2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修五模块检测试题及答案解析
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五
模块检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为( )．
A．91 B．152 C．218 D．279
解析 a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.
答案 B
2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos A的值是( )．
A．－14B.14C．－23 D.23
解析 由正弦定理得a∶b∶c＝4∶3∶2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则cos A＝
9k2＋4k2－16k22×3k×2k＝－14.
答案 A
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )．
A．16 B．32 C．64 D．256
解析 ∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a102(an＞0)，∴a8·a10·a12＝a103＝64.
答案 C
4．等差数列{an}满足a42＋a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为( )．
A．－9 B．－15 C．15 D．±15
解析 a42＋a72＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9.∴a4＋a7＝±3，
∴a1＋a10＝±3，∴S10＝10a1＋a102＝±15.
答案 D
5．在坐标平面上，不等式组 y≥x－1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．
A.2 B.32C.322 D．2
解析
|CD|＝1＋1＝2，
y＝x－1，y＝－3x＋1，∴xA＝12.
y＝x－1，y＝3x＋1，∴xB＝－1，
∴S△CDA＝12×2×12＝12，
S△CDB＝12×2×1＝1.
故所求区域面积为32.
答案 B
6．如果不等式2x2＋2mx＋m4x2＋6x＋3＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是( )．
A．(1,3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析 ∵4x2＋6x＋3＝2x＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3⇔2x2＋
(6－2m)x＋(3－m)＞0，x∈R恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m＜3.
答案 A
7．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝3，则c∶sin C等于( )．
A．3∶1 B.3∶1
C.2∶1 D．2∶1
解析 cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝2cos2B－3cos B＋1＝0，
∴cos B＝12或cos B＝1(舍)．∴B＝π3.
∴csin C＝bsin B＝332＝2.
答案 D
8．已知各项都为正数的等比数列{an}的公比不为1，则an＋an＋3与an＋1＋an＋2的大小关系是( )．
A．an＋an＋3＜an＋1＋an＋2B．an＋an＋3＝an＋1＋an＋2
C．an＋an＋3＞an＋1＋an＋2 D．不确定的，与公比有关
解析 因为an＋an＋3＝an(1＋q3)，
an＋1＋an＋2＝an(q＋q2)，
an＋an＋3－(an＋1＋an＋2)＝an(1＋q3－q－q2)＝
an(1－q)(1－q2)＝an(1－q)2(1＋q)＞0.
答案 C
9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )．
A.3 B.2C．±3D．±2
解析 等差数列记作{an}，等比数列记作{bn}，
则q2＝b8b6＝b6b4＝b8－b6b6－b4＝a16－a7a7－a4＝9d3d＝3，∴q＝±3.
答案 C
10．若实数x，y满足不等式组 x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y 的最大值为9，则实数m等于( )．
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析 如图，作出可行域，
由 x－my＋1＝0，2x－y－3＝0，得A1＋3m－1＋2m，5－1＋2m，
平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取得最大值，即1＋3m－1＋2m＋5－1＋2m＝9，解得m＝
1.
答案 C
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是________．
解析 ∵{an}成等比数列，an＞0，∴a2a4＝a32＝1.
∴a3＝1，∴a1q2＝1.①
∵S3＝a1＋a2＋1＝13，∴a1(1＋q)＋1＝13.②
由①②得，a1＝9，q＝13，an＝33－n.
∴bn＝3－n.∴S10＝－25.
答案 －25
12．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树高的高度为________．
解析 ∵∠A＝30°，∠ABP＝45°，∴∠APB＝15°，ABsin∠APB＝PAsin∠PBA，60sin 15°＝
PAsin 135°，∴PA＝60(3＋1)，PQ＝PA·sin ∠A＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．
答案 (30＋303)m
13．设，x，y满足约束条件 2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．
解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴
影部分，A(0,2)，B12，0，C(1,4)，当直线l：y＝－abx
＋z过点C时，z取最大值8，即8＝ab＋4，
∴ab＝4.又∵a＞0，b＞0，
∴a＋b≥2ab＝24＝4(a＝b＝2时取等号)．
答案
4
14．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°，若AC＝2AB，则BD＝________.
解析 如图，设AB＝k，
则AC＝2k，再设BD＝x，
则DC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理得
k2＝x2＋2－2·x·2·－22＝x2＋2＋2x，①
在△ADC中，由余弦定理得
2k2＝4x2＋2－2·2x·2·22＝4x2＋2－4x，
∴k2＝2x2＋1－2x.②
由①②得x2－4x－1＝0，
解得x＝2＋5(负值舍去)．
答案 2＋5
15．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为________．
解析 因为a＞1，b＞1，ax＝by＝3，a＋b＝23，
所以x＝loga 3，y＝logb 3.
1x＋1y＝1loga 3＋1logb 3＝log3a＋log3b＝log3ab≤
log3a＋b22＝log32322＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案 1
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
解 (1)∵{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，∴an＝19－2(n－1)＝21－2n，
Sn＝19n＋12n(n－1)×(－2)＝20n－n2.
(2)由题意得bn－an＝3n－1，即bn＝an＋3n－1，
∴bn＝3n－1－2n＋21，
∴Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－12.
17．(12分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
解 (1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.
由根与系数的关系，得 1＋b＝3a，1×b＝2a.解得 a＝1，b＝2.
所以a＝1，b＝2.
(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅，
综上，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.
18．(12分)在△ABC中，a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC的面积．
解 据题意知a－b＝2，b－c＝2，∴边长a最大，∴sin A＝32，
∴cos A＝±1－sin 2A＝±12.
∵a最大，∴cos A＝－12.又a＝b＋2，c＝b－2，
∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋b－22－b＋222bb－2＝－12，
解得b＝5，∴a＝7，c＝3，
∴S△ABC＝12bcsin A＝12×5×3×32＝1534.
19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房
