正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用

半正定矩阵的性质内容摘要矩阵是线性代数的一个重要内容，矩阵这一概念是从其它许多事物中抽象出来的，具有很大的现实意义.矩阵的理论不仅贯穿于线性代数的各个部分，而且在在物理学及其它科学技术领域，在经济及其它社会科学领域都有广泛的应用.本文以半正定矩阵的概念为基本出发点，从特征值、主子式、QR 分解、Gram 矩阵、半正定矩阵的各种运算等等系统研究半正定矩阵的基本性质，尤其是hadamard 积 和kronecker 积 ，更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质.【关键词】 半正定矩阵 hadamard 积 kronecker 积 一、矩阵的相关知识定义1[1]. 矩阵的秩向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.矩阵的行秩就是矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩，记作()R A .定义2[1]. 矩阵的特征值与特征向量设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ 为A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.特征向量0≠x .注1. 特征向量不是由特征值唯一确定的，但是特征值都是由特征向量唯一决定的.所以一个特征向量只能属于一个特征值，一个特征值有无穷多个特征向量.注2．对于一个n 阶矩阵A ，λ是矩阵A 的特征值，一般通过求解特征方程A E f -=λλ)(和齐次线性方程组()0E A X λ-=来得到矩阵的特征值和特征向量.定义3[1]. 矩阵的迹设矩阵()ij n n A a ⨯=，那么矩阵A 的迹就是矩阵A 的主对角线元素的之和，记作()tr A .注3.矩阵的迹就是矩阵的所有特征值之和. 定义4. 对角优势矩阵 对于矩阵()ij n n A a ⨯=，如果1nii ij j j ia a =≠≥∑，1,2,,i n =则称矩阵A 为对角优势矩阵.定义5[1].对称矩阵对于矩阵()ij n n A a ⨯=，若元素满足ji ij a a =, n j i 2,1,=或者A A T =, 则称矩阵A 为对称矩阵.定义6[2].酉矩阵对n 阶复矩阵A ，用A -表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足TTA A A A E --==,则称矩阵A 为酉矩阵.定义7.Gram 矩阵 设12,,,n v v v 是欧氏空间V 的一个向量组，定义矩阵111212122212,,,,,,,,,n n n n n n v v v v v v v v v v v v A v v v v v v <><><>⎛⎫⎪<><><> ⎪= ⎪⎪<><><>⎝⎭A 称为由向量12,,,n v v v 组成的Gram 矩阵，记做()12,,,n Gram v v v . 其中，,<⋅⋅>为欧氏空间V 中定义的内积.定义8. 可对角化如果方阵A 相似于一个对角矩阵，称方阵A 为可对角化，换句话说，即如果存在一个可逆矩阵 P 使得AP P 1-是对角矩阵，那么称矩阵A 可对角化.定义9[2]. 置换矩阵对于矩阵()ij n n P p ⨯=，如果它的每一行和每一列都只有一个元素为1，其它的元素都为零，则称矩阵P 为置换矩阵.定义10[2]. 可约矩阵 对于 矩阵()n n ij a A ⨯=，如果满足 ①1=n 时，0=A ；②2≥n ,存在n 阶置换矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-D O C B PAP 1,其中B 是k 阶方阵11-≤≤n k ,左下角是()k k n ⨯-阶的零矩阵,则称矩阵A 为可约的.否则，矩阵A为不可约.定义11[1]. 非退化矩阵对于矩阵()n n ij a A ⨯=，如果0≠A ，称矩阵A 为非退化的. 定义12[1]. 矩阵的幂对于矩阵()n n ij a A ⨯=,对任意正整数k ，kA 定义为k kA AAA=，称为矩阵A 的k 次幂.规定E A =0.定义13[4]. 阵的QR 分解实(复)非奇异矩阵A 能够化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R 的乘积，即QR A =,称为A 的QR 分解.定义14[5].Kronecker 积设()n m ij R a A ⨯∈=,()n m ij R b B ⨯∈=，A 与B 的Kronecker 积,记作B A ⊗，定义为n m nn n n n n C B a Ba B a B a Ba B a B a Ba B a B A ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗ 212222111211注4：从定义看矩阵的Kronecker 积被表示成为矩阵的分块运算，即B A ⊗是一个分块矩阵，每一个子块是数乘运算()B a ij . 矩阵的Kronecker 积也称为直积或张量积.定义15[5].Hadamard 积设()n m ij R a A ⨯∈=，()n m ij R b B ⨯∈=，其中A 与B 为同阶矩阵，A 与B 的Hadamard 积，记作A B ,定义为()n m ij ij R b a B A ⨯∈= .注5： 矩阵A 与B 的Hadamard 积即将A 与B 对应元素相乘，矩阵的Hadamard 积也称为Schur 积.