专题一：平面几何图形中的规律问题

平面几何的解题规律解释说明以及概述1. 引言1.1 概述平面几何作为数学的一个重要分支，研究了二维空间中的点、线、角和图形之间的关系，在数学教育中具有重要的地位。

掌握平面几何的解题规律对于提高数学思维能力和解决现实生活问题具有积极意义。

1.2 文章结构本文将从三个方面来介绍平面几何的解题规律：解题规律的基本概念、常见几何定理以及解题思路与方法。

接下来，文章将对一些重要概念进行解释说明，并介绍在解决平面几何问题时如何运用辅助线。

最后，文章将通过案例分析来概述平面几何问题，并总结重点观点和技巧，为今后学习和实践提供启示。

1.3 目的本文旨在帮助读者理解平面几何的解题规律，提供一些方法和技巧来解决常见问题。

通过阅读本文，读者将能够更加深入地了解平面几何，并能够应用所学知识解决实际问题。

同时，通过案例分析和总结，读者可以进一步提高自己的数学思维能力和解题水平。

完成这篇长文后，读者将具备更好的平面几何问题解决能力，并能够将所学知识应用到更广泛的领域中。

2. 解题规律2.1 基本概念:在解决平面几何问题之前，我们需要熟悉一些基本概念。

平面几何是研究二维图形的性质和相互关系的数学分支。

其中一些常见的基本概念包括点、线、角、多边形等。

点是平面上最基本的要素，它没有大小和形状，理论上不存在长度或宽度。

线由两个或更多个点构成，可以视为无限延伸但没有厚度的物体。

角则是由两条射线共享一个起点而形成的图形。

另外还有一些与直线和角相关的重要术语，如平行线、垂直线、同位角等。

了解这些基本概念对于理解解题规律至关重要。

2.2 常见几何定理:在解决平面几何问题时，我们可以利用许多已知定理来推导出结论。

以下是一些常见的几何定理：- 直角三角形定理：直角三角形中，边长满足勾股定理。

- 同位角定理：当两条直线被一条截断时，同位角相等。

- 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么其同位角相等。

- 弧度定理：该定理将角度与弧度单位联系起来，为计量角的大小提供了准确的测量方式。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

