及定义一些常元符号．比如表示包含关系的符号“⊂”，以及特定集合符号“ω”等．引入新符号的目的是为了使表述更为简洁．所以引入这些新符号就必须符合一定的要求，必要时，可以将这些新的符号还原成原系统的公式，即要求引入新符号的系统与原系统在逻辑上是等价的．在下面介绍集论公理时，解释的语言将沿用前几章曾定义过的各种表示方法及其意义．为了解释上的方便，我们将{)(:x x ϕ}看成为一个类，其中)(x ϕ是仅以x 为自由变元的公式．按这种约定，类中“元”必是集合．但一个类本身是否为一个集合，则视集论公理的规定．在后面我们还会谈到这一问题．二、 集论公理0. )(x x x =∃1．外延公理 ))((y x y z x z z y x =→∈↔∈∀∀∀2．基础公理 →∈∃∀)([x y y x )]((y z x z z x y y ∈∧∈⌝∃∧∈∃3．概括公理模式 ϕ是任意一个公式，且除去x 之外没有别的自由变元． )(ϕ∧∈↔∈∀∃∀z x y x x y z4．无序偶公理 )(z y z x z y x ∈∧∈∃∀∀5．并公理 ))((000x z x x x y z z y x ∈∧∈∃↔∈∀∃∀注意，若定义并“∪”：↔∈z x )(y x z y y ∈∧∈∃ ，则公理5可以表示为：)(x y y x =∃∀6. 置换公理 ϕ是一个公式，除y x ,之外，没有别的自由变元． 00(!())z x z y y x z y y ϕϕ∀∀∈∃→∃∀∈∃∈注1，!y ϕ∃ 表示： (()(()))y y z z z y ϕϕ∃∧∀→=注2：由前述公理出发可定义一些特定的符号．下面就给出几个新定义的符号．（1）空集0：)(0x x x =⌝↔∈（2）包含关系 ⊂：)(y z x z z y x ∈→∈∀↔⊂（3）集合的后继：{}{}{}x x x x x S ==,)(（4）集合的差：y x \：)(\y z x z y x z ∈⌝∧∈↔∈7．无穷公理 )))((0(x y S x y y x x ∈→∈∀∧∈∃8．幂集公理 )(y z x z z y x ∈↔⊂∀∃∀注：利用前面的公理可以象第一章中用集合论的语言定义序偶、映射、及x 到y 的所有映射构成的集合y x ，并且定义“1”：)01(=↔∈∀x x x ．9．选择公理 )((1\x z z x x ∈∃∀))),((00x y z y x ∈→∈∧．[解释] 公理0‘.这是说存在一个集合．特别注意，“集合”没有定义，但变元符号表示的都是集合，集合论中讨论的都是集合，所以集合的元素也是集合．但变元符号本身却不表示特定的具体集合．公理 1‘.公理1规定，对任意集合x 与y ，只要x 与y 元素相同，x 与y 就是相等的．注：定义∉：)(y x y x ∈⌝↔∉； ≠：)(y x y x =⌝↔≠公理2‘ 这条公理的直接解释是：任意一个非空集合x ，都存在x 的一个元素y y ,中没有任何元素是x 的元素了． 公理3‘ 也称为子集公理．它不是单个公理，而是无穷条公理，即给定一个公式ϕ，就有一条公理．所以称为公理模式．它的含义是，若z 是集，ϕ是公式，则:{z x ∈)}(x ϕ也是一个集合．注：这里的)(x ϕ中没有别的自由变元．公理4‘ 给定两个集合，存在一个以这两个集合为元素的集合．公理5‘ 注意到集合x 中的元素也是集合，所以x 可以看成是一个集合族．