2019_2020学年高中数学模块综合检测北师大版必修4

- 1 - 模块综合检测

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝3tanx2－π4，x∈R的最小正周期为

( )

A.π2 B．π

C．2π D．4

解析：选C T＝πω＝π12＝2π.

2．已知圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为

( )

A.π3 B.2π3

C.3 D.33

解析：选A 本题考查弧度制与角度制的互化以及弧长公式的应用．因为圆心角α＝60°＝π3，圆的半径为1，根据弧长公式，可知弧长为π3×1＝π3，故选A.

3．cos－17π4－sin－17π4的值是

(

)

A.2 B．－2

C．0 D.22

解析：选A cos－17π4－sin－17π4＝cosπ4＋sinπ4＝2.

4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值为

( )

A.53 B.54

C.75 D.73 - 2 - 解析：选C tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin2θ＋cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tan θ＋1tan2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.

5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为

( )

A．30° B．60°

C．120° D．150°

解析：选C a·b＝－10，则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，所以c·a＝－52，设a与c的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a|·|c|＝－525×5＝－12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.

6．已知函数y＝a－bcosx－π3，(b＞0)在0≤x≤π上的最大值为32，最小值为－12，求2a＋b的值为

( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C ∵0≤x≤π，∴－π3≤x－π3≤2π3，

∴－12≤cosx－π3≤1.

∵b＞0并且在0≤x≤π上的最大值为32，最小值为－12，

∴ a－b＝－12，a＋12b＝32，解得：a＝56，b＝43，∴2a＋b＝3.

7．有下列命题：

①在四边形ABCD中，若AB―→＝DC―→，则四边形ABCD为平行四边形；

②在四边形ABCD中，若AB―→∥DC―→，且AB―→≠DC―→，则四边形ABCD为梯形；

③在△ABC中，若|AB―→|＝|BC―→|＝|AC―→|，则△ABC为正三角形；

④若P是△ABC所在平面内一点，且|PA―→|＝|PB―→|＝|PC―→|，则点P为△ABC的内心． - 3 - 其中正确命题的个数为 ( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C 当|PA―→|＝|PB―→|＝|PC―→|时，P为△ABC的外心，故④错误，①②③均正确．

8．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|

)

A．ω＝23，φ＝π12 B．ω＝23，φ＝－11π12

C．ω＝13，φ＝－11π24 D．ω＝13，φ＝7π24

解析：选A ∵f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，

∴11π8－5π8＝T4(2m＋1)，m∈N，

∴T＝3π2m＋1，m∈N，

∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，

∴ω＝2π3π＝23，∴f(x)＝2sin23x＋φ.

由2sin23×5π8＋φ＝2，得φ＝2kπ＋π12，k∈Z.

又|φ|

9．如图，在等腰直角三角形AOB中，设OA―→＝a，OB―→＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，OP―→＝p，则p·(b－a)＝

( )

A．－12 B.12

C．－32 D.32

解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB中，OA―→＝a，OB―→＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b| - 4 - ＝1，a·b＝0.

由题意，可设OP―→＝－14(b－a)＋λ·12(b＋a)，λ∈R，

所以p·(b－a)

＝－14(b－a)·(b－a)＋λ2(b＋a)·(b－a)

＝－14(b－a)2＋λ2(|b|2－|a|2)

＝－14(|a|2＋|b|2－2a·b)

＝－14(1＋1－0)

＝－12.

10．若sin θ＋cos θ＝2，则tanθ＋π3的值是

( )

A．2－3 B．－2－3

C．2＋3 D．－2＋3

解析：选B ∵sin2θ＋cos2θ＝1，且sin θ＋cos θ＝2，

∴sin θ＝22，cos θ＝22，

∴tan θ＝1，则tanθ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtan π3＝－2－3.

11．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为

(

)

A.2－1 B．1

C.2 D．2

解析：选B 由题意，知a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，知(a＋b)·c≥c2＝1.因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.

12．定义行列式运算a1 a2b1 b2＝a1b2－a2b1，将函数f(x)＝3 sin 2x1 cos 2x的图像向左平移t(t>0) - 5 - 个单位，所得图像对应的函数为奇函数，则t的最小值为 ( )

A.π6

B.π3

C.5π6 D.2π3

解析：选A 由行列式的定义知f(x)＝3cos 2x－sin 2x＝2cos2x＋π6向左平移t个单位后，得到的图像对应函数为y＝2cos2x＋2t＋π6.因为该函数为奇函数，所以2t＋π6＝π2＋kπ，k∈Z.得t＝π6＋kπ2，k∈Z，可知t的最小值为π6，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)

13．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.

解析：∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，

∴角α的终边在第三象限．

又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.

又|OP|＝10，∴ n＝3m，m2＋n2＝10，

解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.

答案：2

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则BAuuur－BCuuur－OAuuur＋ODuuur＋DAuuur＝________.

解析：原式＝CAuur－OAuuur＋OAuuur＝CAuur.

答案：CAuur

15．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为________．

解析：因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝41－3＝－2.

答案：－2

16．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD―→·AE―→＝________. - 6 - 解析：如图，∵E在线段CB的延长线上，

∴EB∥AD.

∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.

∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.

又∵AB＝23，∴BE＝2.

∵AD＝5，∴EB―→＝25AD―→.

∴AE―→＝AB―→＋BE―→＝AB―→－25AD―→.

又∵BD―→＝AD―→－AB―→，

∴BD―→·AAE―→＝(AD―→－AB―→)AB―→－25 AD―→

＝AD―→·AB―→－25AD―→2－AB―→2＋25AD―→·AB―→

＝75|AD―→|·|AB―→|·cos 30°－25×52－(23)2

＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.

答案：－1

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分) 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量CD―→＝(x,3)．

(1)若AB―→∥CD―→，求实数x的值；

(2)若AB―→⊥CD―→，求实数x的值．

解：(1)依题意，AB―→＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．

∵AB―→∥CD―→，CD―→＝(x,3)，∴2×3－6x＝0，∴x＝1.

(2)∵AB―→⊥CD―→，CD―→＝(x,3)，∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.

18．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为13，255.