第5讲几何图形中的规律专项练习30题（有答案）1．请你根据如图猜一猜，40颗珠子里面有（）颗白珠子．A．16 B．20 C．24 D．无法计算2．一组图形有规律的排列着．○△□☆○△□☆○△□☆○△□☆…第78个是（）A．○B．△C．□D．☆3.根据如图三个图形的排列规律，第四个图形应该是下面选项的图（）A．B．C．D．4．根据甲图的变化规律给乙图的“？”选择一个恰当的图形是（）A ．B．C．D．5．如图，○、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数的关系，第4图形表示的两位数是（）A． 54 B．43 C．346．从所给的4个图形中，选择一个恰当的图形放在“？”处．（）A ．B．C．D．7．用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1﹣图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“”表示）．那么，表示PQ的有①﹣④4个组合图形可供选择其中，正确的是（）A ．①B．②C．③D．④8．观察下列各图，找出图中数与数之间的变化规律，那么？处的数是（）A． 4 B． 5 C． 6 D．7 E．89．○、□、△各表示一个数字，下面的每一个图形都是由○、□、△中的两个构成的．观察各个图形，根据图下表示的数找出规律，画出表示32的图形．10．找出下面三幅图的递变规律，那么，按照这个规律问号处的方形拼图应该是A、B、C、D、E、F中的_________．11．三（1）班举行“迎六一”晚会，在教室的四周都挂上3种颜色的气球，刚好按照图的顺序排列了49个气球．（1）最后一个气球是_________颜色；（2）这些气球中红色的共有_________个．12．根据下列的图和字母的关系，将ac的图补上．13．找规律，画一画，填一填．○■▲△、■▲△○、▲△○■、_________．14．找规律填文字．15．如图是按一定规律排列的，找出它的变化规律，并填出所缺少的图形．_________．16．按规律画图：17．根据如图的变化规律，画出如图变化后的形状．18．按图形变化规律，画一画第四个图．19．按规律接着画．20．画一画（1）（2）你能画出（4）中的图形吗？（3）如图→_________（4）如图：在表格的空格里画上○、□、△、●，使横行、竖行、对角线里的4个图形都不重复．21．仔细观察，“？”处填什么图形？22．观察前几幅图，想一想第四幅图该是怎样的图？23．按照图形的变化规律，接着画下去．24．25．仔细观察，“？”处填什么图形？26．仔细观察，如图方框中应画什么图形？27．找出规律，请你接着画28．找出规律，请你接着画29．观察下列图形的变化，按照规律补充完整．30．找规律画图．参考答案：1．40÷5=8，8×3=24（颗），答：40颗珠子里面有24颗白珠子．故选：C2．图形的排列规律是：4个图形一个循环周期，即按照○→△→□→☆的顺序依次循环排列；78÷4=19…2，即第78个图形是第20周期的第2个图形，与第一个周期的第2个图形相同，是△，故选：B．3．由三个图形的排列得出规律：图形每增加一条边，里面的点就增加一个，点的数量比边的数量少2，所以第四个图形应该是六边形，里面有4个点．故选：D4．由题意得：两个圆逆时针旋转，圆转到最下行变成正方形，继续逆时针旋转，两个圆都转到最下行，变成．故选：D．5．图形中有一个正方形和一个三角形，正方形在外，三角形在内，所以用数字：43表示．故选：B6．所求的前一个图形最里面的是圆，变化后就是：最外面的图形为圆，然后是正方形，最里面是三角形．故答案选：A7．结合图1和图2我们不难看出：P代表圆、M代表正方形、N代表三角形，从而可知Q代表线段，也就得到P、Q组合的图形是圆加线段．故选：②8．由分析得出：？处的数=28÷2﹣（5+3+2）=14﹣10=4；故选：A．9．32表示一个正方形，一个圆形，其中圆形在正方形的里面；如图：10．本题的图都是按照顺时针方向旋转的；第四幅图应是：故选：A11．（1）气球的排列规律是5个气球为一周期，即2红、1黄、2蓝依次排列的．49÷5=9…4，所以第49个气球是第10个周期的第4个气球，应该与第一个周期的第四个气球颜色相同，为：蓝色．（2）2×9+2=18+2=20（个），答：最后一个气球是蓝色，这些气球中红色的一共有20个．故答案为：蓝；2012．由题意得出：ac为：13．○■▲△、■▲△○、▲△○■、△○■▲．14．由题意得：．15．如图所示：由分析可知，所缺处应该是：16．应在里面画一个较小的五边形，如图17．根据分析画图如下：故答案为：．18．根据题意可画出图形，如图所示：19．第三列中的第一个图形正方形是下一列的最后一个图形；第三列中的第二个图形三角形变成下一列的第一个图形；第三列的第三个图形圆变成下一列的第二个图形；如下：整个图形如下：20．（1）第四个图形是：（2）第四个图形是：（3）要求的图形是：；（4）排列后的图形是：21．作图如下：22．按逆时针方向旋转如下图：23．根据题意与分析可得图形变化规律是：整个图形按顺时针方向旋转90°得到下一个图形．根据这一规律可得第四个图形是：24．第三图形排列如下图：25．正确的图为：26．由分析得出：27．答案如图所示：．28．答案如图所示：29．第四个图为：第五个图为：30．第四个图形是第三个图形顺时针旋转90°后得到的图形．如下图所示：。

初中数学平面直角坐标系规律题技巧优质平面直角坐标系是数学中经常使用的工具，用于表示平面上的点和图形。

在初中数学中，学生需要熟练掌握平面直角坐标系并能够应用它来解决问题。

下面介绍一些关于平面直角坐标系的规律题技巧，以帮助学生提高解题效率和准确性。

1.点的坐标平面直角坐标系中，点的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

在解题时，首先要确定点的坐标，并根据题目中给出的条件来确定点的位置和性质。

2.对称性平面直角坐标系中，图形的对称性是解题的有效利器。

对称性分为原点对称、x轴对称和y轴对称三种。

利用对称性，我们可以通过已知的部分来确定未知的部分，从而简化解题过程。

3.距离和斜率平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。

对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]两点之间的斜率可以使用斜率公式来计算。

对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的斜率k可以通过以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)利用距离和斜率的公式，可以解决相关的问题，如求两点之间的距离、确定直线的斜率等。

