七年级下册数学难题
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七年级下册数学难题
一、相交线与平行线类
1. 如图，已知直线AB∥CD，∠1 = 30°，∠2 = 90°，则∠3等于多少度？
解析：
因为AB∥CD，所以∠1 = ∠4（两直线平行，同位角相等），已知∠1 =
30°，所以∠4 = 30°。
又因为∠2 = 90°，在三角形中，∠3+∠4+∠2 = 180°（三角形内角和为180°）。
把∠4 = 30°，∠2 = 90°代入可得：∠3+30°+90° = 180°。
解得∠3 = 180° 30° 90° = 60°。
2. 已知：如图，EF⊥AB，CD⊥AB，∠1 = ∠2，试说明∠AGD=∠ACB。
解析：
因为EF⊥AB，CD⊥AB，所以EF∥CD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠2 = ∠3（两直线平行，同位角相等）。
又因为∠1 = ∠2，所以∠1 = ∠3（等量代换）。
所以DG∥BC（内错角相等，两直线平行）。
所以∠AGD = ∠ACB（两直线平行，同位角相等）。
二、实数类
1. 已知a=√(5)+2，b=√(5)-2，求a^2+b^2+7的值。 解析：
先求a + b的值：a + b=√(5)+2+√(5)-2 = 2√(5)。
再求ab的值：ab=(√(5)+2)(√(5)-2)=(√(5))^2-2^2=5 4 = 1。
然后a^2+b^2=(a + b)^2-2ab=(2√(5))^2-2×1=20 2=18。
所以a^2+b^2+7=18 + 7=25。
2. 若√(1 3a)+|8b 3| = 0，求ab的值。
解析：
因为√(1 3a)≥slant0，|8b 3|≥slant0，要使√(1 3a)+|8b 3| = 0成立。
则√(1 3a)=0，解得a=(1)/(3)；|8b 3| = 0，解得b=(3)/(8)。
所以ab=(1)/(3)×(3)/(8)=(1)/(8)。
三、平面直角坐标系类
1. 已知点P(a,b)在第四象限，且| a| = 3，| b| = 5，求点P的坐标。
解析：
因为点P(a,b)在第四象限，所以a>0，b<0。
又因为| a| = 3，所以a = 3；| b| = 5，所以b=5。
所以点P的坐标为(3,-5)。
2. 在平面直角坐标系中，若点A(m,n)与点B(-2,3)关于y轴对称，则m + n的值是多少？
解析：
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。 因为点A(m,n)与点B(-2,3)关于y轴对称，所以m = 2，n = 3。
所以m + n=2 + 3=5。
四、二元一次方程组类
1. 已知方程组3x + 2y = m + 1 2x + y = m 1，求当x>y时m的取值范围。
解析：
由方程2x + y=m 1可得y=m 1 2x。
将y=m 1 2x代入3x + 2y=m + 1中，得到：
3x+2(m 1 2x)=m + 1。
展开式子得3x+2m-2 4x=m + 1。
移项合并同类项得-x=m + 1 2m + 2，即-x = 3 m，解得x=m 3。
把x=m 3代入y=m 1 2x中，得y=m 1-2(m 3)=m 1 2m + 6=-m + 5。
因为x>y，所以m 3>-m + 5。
移项得m+m>5 + 3，即2m>8，解得m>4。
2. 若关于x，y的方程组ax + by = 9 3x cy=-2的解是x = 2 y = 4，小聪在解这个方程组时，看错了c的值，得到的解为x = 4 y=-1，求a，b，c的值。
解析：
把x = 2 y = 4代入方程组ax+by = 9 3x cy=-2中，得到2a + 4b=9 6-4c=-2。
由6 4c=-2，解得c = 2。
把x = 4 y=-1代入ax+by = 9中，得到4a-b = 9。
联立方程2a + 4b=9 4a b = 9，将4a b = 9变形为b = 4a 9。 把b = 4a 9代入2a + 4b=9中，得2a+4(4a 9)=9。
展开式子得2a+16a-36 = 9。
移项合并同类项得18a=45，解得a=(5)/(2)。
把a=(5)/(2)代入b = 4a 9中，得b = 4×(5)/(2)-9=1。
综上，a=(5)/(2)，b = 1，c = 2。
五、不等式与不等式组类
1. 解不等式组2(x + 1)>5x 7 (x + 10)/(3)>2x
解析：
解不等式2(x + 1)>5x 7：
展开括号得2x+2>5x 7。
移项得2x 5x>-7 2。
合并同类项得-3x>-9，解得x < 3。
解不等式(x + 10)/(3)>2x：
两边同时乘以3得x + 10>6x。
移项得x-6x>-10。
合并同类项得-5x>-10，解得x < 2。
综合两个不等式的解，取交集，不等式组的解集为x < 2。
2. 已知关于x的不等式(2a b)x+a 5b>0的解集是x <(10)/(7)，求关于x的不等式ax > b的解集。
解析： 因为(2a b)x+a 5b>0的解集是x <(10)/(7)，所以2a b<0。
解不等式(2a b)x+a 5b>0得x<(5b a)/(2a b)，所以(5b a)/(2a b)=(10)/(7)。
交叉相乘得7(5b a)=10(2a b)。
展开式子得35b-7a = 20a 10b。
移项得35b + 10b=20a+7a，即45b = 27a，解得a=(5)/(3)b。
因为2a b<0，把a=(5)/(3)b代入得2×(5)/(3)b b<0，(10)/(3)b b<0，(7)/(3)b<0，所以b < 0。
对于不等式ax > b，把a=(5)/(3)b代入得(5)/(3)bx>b，因为b < 0，两边同时除以(5)/(3)b，不等号方向改变，解得x <(3)/(5)。
