[高考数学] 2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设2（z+z̅）+3(z-z̅)=4+6i，则z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )A.∅B.SC.TD.Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬(pVq)4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x-π4)的图像，则f(x)=（）A.sin(x 2−7π12)B. sin(x 2+π12) C. sin(2x −7π12) D. sin(2x +π12)8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）A. 74B. 2332 C. 932 D. 299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。

如图，点E,H,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”。

2021年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．62．复数113i -的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110D ．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t K I t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈ A ．60B ．63C ．66D ．695．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6⋅=-a b ，则cos ,=+a a b A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．6+42B ．4+42C ．6+23D ．4+239．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．210．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1211．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ．1B ．2C ．4D ．812．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x -2 < x < 4}， B = {2, 3, 4, 5} ，则 A B = （）A.{2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {2, 3, 4}【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有 A ⋂ B = {2, 3} ，故选：B .2. 已知 z = 2 - i ，则 z (A. 6 - 2i z + i ) = （B. 4 - 2i）C. 6 + 2iD. 4 + 2i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为 z = 2 - i ，故 z = 2 + i ，故 z (z + i )= (2 - i )(2 + 2i ) = 6 + 2i故选：C.22 2 3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则π l = 2π ⨯ ，解得l = 2 .故选：B.4. 下列区间中，函数 f (x ) = 7 sin ⎛x - π ⎫单调递增的区间是（ ）6 ⎪A. ⎛ 0, π ⎫ ⎝⎭B. ⎛ π , π ⎫C. ⎛π , 3π ⎫D.⎛ 3π , 2π ⎫⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭⎝ ⎭【答案】A【解析】π π π【分析】解不等式2k π -< x - < 2k π + 2 6 2(k ∈ Z ) ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数 y = sin x 的单调递增区间为⎛2k π - π , 2k π + π ⎫(k ∈ Z )，2 2 ⎪ ⎝ ⎭对于函数 f (x ) = 7 sin ⎛ x - π ⎫ ，由2k π - π < x - π < 2k π + π (k ∈ Z ) ， 6 ⎪ 2 6 2 ⎝ ⎭2k ππ 2π 解得- < x < 2k π + 3 3(k ∈ Z ) ， 取 k = 0 ，可得函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为⎛ - π , 2π ⎫，3 3 ⎪ ⎝ ⎭则⎛ 0, π ⎫ ⊆ ⎛ - π , 2π ⎫ ， ⎛ π ,π ⎫ ⊄ ⎛ - π , 2π ⎫，A 选项满足条件，B 不满足条件；2 ⎪3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭取 k = 1 ，可得函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为⎛ 5π , 8π ⎫，3 3 ⎪ ⎝ ⎭⎛π , 3π ⎫ ⊄ ⎛ - π , 2π ⎫且⎛π , 3π ⎫ ⊄⎛ 5π , 8π ⎫ ， ⎛ 3π , 2π ⎫ ⊄ ⎛ 5π , 8π ⎫ ，CD 选项均不满足条件. 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y = A sin (ωx + φ) 形式，再求2 2= = θ ( θ + θ ) ⎝⎝y = A sin (ωx + φ) 的单调区间，只需把ω x + ϕ 看作一个整体代入 y = sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω 化为正数．F F x 2 y 2 MF ⋅ MF5. 已知 1 ， 2 是椭圆C ：+= 1的两个焦点，点 M 在C 上，则1942的最大值为（ ）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】【 分 析 】 本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到MF 1 + MF 2= 2a = 6， 借 助 基 本 不 等 式2MF ⋅ MF ≤ 即可得到答案． 1 22 ⎭【详解】由题， a 2 = 9, b 2 = 4 ，则 MF 1 + MF 2 = 2a = 6 ，2所以 MF ⋅ MF ≤ = 9 （当且仅当 MF 1 = MF 2 = 3 时，等号成立）． 1 22 ⎭ 故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．sin θ (1+ sin 2θ )6. 若tan θ = -2 ，则 sin θ + cos θ= （）A. - 6 5B. -2 C.2 D. 6555【答案】C【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan θ = -2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：sin θ (1+ sin 2θ ) sin θ + cos θ sin θ (sin 2 θ + cos 2θ + 2sin θ cos θ ) sin sin cos sin θ + cos θsin θ (sin θ + cos θ ) tan 2 θ + tan θ 4 - 2 2 = = = = ．sin 2 θ + cos 2 θ 1+ tan 2 θ1+ 4 5故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan θ = -2 ，求出sin θ , cos θ 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．max max7. 若过点(a , b ) 可以作曲线y = e x 的两条切线，则（ ）A. e b < aB. e a < bC. 0 < a < e bD. 0 < b < e a【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果 【详解】在曲线 y = e x 上任取一点 P (t , et) ，对函数 y = e x 求导得 y ' = e x ，所以，曲线 y = e x 在点 P 处的切线方程为 y - e t = e t(x - t ) ，即 y = e t x + (1- t )e t ， 由题意可知，点(a , b ) 在直线 y = e tx + (1- t )e t上，可得b = ae t+ (1- t )e t= (a +1- t )e t，令 f (t ) = (a +1- t )e t，则 f '(t ) = (a - t )e t.当t < a 时， f '(t ) > 0 ，此时函数 f (t ) 单调递增，当t > a 时， f '(t ) < 0 ，此时函数 f (t ) 单调递减，所以， f (t ) = f (a ) = e a ，由题意可知，直线 y = b 与曲线 y = f (t ) 的图象有两个交点，则b < f (t ) = e a，当t < a +1时， f (t ) > 0 ，当t > a +1时， f (t ) < 0 ，作出函数 f (t ) 的图象如下图所示：由图可知，当0 <b <e a时，直线y =b 与曲线y = f (t )的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】P(甲) =1，P(乙) =1，P(丙) =5，P(丁) =6=1，6636366P(甲丙) = 0 ≠P(甲)P(丙)，P(甲丁) =136=P(甲)P(丁)P(乙丙) =136故选：B≠P(乙)P(丙)，P(丙丁) = 0 ≠P(丁)P(丙)【点睛】判断事件A, B 是否独立，先计算对应概率，再判断P( A)P(B) =P( AB) 是否成立二､选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i=x i+c ( i = 1, 2,⋅⋅⋅, n), c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有E( y) =E(x) +c 、D( y) =D(x) ，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D 的正误.OP 1 = OP 2OA ⋅ OP 3 = OP 1 ⋅ O P 2 OP 2 4sin 2 α 2 【详解】A ： E ( y ) = E (x + c ) = E (x ) + c 且c ≠ 0 ，故平均数不相同，错误； B ：若第一组中位数为 x i ，则第二组的中位数为 y i = x i + c ，显然不相同，错误； C ：D ( y ) = D (x ) + D (c ) = D (x ) ，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为 x max - x min ，则第二组的极差为y max - y min = (x max + c ) - (x min + c ) = x max - x min ，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点 P 1 (cos α , sin α )，P 2 (cos β , -sin β ) ，P 3 (cos (α + β ), sin (α + β ))，A (1, 0)，则（）A B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A 、B 写出OP 1 ， 、AP 1 ， AP 2 