4.图形的方程平面直角坐标系中，不同的图形有不同的方程表示。

一些常见的图形方程如下：- 直线方程：y = kx + b-圆方程：(x-h)²+(y-k)²=r²其中，直线方程中的k表示斜率，b表示截距；圆方程中的(h,k)表示圆心坐标，r表示半径长度。

利用图形的方程，可以帮助我们确定图形的特点、方程等。

5.面积和周长平面直角坐标系中，可以通过计算图形的面积和周长来解决相关问题。

对于矩形、正方形、三角形等形状，可以利用坐标的计算公式或者通过多边形的面积公式来求解。

6.平行和垂直平面直角坐标系中，可以通过斜率的性质来确定两条直线的关系。

如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。

平面几何的解题规律pdf摘要：一、引言- 介绍平面几何的定义和重要性- 解题规律在平面几何中的作用二、平面几何的基本概念- 点、线、面的定义及性质- 直线、射线、线段、角、三角形等基本元素三、解题规律- 1.分析题目，理解问题- 2.确定所需求的答案类型- 3.运用合适的定理和公式- 4.进行逻辑推理和论证- 5.结论和答案的检查四、常见题型及解题方法- 1.选择题解题方法- 2.填空题解题方法- 3.解答题解题方法- 4.证明题解题方法五、解题实践- 举例说明解题规律在实际问题中的应用- 分析解题过程中可能遇到的问题和解决方法六、总结与展望- 总结平面几何解题规律的重要性和基本步骤- 展望未来平面几何解题的发展趋势和应用领域正文：一、引言平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是平面上的点、线、面以及它们之间的各种关系。

平面几何不仅是数学的基础部分，也是现代科学和工程技术中的重要工具。

在解决平面几何问题时，掌握解题规律是非常关键的。

本文将介绍平面几何的解题规律，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。

二、平面几何的基本概念平面几何的研究对象包括点、线、面等基本概念，以及直线、射线、线段、角、三角形等基本元素。

这些基本概念和元素是构成平面几何问题的基础，理解它们的性质和特点对于解决问题至关重要。

三、解题规律在解决平面几何问题时，可以遵循以下解题规律：1.分析题目，理解问题首先，需要仔细阅读题目，理解问题的背景和所求答案的具体内容。

这一步往往能够发现问题的关键信息和潜在条件，为后续的解题提供重要依据。

2.确定所需求的答案类型根据题目要求，确定所需求的答案类型，如长度、角度、面积等。

这一步有助于对问题进行有针对性的分析和求解。

3.运用合适的定理和公式在解题过程中，根据问题的特点和所需求的答案类型，运用合适的定理和公式。

这些定理和公式是解决平面几何问题的基础，掌握它们可以帮助我们迅速找到问题的解法。

4.进行逻辑推理和论证根据已知条件和所运用的定理、公式，进行逻辑推理和论证，得出结论。

7张图揭秘初中平面几何的解题规律！收藏复习至少提高30
分！
不少家长经常疑惑，孩子上初中了，数学成绩一直不太好，尤其是平面几何总是丢分严重！家长们都很担心再这样下去会影响到中考成绩。

