数字高程模型的内插方法33页PPT

X2Y2 Y22


XnYn Yn2
X1 Y1 1
X2 Y2 1
Xn
Yn
11
（4）计算每一数据点的权
pi

1 d i2
pi
(Rdi di
)2
p e
d2i k2
i
（5）法化求解 X(MTPM )1MTPZ
系数F是待定点内插高程值ZP
移动曲面拟合法注意事项
•对点的选择除满足n＞6外，应保证各个 象限都有数据点， •当地形起伏较大时，半径R不能取得很大。 •当数据点较稀或分布不均匀时，利用二 次曲面移动拟合可能产生很大的误差
利
人
所
有 用一个整体函数 拟合整个区域
逐点内插法
逐点内插方法
以每一待定点为中心，定义一 个局部函数去拟合周围的数据 点。逐点内插法十分灵活，精 度较高，计算方法简单又不需 很大的计算机内存，但计算速 度可能比其它方法慢
移动曲面拟合法
（l）建立局部坐标
对DEM每一个格网点，将坐标原点 移至该DEM格网点P（Xp，Yp）
v A ( 1 X )1 ( Y ) Z i,j X ( 1 Y ) Z i 1 ,j
(1 X ) Yi,j 1 Z X Yi 1 ,Z j 1 Z A
虚拟观测值误差方程式
X (XA Xi )/ d Y (YA Yi )/ d d Xi1 Xi Yi1 Yi
Xi Xi X p Yi Yi Y p
（2）选取邻近数据点
y
di Xi2 Yi2 R
（3）列出误差方程式
di P
x
Z A 2 x B x C 2 y y D E x F y

大范围地形比较复杂，因此一般不采样整体内插法。 分块内插能够较好的保留地物细节，并通过块间重叠保持了内插面的连续性， 是应用中较常选用的策略。其中双线性内插常用于实际工程。 实际应用中人们常通过建立剖分三角网直接进行内插。 逐点内插应用简便，但计算量大。Voronoi图的点内插方法是目前较好的逐点 内插方法。
5.3.5 多面叠加内插法（多面函数法）
基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称 单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在 Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的 通过各个数据点。
Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块 扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面 的贡献。
5.3.7 有限元法（了解）
以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体 分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。
5.4 逐点内插法
逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。 5.4.1 移动拟合法
首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定个平面，继而求出内插点的 高程值的方法。
根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：
（2）Matlab算法实现
最邻近插值
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) x
y

( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )
O
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求． 注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值．

王之卓 （1979）
地形表面用X、Y、Z坐标的数字形式的一种表达
Burrough 数字形式表示的局部地球表面的量化模型，有时也成为
(1986)
数字地形模型DTM
Weibel (1991)
局部地形表面的数字化表达
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DEM DHM
DGM DTM DTED
数字地面模型有关术语
Digital Elevation Model
数字高程模型： DEM(Digital Elevation Model)
区域地形表面海拔高度的数字化表达（狭义） 或 地理空间 中地理对象表面海拔高度的数字化表达（广义）。
传统的高程模型数字高程模型：
• 数字化： 数字计算机只识数字，一切必须数字化 • 离散化： 数字计算机容量有限，必须采样离散化 • 结构化： 借助计算机表达与处理，模型必须结构化
矢量叠加
三维表示与分析
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地形数字化表达方式
l 数学描述 l 图形表达 l 图像表达
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地形数字化表达方式
地 数学描述 全局
形
数
局部
字 化
图形方式
点
表
达
线
方
式
图像方式 直接
傅里叶级数 多项式函数 规则的分块数据 不规则的分块数据 不规则分布网络 规则分布网络 特征点（山顶、山脊、山谷） 等高线 特征线（山脊线、山谷线等） 剖面线 航空影像、遥感影像
通过对这些数据和图形的解译和发现，可获取 在地形图上没有直接表现的知识。
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地表形态表达:从模拟到数字
象形绘图法
写景表示法
数字高程模型
等高线图示法 8
DEM的概念与理解
传统的高程模型－－等高线地形图：