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【 详 解 】 A ： OP 1 = (cos α , sin α ) ， OP 2 = (cos β , -sin β ) ， 所 以 | =1 ，| = 1 ，故| OP 1 |=| OP 2 |，正确；B ： AP 1 = (cos α -1, sin α ) ， AP 2 = (cos β -1, -sin β ) ，所以| == α= = 2 | sin | ， 2同理| = 2 | sin β | ，故| AP |,| AP | 不一定相等，错误；21 2C ：由题意得： OA ⋅ OP 3 = 1⨯cos(α + β ) + 0⨯sin(α + β ) = cos(α + β ) ，OP 1 ⋅ OP 2 = cos α ⋅cos β + sin α ⋅ (-sin β ) = cos(α + β ) ，正确；D ：由题意得： OA ⋅ OP 1 = 1⨯cos α + 0⨯sin α = cos α ，OP 2 ⋅ O P 3 = cos β ⨯cos(α + β ) + (-sin β ) ⨯sin(α + β )= cos α cos 2 β - sin α sin β cos β - sin α sin β cos β - cos α sin 2 βAP 1 = AP 2OA ⋅ OP 1 = OP 2 ⋅ O P 3OP |= cos 2 α + sin 2 α 1 OP |= (cos β)2 + (-sin β )2 2 AP |= (cos α -1)2+ sin 2α 1cos 2α - 2 cos α +1+ sin 2α 2(1- cos α ) AP |= (cos β -1)2 + sin 2 β 211 534 = cos α cos 2β - sin α sin 2β = cos(α + 2β ) ，错误；故选：AC11. 已知点 P 在圆(x - 5)2+ ( y - 5)2= 16 上，点 A (4, 0) 、 B (0, 2) ，则（ ）A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10B. 点 P 到直线 AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时， PB = 3D. 当∠PBA 最大时， PB = 3【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线 AB 的距离，可得出点 P 到直线 AB 的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正误；分析可知，当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误. 【详解】圆( x - 5)2+ ( y - 5)2= 16 的圆心为 M (5, 5) ，半径为4 ，直线 AB 的方程为 x + y= 1，即 x + 2 y - 4 = 0 ，42圆心 M 到直线 AB 的距离为= = 11 5 > 4 ， 5所以，点 P 到直线 AB 的距离的最小值为11 5 - 4 < 2 ，最大值为11 5 + 4 < 10 ，A 选项正确，B 选项错55误；如下图所示：当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，连接 MP 、 BM ，可知 PM ⊥ PB ，BM ==， MP = 4 ，由勾股定理可得 BP == 3 2 ，CD 选项2212 + 225 + 2⨯ 5 - 4 (0 - 5)2 + (2 - 5)2BM 2 - MP 2正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点 P 到直线l 的距离的取值范围是[d - r , d + r ].12. 在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，AB = AA 1 = 1 ，点 P 满足 BP = λ BC + μ BB 1 ，其中λ ∈[0,1] ，μ ∈[0,1] ，则（）A. 当λ = 1 时， △AB 1P 的周长为定值B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A 1BC 的体积为定值C. 当λ = 1时，有且仅有一个点 P ，使得 A P ⊥ BP21D. 当 μ = 1 时，有且仅有一个点 P ，使得 AB ⊥ 平面 AB P21 1【答案】BD【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B ，将 P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量 平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数．【详解】易知，点 P 在矩形 BCC 1B 1 内部（含边界）．对于A ，当λ = 1 时， BP = BC + μ BB 1 =BC + μCC 1 ，即此时 P ∈ 线段CC 1 ， △AB 1P 周长不是定值，故A 错误；AP = ⎛ - 3 = - 对于B ，当 μ = 1 时，BP = λ BC + BB 1 =BB 1 + λ B 1C 1 ，故此时 P 点轨迹为线段 B 1C 1 ，而B 1C 1 //BC ，B 1C 1 // 平面 A 1BC ，则有 P 到平面 A 1BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当λ = 1时， BP = 1BC + μ BB ，取 BC ， BC 中点分别为Q ， H ，则 BP = BQ + μQH ，所221 1 1以 P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A ⎛ 3 , 0,1⎫ ，P (0, 0,μ ) ，B ⎛ 0, 1 , 0 ⎫， 1 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭则, 0, μ -1⎫ ， BP = ⎛ 0, - 1 , μ ⎫， μ (μ -1) = 0 ，所以 μ = 0 或 μ = 1 ．故 H ,Q 均满足，故 1 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ C 错误；对于D ，当 μ = 1时， BP = λ BC + 1BB ，取 BB ， CC 中点为 M , N ． BP = BM + λ M N ，所以 P 点2 211 1轨迹为线段 MN ．设 P ⎛ 0, y , 1 ⎫ ，因为 A ⎛ 3 ⎫ ⎛ ，0, 0，所以 AP = - 3 , y , 1 ⎫ ， AB ⎛ 3 1 ⎫ , , -1 ， 0 2 ⎪ 2 ⎪ 2 0 2 ⎪ 1 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 3 1 1 1⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 + y 0 - = 0 ⇒ y 0 = - ，此时 P 与N 重合，故D 正确． 4 2 2 2故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知函数 f ( x ) = x 3 (a ⋅ 2x - 2- x )是偶函数，则a = .【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为 f (x ) = x 3 (a ⋅ 2x - 2-x ) ，故 f (-x ) = -x 3 (a ⋅ 2-x - 2x )，因为 f ( x ) 为偶函数，故 f (-x ) = f ( x ) ，时 x 3 (a ⋅ 2x - 2-x ) = -x 3 (a ⋅ 2-x - 2x )，整理得到(a -1)(2x +2-x )=0 ，故 a = 1 ， 故答案为：114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ： y 2 = 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ，P 为C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为p p 1 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP ，若 FQ = 6 ，则C 的准线方程为.【答案】 x =- 32【解析】【分析】先用坐标表示 P ，Q ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 p ，即得结果.【详解】不妨设P ( , p )∴Q (6 + 2 2uuur , 0), PQ = (6, - p ) 因为 PQ ⊥ OP ，所以 p ⨯ 6 - p 2 = 0 Q p > 0∴ p = 3∴ C 的准线方程为 x =- 32 2 故答案为： x =- 32【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 15. 函数 f ( x ) = 2x -1 - 2 ln x 的最小值为 .【答案】1【解析】【分析】由解析式知 f (x ) 定义域为(0, +∞) ，讨论0 < x ≤ 1 、 1< x ≤ 1、 x > 1 ，并结合导数研究的单调22性，即可求 f (x ) 最小值.【详解】由题设知： f (x ) =| 2x -1| -2 ln x 定义域为(0, +∞) ， ∴当0 < x ≤ 1时， f (x ) = 1- 2x - 2 ln x ，此时 f (x ) 单调递减；2当 1 < x ≤ 1时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2≤ 0 ，此时 f (x ) 单调递减；2x当 x > 1 时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2> 0 ，此时 f (x ) 单调递增；x又 f (x ) 在各分段的界点处连续，∴综上有： 0 < x ≤ 1时， f (x ) 单调递减， x > 1 时， f (x ) 单调递增； ∴ f (x ) ≥ f (1) = 1故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm ⨯12dm ， 20dm ⨯ 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S = 240dm 2 ，对折 2 次共可以得到5dm ⨯12dm ，10dm ⨯ 6dm ， 20dm ⨯ 3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S 2 = 180dm 2 ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n 次，+ 120n 2n -1( ) ( ) 2 ( )那么∑S k = dm 2.k =1【答案】(1). 5(2).720 -15(3 + n ) 2n -4【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 S n ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折 4 次可得到如下规格： 5 dm ⨯12dm ， 5 dm ⨯ 6dm ， 5dm ⨯ 3dm ， 10dm ⨯ 3dm ，4 2 220dm ⨯ 3dm ，共5 种；4（2）由题意可得S = 2 ⨯120 ， S = 3⨯ 60 ， S = 4 ⨯ 30 ， S = 5⨯15 ， ， S 120n +1 = ， 12120⨯ 2 120⨯ 3 120⨯ 43120(n +1) 4n2n -1设 S = + + +L +， 20 21 22 2n -1则 1S = 120⨯ 2 + 120 ⨯ 3 +120 n +1 + ， 22122 2n60⎛1- 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 120 (n +1) 2n -1 ⎪ 120(n +1) 两式作差得 S = 240 +120 + + + n -1 ⎪ - = 240 + ⎝ ⎭ - 1 n 2 ⎝ 2 2 2 ⎭ 2120 120(n +1)120(n + 3) 1- 22 = 360 -- = 360 -， 2n -1 2n240(n + 3) 2n15(n + 3)因此， S = 720 -= 720 -. 