其实，平面几何题这类题的难度系数并不高，主要考察的是学生对相关基础知识的掌握和一定的抽象思维能力、逻辑分析能力。

而往往是后两者难倒了孩子，根本原因在于很多孩子观察不出几何图形的特点，找不到合适的辅助线，自然没有思路。

针对这个问题，今天整理了关于平面几何题的几种解题方法，相信对同学们是非常有用的！
解法一：公式法
所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算！
解法二：和差法
所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法！
解法三：割补法
直接求面积比较复杂或无法计算时，可通过对图形的平移、旋转、割补等，最终是为了利用公式法或和差法求解创造条件！
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0000000一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为（）度分析：n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．0000000因而多边形的边数是18，则这一内角为（18-2）×180-2750=130度．故答案为：130．0000000点评：正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．00000001、（2007•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为2、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，-1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（14，2）00000000000000．0000000分析：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．故答案为（14，2）．0000000点评：此题的考点在于对坐平面直角坐标系的熟练运用能力，学生也可从其它方面入手寻找规律．00000003、在平面直角坐标系中,有若干个横纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列（1，0）（2，0）（2，1）(1,1)(1,2)(2,2)（2，2）的后面为（3，2）（3，1）（3，0）（4，0）（4，1）（4，2）（4，3）（3，3）（2，3）（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（5，0）（6，0）（6，1）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为？如图，思路如下：当n为一个奇数平方时，设m²=n，则第n个点坐标为(m,0)，第n-1个为(m,1) ，第n-2个为(m,2) 。

高中数学---平面解析几何命题规律小结1．规律小结平面解析几何是中学数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。

每年高考卷的必考题，一般是两小一大，但今年的新高考1卷和全国甲卷、乙卷是三小一大，这样增加了其分值；从题目位置看相比往年难度适当降低。

分析近三年高考试题不难发现，高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。

具体呈现以下规律：（1）基础性：高考通过对直线和圆、圆锥曲线的概念和几何性质等基础知识、基本方法的考查，增强了考查内容的基础性；同时通过对解析几何基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验的全面覆盖，考查考生逻辑思维能力和运算求解能力等，从而促进学科素养的提升，提高考生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力；同时今年高考题解析几何的小题难度适当降低，并且打破了传统的解析几何解答题以椭圆为首，抛物线次之，双曲线再次之的认知。

（2）综合性和应用性：解析几何涉及知识点多，高考通过综合设计试题，将多个知识点街接起来，如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念和几何性质相结合考查，或者结合平面向量、函数（三角函数）、不等式等学科内容进行考查。

要求考生从整体上把握各种现象的本质和规律，能综合应用所学知识、原理和方法来分析和解决问题。

（3）创新性和选拔性：创新意识是理性思维的高层次表现。

分析近三年高考题发现其重点考查的学科素养是理性思维和数学探索。

高考数学在对解析几何的考查中，充分利用学科特点，加强对考生创新能力的考查。

主要途径有：增强试题的开放性和探究性，加强独立思考和批判性思维能力的考查；通过创设新颖的试题情境，创新试题呈现方式，考查考生的阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出具有一定跨度和挑战性的问题，引导考生进行深人思考和探究，展现考生分析问题和解决问题的思维过程，以考查考生数学应用与数学探索学科素养，体现选拔功能。

基本平面图形中的规律探索1、①如图（1），直线l上有2个点，有1条线段；②如图（2），直线l上有3个点，有（）条线段；③如图（3），请你画出直线l上4个点，数一数有（）条线段；④如图（4），直线上有n（n为大于1的正整数）个点，则图中有（）线段；⑤应用④中发现的规律解决问题：某校初一年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需（）场比赛．2、平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为______．3、如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画图。

①画直线AB，做射线BC，画线段CD；②连接AD，并将其反向延长至E，使DE＝2AD；③找到一点F，使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短。

4、阅读下面材料，完成相应的填空：（1）双循环与单循环问题：小田是个足球迷，他发现有的比赛是单循环的，就是每两个球队之间只赛一场；有的比赛是双循环的，每两个球队按主客场要赛两场，同时小田又是个数学迷，他想探究如果有n（n≥2）个球队进行双循环比赛，一共要赛多少场？①小田觉得从特殊情况入手可能会找到灵感，于是他取n=2，要赛2场；n=3，赛6场；n=4，赛12场；那么n=5，要赛______场…，由此得出，n（n≥2）个球队进行双循环比赛，一共要赛______场．②聪明的小田由①中的结论，很快地得出n（n≥2）个球队单循环比赛场数为______；（2）知识迁移：①平面内有10个点，且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画______条不同的直线．②一个n边形（n≥3）有______条对角线．5、观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？6、已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE。

