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27.2.2 相似三角形的性质
1．理解相似三角形的性质；(重点)
2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一： 相似三角形的性质
【类型一】
利用相似比求三角形的周长和面积
如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．
(1)求△BEF与△AFD的周长之比；
(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.
解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．
解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝12BC，∴BEAD＝BFDF＝EFAF＝12，∴△BEF与△AFD的周长之比为BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF＝12；
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S△BEFS△AFD＝(12)2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.
方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4、6题
【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比
若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )
A．1∶2 B.2∶2 XX学校--用心用情 服务教育！
用心用情 服务教育 2 C．1∶4 D.2∶1
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.
27．2．1相似三角形的判定（第二课时）
〔教学目标〕
1． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：
1． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？
F E D A
B C
分析：观察27·2-1易知AD=12AB，AE=12AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
∆ADE∽∆ABC，相似比为12。
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
↓
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
相似三角形
1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( )
A．15m B．60m C．20m D．m310
2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( )
A．m711 B．m710 C．m79 D．m23
3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )
第3题图
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )
第4题图
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m
5．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )
A．9∶4 B．4∶9 C．3∶2 D．81∶16
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为( )
A．18 B．27 C．36 D．45
7．如图所示，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若2AB，则此三角形移动的距离AA'是( )
27.2.2 相似三角形的性质
1．理解相似三角形的性质；(重点)
2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一： 相似三角形的性质
【类型一】
利用相似比求三角形的周长和面积
如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．
(1)求△BEF与△AFD的周长之比；
(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.
解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．
解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝12BC，∴BEAD＝BFDF＝EFAF＝12，∴△BEF与△AFD的周长之比为BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF＝12；
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S△BEFS△AFD＝(12)2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.
方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4、6题
【类型二】
利用相似三角形的周长或面积比求相似比
若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )
A．1∶2 B.2∶2 C．1∶4 D.2∶1
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.
方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算