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3)多层曲面叠加内插
多层曲面叠加法是美国Hardy教授在1977年提出的，他认为任何一个 规则或不规则的连续曲面都可看成由若干个简单的曲面来叠加逼近。 具体实现是在每个数据点上建立一个曲面，然后在垂直方向上将各个 曲面按一定比例进行叠加，形成一张整体连续的曲面，曲面严格通过 每一个数据点。 多层曲面叠加法的核心是简单曲面的设计，也称为核函数。自该方法 提出以来，已经发展了许多种核函数的设计方法，如锥面、双曲面、 三次曲面、高斯曲面(以高斯曲线为母线的旋转曲面)、Authur法、吕 言法、Wild法等。
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逐点内插方法
是以内插点为中心，确定一个邻域范围，用落在邻域范围内
的采样点计算内插点的高程值。逐点内插本质上是局部内插， 但与局部分块内插有所不同，局部内插中的分块范围一经确 定，在整个内插过程中其大小、形状和位置是不变的，凡是 落在该块中的内插点，都用该块的内插函数进行计算，而逐
点内插法的邻域范围大小、形状、位置乃至采样点个数随内
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线性内插函数中有三个未知数，需要三个采样点才能唯一
确定，而双线性内插函数中有四个未知数，需要四个采样
点。线性内插和双线性内插函数由于物理意义明确，计算 简单，是基于TIN和基于正方形格网分布采样数据的DEM 内插和分析应用的最常用的方法。
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2)二元样条函数内插
所谓样条曲面，就是将一张具有弹性的薄板压定在各个采样点上，而其 他的地方自由弯曲。从数学上讲，就是一个分段的低次多项式，多项式 的次数一般不超过三阶。通过样条函数，可以获取在各个采样点上具有 最小曲率的拟合曲面。 二元样条函数首先对采样区域进行分块，对每一块用一个多项式进行拟 合，为保证各个分块之间的平滑过渡，按照弹性力学条件设立分块之问 的连续性条件，即公共边界上的导数连续。虽然样条函数适合于任意形 状的分块单元，但一般还是将其应用在规则格网分布的采样数据中。

由于等高线地形图的可测量性和地貌晕渲表示地形结 构所具有的三维可视化效果，使这两种方法称为20世纪以 来地形图主要的表示方法和手段。
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5
• 20世纪40年代计算机技术的出现和随后的蓬勃发展，以及 相关技术，如计算机图形学、计算机辅助制图、现代数学 理论等的完善和实用，各种数字地形的表达方式得到迅速 发展。
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18世纪，随着测绘技术的发展，高程数据和平面位置数据 的获取成为可能，对地形的表达也由写景式的定性表达逐 步过渡到以等高线为主的量化表达。用等高线进行地表形 态描述具有直观、方便、可测量等特性，是制图学史上的 一项最重要的发明。
19世纪初期，平版印刷技术的发展使得用连续色调变化和 阴影变化模拟不规则的地表形态成为可能。但直到19世纪 后期，才将地貌晕渲作为一种区域符号广泛地应用于地形 表达之中，阴影变化具有显示斜坡的能力。
• 随后Miller和LaFamme在Photogrammetric Engineering杂 志上发表题为“The digital terrain model:theory and application”的论文，首次提出了数字地面模型的概念
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DTM的概念
数字地面模型（Digital Terrain Model, DTM）
• 用来描述地形结构的地貌因子有多种，不同地貌因子从不同角 度反映地形特征，所有地貌因子（坡度、坡向、平面曲率、剖 面曲率、地形起伏度、切割深度等）的数字模型的集合形成数 字地貌模型（Degital Geomorphology Model,DGM）
• 数字高程模型是数字地貌模型的基础，从数字高程模型到数字 地貌模型是对DEM高程数据进行推导、派生和组合的过程。
– 常用的插值方法有：距离倒数加权平均，克里 金插值算法等