这个公理说的是：将x 中元素作为集合，取其并，得到的类也是一个集合． 公理6‘ 这个公理也是公理模式，其解释为：若ϕ确定了一种二元“关系”，当z 是集，对z 中每个元x ，由ϕ可唯一确定一个y （与x 对应），则由这些y 可组成一个集合．换句话说，若将ϕ看成z 上的一个“映射”，它的像也是一个集．∃！解释为“存在唯一的”．0表示空集；⊂表示被包含关系；y x ⊂即表示x 是y 的子集；S(x)表示集合x 的后继}{x x ．公理7‘ 存在至少一个x , x 有可数无穷多个元．公理8‘ 任何一个集合x 的所有子集合组成的类也是一个集合．这个由x 的子集所组成的集合称为x 的幂集合，记为)(x P ．公理9‘ 对每个集合x ，存在由}0{\x 到x 的一个映射f ，使得z z f ∈)(． 关于这个公理系统，再给出几点说明．1．上述集论公理并不是互相独立的，比如，有了无穷公理，就不必要集存在公理；再比如置换公理比概括公理要强些．但是，只要它们不产生逻辑矛盾，多列几条公理，对理论的展开会方便些．所以，读者可能会看到一些其它书中叙述的ZFC 公理与本书所列的内容不完全一样，但在逻辑上，它们是等价的，所能展开的内容也是完全相同的．2．对于形式系统中的变元到底代表什么，纯形式化系统没有必要给出任何解释，我们给它的解释是集合．在ZFC 公理集论中，“集合”是不定义概念．除了集合这个概念，“∈”与“=”也没有定义，但逻辑中的等词公理在本质上是对等词的一种“限定”．所以对集合论而言，没有定义的只有“集”与“∈”．集论中其它的概念与关系便完全由“集”与“∈”（和等词）来定义．这样便不难理解在公理集论中，所有讨论对象都被定义为某种类型的集合．3．在形式系统中并没有关于具体集合的表示方法．当给定一个集合z 和一个具体公式)(x Φ时，我们可以定义集合)(:x z x a x a Φ∧∈↔∈，这时a 就是一个“常元”．为了明确起见，我们可以将a 表示为{)(:x z x Φ∈}．这样便得到我们通常的描述方法，并且也可以引入一些具体的常元符号．4．我们用)}(:{x x Φ表示类，而集合论并不以一般的类为直接的讨论对象．但我们所说的类在本质上不过是对应于一个含一个自由变元的公式)(x Φ，所以在展开集论内容时，我们也时常用类的符号．比如，用一公式表达x 是一序数，往往是很繁琐的．假设表达“x 是一序数”的公式是)(x ψ，我们引入类符号On ，并定义)(x On x ψ↔∈．这样On x ∈就是)(x ψ的一个简化表达．显然Cn 的引入也有同样意义．在任何情况下，ZFC 集论中讨论类与类之间的关系时，本质上是在讨论公式与公式（即命题函项与命题函项）之间的关系．5、读者可能已看到我们表示类的方式与表示集合的方式很相似．显然，一个集合肯定是一个类，但一个类却不一定是集合．不是集合的类称为“真类”．那么什么是真类呢？现在考察产生罗素悖论的类：)}x⌝．一方面，如果认为它是集合，x∈{x:(就能引出逻辑矛盾；另一方面，考察集论公理，会发现没有任何一条公理能够判定它是一个集合．这样，它就是一个真类．用类似的方法我们可以知道On与Cn 都是真类．另外，严格的语言规定，使得象“不能用少于100个字符定义的自然数”这样的句子无法用形式语言表达．于是，那些产生悖论的“集合”，在公理化集论中成为“非法”．它们或是被甩到真类中去，或是不能在集论中表达出来，从而使集合论摆脱了悖论的困扰．