2n15 n + 3 故答案为： 5 ； 720 -.2n -42n -4【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：（1） 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2） 对于{a n b n }结构，其中{a n } 是等差数列，{b n }是等比数列，用错位相减法求和； （3） 对于{a n + b n } 结构，利用分组求和法；（4） 对于⎧ 1 ⎫ 结构，其中{a } 是等差数列，公差为d (d ≠ 0) ，则1= 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ，利用裂 ⎨ ⎬na a⎪ ⎩ a n a n +1 ⎭nn +1d ⎝ a n a n +1 ⎭ n n项相消法求和.四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a } 满足a = 1 ， a= ⎧a n +1, n 为奇数, n1n +1⎨a + 2, n 为偶数. ⎩ n（1） 记b n = a 2n ，写出b 1 ， b 2 ，并求数列{b n } 的通项公式；（2） 求{a n }的前 20 项和.【答案】（1） b 1 = 2, b 2 = 5 ；（2） 300 .【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得b n +1 = b n + 3 ，从而可求{b n } 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{a n } 的前20 项和为S 20 可化为 S 20 = 2(b 1 + b 2 + + b 9 + b 10 ) -10 ，利用（1） 的结果可求 S 20 .【详解】（1）由题设可得b 1 = a 2 = a 1 +1 = 2, b 2 = a 4 = a 3 +1 = a 2 + 2 +1 = 5又 a 2k +2 = a 2k +1 +1， a 2k +1 = a 2k + 2 ，故 a 2k +2 = a 2k + 3 即b n +1 = b n + 3 即b n +1 - b n = 3 所以{b n }为等差数列，故b n = 2 + (n -1)⨯ 3 = 3n -1 .（2） 设{a n }的前20 项和为 S 20 ，则 S 20 = a 1 + a 2 + a 3 + + a 20 ，因为a 1 = a 2 -1, a 3 = a 4 -1,, a 19 = a 20 -1 ，所以S 20 = 2 (a 2 + a 4 + + a 18 + a 20 ) -10= 2(b + b ++ b + b) -10 = 2⨯⎛10⨯ 2 +9⨯10 ⨯ 3⎫-10 = 300 . 129102⎪ ⎝ ⎭【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分： B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确7 回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1） 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2） B 类． 【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答 B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知， X 的所有可能取值为0 ， 20 ，100 ．P ( X = 0) = 1- 0.8 = 0.2 ； P ( X = 20) = 0.8(1- 0.6) = 0.32 ； P ( X = 100) = 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ． 所以 X 的分布列为（2）由（1）知， E ( X ) = 0⨯ 0.2 + 20⨯ 0.32 +100 ⨯ 0.48 = 54.4 ．若小明先回答 B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0 ， 80 ，100 ．P (Y = 0) = 1- 0.6 = 0.4 ； P (Y = 80) = 0.6 (1- 0.8) = 0.12 ； P ( X = 100) = 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ．所以 E (Y ) = 0⨯ 0.4 + 80 ⨯ 0.12 +100 ⨯ 0.48 =57.6 ．因为54.4 < 57.6 ，所以小明应选择先回答 B 类问题．19. 记 ABC 是内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c .已知b 2 = ac ，点 D 在边 AC 上，BD sin ∠ABC = a sin C .（1） 证明： BD = b ；（2） 若 AD = 2DC ，求cos ∠ABC【答案】（1）证明见解析；（2）cos ∠ABC = . 12X 0 20100 P0.20.320.48c a c b b 【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 BD = ac ，结合已知即可证结论.b（2）由题设 BD = b , AD =2b , DC = b，应用余弦定理求cos ∠ADB 、cos ∠CDB ，又 3 32 b 4 11b 2∠ADB = π - ∠CDB ，可得2a + = ，结合已知及余弦定理即可求cos ∠ABC .a 2 3【详解】（1） 由题设， BD =a sin C ，由正弦定理知： =b sin C ，即= c ， sin ∠ABC ∴ BD =ac，又b 2 = ac ，b∴ BD = b ，得证.（2） 由题意知： BD = b , AD =2b , DC = b ， 3 3sin C sin ∠ABC sin ∠ABC b2 + 4b 2- 2 13b 2 - c 2 2+ b 2 - 2 10b 2 - a 2 ∴ cos ∠ADB = 9 = 9 ，同理cos ∠CDB = 9 = 9 ， 2b ⋅ 2b 4b 2 2b ⋅ b2b 2 3 3 3 3∵ ∠ADB = π - ∠CDB ，13b 2 - 9 c 2 a 2 = - 10b 292 211b 2∴4b 22b 2，整理得2a + c =，又b 3 = ac ，332b 4 11b 2 4 2 2 4 a 21 a2 =3 ∴ 2a + = a 2 ，整理得6a 3-11a b + 3b = 0 ，解得 b 2 = 3 或 b 22 ，a 2 + c 2 -b 24a 2由余弦定理知： cos ∠ABC == -， 2ac3 2b 2当 a 2 = 1时， cos ∠ABC = 7 > 1不合题意；当 a 2 = 3 时， cos ∠ABC = 7 b 2 36 b 2 2 12 2 ；综上，cos ∠ABC =7.12【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及∠ADB =π-∠CDB 得到a, b, c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ∠ABC .20.如图，在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD ，O 为BD 的中点.（1）证明：OA ⊥CD ；（2）若OCD 是边长为1 的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE = 2EA ，且二面角E -BC -D 的大小为45︒，求三棱锥A -BCD 的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD⊥平面BCD，AO ⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD ⊂平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD 于F, 作FM⊥BC 于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD所以EF⊥BD, EF⊥CD,BD ⋂CD =D ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，FM I EF =F ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF3 17 y则∠EMF 为二面角 E-BC-D 的平面角, ∠EMF = π4 因为 BO = OD , OCD 为正三角形,所以 OCD 为直角三角形 因为 BE = 2ED ,∴ FM = 1 BF = 1 (1+ 1) = 2223 3从而EF=FM= 2∴ AO = 13Q AO ⊥ 平面BCD,所以V = 1 AO ⋅ S3 ∆BCD= 1 ⨯1⨯ 1 ⨯1⨯ = 3 3 2 6【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 1 (- （1） 求C 的方程；17, 0) 、 F 2( 17, 0) MF 1- MF2= 2 ，点 M 的轨迹为C .（2） 设点T 在直线 x = 1上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和 P ，Q 两点，且 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ，2求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.【答案】（1） x 2 2- = 1( x ≥ 1) ；（2） 0 . 16【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程； （2）设点T⎛ 1 , t ⎫ ，设直线 AB 的方程为 y - t = k ⎛ x - 1 ⎫，设点 A ( x , y ) 、B (x , y ) ，联立直线 AB 与 2 ⎪ 1 2 ⎪1 12 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭曲线C 的方程，列出韦达定理，求出 TA ⋅ TB 的表达式，设直线 PQ 的斜率为k 2 ，同理可得出 TP ⋅ TQ 的表达式，由 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ 化简可得k 1 + k 2 的值. 【详解】因为 MF 1 - MF 2 = 2 < F 1F 2 = 2 ，- 2 = ( > > ) = = y 1 2 1 2 2 所以，轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为 x a 2y 21 a 0, b 0 ，则2a2 ，可得 a 1 ， b =b= 4 ，所以，轨迹C 的方程为 x 2 2-= 1( x ≥ 1) ；16（2）设点T ⎛ 1 , t ⎫，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，2 ⎪ ⎝ ⎭不妨直线 AB 的方程为 y - t = k ⎛ x - 1 ⎫，即 y = k x + t - 1 k ，1 2 ⎪12 1⎝ ⎭⎧ y = k x + t - 1 k 2 联立⎪ 1 2 1 ，消去 y 并整理可得(k 2 -16) x 2 + k (2t - k ) x + ⎛ t - 1 k ⎫ +16 = 0 ，⎨ ⎪⎩16x 2 - y 2 = 16 设点 A ( x , y ) 、 B ( x , y1 1 1) ，则 x > 1 且 x > 1. 