数字高程模型的内插方 法与数据管理
主要内容
移动曲面内插方法 多面函数内插方法 有限元内插方法 数字高程模型的精度及存储管理
/ “
数字高程模型的内插方法
DEM内插就是根据参考点上的高程
测 求出其它待定点上的高程，
绘
信
息
网
”
网
友 搜 集
整体函数内插
局部函数内插
采用了多个邻近点之加权平均水平面 移动拟合法内插：
n
piZ i
Zp
i1 n
pi
i1
多面函数法DEM内插
“任何一个圆滑的数学表面总是可以用一 系列有规则的数学表面的总和，以任意的 精度进行逼近。”也就是一个数学表面上 某点（X，Y）处高程Z的表达式为:
n
Zf(X,Y) ajq(X,Y,Xj,Yj) j1
)2
p e
d2i k2
i
（5）法化求解 X(MTPM )1MTPZ
系数F是待定点内插高程值ZP
移动曲面拟合法注意事项
•对点的选择除满足n＞6外，应保证各个 象限都有数据点， •当地形起伏较大时，半径R不能取得很大。 •当数据点较稀或分布不均匀时，利用二 次曲面移动拟合可能产生很大的误差
加权平均水平面移动拟合法
a1q(X,Y,X 1,Y 1)a2q(X,Y,X2,Y 2) anq(X,Y,Xn,Y n)
核函数
1
q(X,Y,Xj,Yj)[X (Xj)2(YYj)2]2
1
q (X ,Y ,X j,Y j) [X ( X j)2 (Y Y j)2]2
mn 可任选其中n个为核函数的
中心点Pj(Xj,Yj)
各数据点应满足
y
A
x
误差方程式 若 A点是已知高程点，作为观测值， 以格网高程Zi,j…作为待定的未知数

若备选点P之坐标为（X，Y）
p3
p2
F (X ,Y )F (X 3 ,Y 3 ) 0
重复与交叉的检测：任意一边最多只能是两个三 角形的公共边。
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数字高程模型的认识
资料来源于张超主编的《地理信息系统教程》所配光盘
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数字高程模型的认识
根据有限个离散点的高程，采用多项式或样条函数求得拟合公式， 再逐个计算各点的高程，得到拟合的DEM。可反映总的地势，但局部误 差较大。可分为： ●整体拟合：根据研究区域内所有采样点的观测值建立趋势面模型。特 点是不能反映内插区域内的局部特征。 ●局部拟合：利用邻近的数据点估计未知点的值，能反映局部特征。
剖面图不一定必须沿直线绘制，
也可沿一条曲线绘制。
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数字高程模型的认识
通视分析是指以某一点为观察点，研究某一区域 通视情况的地形分析。
●方法：
a、以O为观察点，对格网DEM或三角网DEM上的每个点 判断通视与否，通视赋值为1，不通视赋值为0。由此 可形成属性值为0和1的格网或三角网。对此以0.5为 值追踪等值线，即得到以O为观察点的通视图。
Attribute RDB
DOM
DEM
DLG
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数字高程模型的认识
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数字高程模型的认识
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数字高程模型的认识
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数字高程模型的认识
（交通部公路勘测设计院）
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数字高程模型的认识
立体计算线路挖土、石方量
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数字高程模型的认识
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数字高程模型的认识
Z11
tan X
Z10 Z11 Z00 Z01
●生成方法：由不规则点、矩形格网或等高线转换 而得到。

移动平均内插法
总结词
移动平均内插法是一种简单而常用的内插方法，通过在局部区域内计算平均值来估计未 知点高程。
详细描述
移动平均内插法首先在局部区域内选择若干个已知点，然后计算这些点的平均高程值， 最后将该平均值应用于估计局部区域内的未知点高程。该方法简单易行，但在地形变化
较大的区域可能会产生较大的误差。
04
数字高程模型的应用
地形分析
地形起伏分析
通过数字高程模型，可以获取地 形起伏的详细信息，包括山峰、 山谷、鞍部等地形特征。
坡度与坡向分析
利用数字高程模型，可以计Байду номын сангаас出 地面的坡度大小和坡向，用于评 估地形对水流、土壤侵蚀等方面 的影响。
水文分析
水流模拟
数字高程模型可以用于模拟地表水流 ，预测洪水淹没范围、泥石流等自然 灾害的影响区域。
03
数据处理与质量控制
数据预处理
数据清洗
去除异常值、缺失值和冗 余数据，确保数据准确性。
坐标转换
将数据从一种坐标系转换 到另一种坐标系，以便于 分析和建模。
数据分类与编码
将数据按照一定的规则进 行分类和编码，便于后续 处理和计算。
数据后处理
插值处理
对离散的数据点进行插值，生成连续的数字高程模型表面。
数字高程模型的内插方 法与数据
目录 CONTENT
• 数字高程模型简介 • 内插方法介绍 • 数据处理与质量控制 • 数字高程模型的应用 • 数字高程模型的发展趋势与展望
01
数字高程模型简介
数字高程模型的概念
数字高程模型（Digital Elevation Model，简称DEM）是一种 表示地球表面地形起伏的数字模型，通过离散的地形数据点对 连续的地形进行逼近。