注6[5]：矩阵Hadamard 积的性质：① ()()kB A B kA = ② ()C A B A C B A +=+ ③ ()()C B A C B A =④()TT T A B A B =注7：由矩阵的Kronecker 积与Hadamard 积的定义可以看出，B A 是B A ⊗的主子矩阵.二、半正定矩阵的性质(一)半正定矩阵的定义如果矩阵n n R A ⨯∈是实对称矩阵，并且对于一切n R X ∈,有0≥AX X T ，则称矩阵A 为半正定矩阵.记作0A ≥.如果0≥-B A ，记作B A ≥.(二)半正定矩阵的二次型对称矩阵A 的二次型()AX X X f T =，如果对任何非零向量X ，都有0≥AX X T 成立,则称()AX X X f T =为半正定二次型.(三)半正定矩阵的性质性质1：设A 为一个n 阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负，那么矩阵A 为半正定矩阵.证明：设A 是一个n 阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负. 设ij A 矩阵是A 的主子矩阵且i 行j 列如下，且其它对角元素等于0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ij ij ij ij a a a a那么ij A 是一个半正定矩阵，而∑=-nj i ij A A 1,也为非负对角阵，所以A 为半正定的.注8：半正定矩阵对角化之后，所有元素都大于等于0. 性质2：设A 为一个n 阶对称矩阵，下列命题等价：(a)A 是半正定矩阵;(b)A 的所有特征值为非负; (c)A 的所有的主子式非负;(d)存在一个n 阶矩阵B ，使得T BB A =; (e)存在一个n 阶下三角矩阵L ，使得T LL A =; (f)存在一个n 阶对称矩阵C ，使得2C A =;(g)存在一个k 维欧氏空间V 和向量12,,,n v v v V ∈，使得()12,,,n A Gram v v v =;(h)存在k 个向量12,,,nk b b b R ∈，使得∑==ki T i i b b A 1.证明：(a)⇒(b)设,AX X λ=0X ≠,其中λ为矩阵A 的特征值，由于矩阵A 为半正定矩阵，有0≥=X X AX X T T λ,且0T X X >,则\0T T X AX X X λ=≥, 所以矩阵A 的所有特征值非负.(a)⇒(c) 设[]a A 是A 的主子式，由于A 为半正定的，所以[]a A 也为半正定的，由(a)⇒(b)可知[]a A 的特征值为非负，因此，[]0≥a A .(c)⇒(b) 设A 的特征多项式()()()n nk n k kn n n A P x P x P xP x x 112211-++-+-+-=∆--- 其中k P 为A 的所有k k ⨯阶子矩阵的和，由于 (c)，n k P k 2,10=≥，，假设0<x ,如果n 为任意正整数，那么0>n x 并且()0≥∆x A ；如果n 唯一，那么0<n x ，并且()0≥∆x A ，这表明矩阵A 不可能有负特征值且A 为对称矩阵，所以矩阵A 特征值存在且非负.(b)⇒(f) 由于A 为对称矩阵，并且特征值非负，它正交相似与一个非负对 角矩阵D .即T UDU A =,其中U 是正交矩阵，D 是非负对角矩阵()n d d d diag D 21=,但是当T T U D U U D U A =,其中由于U 为正交矩阵，所以有T U U E =,然而),n diagd =.所以T U D U C C A ==，2.(d)⇒(e) 为了证明这个结论，首先利用下列这一点：任何矩阵C 有一个QR 因数i.e.,QR C =，其中Q 的行正交，R 是上三角矩阵.设TA BB =,TB 的QR 分解为T B QR =,有()()TTTT T B B QR R Q ===，那么T T T A R Q QR LL ==，那么就有T T Q R L =,T QR L =,然而TR L =是一个下三角矩阵.所以T LL A =.(d)⇒(g) 设T BB A =,然而B 是n n ⨯阶矩阵，设k R V =,并且设T i V 是 B 的i 行，那么()n v v v Gram A 21=(g)⇒(a)由于()12,,,n A Gram v v v =，且设n R x ∈，那么()()0x v ,211i n 1j 1,1,,1,≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====∑∑∑∑∑∑======ni ii n j j i i nj i j j i i j i nj i j i nj i j i ij Tvx v x v x v x x x v v x x a AX X 0T X AX ≥,所以矩阵A 为半正定矩阵.(b)⇒(h) 设T BB A = ,则有∑==ki T i i b b A 1，其中(1,2)i b i k = 为B 的列向量，由(e)⇒(d)，(f)⇒(d)，可知结论成立.注9:①性质2 中，证明(b)⇒(f) 中，构造的矩阵C 其实为半正定矩阵，这表明任何一个半正定矩阵A 都有唯一的半正定矩阵C 满足2C A =,那么矩阵C 为A 的平方根，记作C =②中指的是主子矩阵而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A 是半正定的.例1 判定二次型()2123221321245,,x x x x x x x x f -++=的正定性 解 (解法1) 用顺序主矩阵判别 首先，该二次型()123,,f x x x 对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100041015A求A 的各阶主子式可得，051>=D 02241152>=--=D 03==A D由于A 的各阶主子式全都大于等于零，所以该二次型()123,,f x x x 为半正定二次型。