1 ⎪ ⎝ ⎭ 1 1 2 2 1 2 22⎛ 1 ⎫2k 2- 2k t t - k ⎪ +16 由韦达定理可得 x 1 + x 2 = 1 1， k 2 -16 x 1 x 2 = ⎝ 2 1 ⎭， 1 k 2 -16x + x 1(t 2 +12)(1+ k 2) 所以， TA ⋅ TB = (1+ k 2 )⋅ x - ⋅ x - = (1+ k 2 )⋅⎛ x x - 1 2 + ⎫ = 1 ，1 1 21 12 2 4 ⎪ k 2 -16 ⎝ ⎭ 1(t 2 +12)(1+ k 2 )设直线 PQ 的斜率为k 2 ，同理可得 TP ⋅ TQ =2，k 2-16(t 2 +12)(1+ k 2 ) (t 2 +12)(1+ k 2 )因为 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ，即1=k 2-16k 2-162，整理可得k 2 = k 2，12即(k 1 - k 2 )(k 1 + k 2 ) = 0 ，显然k 1 - k 2 ≠ 0 ，故k 1 + k 2 = 0 . 因此，直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为0 .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数 f ( x ) = x (1- ln x ) .（1） 讨论 f( x ) 的单调性；1 2 1 2 2a ⎪b ⎪ （2） 设a ， b 为两个不相等的正数，且b ln a - a ln b = a - b ，证明： 2 <1 + 1< e . a b【答案】（1） f ( x ) 的递增区间为(0,1) ，递减区间为(1, +∞) ；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设 1 = x , 1 = x ，原不等式等价于2 < x + x < e ，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者a1 b2 1 2可设 x 2 = tx 1 ，从而把 x 1 + x 2 < e 转化为(t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 在(1, +∞) 上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为(0, +∞ ) ，又 f '(x ) = 1- ln x -1 = -ln x ， 当 x ∈(0,1)时， f '(x ) > 0 ，当 x ∈(1, +∞) 时， f '( x ) < 0 ，故 f (x ) 的递增区间为(0,1) ，递减区间为(1, +∞) . （2）因为b ln a - a ln b = a - b ，故b (ln a +1) = a (ln b +1) ，即ln a +1 = ln b +1， a b故 f ⎛ 1 ⎫ = f ⎛ 1 ⎫ ，⎝ ⎭⎝ ⎭设 1 = x , 1 = x ，由（1）可知不妨设0 < x < 1, x> 1.a1b21 2因为 x ∈(0,1)时， f (x ) = x (1- ln x ) > 0 ， x ∈(e , +∞) 时， f ( x ) = x (1- ln x ) < 0 ，故1 < x 2 < e . 先证： x 1 + x 2 > 2 ，若 x 2 ≥ 2 ， x 1 + x 2 > 2 必成立.若 x 2 < 2 ， 要证： x 1 + x 2 > 2 ，即证 x 1 > 2 - x 2 ，而0 < 2 - x 2 < 1，故即证 f (x 1 ) > f (2 - x 2 ) ，即证： f ( x 2 ) > f (2 - x 2 ) ，其中1 < x 2 < 2 . 设 g (x ) = f ( x ) - f (2 - x ),1 < x < 2 ， 则 g '(x ) = f '( x ) + f '(2 - x ) = -ln x - ln (2 - x ) = -ln ⎡⎣x (2 - x )⎤⎦ ，因为1 < x < 2 ，故0 < x (2 - x ) < 1，故-ln x (2 - x ) > 0 ，max 所以 g '(x ) > 0 ，故 g ( x ) 在(1, 2) 为增函数，所以 g ( x ) > g (1) = 0 ， 故 f (x ) > f (2 - x ) ，即 f ( x 2 ) > f (2 - x 2 ) 成立，所以 x 1 + x 2 > 2 成立，综上， x 1 + x 2 > 2 成立. 设 x 2 = tx 1 ，则t > 1，结合ln a +1 = ln b +1 ， 1 = x , 1 = x 可得： x (1- ln x ) = x (1- ln x ) ，a b a 1b 21 12 2即：1- ln x = t (1- ln t - ln x ) ，故ln x = t -1- t ln t ，1 1 1t -1要证： x 1 + x 2 < e ，即证(t +1) x 1 < e ，即证ln (t +1) + ln x 1 < 1 ，即证： ln (t +1)+ t -1- t ln t < 1 ，即证： (t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 ，t -1令 S (t ) = (t -1)ln (t +1) - t ln t , t > 1 ，则 S '(t ) = ln (t +1) +t -1 -1- ln t = ln ⎛1+ 1 ⎫ - 2，t +1t ⎪t +1 ⎝ ⎭先证明一个不等式： ln (x +1) ≤ x . 设u (x ) = ln ( x +1) - x ，则u '( x ) = 1x +1 -1 = -x ， x +1当-1 < x < 0 时， u '(x ) > 0 ；当 x > 0 时， u '( x ) < 0 ， 故u ( x ) 在(-1, 0) 上为增函数，在(0, +∞) 上为减函数，故u ( x ) = u (0) = 0 ，故ln ( x +1) ≤ x 成立由上述不等式可得当t > 1时， ln ⎛1+1 ⎫ ≤ 1 < 2，故 S '(t ) < 0 恒成立， t ⎪t t +1 ⎝ ⎭故 S (t ) 在(1, +∞) 上为减函数，故 S (t ) < S (1) = 0 ，故(t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 成立，即 x 1 + x 2 < e 成立.综上所述， 2 < 1 + 1< e .a b【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B.143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}45x x ≤< D.{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+ D.32i --【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈）A.1.5 B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.5.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.2B.2C.D.【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为1.732≈）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以210042''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.1515B.C.53D.153【答案】A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos 4α∴==，sin tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23 D.45【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.11.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212 B.312C.24D.34【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则22d ==，所以1112211332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94-B.32-C.74D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【分析】根据已知可得12PF PF ⊥，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.16.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；选②③作条件证明①时，设出an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+=，即=，)1n -=+-=所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）112B D =【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AB ⊥因为11//A B AB ，11BF A B ⊥，所以BF AB ⊥，又1BB BF B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2B A C B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．（1）因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．（2）设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅===⋅ ．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ63=．所以()minsin 3θ==，此时112B D =．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出(),0,2D a （02a ≤≤），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为(3)3y x -=-，又1313313131,03A A y y k y x x y y -====∴=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|1y y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞.【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x '--=== ,令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =,在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,e e ⋃+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设),Mθθ+，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)MθθAP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，半径为，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。