事实上，集合论的公理在本质上是对集合这一概念以及“∈”关系的一种“定义”（尽管可能是一种不完全的定义）．§3对若干公理的简单分析本节以后的正文内容，我们虽然基本上使用日常语言描述，但主要理论内容的表达可以转译成形式语言．前一节列出的第0条公理，即集存在公理，不是必要的，它完全可以由形式系统中的逻辑部分直接推出来．余下的9条公理可以分为四组．第一组：公理1（外延公理）第二组：公理3，4，5，6，8（即：概括、无序偶、并、置换、幂公理）第三组：公理7、9（无穷公理与选择公理）第四组：公理2（基础公理）将公理这样分类，依据的是它们的作用．其中第三组公理是预设某类集合的存在性；第四组公理是对论域的限制，即对集合的限制．我们将在下一章中较详细的讨论这两组公理，这里先分析一下前两组公理的意义．第一组中的外延公理是对不定义关系词“∈”的一种限定．我们知道，属于关系“∈”并没有被定义，人们自然可能对它给出各种不同的解释．我们借用保罗.哈尔莫斯（Holmos）举过的一个生动的例子说明这个公理的作用．假设有人将yx∈理解成x是y的晚辈，由于“∈”没有定义，这样理解似乎不是不可以的．但是我们知道，两兄弟有相同的晚辈，但两兄弟不是同一个人，即他们不相等．所以由外延公理，可知如上的理解是站不住脚的．虽然集论的论域不涉及人，但这个例子表明了外延公理对“∈”的限定．外延公理说明了在集论中．属于关系“∈”与相等关系“=”之间的密切联系，也显示了“∈”在集合论中的基本重要性：属于关系“∈”决定了集合的所有性质．另一方面，这也表明在集合论中，人们不会讨论现实世界中各种丰富多彩的自然性质．仔细考察第二组公理，我们发现它们有一共同特点，即都是给出一种或一类利用已知集合构造新集合的方法．所以，它们也可以称为“构造性”公理．我们知道，悖论是在无限制的利用各种性质定义集合时产生的．第二组公理则十分谨慎地选择了一些看上去十分安全的构造方法作为产生集合的手段．由前一部分的介绍我们知道，那些产生悖论的集合已经从集合论中被消除掉了．当然人们会问，在集合论中消除悖论的同时，会不会也失去许多东西呢？这就要探讨公理集合论能够为数学提供一些什么？为此，我们来分析第二组公理的作用．一、空集的产生方法虽然公理0说存在一个集，但这个集是什么样的，谁也不知道．不过利用集存在与概括公理，我们对那个存在的集x，定义“0”：∧⌝z≠∈↔∈．zz()x0z这个0，其实就是我们通常所说的空集，它也时常用φ来表示．这是我们由公理可以构造的，并且可明确辩识的第一个具体集合，也是一个个体常元．二、有限集的产生方法利用无序偶公理及概括原理，我们可以定义1={0}．由无序偶公理保证有一集合以0为其元素，记此集为z，定义1=}0:zx．{=∈x再由无序偶公理，我们可以得到集合2={0，1}，{2}以及{2，{2}}．接着利用并公理，得∪{2，{2}}={0，1，2}．定义：3={0，1，2}，我们得到了三元集3．利用上述方法，归纳定义，我们得到了其元素个数是有限的集合．这时，第二章中关于有限集的讨论就能够进行了．读者不难看出，利用上述公理，也可以给出序数的定义并构造出每一个自然数（参见第二章第二节）．三、关于映射的定义在第一章中，我们曾介绍了利用集合定义映射的方法．按其定义映射的方式，需要序偶及两个集合的笛卡尔乘积的概念．