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。

At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。

The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号*********指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言...................................................... 错误!未定义书签。

正定矩阵和半正定矩阵正定矩阵和半正定矩阵是矩阵理论中非常重要的一部分，它们经常被用于一些科学计算以及应用到数学建模中。

本文将从矩阵的定义出发，讨论正定矩阵和半正定矩阵的基本特性以及它们应用于数学建模中的重要作用。

全文共有三个部分，分别介绍矩阵的定义、正定矩阵和半正定矩阵的特性以及它们的应用。

首先，从最基本的概念开始，矩阵是一种用于表达数学模型的数据结构，由一系列有序的数字组成。

可以看到，它们有着m行n列（m ×n）的结构，即被称为m×n矩阵。

它们可以表示线性空间中的相关概念，如点、线、平面等。

在线性代数中，矩阵的几何意义很重要，它可以用来表示矢量和空间中的变换，并能把相关运算转化为矩阵乘法的关系。

接下来要讨论的是正定矩阵和半正定矩阵，首先，它们都是实矩阵。

正定矩阵是一种特殊的实矩阵，它有两个重要的性质：（1）它的行列式不等于0，（2）对于任意n×n正定矩阵A，有A=A*A，其中A*表示A的共轭转置。

由此可见，当A是一个正定矩阵时，A正定矩阵的转置也是正定矩阵。

半正定矩阵和正定矩阵有一些相似之处：（1）它们也是实矩阵，（2）它们的行列式也不等于0，（3）它们也具有自身的转置矩阵。

然而，半正定矩阵的性质未必和正定矩阵相同，它只是满足A=A*A，其中A*表示A的共轭转置，转置矩阵并不一定是正定矩阵。

最后，让我们来看看正定矩阵和半正定矩阵在数学建模中的重要作用。

正定矩阵和半正定矩阵常被用于统计回归分析，这是一种用于预测事件结果的模型，可以用来预测变量之间的关系。

正定矩阵和半正定矩阵也可以用来解决优化问题，比如最小二乘法的求解。

另外，它们还可以用来提取线性态度的代数体系，会非常有效地提升计算速度、准确率以及可解释性。

综上所述，正定矩阵和半正定矩阵是矩阵理论中重要的一部分，它们具有行列式不为零及正定矩阵的转置也是正定矩阵等重要性质，并且可以用于统计回归分析、解决优化问题以及提取线性态度的代数体系等，在数学建模中发挥着重要作用。