1普通高等学校招生全国统一考试数学（全国 3 理）试题精析详解一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．已知α为第三象限角，则α所在的象限是（）2A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性.【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以α∈ (2k π-π, 2k π-π)(k ∈ Z ) ，2α ππα所以 ∈ (k π-, k π-)(k ∈ Z ) ，即 所在的象限是 224 2第二或第四象限.选 D解法 2：用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选 D解法 3：用特值法令 α= -1350和α= 2250,也可以得到答案 D 23π解法 4：α第三象限，即 2k π+π<α< 2k π+ 2k ∈ Z ,π α3π ∴ k π+< < k π+k ∈ Z ,可知 α在第二象限或第四象限,选(D)2 242【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象α限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如n围(3)再分成 n 类情况讨论可完成.(1)先写出α范围(2)再求出除以 n 的范2．已知过点 A(－2，m)和 B(m ，4)的直线与直线 2x +y －1=0 平行，则 m 的值为 （）A ．0B ．－8C ．2D ．10【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.4 - m【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有 选 B.m + 2= -2 ，得 m = -8 .解法2：直线2x+y-1=0 的一个方向向量为 a =(1,-2), AB = (m + 2, 4 - m ) ,由AB ∥ a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)28 8 11 V V V解法 3：可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案 B.【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在(x -1)(x + 1)8 的展开式中 x 5 的系数是（）A ．－14B ．14C ．－28D ．28【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.【正确解答】(x -1)(x +1)8 = x (x +1)8 - (x +1)8 ， 5 的系数为C 4 - C 5= 14 .选 B.x8 8解法 2：(x+1)8 展开式中 x 4,x 5 的系数分别为C 4, C 5,∴(x-1)(x+1)8 展开式中 x 5 的系数为88C 4 - C 5= 14 ,选(B)【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别, 尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x = 0 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.4．设三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的体积为 V ，P 、Q 分别是侧棱 AA 1、CC 1 上的点，且 PA=QC 1，则四棱锥 B —APQC 的体积为（ ）A ． 1 VB ． 1VC ． 1VD ． 1V6432【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.【正确解答】解法 1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥 B-APQC 的高h 等于底面三角形 AC 边上的高.所以V 四棱锥B - APQC = 1 S 3APQC ⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ (PA + QC )]⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ AA 1]⋅h = 1⋅3 2 3 2 1 1 1 V[ AC ⋅ h ] ⋅ AA 1 = S ABC ⋅ AA 1 = V 三棱柱ABC - A B C =3 2 3 3 1 1 1 3解法 2：设三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 为正三棱柱，P 、Q 、R 分别为侧棱 AA 1、CC 1、BB 1 上的中点，则 V 三棱锥B-PQR = 3V 三棱柱ABC -PRQ = 6V ，进而有V四棱锥B-APQC =2-6=3.选C.34解法 3：如图，V A - ABC = V B - A B C = V B - AC Q = 1 V ABC - A B CV B -PCQA= V B -CQA 1 1 1 1 13+V B -PCA ,∵AF=QC 1,1 1 1111∴APQC 1,APQC 都是平行四边形,1∴V B -PCQA = V B -CQA +V B -PCA = 2(V B -CQA +V B -PCA )11111= 1 ⋅ 2V= 1V,选(C)2 3 ABC - A 1B 1C 1 3 ABC - A 1B 1C 1【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我 们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉.5． lim( x →11 - x2 - 3x + 2 2 ) = （ ）x 2 - 4x + 3A ． - 1B ．1C ． - 1D ． 12266【思路点拨】本题考查函数在某一点极限的基本求法. 先通分整理，再约分化简，最后代入求值. 【正确解答】lim( 1 - 2 ) = lim ( x -3) -2( x -2) = lim -1 = -1 x →1 x2 - 3x + 2 x 2 - 4x +3 x →1 (x -1)(x - 2)(x - 3) x →1 (x - 2)(x - 3) 2选 A.【解后反思】在求函数某一点极限的过程中,总是先化简,再代入的思路,不要先随便代入或不加思索的用极限计算的运算法则进行分离. 6．若a = ln 2 , b = ln 3 , c = ln 5 ，则（）235A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.ln 215 ln 310 ln 56 6 15 10 【正确解答】 a = ,b = ,c = ， 5 < 2 < 3 ，∴ c < a < b .30 30 30选 C解法 2：由题意得 a= ln 30 215,b= ln 30 310,c= ln 30 56,∵ 56= (52 )3< (25 )3= 215= (23 )5< (32 )5= 310,∴c<a<b,选(C)【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1 比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1 大,有的比1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法, 画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.7．设0 ≤x ≤ 2π,且= sin x - cos x,则（）A．0 ≤x ≤π B．π≤x ≤7π4 4C．π≤x ≤5π4 4D．π≤x ≤3π2 2【思路点拨】本题考查在确定范围内,利用三角函数公式.来求解三角函数方程.【正确解答】解法1：∵由= sin x - cos x 得|sinx-cosx|=sinx-cosx, 因此sin x ≥ cos x ，又0 ≤x < 2π,由正弦、余弦函数的图象可知∴π≤x ≤5π,选(C)4 4π7π 解法2：用特值法,先取x =验证成立,则答案为A、B、C,再分别取x = 0 和x =,4 4排除答案A、B,最后我们可以轻易得到正确答案C.【解后反思】在求有关函数问题过程中,优先考虑函数的取值范围或函数存在条件是解决问题的重要手段之一,同时我们也注意到函数有很强的规律性,再加上选择题的答案必在四个选项中,所以做此类题目可从局部入手,利用特值方法,也可得到正确答案,且简单易行,所以对于函数选择题,利用特值法求解是做此类题目的一个亮点.8．2 sin 2α⋅1 + cos 2αcos 2 αcos 2α= （）A．tanαB．tan 2αC．1 D．12【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用2 sin 2α cos2 α 2 s in 2αcos2 α【正确解答】解法(1) ⋅=⋅= tan 2α.选B1+ cos 2αcos 2α 2 cos 2αcos 2απ解法(2) 可以用特殊值验证（令α=）得之.选B.6【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相562 332x = ,y =近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称, 就可以使用.9．已知双曲线 x 2- y 2= 1的焦点为 F 1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,则点 M 到x 轴的距离为（）A ． 43B ． 53C ．2 3 D ． 3【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质.【正确解答】设 M (x , y ) ， x > 0, y > 0 ， F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，则 MF 1 = (x + 3, y ), MF 2 = (x - 3, y )由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,，则(x + 3)(x - 3) + y 2= 0 ，又因为点 M 在双曲线上，x -所以 y =.选 C y = 1，2解法 2：由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0 ,得 MF 1⊥MF 2,不妨设 M(x,y)上在双曲线右支上，且在 x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵a=1,b= ,c=,e= ,得 2 5 22 ,由此 33可知 M 点到 x 轴的距离是3,选(C)【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要 注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直 线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥 曲线的最值等问题有很强的运用.32 3 3 2 32 2722 F 1F 2PF 1 + PF 2 1+ 23 4 10．设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ． 22B ． 2 -12C ． 2 -D ． -1【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.【正确解答】设 F 1 (-c , 0) ， F 2 (c , 0) ，由题意易知， PF 2 = F 1F 2 = 2c , PF 1 = 2 2c ，2c1 ∴e = = = = 2a2 - 1，选 D.b 2 解法 2：由题意可得 a = 2c ,∵b 2=a 2-c 2e= c a,得 e 2+2e-1=0,∵e>1,解得 e=-1,选(D)【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列. 这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好的方法, 本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题. 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A ．3 个B ．4 个C ．6 个D ．7 个【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面α的同侧.只要考虑将四个平面分成两组， C 1+ C 2/ 2.共有 7 种可能.选 D解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础 方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.12．计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A ～F 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则 A ×B=（）2 十六进制 0 1 23456789 A B C D E F十进制 012345678910 11 12 13 14 158⎨A ．6EB ．72C ．5FD ．B0【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.【正确解答】 E + D = 14 +13 = 27 = 1⨯16 +11 = 1B ，∵A=10,B=11, A ⨯ B = 10 ⨯11 = 110 = 6 ⨯16 +14 = 6E . ∴在 16 进制中 A ×B=6E,选 A 【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对 计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目, 解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多 多进行知识积累.二、填空题（4 分⨯4=16 分）13．已知复数 z 0 = 3 + 2i ,复数z 满足z ⋅ z 0 = 3z + z 0 ,则复数z = .【思路点拨】本题考查复数相等的定义. 设 z = a + bi (a ,b ∈ R ) ，再用复数相等的定义列方程组求解即可.【正确解答】 z = a + bi ,则 z ⋅ z 0 = (3a - 2b ) + (3b + 2a )i ， 3z + z 0 = (3 + 3a ) + (2 + 3b )i ， 故⎧3a - 2b = 3 + 3a ，得 a = 1,b = - 3 ，所求复数 z = 1- 3i⎩3b + 2a = 2 + 3b2 2 解法 2：由 z 0 =3 + 2i , 和z ⋅ z 0 = 3z + z 0 , 得 (z 0 - 3)z = z 0 ，z =z 0=3 + 2i = (3 + 2i) ⋅ (-i) = - 3i + 2 = 1 - 3 iz 0 - 3 2i2i ⋅ (-i) 2 2 【解后反思】方程的思想在复数求值中的重要运用,自从我们学习了方程,方程就成为我们求值的重要手段,面对本题相似的问题时,应优先考虑到方程的思想,应大胆假设,细心求解,所有问题可以迎刃而解.14．已知向量OA = (k ,12), OB = (4, 5), OC = (-k ,10) ，且 A 、B 、C 三点共线，则 k= . 【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件.k - 4 4 + k2【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知：= ⇒ k=- . 