平面直角坐标系找规律技巧(一)平面直角坐标系找规律技巧介绍平面直角坐标系是数学中常用的工具，可以帮助我们描述平面上的各种图形和现象。

在解决问题时，我们经常需要找出规律来简化计算或推导过程。

本文将介绍一些在平面直角坐标系中找规律的常用技巧。

技巧一：观察坐标轴上的点•观察点在坐标轴上的位置，可以帮助我们找出两个量之间的关系。

例如，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，则它在坐标系中呈现出对称的特点。

•另外，当点的横坐标或纵坐标为0时，它们通常代表特殊的情况。

我们可以通过观察这些点来找到一些特殊的规律。

技巧二：观察图形的对称性•当图形呈现出对称的形态时，我们可以利用对称性来简化问题。

例如，如果一个图形在横轴或纵轴上对称，则它的性质可能也在对称轴上相同。

•另外，如果一个图形在原点对称，则它的性质通常也在原点附近具有一些特殊的规律。

技巧三：利用直角三角形的性质•平面直角坐标系中的直角三角形具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来找规律。

例如，两条边分别与横轴和纵轴平行的直角三角形可能呈现出相似的形状。

•此外，直角三角形中的角度关系也可以帮助我们找到一些规律。

例如，当两条线段之间的夹角为90度时，它们可能具有一些特殊的性质。

技巧四：利用平移和旋转的性质•在平面直角坐标系中，我们可以通过平移和旋转来改变图形的位置和方向。

利用平移和旋转的性质，我们可以找到一些规律。

例如，当一个图形经过平移后仍具有相似的性质时，我们可以猜测这个性质与平移无关。

•此外，有时候我们可以通过适当的旋转来简化问题。

例如，当一个图形经过旋转后具有一些特殊的性质时，我们可以利用这个性质找规律。

技巧五：利用数学工具辅助分析•平面直角坐标系中的问题通常涉及到数学知识，例如代数和几何。

我们可以利用这些数学工具来辅助分析，找到问题的规律。

例如，利用代数中的方程和函数可以帮助我们推导出一些特殊的关系式。

•此外，几何中的一些定理和性质也可以用来分析图形和推导规律。

平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。

作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。

根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。

此题是每四个点一循环，起始点是p 点。

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。

几何图形中找规律形试题一.考情分析规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新概念、新规则、新材料来创设新情境、提出新问题，要求学生运用它去解决新问题，并以此考查学生自学能力和阅读理解能力、知识迁移能力等综合素质． 因此，这两个考点成为北京市中考填空压轴题的热点．一、等差数列、等差数列的实质是一次函数。

或者用通项公式d n a a n )1(1-+=例题一：如图，∠AOB ＝45°，过OA 上到点O 的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，…。

观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S ＝_______________。

练习一：1、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) . A. 669 B. 670 C.671 D. 6722:、如图3，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是形的个数是 ．二：二阶式经过几次出现等差数列，就是几次函数，一般二次函数比较普遍。

例题二．如图，点A 1，A 2 ，A 3 ，…，点B 1，B 2 ，B 3 ，…，分别在射线OM ，ON 上．OA 1=1，A 1B 1=2O A 1，A 1 A 2=2OA 1，A 2A 3=3OA 1，A 3 A 4=4OA 1，…．A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥…．则A 2B 2= ，A n B n = （n 为正整数）． 第1题图(3)(2)C 3B 3A 3A 2C 1B 1A 1CBAC 2B 2B 2C 2ABC1B 1C 1A 2…图32、如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为，用n 表示A n 的纵坐标3、把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2013=（ ） A ．（45，77） B ．（45，39） C ．（32，46） D ．（32，23）练习1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A ）15 （B ）25 （C ）55 （D ）12252．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．3．（2013江西，11，3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 …4NM A 1A 2A 3A 4321（用含n 的代数式表示）．3．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）A ．51B ．70C ．76D ．81三：等比数列，等比数列通项公式11a -=n n q a ，套公式即可，但要分清楚哪项是首项。