---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。

正定矩阵在函数极值问题中的应用函数极值问题是数学分析中的重要内容之一，它关注的是函数在其定义域内的最大值和最小值。

在实际生活和科学研究中，很多问题可以通过函数极值问题的求解来得到最优解。

正定矩阵是一个重要的工具，在函数极值问题中有着广泛的应用。

本文将从正定矩阵的定义、性质以及在函数极值问题中的应用三个方面进行阐述。

正定矩阵是一个n阶的对称矩阵，并且对于任意非零向量x，有x^TAx>0，其中^T表示向量的转置运算。

正定矩阵有许多重要的性质，其中最重要的是其特征值的性质。

正定矩阵的特征值都大于0，这使得正定矩阵具有良好的性质，在函数极值问题中具有重要的作用。

首先，正定矩阵可以用于判定函数的极值。

对于一个二次型函数f(x)=x^T Ax，其中x是一个n维向量，A是一个n阶正定矩阵。

如果A 正定，那么f(x)的极值为min或max，且极值点对应的向量是矩阵A的特征向量。

这意味着我们只需要求解正定矩阵A的特征值和特征向量，就能得到函数f(x)的极值点和极值。

其次，正定矩阵在最小二乘法中有着广泛的应用。

最小二乘法是一种常用的数学处理方法，用于求解数据拟合问题。

在最小二乘法中，我们使用一个关于参数β的线性模型y=Xβ+ε来拟合一组观察数据y，其中X 是给定的设计矩阵，ε是误差项。

最小二乘法的目标是寻找一个最佳的参数β使得误差项的平方和最小。

使用正定矩阵可以对最小二乘法进行改进，得到更精确的拟合结果。

具体来说，我们可以将最小二乘法表述为一个二次型的最小化问题。

令误差项ε为残差向量r=y-Xβ，其中β是待求的参数向量。

将残差向量r视为一个n维列向量，X视为一个n×k维矩阵，则残差的平方和可以表示为r^Tr=r^T(y-Xβ)。

(y-Xβ)是残差的向量表示形式，因此r^T(y-Xβ)就是残差的二次型表示形式。

如果我们将正定矩阵A设为X^TX，则最小化残差的平方和的问题可以转化为一个正定矩阵的二次型函数的最小化问题。

半正定矩阵的矩阵空间在数学中，半正定矩阵是一类非常重要的矩阵。

半正定矩阵在最优化理论、信号处理、自动控制、数据分析、机器学习等许多领域都有广泛应用。

本文将介绍半正定矩阵的定义、性质以及半正定矩阵的矩阵空间，希望能对读者理解半正定矩阵及其应用提供参考。

一、半正定矩阵的定义对于一个实对称矩阵$A\in R^{n\times n}$，如果对于所有的非零实向量$x\in R^n$，都有$x^TAx\geq 0$，那么矩阵$A$就被称为半正定矩阵。

特别地，如果对于所有的非零实向量$x\in R^n$，都有$x^TAx>0$，那么矩阵$A$就被称为正定矩阵。

若$x^TAx\le 0$成立，则称$A$为半负定矩阵，若$x^TAx<0$成立，则称$A$为负定矩阵。

值得注意的是，正定矩阵、负定矩阵和半正定矩阵、半负定矩阵之间是没有包含关系的。

1.半正定矩阵的特征值非负设$A$是一个实对称矩阵，$\alpha$是$A$的一个特征值，$v$是属于特征值$\alpha$的一个特征向量，即$Av=\alpha v$。

则$x^TAx=\alpha v^2\geq 0$，半正定矩阵的特征值非负。

对于一个矩阵$A=[a_{ij}]$，$x=e_i$，其中$e_i$是第$i$个元素为1，其余为0的列向量，则有$a_{ii}=e_i^TAe_i\ge 0$，半正定矩阵的主对角线元素非负。

3.任意实对称矩阵都可以分解成半正定矩阵和半负定矩阵的和对于一个实对称矩阵$A\in R^{n\times n}$，设其特征值为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，对应的特征向量为$v_1,v_2,...,v_n$。

则可将矩阵$A$分解成两个矩阵的和，即$A=B-C$，其中$B$是一个正定矩阵，$C$是一个半正定矩阵。

具体地，可取$B=\sum\limits_{i=1}^{n}\max(\lambda_i,0)v_iv_i^T$，$C=\sum\limits_{i=1}^{n}\max(-\lambda_i,0)v_iv_i^T$。