12 - 5 5 -10 39⨯解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得AB // AC ，AB = OB - OA , AC = OC - OA ,解之得 k = - 2.3解法（3） AB = (4 - k , -7), AC = (-2k , -2) ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得 k= - 23【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三 点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深 我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题 多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解 多题的效果.15．设 l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取 - 22,-3,-5 ,0, 5 , 2 23,2 2,用ξ表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量ξ的数学期望 E ξ=.【思路点拨】理解随机变量、数学期望等概念，会写离散型随机变量的分布列，并能在此基础之上求其数学特征.1【正确解答】由题意及点（0,0）到直线 y = kx + 1距离 d =有，随机变量ξ的分布k 2+1列为斜率 k-2 2 - 3- 5 25 232 2ξ13 1 2 2 3 12 3 1 2 1 3 P （ξ）1 71 7 17171 71 71 7故有 E ξ= (1+ + + + + + )=7 3 3 2 2 3 3 7. 解法 2：随机变量可能的取值为 x 1= 1 ,x 2= 1,x 3= 2,x 4=1,它们的概率分别为 p 1= 3 2 ,p 2= 7 2 2 ,p 3= 7 3 2,p 4= 1,7 7 ∴随机变量ζ的数学期望 E ζ=2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅1= 4 73 7 2 7 3 7 7【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决10此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC 、BC的距离乘积的最大值是【思路点拨】学会将平面几何问题转化为线性规划问题求解.【正确解答】以C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴建立直角坐标系， A (0, 4), B (3, 0) ，设P (x , y ) 且0 < x < 3, 0 < y < 4 ，则 AB 直线方程为 4x + 3y -12 = 0 .点 P 到 AC 、BC 的距离乘积 xy = x (- 4 x + 4) = - 4 (x - 3) 2+ 3 ≤ 333 2所以最大值为 3.解法 2：P 到 BC 的距离为 d 1,P 到 AC 的距离为 d 2,则三角形的面积得 3d 1+4d 2=12,∴3d 1 ⋅ 4d 2 ≤ (12)2 = 62 = 36 ,∴d 1d 2 的最大值为 3,这时 3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2 得 d 1=2,d 2= 32 2【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分 析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法. 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等. 三.解答题（共 74 分） 17．(本小题满分 12 分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.【思路点拨】本题考查独立事件概率的求法.【正确解答】（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A 、B 、C ， 则 A 、B 、C 相互独立， 由题意得：33VDBP（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1 P（BC）=P（B）P（C）=0.125解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5（Ⅱ）∵A、B、C 相互独立，∴ A、B、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P( A ⋅B ⋅C) =P( A)P(B)P(C) = 0.8⨯ 0.75⨯ 0.5 = 0.3∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p = 1-P( A ⋅B ⋅C) = 1- 0.3 = 0.7【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已.18．(本小题满分12 分)如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；C （Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．A【思路点拨】熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定及其相互推导.并了解每个定理所需要的条件和适用的范围.【正确解答】（Ⅰ）作AD 的中点O，则VO⊥底面ABCD．建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，1则 A（211，0，0），B（21，1，0），C（-2，1，0），D（-2，0，0），V（0，0，），2∴AB = (0,1, 0), AD = (1, 0, 0), AV = (- 1, 0, ) 2 2由AB ⋅AD = (0,1, 0) ⋅ (1, 0, 0) = 0 ⇒AB ⊥AD1133213⎬1 AB ⋅AV = (0,1, 0) ⋅(-, 0, ) = 0 ⇒AB ⊥AV ，2 2又AB∩AV=A，∴AB⊥平面 VAD.（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB = (0,1, 0) 是面 VAD 的法向量. 设n = (1, y, z) 是面 VDB 的法向量，则⎧ ⎧ 1 3 ⎧x =-1⎪n ⋅VB = 0⇒⎪(1, y, z) ⋅(- ,1, -) = 0⇒⎪ ⇒n= (1,- 1,3)⎨ ⎨⎪⎩n⋅BD=0⎪⎩2 2(1, y, z) ⋅(-1, -1, 0) = 0(0,1, 0) ⋅(1, -1,3)⎨⎪⎩z=-33∴c os <AB, n >= 3 =-21，1⨯21 7 3又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos .7解法2：（Ⅰ）证明：平面VAD ⊥平面ABCDAB ⊥ADAB ⊂平面ABCD ⎫⎪⎪⇒AB ⊥平面VAD ⎪AD =平面VAD ⋂平面ABCD⎪⎭（Ⅱ）解：取VD 的中点E，连结AE，BE∵VAD 是正三角形∴AE⊥VD，AF= AD2∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，∠AEB 是所求二面角的平面角于是，tan ∠AEB =AB =2 3AE 3即得所求二面角的大小为arctan32 312【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力,并要注意直线和平面之间各种1314位置关系的相互推导，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形, 解:利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何 问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形, 坐标才会容易求得. 19．（本小题满分 12 分）△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a ，b ，c 成等比数列，cos B = 3.4（Ⅰ）求 cotA+cotC 的值；3（Ⅱ）设 BA ⋅ BC = , 求a + c 的值.2【思路点拨】本题考查：1.三角式的化简、求值；2.向量法的应用.解决问题 1.应该注意先整理所求三角式，再利用公式、性质等进行化简，最后将已知条件（可能要在整理之后）代入化简后的三角式求值.解决问题 2.则应该注意使用数形结合的思想方法并注意随时与问题的具体情境相结合.【正确解答】（Ⅰ）由cos B = 3, 得sin B = 4= 7 ,4由 b 2=a c 及正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C . 于是cot A + cot C = 1 + 1= cos A + cos C = sin C cos A + cos C sin A = sin( A + C )tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B=sin B sin 2 B = 1 = 4 7.sin B 7（Ⅱ）由 BA ⋅ BC = 3 得ca ⋅ cos B = 3 ,由cos B = 3,可得ca = 2,即b 2 = 2.22 4由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB得 a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5.(a + c )2 = a 2 + c 2 + 2ac = 5 + 4 = 9,a + c = 3【解后反思】当问题中出现三角形边、角之间的比例关系时，应首先考虑采用正弦定理，因 为所有三角基本公式中只有它涉及边与角之间的比例关系.利用正弦定理求角时,注意有可能出现多解情况,要好好讨论,防止出现漏解或多解情况. 20．(本小题满分 12 分)1 - ( 3)2 4151 2 n21 41 k n1n在等差数列{a n }中，公差 d ≠ 0, a 2是a 1与a 4 的等比中项.已知数列 a 1 , a 3 , a k , a k , , a k , 成等比数列，求数列{k n }的通项 k n .【思路点拨】本题考查等差、等比数列的性质.要求考生熟练掌握等差等比数列的定义、通项公式及其由来. 【正确解答】由题意得： a 2 = a a即(a +d )2= a (a + 3d )111又 d ≠ 0, ∴ a1= d又 a 1,a 3, a k , ak 2, a k n 成等比数列,∴该数列的公比为 q =a3=3d= 3， a1d所以a = a ⋅3n +1又 a k n= a 1+ (k n-1)d = k na1∴k = 3n +1所以数列{k n}的通项为 k n= 3n +1【解后反思】理解公比 q 和公差 d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用基本量法是解决数列的重要方法,在等差数列中,把所有值转化成首项和公差,在等比数列中,把所有值转化成首项和公比,一定可以求解,不过在某些题目中,用;这种方法会比较难,所以在某些步骤中采用数列的性质,能简化计算过程,达到快速求解的目的. 21．（本小题满分 14 分）设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线 y = 2x 2上，l 是 AB 的垂直平分线.1122（Ⅰ）当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.【思路点拨】根据题目所给条件绘制草图，寻找函数代数、几何性质的结合点是解决综合题 的主要途径之一.适当选取等价条件将原问题转化为熟知的问题是解决综合应用问题的关161 1 键.【正确解答】（Ⅰ） F ∈ l ⇔| FA |=| FB |⇔ A , B 两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是 x 轴的平行线， y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0,依题意y 1 , y 2 不同时为 0，∴上述条件等价于 y = y ⇔ x 2 = x 2 ⇔ (x + x )(x - x ) = 0;12121212∵ x 1 ≠ x 2 ，∴上述条件等价于 x 1 + x 2 = 0.即当且仅当 x 1 + x 2 = 0 时，l 经过抛物线的焦点 F.（II ）设 l 在 y 轴上的截距为 b ，依题意得 l 的方程为 y = 2x + b ；过点 A 、B 的直线方程可写为 y = - x + m ，所以 x , x 满足方程 2x 2+ 1x - m = 0, 得 x + x = - ；2 1 221 24A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式∆ = 1+ 8m > 0,4即 m > - 1.32设 AB 的中点 N 的坐标为(x 0 , y 0 ) ，则x = 1 (x + x = - 1 , y = - 1 x + m = 1+ m . 0 2 1 2 8 0 2 0 16由 N ∈ l , 得 1 16 + m = - 1 + b ,于是b = 54 16+ m > 5 - 1 16 32 = 9 .32 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为（ 9 ,+∞）.32【解后反思】这是一道常规的解析几何的问题,也是近年高考数学常考的重要内容之一,解析几何属于比较讲究步骤的这一类问题,我们可以遵循这样的步骤:先将直线或曲线设出,然后 将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一道方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积, 最后再根据题目的要求求解,在求解的过程中,要注意韦达定理存在的条件,同时也要加强对 计算能力的训练.22．（本小题满分 12 分）4x 2 - 7 已知函数 f (x ) = 2 - x, x ∈[0,1].（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间和值域；171 0 （Ⅱ）设a ≥ 1，函数 g (x ) = x 3 - 3a2 x - 2a , x ∈ [0,1].若对于任意x ∈ [0,1],总存在x ∈ [0,1],使得 g (x 0 ) = f (x 1 ) 成立，求 a 的取值范围.【思路点拨】本题由分式函数的有关性质，考查运算能力和思维能力.涉及导数在解决分式函数、高次函数问题中的重要应用，熟练掌握导数的运算法则是解决这类问题的关键.而第 （Ⅱ）问中对 a 的讨论是解决这一问题的难点，也是作为压轴题的亮点.【正确解答】（I ）对函数 f (x ) 求导，得 f '(x ) =令 f '(x ) = 0解得 x = 1 或x = 7.- 4x 2 + 16x - 7 (2 - x )2= -(2x - 1)(2x - 7) (2 - x )2 2 2当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：所以，当 x ∈ (0, 1 )时， f (x ) 是减函数；当 x ∈ ( 1 2 2,1)时， f (x ) 是增函数.当 x ∈ [0,1] 时， f (x ) 的值域为[－4，－3].（II ）对函数 g (x ) 求导，得 g '(x ) = 3(x 2- a 2).因为 a ≥ 1，当 x ∈ (0,1) 时， g '(x ) < 3(1 - a 2) ≤ 0.因此当 x ∈ (0,1) 时， g (x ) 为减函数，从而当 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈ [g (1), g (0)].又 g (1) = 1 - 2a - 3a 2, g (0) = -2a , 即 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈[1 - 2a - 3a 2,-2a ].任给 x 1 ∈[0,1]， f (x 1 ) ∈[-4,-3]，存在 x 0 ∈ [0,1]使得 g (x 0 ) = f (x 1 )，⎧1 - 2a - 3a 2 ≤ -4, ①则[1 - 2a - 3a 2,-2] ⊃ [-4,-3].即 ⎨⎩- 2a ≥ -3.②解①式得a ≥ 1或a ≤ - 53 ；解②式得 a ≤ 3 . 2又a ≥ 1，故 a 的取值范围为1 ≤a ≤3 .2【解后反思】注意导数是新课改重要内容，是高考的又一热点，也是学生学习数学的难点，导数在高中数学中有如下几种应用：(1)求单调区间；(2)求函数的极值；(3)求切线；(4)求最值.必须认真学好.18。