5、最小二乘配置法

最小二乘配置的前提，是处理对象属于平稳随机过程， 但地表起伏复杂，各种地貌形态未必都符合平稳随机 过程的统计规律，趋势面起算高程未必仅和距离有关， 所以前提条件不符合，难以保证内插质量；

趋势面和协方差函数的参数确定，需要较长的迭代过 程，当收敛速度较慢时，计算量较大。
四、逐点内插法
5、最小二乘配置法

最小二乘配置法广泛用于测量学科。 在测量中，测量值包含三部分：

与某些参数有关的值，即趋势面； 趋势面不能表达的值，即系统的信号部分； 观测值的偶然误差，即随机噪声。

最小二乘配置法

E(信号)+E(随机噪声)=0，且COV(信号，随机噪声)=0 使用最小二乘法求解趋势面参数。
4、样条函数内插法



该方法是将某一欲插值的区域分成若干块，对每一分 块定义出一个不同的多项式曲面； 为了保证各分块曲面之间的光滑性，必须保证所确定 的ｎ次多项式曲面与相邻分块的边界上所有(n-1)次的 导数都连续；这时的ｎ次多项式就称为样条函数； 这种方法属于曲面拟合范畴，对于规则网格数据，由 该法可对每个点的高程重新插值；

因此，可以利用权来反映这种影响性质，权函数常使用距 离来度量：
2、加权平均法


在移动拟合法中，往往要计算复杂的误差方程组，故 在实际应用中经常使用经过简化的加权平均法。 在解算待定点p的高程时，使用加权平均值代替误差方 程：
2、加权平均法

移动拟合法选点的一个缺陷：以距离为基础进行选点和定 义权重，难以很好地描述空间相邻性；

分块内插的分块范围一经确定，其形状大小和位置都保持 不变，凡落在分块上的待插点都用该分块上的唯一数学模 型面进行内插； 而逐点内插是以待插点为中心，定义一个局部函数来拟合 周围的数据点，其范围随待插点位置变化而变化，故又称 为移动曲面法。

《摄影测量学》第六章
第三节 数字高程模型的内插方法
主要内容
移动曲面内插方法 多面函数内插方法 有限元内插方法
一 移动曲面拟合法
根据参考点上的高程求出其它待定点 上的高程,
整体函 数内插 局部函 数内插 逐点 内插法
2. 移动曲面拟合法步骤
建立局部坐标
对DEM每一个格网点,将坐标原点 移至该DEM格网点P(Xp,Yp)
Z = f ( X ,Y ) = ∑a j q( X ,Y , X j,Yj )
j =1 n
= a1q( X ,Y , X1,Y1) + a2q( X ,Y , X 2 ,Y2 ) + L+ anq( X ,Y , X n ,Yn )
1.核函数
q( X , Y , X j , Y j ) = [( X X j ) 2 + (Y Y j ) ]
X
i
= X
i
X
p
p
Yi = Yi Y
选取邻近数据点
y
di =
X i2 + Y i 2 < R
P
Hale Waihona Puke dix列出误差方程式
Z = Ax + Bxy+ Cy + Dx + Ey + F
2 2
误差方程式
vi = X A + X iYi B + Yi C + X i D + Yi E + F
2 i 2
由n个数据点列出的误差方程为
2 2
1 2 2
q( X , Y , X j , Y j ) = [( X X j ) + (Y Y j ) + δ ]