几何图形规律专题1.如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形 ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1s 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为2s ，3s …n s （n 为正整数），那么第8个正方形的面积＝ .2、如图，△ABC 的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n 个三角形的周长为 ▲ ．3. 在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】A .2010)23(5⋅B .2010)49(5⋅ C.2012)49(5⋅D .4022)23(5⋅4.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上.若正方形的边长为1，∠=60°，∥∥，则 则点到轴的距离是（ ）A. 1833+B.1813+ B. C.633+ D.613+第2题第3题5．如图所示，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5…，过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5…分别作x 轴的垂线与反比例函数y=的图象交于点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5…，并设△OA 1P 1、△A 1A 2P 2、△A 2A 3P 3…面积分别为S 1、S 2、S 3…，按此作法进行下去，则S n 的值为 （n 为正整数）． 6、已知反比例函数1y x=的图象，当x 取1，2，3，…，n 时，对应在反比例图象上的点分别为M 1，M 2，M 3…，M n ，则112223n1n1nPM M PM M P M M S S S --∆∆∆++⋯+=7、如图，若第一个正方形OABC 的顶点B ，第二个正方形ADEF 的顶点E ，都在函数1y x=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是________.8．如图所示，),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P 在函0>x ）的图象上，11OA P ∆，212A A P ∆，323A A P ∆，…，n n n A A P 1-∆都是等腰直角三角形，斜边1OA ，21A A ，…，n n A A 1-都在x 轴上，则 （1）1P 的坐标是 ___ ，2P 的坐标是 ___， (2) 2A 的坐标是 ___ ，n A 的坐标是 ___，9．如图，A 、B 是反比例函数yk>0）图象上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC ＝6．则k ＝_______．10.如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线ky x= 交OB 于D ，且OD ：DB=1 ：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值______图 15。

平面直角坐标系规律题技巧平面直角坐标系规律题技巧在平面直角坐标系中，我们可以用坐标点的方式来描述图形的位置和形状。

而在解决规律题时，我们需要通过观察图形的特点来找到它们之间的规律，并给出下一个图形的坐标点或形状。

下面是一些解决平面直角坐标系规律题的技巧。

一、观察图形的对称性对称性是一个图形最基本的特点之一。

在平面直角坐标系中，我们可以通过观察图形是否具有对称轴来判断其对称性。

如果一个图形具有对称轴，则该图形可以沿着对称轴进行翻转而不改变其形状。

因此，在解决规律题时，我们可以通过观察下一个图形是否具有相同的对称轴来推断出它们之间的规律。

二、观察图形的旋转角度在平面直角坐标系中，我们可以通过将一个图形绕着某个点旋转一定角度来得到另一个图形。

因此，在解决规律题时，我们可以通过观察下一个图形与前一个图形之间的旋转角度来推断它们之间的规律。

三、观察图形的平移距离在平面直角坐标系中，我们可以通过将一个图形沿着某个方向平移一定距离来得到另一个图形。

因此，在解决规律题时，我们可以通过观察下一个图形与前一个图形之间的平移距离来推断它们之间的规律。

四、观察图形的缩放比例在平面直角坐标系中，我们可以通过将一个图形沿着某个方向进行缩放来得到另一个图形。

因此，在解决规律题时，我们可以通过观察下一个图形与前一个图形之间的缩放比例来推断它们之间的规律。

五、利用数列或函数在解决规律题时，我们还可以利用数列或函数来表示每个点的坐标。

例如，对于一组点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ...，如果这些点满足某个数列或函数，则可以根据该数列或函数求出下一个点的坐标。

六、综合运用多种技巧在解决规律题时，有些情况可能需要综合运用多种技巧才能找到正确答案。

例如，在一组图形中既存在对称性又存在旋转和平移，则需要同时考虑这些特点来推断它们之间的规律。

总结以上是解决平面直角坐标系规律题的一些技巧，通过观察图形的对称性、旋转角度、平移距离、缩放比例等特点，以及利用数列或函数等方法，我们可以更加轻松地解决这类题目。