2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（甲卷）理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ìü=<<=££íýîþ，则M N =I （）A.103x x ìü<£íýîþ B.143x x ìü£<íýîþC.{}45x x £< D.{}05x x <£2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A .312i --B.312i -+ C.32i -+ D.32i --4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259»）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.65.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF Ð=°=，则C 的离心率为（）A.2B.2C.D.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C ¢¢¢满足45A C B Т¢¢=°，60A B C ¢¢Ð¢=°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ¢与CC ¢的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A B C ¢¢¢的高度差AA CC ¢¢-约为1.732»）（）A.346B.373C.446D.4739.若cos 0,,tan 222sin p a a a a æöÎ=ç÷-èø，则tan a =（）A.15B.C.3D.310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.4511.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ^==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.12 B.12C.4D.412.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x Î时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f æö=ç÷èø（）A.94-B.32-C.74D.52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+r r r r r ．若a c ^r r ，则k =________．15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．16.已知函数()2cos()f x x w j =+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为________．三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品 合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ^（1）证明：BF DE ^；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．21.已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r q =．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =u u u ru u u r，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +³，求a 的取值范围．答案及解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ìü=<<=££íýîþ，则M N =I （）A.103x x ìü<£íýîþB.143x x ìü£<íýîþC.{}45x x £< D.{}05x x <£【答案】B 【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=££，所以1|43M N x x ìüÇ=£<íýîþ,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+´==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++´==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68´+´+´+´+´+´+´+´+´+´+´+´=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于´频率组距组距.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+ D.32i --【答案】B 【解析】【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++×-+====-+--×.故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259»）A. 1.5 B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C 【解析】【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.11010100.8V --===».故选：C .5.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF Ð=°=，则C 的离心率为（）A.2 B.2C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF Ð=°,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-´××°，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---L 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C ¢¢¢满足45A C B Т¢¢=°，60A B C ¢¢Ð¢=°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ¢与CC ¢的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A B C ¢¢¢的高度差AA CC ¢¢-约为1.732»）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B 【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ^，过B 作'BD AA ^，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH Ð=°，所以100''tan15CH C B ==°在'''A B C V 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===°°°°°，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304°=°-°=°°-°°=，所以1004''1)273A B ´´==+»，所以''''100373AA CC A B -=+»．故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9.若cos 0,,tan 222sin p a a a a æöÎ=ç÷-èø，则tan a =（）A.15B.5C.3 D.3【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin a a a a a a ==-，再结合已知可求得1sin 4a =，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin aa a=-Q 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin a a a aa a a a\===--，0,2p a æöÎç÷èøQ ，cos 0a \¹，22sin 112sin 2sin a a a \=--，解得1sin 4a =，cos 4a \==，sin tan cos 15a a a \==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin a .10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23 D.45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.11.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ^==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.12 B.12C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】由题可得ABC V 为等腰直角三角形，得出ABC V 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ^==Q ，ABC \V 为等腰直角三角形，AB \=，则ABC V 外接圆的半径为2，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以11111332212O ABC ABC V S d -=×=´´´´=V .故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x Î时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f æö=ç÷èø（）A.94-B.32-C.74D.52【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=Þ=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-Þ=Þ=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f æöæöæöæö=+=-+=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø1335112222f f f f æöæöæöæö-=-+=-+=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø511322=2222f f f f æöæöæöæö-=-+=--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø所以935222f f æöæö=-=ç÷ç÷èøèø．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f æöæöæö==-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++¢，所以1|5x y =-=¢．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+r r r r r ．若a c ^r r ，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c r的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==\=+=+r r r r Q r,(),33110a c a c k ^\=++´=Q n r r r r ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==r r垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PF PF ^，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.16.已知函数()2cos()f x x w j =+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),(43f f p 4p-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T p p p =-=，即2T pp w==，所以2w =；由五点法可得232p p j ´+=，即6p j =-；所以()2cos 26f x x p æö=-ç÷èø.因为7()2cos 143f p 11p æö-=-=ç÷èø，()2cos 032f 4p 5p æö==ç÷èø；所以由74(()())(()(043f x f f x f p p--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f p p p æöæö=-<-=ç÷ç÷èøèø，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x p æö-<ç÷èø，解得,36k x k k p 5p p +<<p +ÎZ ，令0k =，可得536x <<pp ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f p æö=-<ç÷èø，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解w ，根据特殊点求解j .三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品 合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ´-´==>>´´´,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ³时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n -=+=所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ³时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ³时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ^（1）证明：BF DE ^；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）112B D =【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ^底面ABC ，所以1BB AB ^因为11//A B AB ，11BF A B ^，所以BF AB ^，又1BB BF B Ç=，所以AB ^平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2B A C B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ££）．（1）因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--uu u v u uu v，所以()()0121120BF DE a ×=´-+´+´-=uu u v uu u v，所以BF DE ^．（2）设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =u r，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--uu u v u u u v，所以00m EF m DE ì×=í×=îu u u v v u u u v v ，即()0120x y z a x y z -++=ìí-+-=î．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-v因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =u u u r，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为q ，则cos m BA m BA q ×===×u u u v v u u u v v ．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos q3=．所以()minsin 3q ==，此时112B D =．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出(),0,2D a （02a ££），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M e 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ^，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +×与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ^\×=-=-=\=uu u r uu u r Q ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M e 与1x =相切，所以半径为1，所以M e 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为(3)3y x -=-，又1313313131,03A A y y k y x x y y -====\=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A Q 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-×=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|y -+=221==，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +×与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.21.已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2æùçúèû上单调递增；2,ln2éö+¥÷êëø上单调递减；（2）()()1,,e e È+¥.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ¢--===n n n ,令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x ¢>,当2ln 2x >时，()0f x ¢<,∴函数()f x 在20,ln2æùçúèû上单调递增；2,ln2éö+¥÷êëø上单调递减；（2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==Û=Û=Û=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-¢=,令()0g x ¢=，得x e =,在()0,e 内()0g x ¢>,()g x 单调递增；在(),e +¥上()0g x ¢<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e\==,又()10g =，当x 趋近于+¥时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,e e È+¥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r q =．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =u u u r u u u r，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y qqì=-+ïí=ïî（q 为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos r q =，将cos ,sin x y r q r q ==代入可得；（2）设(),P x y ，设)Mq q +，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程r q =可得2cos r q =，将cos ,sin x y r q r q ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mq qQAP =u u u r u u u r ，())()1,22cos x y q q q q \-=+-=+，则122cos 2sin x y q q ì-=+ïí=ïî，即32cos 2sin x y qq ì=+ïí=ïî，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y qq ì=+ïí=ïî（q 为参数）Q曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<-Q ，\两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +³，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ³【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A æöç÷èø时a的值可求.【详解】（1）可得2,2 ()22,2x xf x xx x-<ì=-=í-³î，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg x x x x xxì-<-ïïï=+--=+-£<íïï³ïî，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a+=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f xg x图像，()y f x a=+是()y f x=平移了a个单位得到，则要使()()f x ag x+³，需将()y f x=向左平移，即0a>，当()y f x a =+过1,42A æöç÷èø时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a \³.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。