由序偶的定义方式：}},{},{{),(y x x y x =，可以看出，这里只用到了无序偶公理．要定义x 与y 的笛卡尔乘积，可以利用幂集公理、并公理和概括公理．如果y y x x ∈∈00,容易验证)(},{},{000y x P y x x ⋃∈，))((}},{},{{),(00000y x P P y x x y x ∈=由此，并利用概括公理知：}:))((),{(0000y y x x y x P P y x y x ∈∧∈∈=⨯是一个集合．再利用概括公理，便可与第一章中一模一样的定义“关系”、“定义域”、“值域”、“映射”等等．四、其它一些概念的定义有了映射和关系这样的概念，我们就可以定义：偏序、全序、良序、基数、序数，序数的后继，自然数，等势，序数的加法和乘法，集合的选择函数，集合x 到y 的所有映射的集合y x ，等等．这里我们仅以y x 为例来说明其定义过程，其余留作练习．由于每个从x 到y 的映射f 是y x ⨯的子集，由幂集公理，)(y x P ⨯是集合，所以)(y x P f ⨯∈．现在记),,(y x f Fn 表示：))(),(),)((,(),(101011001100y y x x f y x f y x y x y x y x f =→=∧∈∧∈∀∀∧⨯⊂)Domf x ∧=即)fxFn表示语句“f是x到y的映射”的公式．由概括公理，定义集合,,(yFnxyffy x⨯P:),)}x,({y(=．∈事实上，绝大部分的数学概念都是利用关系与映射定义的．所以有了这两个概念，其它大多数概念就都可以利用公式及相应的集论公理来定义了．读者仔细回顾前三章各种基本概念定义，可以看出这些定义基本上都是利用集合给出的，只是没有提到集论公理而已．因此，在下面两章的讨论中，我们便可沿用第二章和第三章中用集合定义的各种数学概念．事实上，重新定义只是强调一下用了哪些公理，其定义方式与前边也是一样的．作为练习，读者只须检查一下这些概念的定义中用了哪些公理．读者可能已看到，尽管大多数数学概念的定义只需要第一组与第二组中的公理，但我们还是无法只用这些公理给出任何一个无穷集合．§4关于用集论语言定义数学概念的一点说明在学习高等数学的许多课程时，我们常见到用集论语言给出的映射定义，其定义方式与本书第一章中的说法一样．但在初中与高中教材中，映射（函数）却不是这样定义的．比如有用因变量与自变量定义的函数，用集合之间的对应法则定义的映射．学习了本章内容之后，读者不难看出用纯集论语言定义映射的思想来源．初、高中教材中是利用现实直观给出映射概念的描述性定义．这种定义方式有很大优点，就是让人比较容易理解和接受，并具有一定的启发性．它使人们对数学概念产生一种“实在”的现实感．但由它的定义方式而派生出两个问题：一，由于运用日常语言，它在逻辑上不够严格．比如，什么是变量，什么是变，什么是对应法则，等等，追究起来没完没了．当然，如果我们不过于苛求逻辑上的严格化，只要求意会，这个问题也就不成为什么问题了．二，由于将映射赋予了现实意义，在对其进行某些运算操作时就很不方便．比如，我们很难十分严格说清将两个对应法则或两对变量之间的“随之变化”怎样合并成一个对应法则或一个“随之变化”．平时我们这样做时，还是免不了借助集合语言．如果以公理集论的公理出发，用十分严格的语言一步步将映射定义为一种特定的集合时，我们就消除了上述问题．这不仅在逻辑上很严格，映射的运。