平面图形中的规律七9 张哲铭 2130930图形变化也是经常出现的。

作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。

所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。

所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例3用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，第n个图形中需要黑色瓷砖多少块？（用含n 的代数式表示）.分析：这一题的关键是求第n 个图形中需要几块黑色瓷砖？在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。

它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。

所以，第n个图形中一共有4+3（n-1）块黑瓷砖，也即（3n+1）块。

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

例4“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？”分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。

每个循环节里有3个实心球。

我们只要知道 2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。

因为2004÷10 =200（余4）。

所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。

200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。

所以，一共有602个实心球。

例5 平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分…根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。

分析:1条直线将平面分成2个部分2条直线最多可以将平面分成4（＝2+2）个部分3条直线最多可以将平面分成7（＝4+3）个部分4条直线最多可以将平面分成11（＝7+4）个部分可以从中发现每增加1条直线，分平面的部分数就增加，其规律是若原有(n-1)条直线，现增加1条直线，最多将平面分成的平面数就增加n，平面上的10条直线最多将平面分成：2+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝56个部分。

平面几何五大定律典型例题【答案在“平面几何五大定律分析应用”文档中】【例1】如图，正方形他CD的边长为6, AE = 1.5, CF = 2.长方形EFGH的面积为【例1】【巩固】【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长8G为1()厘米，那么长方形的宽为几厘米？【例2】长方形ABCD的面积为36 c〃己E、F、G为各边中点，H为J AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【巩固】【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.【例3］如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = 8, AD = 15,四边形EFGO的面积为・A D【例2】【巩固】【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36, E是AO的三等分点，AE = 2ED ,则阴影部分的面积为.【例4］已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、尸分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC)A【例5】如图，己知CD = 5, DE = 7 , EF = 15, FG = 6,线段C【巩固1]【巩固2】AB将图形分成两部分, 左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形AOG的面积是.【例5】【例6】【例6]如图在△ABC中，D,E分别是AB.AC上的点，且AD:AB = 2:5 , AE:AC = 4:7, S,ADE=\6平方厘米，求△ABC的面积.【巩固1】如图，三角形ABC中，是的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？【巩固2】如图，三角形A8C被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD = DC = 4, BE = 3, AE = 6f乙部分面积是甲部分面积的几倍？【例7】如图在△ABC中，。

在B4的延长线上，E在人C上，且A8:AO = 5:2, AE:EC = 3:2, S/、s=12平方厘米，求AABC的面积.12【例7】【例8】【例 8】如图，平行四边形ABCD, BE = AB, CF = 2CB , GD = 3DC , HA = 4AD ,平行四边形ABCD的面积是2 ,求平行四边形ABC。

平面直角坐标系规律题
平面直角坐标系是一种二维坐标系，用于表示平面上的点的位置。

它由一组垂直于彼此的两条坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。

点的位置可以由它们在x 轴和y轴上的坐标表示，其中x轴和y轴的交点被称为原点。

在平面直角坐标系中，点的位置可以用有序数对（x，y）表示，其中x表示点与y轴的距离，y表示点与x轴的距离。

对于平面直角坐标系的规律题，一般是指给出一些点的坐标，要求根据这些点的位置规律，推断出其他点的坐标。

一般来说，这种规律题可以通过观察一些基本的几何形状来解决。

例如，如果给出了三个点（1，1），（1，3）和（3，1），要求推断出其他点的坐标。

通过观察这三个点的位置，我们可以发现它们构成了一个矩形，其中x轴和y轴的坐标分别为1，3。

因此，我们可以推断出矩形的另外两个点的坐标分别为（3，3）和（1，-1）。

另一个例子是，如果给出了四个点（1，1），（2，3），（3，5）和（4，7），要求推断出其他点的坐标。

通过观察这四个点的位置，我们可以发现它们构成了一条直线，其中x轴和y轴的坐标分别为1，2，3，4，1，3，5，7。

因此，我们可以根据这个规律推断出直线上其他点的坐标。

总之，平面直角坐标系的规律题需要观察坐标点的位置关系，并找出它们之间的规律，然后根据这个规律推断出其他点的坐标。

对于较复杂的规律题，可能需要应用更高级的数学知识来解决。