2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号；2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑选项，非选择题在答题卡上作答；3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

1.(5分) 设集合M={x|0<x<4}，N={x|≤x≤5}，则M∩N=（）A。

{x|0<x≤} B。

{x|≤x<4} C。

{x|4≤x<5} D。

{x|0<x≤5}2.(5分) 对某地农村经济情况进行抽样调查，得到收入频率分布直方图。

下列结论中不正确的是（）A。

低于4.5万元的农户比率估计为6%B。

不低于10.5万元的农户比率估计为10%C。

农户年收入平均值不超过6.5万元D。

有一半以上的农户年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.(5分) 已知，则z=（）A。

-1-i B。

-1+i C。

+i D。

-i4.(5分) 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。

已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）1.5、1.2、0.8、0.65.(5分) 已知双曲线C的两个焦点为F1和F2，点P在C上且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A.≈1.259 B。

C。

D.6.(5分) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E、F、G。

该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（）A。

B。

C。

D.7.(5分) 等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(5分) 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。

2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)通过整理的2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，，则(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）(C) [3,+）(D)（0，2] [3,+）（2）若，则（A）（B）（C）（D）（3）已知向量BA，BC，则（A）30° （B）45° （C）60° （D）120° （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）若，则（A）（B）（C）（D）（6）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（A）3 否是n=0，s=0 输入a,b 输出n 开始结束a=b-a b=b-a a=b+a s=s+a,n=n+1 s&gt;16 （B）4 （C）5 （D）6 （8）中，，边上的高等于，则（A）（B）（C）（D）（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）（D）（10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球．若，，，，则的最大值是（A）（B）（C）（D）（11）已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左,右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（A）（B）（C）（D）（12）定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数 . 若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x²4x+3在区间（a，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围是（）。

A. a≥1B. a≤1C. a＞1D. a＜13. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+c²b²=ac，则角B的度数为（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 若函数f(x)=x²+2ax+a²3是一个偶函数，则实数a的值为（）。

A. 0B. 1C. 1D. 35. 已知函数f(x)=|x1|，则f(f(2))的值为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则a²>b²。

（）2. 任何两个实数的和都是实数。

（）3. 三角形两边之和大于第三边。

（）4. 一元二次方程的解必定是实数。

（）5. 函数y=2x+3在实数范围内是单调递增的。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(0)=______。

2. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第5项a5=______。

3. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于原点的对称点坐标为______。

4. 若函数f(x)=x²+2x+1在区间[0,2]上的最大值为M，最小值为N，则MN=______。

5. 已知sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及其通项公式。

2. 解释函数的单调性及其判定方法。

3. 如何求解一元二次方程的根？4. 简述三角形面积的计算公式。

5. 解释坐标轴上两点间距离的计算方法。

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，集合，则的元素个数为（）A. B. C. D.2. 设复数满足，则D. C. A. B.3. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在，月D.各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳4. 的展开式中的系数为（） A. B. C. D.5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为A.B.C. D.6. 设函数，则下列结论错误的是（）试卷第1页，总4页A. 的一个周期为B. 的图象关于直线C. 的一个零点为D. 在单调递减7. 执行如图的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为（）对称A. B. C. D.8. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A. B. C.D.9. 等差数列的首项为，公差不为．若，，成等比数列，则前项的和为（） A. B. C. D.10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 A.C.B. D.11. 已知函数有唯一零点，则（）D. A. C. B.12. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（） A.B. C.D.试卷第2页，总4页二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

若，满足约束条件，则的最小值为________．设等比数列满足，，则 ________．设函数，则满足的的取值范围是________．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最小值为；其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。