半正定矩阵的例子半正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、机器学习等。

本文将以半正定矩阵的例子为题，列举一些常见的半正定矩阵，并介绍它们的应用。

1. 对角矩阵对角矩阵是一种最简单的半正定矩阵，它的主对角线上的元素都是非负数。

对角矩阵在很多领域都有应用，如图像处理中的灰度变换、信号处理中的滤波器设计等。

2. 同阶矩阵的乘积如果两个同阶矩阵A和B都是半正定矩阵，那么它们的乘积AB也是半正定矩阵。

这个性质在机器学习中的核方法中有广泛的应用。

3. 协方差矩阵协方差矩阵是统计学中一个重要的概念，它描述了两个随机变量之间的关系。

如果两个随机变量之间的协方差是非负数，那么它们的协方差矩阵就是半正定矩阵。

协方差矩阵在机器学习中的主成分分析（PCA）中有广泛的应用。

4. 核矩阵核矩阵是机器学习中的一个重要概念，它描述了样本之间的相似度。

如果核函数是正定核函数，那么核矩阵就是半正定矩阵。

核矩阵在支持向量机（SVM）中有广泛的应用。

5. 图拉普拉斯矩阵图拉普拉斯矩阵是图论中的一个重要概念，它描述了图的拓扑结构。

如果图是无向图，那么图拉普拉斯矩阵就是半正定矩阵。

图拉普拉斯矩阵在谱聚类中有广泛的应用。

6. 希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素是分数。

希尔伯特矩阵是半正定矩阵，但它的条件数很大，所以在数值计算中很容易出现误差。

7. Toeplitz矩阵Toeplitz矩阵是一种特殊的矩阵，它的每一条对角线上的元素都相等。

如果Toeplitz矩阵的元素是非负数，那么它就是半正定矩阵。

Toeplitz矩阵在信号处理中的卷积运算中有广泛的应用。

8. Hankel矩阵Hankel矩阵是一种特殊的矩阵，它的每一条反对角线上的元素都相等。

如果Hankel矩阵的元素是非负数，那么它就是半正定矩阵。

Hankel矩阵在信号处理中的自相关函数中有广泛的应用。

9. Givens矩阵Givens矩阵是一种特殊的矩阵，它是一个旋转矩阵。

学校代码：10722 学号：1006024112分类号：O151.21 密级：公开题目：正定矩阵的判定、性质及其应用Discussion on Determinant,Positive and Application ofPositive Definite Matrix作者姓名：专业名称：学科门类：指导老师：提交论文日期： 2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。

本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。

关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWe have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1 正定矩阵的定义 (1)1.1 正定二次型的定义 (1)1.2正定矩阵的定义 (1)2正定矩阵的判定 (2)3 正定矩阵的性质 (6)4 正定矩阵的应用 (6)4.1正定矩阵在证明不等式中的应用 (6)4.2 正定矩阵在数学分析中的应用 (7)4.3正定矩阵的其他应用 (8)小结 (9)参考文献 (10)谢辞 (11)正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。

矩阵的有定性及其应用摘要：矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念, 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性，而在本文中，主要讨论阐述的是实矩阵的正定性，半正定性以及它们的实际应用.本文在介绍实矩阵的正定性，半正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性及半正定性的应用.全文分三章,第一章,矩阵的正定性及半正定性的定义．在第二章,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法,第三章，在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．关键字：矩阵实矩阵正定性半正定性应用一、二次型有定性的概念设P 是一个数域, ij a P ∈, n 个文字12,,,n x x x 的二次齐次多项式2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++222223232222n n a x a x x a x x +++++2nn n a x +11n nij iji j a x x===∑∑ (,,1,2,,)ij ji a a i j n ==称为数域P 上的一个n 元二次型, 简称二次型. 当ij a 为实数时, 称f 为实二次型. 当ij a 为复数时, 称f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =++++称f 为标准型.定义1二次型12(,,,)n f x x x =可唯一的表示成 12(,,,)n f x x x x Ax '=其中, 12(,,,)n x x x x '=, ()ij n n A a ⨯=为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称A 为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称A 的秩为二次型f 的秩. 定义2 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AXX f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法1）矩阵正定性的一些判别方法定理 1设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。

正定矩阵的性质及应用摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。

矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。

把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5） 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，， 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，， 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，， 处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件） 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，， 定理 2.（极值的充分条件） 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，， 则： （1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。

半正定矩阵主对角线元素什么是半正定矩阵在线性代数中，半正定矩阵（Semi-Positive Definite Matrix）是一种特殊的对称矩阵，它的主对角线元素非负且对应的特征值都大于等于零。

半正定矩阵在数学和工程领域有广泛的应用，尤其在最优化、信号处理和机器学习等领域中起着重要的作用。

半正定矩阵的定义设A是一个n阶方阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A * x >= 0，那么A 就是一个半正定矩阵。