数理逻辑中的集合论与公理系统数理逻辑作为一门研究形式推理和理性思维的学科，集合论与公理系统是其重要的组成部分。

集合论是描述和研究集合的数学分支，而公理系统则是逻辑推理的基础和规范。

本文将深入探讨数理逻辑中的集合论与公理系统，并分析其在现实世界中的应用。

一、集合论的基本概念集合是具有某种特定性质的对象的整体，可以是有限个或无限个元素的集合。

集合论主要研究集合的性质、关系和运算。

其中，集合的成员包含在集合中，记作$x\in A$；不是集合的成员则记作$x\notin A$。

集合之间可以有交集、并集和差集等运算。

集合论的基本概念还包括空集、全集、子集和补集。

空集是没有元素的集合，记作$\emptyset$；全集则是指被讨论的所有元素的集合。

若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作$A\subseteq B$；若两个集合既是对方的子集，则它们是相等的，记作$A=B$。

对于一个给定的全集X，与集合A不相交的元素组成的集合称为A的补集，记作$\overline{A}$。

二、公理系统的基本原理公理系统是逻辑推理的基础，通过确定一系列公理和规则来构建逻辑推理体系。

公理是被认为是真实和不可证明的命题，公理系统则是通过这些公理进行逻辑演绎和证明其他命题。

在集合论中，最基础的公理系统是Zermelo-Fraenkel公理系统，它由一系列公理组成，例如空集公理、外延公理、配对公理、并集公理和无穷公理等。

这些公理约束了集合的性质和运算规则，提供了一个一致且完备的集合论的基础。

三、集合论在数理逻辑中的应用集合论在数理逻辑中有广泛的应用。

首先，集合论为其他数学分支提供了基础和语言工具。

在数学的各个领域，集合论都是描述和研究对象的重要工具，例如在数值分析中，集合论可以用来定义数值集合和数值计算方法。

其次，集合论在推理和证明中起到关键的作用。

逻辑推理需要通过建立命题之间的关系和运算，而集合论提供了这种关系和运算的基础。

集合论是数学的一个基础领域，研究的是集合以及集合之间的关系和操作。

集合是数学中最基本而重要的概念之一，在数学推理中扮演着核心角色。

在集合论中，有一套公理体系被广泛接受和采用，这些公理形成了集合论的基础，并确保了逻辑的一致性和推理的有效性。

首先，我们来介绍集合论的基础公理，即ZF公理系统。

该公理系统由四个部分组成：外延公理、空集公理、配对公理和并集公理。

外延公理规定了集合的相等性，即两个集合具有相同的元素。

它表述为：“如果两个集合拥有相同的元素，则这两个集合是相等的。

”这个公理确保了集合的唯一性，没有重复元素存在。

空集公理规定了一个唯一的集合，即空集。

它表述为：“存在一个集合不包含任何元素。

”空集作为集合论的基础，是其他集合的起点。

配对公理规定了如何构造一个包含两个元素的集合。

它表述为：“对于任意两个元素a和b，存在一个集合包含a和b。

”这个公理提供了构造集合的一种方式。

并集公理规定了如何合并多个集合形成一个新的集合。

它表述为：“对于任意一个集合A，存在一个集合B，B中的元素是A中所有元素的集合。

”这个公理确保了集合的可重复形成性质。

除了这些基础公理外，还有一些推导公理，如交集公理和差集公理，以及公理化选择公理等。

这些公理在ZF公理系统中，共同构成了集合论的基本框架。

集合论公理体系的存在是为了防止数学中的悖论，例如罗素悖论。

罗素悖论可以简单地描述为：假设存在一个集合X，其中的元素是所有不包含自己的集合。

那么，问X是否包含自己？如果X包含自己，那么根据定义，X不能包含自己；如果X不包含自己，那么又与定义相矛盾。

这个悖论揭示了集合论的自指问题，即集合是否能包含自己这个问题的复杂性。

为了解决这个问题，集合论中的公理体系进行了严密的构造和推导，以确保数学推理的有效性和一致性。

ZF公理体系作为最常见的公理体系，被广泛接受和采用，并为集合论提供了坚实的基础。

在ZF公理体系的基础上，数学家们可以进一步发展和研究各种不同的集合论分支，如可拓扑性、可测性、选择公理等等。

1公理集合论axiomatic set theory用形式化公理化方法研究集合论的一个学科。

数理逻辑的主要分支之一。

19世纪70 年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。

20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。

为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。

第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。

这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。

如果加上选择公理就构成ZFC系统。

利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。

集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。

公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如P.J.科恩于1960 年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。

公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。

集合论公理系统(ZF1) 外延公理一个集合完全由它的元素所决定。

如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。

(ZF2) 空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。

(ZF3) 无序对公理：也就是说，任给一集合x，存在第三个集合z，而z的元素恰好有两个，一个是x，一个是y (ZF4) 并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合(ZF5) 幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合(ZF6) 无限公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素(ZF7) 替换公理：也就是说，对于任意的公式A（x，y），对于任意的集合t，当x属于t时，都有y，使得A（x，y）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使A（x，y）成立。

