课时作业
A组——基础对点练
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0
答案：A
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．
∴g(－x)＝－g(x)．
答案：D
4．(2018·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，„，则第70个“整数对”为( )
A．(3,9) B．(4,8) C．(3,10) D．(4,9)
解析：因为1＋2＋„＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.
答案：D
5．(2018·山西质量监测)对累乘运算∏有如下定义：k＝1nak＝a1×a2ׄ×an，则下列命题中的真命题是( )
剖析演绎推理证明的几种常见错误
1. 偷换论题
例1求证四边形的内角和等于0360。
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有
0000036090909090DCBA，
所以，四边形的内角和等于0360。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。
2. 虚假论据
例2已知2和3是无理数，试证32也是无理数。
证明：依题设2和3是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数，
所以32也是无理数。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。
3. 循环论证
例3在ABCRt中，090C求证：222cba。
证明：因为AcbAcacos,sin，
AcAcba222222cossin
=2222)cos(sincAAc。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“1cossin22AA”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。
4. 不能推出
例4设81tan51tan21tan20，，），且，（、、。
求证：4。
证明：因为tantantantantantan1tantantantantantan)tan(
=18151815151211815121815121，
4。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为1)tan(只能推出)(,4Znn。至于关系式4是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出4,,0，即430，原题才能得证。
Ｅ三 孱 六大主干知识 为了让您理清数列、推理与证明的复习要点，理顺数列中的一对姐妹花（等差数列与等比数 列），成功穿越数列的应用，理透推理与证明的横向联系和纵向延伸，整合知识，提炼破解技巧，现 走进经典例题，通过跟踪练习，让您复习数列、推理与证明ｓ ０ ｅａ ｓｙ，轻松突破数列、推理与证明的 思维瓶颈． 数列 推理与证明 。。 逢葙活凄 ‘ …荡 ・
【毒情分析】 等差数列与等比数列是新课 标高考的必考热点之一，一般的考 查方式是一道客观题、一道解答题， 试题难度多为中偏低档或中档，总分 值约为１ １８分． 【曩 羽蘸点】 （１）等差数列、等比数列的通项 公式与前ｎ项和公式；（２）数列的前ｎ 项和Ｓ 与第ｎ项％的关系式；（３）与数 列有关的最值问题． Ｉ 离技巧 】 （１）活用公式一熟练掌握等差 （比）数列的定义、通项公式与前ｎ项 和公式及其有关性质． ①方程法，即将 与ｓ 统一表示 为ａ 和ｄ（或ｑ）的方程（组），以求其基 本量（五个基本量中，通常先求出ａ 和ｄ（或口），然后求其他的基本量）： 对于等差数列｛ａｎ｝， ＝０１＋（ｎ一１）・ １ ８ ｄ，５ ｄ＝ｎａｌ－＋． ； 对于等比数列｛ａｎ｝，ａｎ＝ａ ｑ ， ： 』ｎａｌ，ｑ＝ｌ， １ 二 ，口≠ｔ． 【 １一ｇ ②性质法，即运用等差（比）数 列的相关性质解题，常可整体代换， 回避单个求值．较为常用的如：。，ｂ， Ｃ成等差§２６＝ａａｒｃ；ａ，ｂ，Ｃ成等比ｊ ｂ２＝ａｃ；若ｍ＋ｎ 十ｑ ｊ‰＋％＝ ＋％（或 ： ）（ｎ，ｍ，Ｐ，ｑ∈Ｎ ）；有关和的 性质，Ｓ ，３２２－Ｓｋ，￥３￣－Ｓ ，…仍成等差 （比）数列等．需要指出的是，等差、 等比数列的性质具有对称性，因此 可用类比的思想理解和记忆． （２）分类讨论一熟练掌握数列的 前ｎ项和 与第ｎ项％的关系，由 Ｓ 求解％时，要注意ｎ＝ｌ的检验，这是 通项公式能否合写的关键： （３）提炼方法一叠加法、迭乘法、 倒序相加求和法、错位相减求和法、 裂项相消求和法、分组求和法． （４）寻找规律一求解数列中项的 最值或前ｎ项和的最值时，应注意 结合数列通项公式的特征灵活处 理。在做题过程中要认真研究．总结 相应的规律． 【经爨｝例艇】 ｏ例１ 已知等差数列｛ａｎ｝满足： ７，ａ￣＋ａＴ＝２６，｛％｝的前ｎ项和为Ｓ ． （１）求ａ ５ 的最小值； （２）令６ ＝÷．（ｎ∈Ｎ ），求数列 ｂ ｝的前ｎ项和 ． 破解思路 第（１）问利用等差 数列的通项公式和前／ｚ项和公式列 方程求解ａ 和ｄ，写出通项再求ａ６，对 于前ｎ项和的最值则可转化为二次 函数最值问题处理；第（２）问中通项 ６ 为分式形式，可通过裂项法来求和． 答案详解 （１）设等差数列｛ ｝ 的公差为ｄ，因为％＝７，ａｓ＋ａ￣＝２６，所以 ／ａ￣＋２ｄ＝７，解得ａ１＝３，ｄ：２，则％： Ｉ ２ａ ＋１０ｄ＝２６． ２ｎ＋１．所￣Ｘａ６＝１３． ５ ＝ ＝ｎ２＋２ｎ：（ｎ＋１）
一、推理与证明
1、增加缘由
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，贯穿于整个数学课程，对于它的系统学习是新课程的一个变化，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。目的是希望能对以前所学知识与方法作一个总结、归纳，并对后继学习起到促进的作用；希望通过此内容的学习，使学生进一步学会数学的学习和思考方式，为步入社会起到促进学生发展的作用.
2、内容与要求
（1）合情推理与演绎推理：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的涵义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。结合已学过的教学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用他们进行一些简单推理。
（2）直接证明与间接证明：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。结合已学过的教学实例了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学归纳
了解数学归纳的原理，能用数学归纳证明一些简单的数学命题。
3、定位
在解决问题过程中，合情推理具有猜想和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 ( 包括定义、定理、公理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明能力是高中数学课程的重要目标。两者紧密联系、相辅相成，他们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。
（1）推理与证明是数学的基本思维过程，是学数学、做数学的一种基本功，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是发展理性思维的重要方面．
（2）合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．两者紧密联系、相辅相成，对它们的系统学习有利于培养和发展学生的逻辑思维能力和创新思维能力，发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用，体会证明的功能和特点，以及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯．
