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高二数学圆的方程 知识精讲 人教版

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1 / 9 高二数学圆的方程 知识精讲 人教版

一. 本周教学内容：

圆的方程

［教学目标］

掌握圆的标准方程、一般方程和参数方程。会根据具体条件写出圆的相应的方程，给出圆的方程能求出圆心和半径；会由圆的方程和直线方程讨论圆与直线的位置关系；会用几何、代数等方法判断直线与圆相交、相切、相离，会求圆的切线方程。

二. 重点、难点：

1. 重点：

圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和运用。

2. 难点：

直线和圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究与应用。

3. 能力训练：

进一步培养学生用坐标法研究几何法的能力，同时利用几何知识简化解析法中的运算能力；培养学生运用设参数、消参数解决问题的能力。

三. 教学过程：

（一）知识提要：

10222.()圆的标准方程：xaybrr

20222.()圆的一般方程：xyDxEyF

（）当时，方程表示圆，圆心，，半径：14022222DEFDE()

rDEF12422

（）当时，方程表示一个点，。24022222DEFDE()

（）当时，方程不表示任何图形。340222DEF()

30.cossin圆的参数方程：（为参数，）xarybrr

【典型例题】

例1. 求经过点A（3，2），圆心在直线y＝2x上且和直线y＝2x＋5相切的圆的方程。

解析：∵已知条件与圆心、半径有关 word

2 / 9 ∴应设圆的方程为标准形式，求出（a，b）和r

设：所求圆的方程为xaybr222

依题意：322255222abrbarab

解得：或abrabr4585524522

∴所求圆的方程为：

xyxy458552452222或

例2. 求过点P（2，3）且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程。

P(2,3)yx12

探求：此题要注意数形结合，利用相切关系求出直线的斜率。

解：设所求直线方程为ykx32

kxyk320

kxykxy320422与相切

圆心（，）到切线的距离等于003202kxyk

即：23215122kkk

yx35122 word

3 / 9 512260xy

又∵点P（2，3）在圆x2＋y2＝4外

∴此圆的切线应有两条，即另一条为x＝2

∴所求圆的切线方程为：5x－12y＋26＝0或x＝2

例3. 方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，某某数k的取值X围。

探求：把方程配成标准式：xkykk222234

kkkk2340410，即：

kk14或

例4. 两圆x2＋y2＝4与x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为（D）

AxyBxy..020

CxyDxy..2020

探求：把两圆化为标准形式：结合图形及题意

xyxy22224224，

两圆关于l对称，即两圆的圆心关于l对称

又∵OC的中点A（-1，1）在l上，并且l⊥OC

又，kkOCl11

yxC(-2,2)l(0,0)

例5. 把下列参数方程化为普通方程：

（）（为参数）11232xycossin word

4 / 9 （）（为参数，，）2212100xattybtttab

解：（）（为参数）1121322xycossin

xy121322cossin

121342222得：xy

（）（为参数，且，）2212100xattybtttab

解：xattybtt12111212

11421322222：xatt

21421422222：ybtt

3412222：，即为所求普通方程。xayb

例6. 已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为A（12，0），当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹。