集合论公理集合论公理集合论是数学中的一个重要分支，它研究集合及其属性。

在集合论的研究中，有一些基本公理被广泛接受并被认为是不可证明的基本原理。

这些基本公理被称为集合论公理。

一、引言1.1 集合的定义在数学中，集合是由一些确定的事物组成的整体。

这些事物可以是数字、字母、形状、人或其他任何东西。

我们通常用大写字母来表示一个集合，例如A、B、C等。

1.2 集合论的起源集合论最初由德国数学家Georg Cantor于19世纪末提出，并在20世纪初得到了广泛发展和应用。

它是现代数学中最基础也最重要的分支之一。

二、集合论公理2.1 ZFC公理系统目前，最常用和广泛接受的集合论公理系统是Zermelo-Fraenkel（ZF）和选择公理（AC）组成的ZFC公理系统。

2.2 ZF公理系统ZF公理系统包括以下9个基本公理：（1）外延性原则：两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。

（2）空集原则：存在一个集合，它不包含任何元素。

（3）配对原则：对于任意两个集合a和b，存在一个集合c，它包含a和b作为它的元素。

（4）并集原则：对于任意一个集合a，存在一个集合b，它是a中所有元素的并集。

（5）幂集原则：对于任意一个集合a，存在一个集合b，它是a的所有子集的集合。

（6）无限公理：存在一个无限的集合。

（7）替换原则：如果f是一个函数，则对于任意一个集合a，存在一个集合b，它由f(a)中的所有元素组成。

（8）正则性原则：每个非空的集合都至少有一个与之不交的元素。

（9）基础公理：每个非空的非自身成员都有至少一项与之不交。

2.3 选择公理选择公理是ZFC公理系统中最有争议和最难以证明的公理之一。

选择公理可以简单地表述为：“给定任意数量的非空可数集合，则可以从每个集合中选择出一项元素组成新的非空可数集合。

”三、结论在数学研究中，ZFC公理系统被广泛接受并被认为是基本且不可证明的。

这些基本原理提供了建立数学体系的基础，并在实际应用中得到了广泛的应用。

公理化集合论与基础数学公理化集合论是数学基础中的一个重要分支，其重要性不言而喻。

在数学领域中，集合论作为数学的基石，囊括了许多数学分支的基本概念和理论，为数学家们提供了一个统一的框架来研究各种数学结构和问题。

在本文中，将介绍公理化集合论以及其在基础数学中的应用。

一、公理化集合论的基本概念在20世纪初，数学家们开始意识到传统的集合论存在一些悖论，如罗素悖论等。

为了解决这些问题，数学家们提出了公理化集合论。

公理化集合论是用一组严格的公理来定义集合的性质和操作规则，从而确保集合论中的悖论得到排除。

在公理化集合论中，最基本的概念是集合。

集合是指一个确定的对象的无序聚集，这些对象被称为集合的元素。

在公理化集合论中，我们用符号“{}”来表示集合，用“∈”来表示元素属于某个集合。

例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3的集合，而1∈{1, 2, 3}表示元素1属于集合{1, 2, 3}。

除了集合的基本概念外，公理化集合论还定义了一些基本操作，如并集、交集、补集等。

两个集合的并集是指包含这两个集合所有元素的集合，记作A∪B，两个集合的交集是指同时属于这两个集合的元素的集合，记作A∩B，一个集合相对于另一个集合的补集是指属于第一个集合而不属于第二个集合的元素的集合，记作A-B。

二、公理化集合论的公理系统在公理化集合论中，有许多不同的公理系统，常用的包括ZFC公理系统、NBG公理系统等。

ZFC公理系统是最为广泛应用的公理系统，它包括了9条公理，分别是外延公理、空集公理、对并公理、无穷公理、幂集公理、配对公理、并集公理、幂集公理和选择公理。

这些公理构成了一个强大的数学体系，可以描述几乎所有基础数学的内容。

其中，外延公理断言了相等的集合具有相同的元素，空集公理断言了存在一个不含任何元素的集合，对并公理断言了给定任意两个集合，存在一个包含这两个集合的集合等等。

这些公理规定了集合论的基本性质和操作规则，为数学家们提供了一个可靠的基础来进行数学推理和证明。