其中，x^T表示x的转置，*表示矩阵的乘法。

半正定矩阵的性质1.半正定矩阵的特征值都大于等于零。

这是半正定矩阵定义的直接结果。

2.如果A是一个半正定矩阵，那么A的任意子矩阵也是半正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，x^T * A * x >= 0，那么x^T * B * x = x^T * A’ * A * x >= 0，其中B是A的任意子矩阵，A’是A的转置。

3.如果A和B都是半正定矩阵，那么A + B也是半正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，x^T * (A + B) * x = x^T * A * x + x^T * B * x >= 0。

4.如果A是一个半正定矩阵，那么A的逆矩阵也是半正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，x^T * A * x >= 0，那么x^T * A^(-1) * A * x = x^T *I * x = x^T * x >= 0，其中I是单位矩阵。

半正定矩阵的应用半正定矩阵在最优化、信号处理和机器学习等领域中有广泛的应用。

最优化在最优化问题中，半正定矩阵常常用来定义二次型。

二次型是一个关于向量x的二次多项式，可以表示为x^T * A * x，其中A是一个半正定矩阵。

通过研究二次型的性质，可以解决最优化问题，如线性规划、非线性规划和凸优化等。

信号处理在信号处理中，半正定矩阵常常用来描述信号的功率谱密度。

功率谱密度是一个非负函数，描述了信号在不同频率上的能量分布。

本科生学年论文（设计）论文（设计）题目正定矩阵的性质及应用作者分院、专业理学分院数学与应用数学专业班级指导教师（职称）字数 5488 成果完成时间正定矩阵的性质及应用摘要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨．关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用The nature and application of positive definite matricesAbstract：We are of the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion.Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application目录1引言 (1)2矩阵的概述 (1)2.1正定矩阵的等价定理 (1)2.2正定矩阵的性质 (3)3矩阵的应用 (5)3.1正定矩阵在矩阵运算中的的应用 (5)3.2正定矩阵在不等式问题中的应用 (6)3.2.1正定矩阵与一般不等式 (6)3.2.1正定矩阵与柯西不等式 (7)3.3正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 (8)4小结 (10)正定矩阵的性质及应用1引言代数学是数学学科中的一个重要分支，而正定矩阵又是其中的重中之重。

正定矩阵660题目汇总摘要：一、正定矩阵的概念及性质1.正定矩阵的定义2.正定矩阵的性质二、正定矩阵的判定方法1.实对称矩阵的性质2.二次型对应的矩阵为正定矩阵的条件3.谱聚类算法中的正定矩阵应用三、正定矩阵在实际问题中的应用1.机器学习中的正定矩阵2.信号处理中的正定矩阵3.图像处理中的正定矩阵四、正定矩阵的求解方法1.求解正定矩阵的特征值和特征向量2.求解正定矩阵的平方根五、正定矩阵的扩展概念1.半正定矩阵2.负定矩阵3.行列式为正的矩阵六、正定矩阵与其他矩阵之间的关系1.单位矩阵与正定矩阵的关系2.正规矩阵与正定矩阵的关系正文：一、正定矩阵的概念及性质1.正定矩阵的定义：一个n阶实对称矩阵A满足对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，那么这个矩阵A被称为正定矩阵。

2.正定矩阵的性质：正定矩阵具有以下几个性质：(1) 对称性：正定矩阵是实对称矩阵，即满足A = A^T。

(2) 行列式大于0：正定矩阵的行列式始终大于0。

(3) 特征值大于0：正定矩阵的各个特征值都大于0。

(4) 二次型大于0：正定矩阵对应的二次型（即Ax^2）始终大于0。

二、正定矩阵的判定方法1.实对称矩阵的性质：一个实对称矩阵A是正定的，当且仅当它的所有特征值都大于0。

2.二次型对应的矩阵为正定矩阵的条件：一个n阶矩阵A对应的二次型为正定矩阵，当且仅当A的n个特征值都大于0。

3.谱聚类算法中的正定矩阵应用：在谱聚类算法中，通过计算相似度矩阵的特征值和特征向量，可以得到正定矩阵，从而实现聚类任务。

三、正定矩阵在实际问题中的应用1.机器学习中的正定矩阵：在机器学习中，正定矩阵常用于核函数的计算，如支持向量机（SVM）中的核矩阵。

2.信号处理中的正定矩阵：在信号处理中，正定矩阵可以用于滤波器的设计，如无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。

3.图像处理中的正定矩阵：在图像处理中，正定矩阵可以用于图像的降噪和增强，如基于正定矩阵的图像滤波方法。