PM(x,y)A(12,0)xy

探求：求动点的轨迹应从求轨迹的方程入手。 word

5 / 9 解法一：设动点M（x，y）

又圆的参数方程为（为参数）xyxy221644cossin

P44cossin，

xy412226422coscossinsin（为参数）

消去：xy6422

所求轨迹方程为：Mxy6422

∴动点M的轨迹是圆心为（6，0），半径为2的圆

解法二：设M（x，y），P（x1，y1）

xxyyxyxxyyxy1112121112121220216212122163

12321221622、代入：xy

所求轨迹方程为：xy6422

∴动点M的轨迹是圆心为（6，0），半径为2的圆

例7. 求函数的最大值与最小值。f()sincos12

探求：可以看成两点，，，连线的斜率，fPA()sincoscossin1221

而A为定点，P是圆x2＋y2＝1上的动点。因此，求函数f（θ）的最值问题就转化为求直线PA的斜率的最值问题了。 word

6 / 9 xyP1A(2,1)P2O

解：fPAP()cossin可以看成点，，，两点连线的斜率，且点在21

xyAAPAPAPAP2212121上动。过点作圆的两条切线、，则的斜率是最小的，的斜率为最大的。

设的斜率为，则的方程为：，，与圆相切。APkAPykxkxykAPxy22222122101

∴圆心到切线的距离等于半径1

dkkkk21114302或

其中k＝0是AP1的斜率

APk243的斜率为

ff()()maxmin430，

例8. 曲线的参数方程为（为参数），求的取值范围。Cxyyx2cossin

探求：把圆化为普通方程：Cxy2122

设：，即yxkykx

问题转化为求k的X围。 word

7 / 9 xyOACB

解：xy2cossin（为参数）

xy2122

设，则yxkykx

过O作OA切⊙C于A，OB切⊙C于B

kkOAOB3333，

3333k

【模拟试题】

1. 点M在圆xy53922上，则点M到直线3420xy的最短距离为（）

A. 9 B. 8 C. 5 D. 2

2. 点A（3，5）是圆xyxy2248800的一弦的中点，则这条弦所在直线的方程是________________________。

3. 已知圆xyxym2260和直线xy230相交于P、Q两点，若OP⊥OQ（O为原点），求m值。

4. 点P（x，y）是圆xy2212上的动点，求xy的最大值。

[参考答案]

1. D

提示：过C作CD⊥3420xy于D，交圆C于A word

8 / 9 则ADCDr为所求

AD532

∴选D

AD53yC(5,3)rx3x+4y-2=0

2. xy80

提示：连A（3，5）与圆心C（2，4），则AC⊥弦

kAC54321

∴弦所在直线斜率为k1

yx513，即：xy80

3.略解：设PxyQxy1122，，，

xyxymxy2260230

消去x得：5201202yym

yyyymOPOQxxyyyyyyyyyymm1212121212121212412503232056901224903，，

4. 提示：设xyb，则yxb

求xy的最大值就转化为求直线yxb的在y轴上的最大截距。

数形结合可知：当yxb与圆xy2212相切时，b最大或是最小。 word

9 / 9 yxbxy2212，消去y得：2212022xbxb

4812022bb

b26

bxy大2626max

xyb2 3

合集下载

241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

2.4.1圆的标准方程

（基础知识+基本题型）

知识点一

确定圆的几何要素

确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.

从集合的角度理解圆

（1）圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.

（2）确定一个圆的条件

在平面直角坐标系中，圆心为(,)Aab，半径长为(0)rr的圆上的点M的集合就是集合{|||}PMMAr.

知识点二 圆的标准方程

1．圆的标准方程的推导

如图所示，设圆上任意一点(,)Mxy，圆心A的坐标为(,)ab，

由||MAr，根据两点间的距离公式，得22()()xaybr，

等式两边平方得222()()xaybr.①

若点(,)Mxy在圆上，易知点M的坐标满足方程①；

反之，若点(,)Mxy的坐标适合方程①，则点M在圆上，我们把方程222()()xaybr称为圆心为(,)Aab，半径长为(0)rr的圆的标准方程.

确定圆的标准方程的条件

（1）圆的标准方程中有三个参数a，b，r，其中实数对(,)ab是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r表示圆的半径，能确定圆的大小.

（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.

2．几种常见的特殊位置的圆的方程 条件 方程形式

单位圆（圆心在原点，半径长为1） 221xy

过原点（圆心(,)ab，半径长22rab） 2222()()xaybab

圆心在原点（即0a，0b，半径长为r，0r） 222xyr

圆心在x轴上（即0b，半径长为r，0r） 222()xayr

圆心在y轴上（即0a，半径长为r，0r） 222()xybr

圆心在x轴上且过原点

（即0b，半径长||ra） 222()xaya

圆心在y轴上且过原点

圆的方程(7类必考点)-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

圆的方程(7类必考点)-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

专题2.4 圆的方程

【考点1：圆的一般方程】 ....................................................................................................................................... 1

【考点2：圆的标准方程】 ....................................................................................................................................... 5

【考点3：二元二次方程表示圆的条件】 ............................................................................................................... 7

