推理证明与证明方法

课时作业

A组——基础对点练

1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．

答案：A

2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是( )

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误

解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0

答案：A

3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )

A．f(x) B．－f(x)

C．g(x) D．－g(x)

解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．

∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．

∴g(－x)＝－g(x)．

答案：D

4．(2018·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，„，则第70个“整数对”为( )

A．(3,9) B．(4,8) C．(3,10) D．(4,9)

解析：因为1＋2＋„＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.

答案：D

5．(2018·山西质量监测)对累乘运算∏有如下定义：k＝1nak＝a1×a2ׄ×an，则下列命题中的真命题是( )

数学推理与证明中的逆否命题和反证法总结

数学中的逆否命题和反证法是常用的推理和证明方法。它们在逻辑上是等价的，可以帮助我们得到结论或证伪一个陈述。

逆否命题

逆否命题是指将一个条件陈述的逆否形式作为新的命题。例如，对于条件陈述 "如果P，则Q"，其逆否命题为 "如果非Q，则非P"。逆否命题与原命题是等价的，即当原命题成立时，逆否命题也一定成立。

逆否命题在数学推理中的应用十分广泛。通过证明逆否命题为真，我们可以得到原命题的正确性。这是因为逆否命题与原命题是等价的，如果逆否命题成立，那么原命题也一定成立。

反证法

反证法是一种常用的证明方法，通过假设目标结论为假，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明目标结论为真。

反证法的基本思路是通过反设目标结论的否定形式，然后通过推理和推导，逐步得出与已知事实相矛盾的结论。这样一来，我们就可以推断出目标结论的正确性。

反证法常用于证明一些不存在的情况或者证伪某些命题。它是一种精巧而有效的证明方法，可以简化繁琐的证明过程。

总的来说，逆否命题和反证法是数学推理中常用的方法。它们可以帮助我们得出结论或证伪一个命题。在使用这些方法时，我们应该充分理解其原理和适用条件，并进行合理的推理和推导。

以上是关于数学推理与证明中逆否命题和反证法的总结。

总结平面几何的证明与推理

在数学领域中，平面几何涉及到形状、大小、相对位置和性质等方面的研究，其证明与推理是解决几何问题的关键。本文将总结平面几何中常见的证明方法和推理过程，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、基本概念与公理

在开始讨论平面几何的证明与推理之前，有必要先了解一些基本概念和公理。平面几何的基本概念包括点、线、角、图形等，这些概念是我们建立几何结构的基础。而公理是几何推理的起点，它们是不需要证明的前提条件，通常以公理系统的形式呈现。

二、证明方法

1. 直接证明法

直接证明法是最常见的证明方法之一，也是最直观的方法。其基本思路是从已知条件出发，通过一系列逻辑推理论证出要证明的结论。这种证明方法通常分为几个步骤，每个步骤都要给出明确的推理依据。

举例来说，如果我们要证明“一个等腰三角形的两底角相等”，可以先列出等腰三角形的定义和性质，然后通过对角线的作图等方法，推导出两底角相等的结论。

2. 反证法 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，再通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。反证法常用于证明“如果 p，则 q”这样的命题，假设 q 不成立，利用这个假设推导出 p 不成立，从而证明 p 成立。

例如，我们要证明“根号2是一个无理数”。首先假设根号2是有理数，即可以写成两个整数的比值。然后通过对这个有理数进行化简，推导出矛盾的结论，即根号2不是有理数，从而证明根号2是一个无理数。

3. 数学归纳法

数学归纳法是一种用来证明自然数性质的方法，也可用于证明平面几何中的一些性质。其基本思想是先证明当 n=1 时命题成立，然后假设当 n=k 时命题成立，再证明当 n=k+1 时命题也成立。通过这样的步骤推导，可以得出结论：对于所有的自然数 n，命题都成立。

举例来说，我们要证明“所有的正整数的平方和等于

n(n+1)(2n+1)/6”。首先验证当 n=1 时命题成立，然后假设当 n=k 时命题成立。接下来，通过对 n=k+1 的情况进行推导和化简，证明当 n=k+1

代数式的恒等式与方程的证明与推理

一、恒等式的定义与性质

在代数学中，恒等式是一种数学表达式，其中的两边总是相等的。恒等式可以由代数运算得出，并且对于任意满足其中所涉及的条件的变量或数值，都成立。

恒等式的性质如下：

1. 反身性：对于任意的数值或变量，恒等式与自身相等。

2. 对称性：恒等式的两边可以互换位置而保持相等。

3. 传递性：如果恒等式A等于恒等式B，而恒等式B又等于恒等式C，那么恒等式A也等于恒等式C。

二、恒等式的证明方法

1. 直接证明法：通过直接计算，将恒等式的左边转化为右边，或将右边转化为左边，以证明两边相等。

举例来说，对于恒等式(a + b)² = a² + 2ab + b²，我们可以通过展开左边并进行求和运算，证明它与右边相等。

2. 分类讨论法：将恒等式中的变量或数值分成不同情况进行讨论，证明恒等式在每种情况下都成立。

举例来说，对于恒等式|a| = a 或 |a| = -a，我们可以分别讨论a为正数、负数和0的情况，证明恒等式在每种情况下都成立。 3. 数学归纳法：适用于需要证明一个恒等式对于所有自然数或整数都成立的情况。

举例来说，对于恒等式1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n + 1)(2n + 1))/6，我们可以使用数学归纳法证明。

三、方程的定义与求解方法

方程是恒等式的一种特殊形式，其中至少包含一个未知数，并且需要找到满足方程的未知数的值。

方程的求解方法如下：

1. 引入一个变量：将方程中的未知数引入一个临时变量，通过运算将方程转化为一个恒等式，从而求解出未知数。

2. 因式分解法：对于含有多项式的方程，可以使用因式分解法来将方程转化为多个恒等式的乘积，再求解每个恒等式中的未知数。

3. 方程求根法：利用方程的特点，例如一元二次方程的求根公式，解析求解出未知数。

四、方程的证明与推理方法

1. 逆向推理法：从一个已知的等式或不等式出发，通过逆向推导，得到要证明的方程。