【考点4：点与圆的位置关系】 ............................................................................................................................... 9

【考点5：关于点、直线对称的圆的方程】.......................................................................................................... 11

【考点6：与圆有关的轨迹问题】 ......................................................................................................................... 13

圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)

圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)

1 直线系与圆系方程

1 直线系方程

(1) 过点(𝑥0 ,𝑦0)的直线系方程为𝐴(𝑥−𝑥0)+𝐵(𝑦−𝑦0)=0(其中𝐴 ,𝐵不全为零)

(2) 平行于直线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0的直线系方程𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶0=0(𝐶≠𝐶0)；

(3) 垂直于直线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0的直线系方程𝐵𝑥−𝐴𝑦+𝐶0=0；

(4) 过两条已知直线𝑙1:𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0和𝑙2:𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0交点的直线系方程

𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1+𝜆(𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2)=0

(𝜆∈𝑅 , 这个直线系下不包括直线𝑙2:𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0，解题时注意检验𝑙2是否满足题意)

【例】写出与直线𝑥−2𝑦+1=0平行、垂直的直线系方程.

解 与直线𝑥−2𝑦+1=0平行的直线系方程分别为𝑥−2𝑦+m=0，

与直线𝑥−2𝑦+1=0垂直的直线系方程分别为2𝑥+𝑦+m=0.

2 圆系方程

(1) 以(𝑎 ,𝑏)为圆心的同心圆圆系方程：(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝜆(𝜆>0)；

(2) 与圆𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0同心圆的圆系方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝜆=0；

(3) 过直线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0与圆𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0交点的圆系方程为

𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹+𝜆(𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶)=0(𝜆∈𝑅)；

(4) 过两圆𝐶1：𝑥2+𝑦2+𝐷1𝑥+𝐸1𝑦+𝐹1=0，𝐶2：𝑥2+𝑦2+𝐷2𝑥+𝐸2𝑦+𝐹2=0交点的圆系方程为𝑥2+𝑦2+𝐷1𝑥+𝐸1𝑦+𝐹1+𝜆(𝑥2+𝑦2+𝐷2𝑥+𝐸2𝑦+𝐹2)=0

(𝜆≠−1 , 此圆系不含𝐶2：𝑥2+𝑦2+𝐷2𝑥+𝐸2𝑦+𝐹2=0)

高二数学圆的方程知识点

高二数学圆的方程知识点

高二数学圆的方程知识点

圆是几何中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。在高二数学中，我们需要掌握圆的方程及相关的知识点。本文将介绍高二数学圆的方程知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、圆的基本概念

圆是由平面上距离一个固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形。圆由圆心和半径唯一确定。

二、圆的一般方程

圆的一般方程形式为：

(x-a)² + (y-b)² = r²

其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

三、圆的标准方程

圆的标准方程形式为：

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 其中，D、E、F为常数，表示圆心及半径的信息。

四、圆的参数方程

圆的参数方程形式为：

x = a + r*cosθ

y = b + r*sinθ

其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度，θ为参数。

五、圆的切线方程

圆的切线方程与切点的坐标有关，一般可以通过求导数来得到。切线方程的一般形式为：

y - y₀ = k(x - x₀)

其中，(x₀, y₀)为切点的坐标，k为切线的斜率。

六、圆与直线的位置关系

1. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。

2. 直线与圆外切：直线与圆相切，且切点位于圆的外部。

3. 直线与圆内切：直线与圆相切，且切点位于圆的内部。 4. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。

七、圆与圆的位置关系

1. 外离：两个圆没有交点，且它们的圆心间的距离大于两个圆的半径之和。

2. 外切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之和。

3. 相交：两个圆有两个交点，且它们的圆心间的距离小于两个圆的半径之和。

4. 内切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之差。

5. 内含：一个圆完全包含在另一个圆的内部。

八、圆的相关性质

1. 直径垂直于弦：如果一条弦的两个端点都在圆的直径上，那么这条弦垂直于直径。

2. 弦的性质：如果两条弦相交于圆上的一个点，那么这两条弦的交点到各自弦上任意一点的线段长度相等。