抛物线下相似三角形综合题的解题策略

专题复习：抛物线中的相似三角形 常山育才中学：杨焕【教学目标】1.掌握两个三角形相似的判定方法。

2.经历，体会先找角，再找边，最后利用比值来解决抛物线中相似三角形的存在性问题。

3.培养分类讨论思想，数形结合思想，提高学生综合分析问题的能力。

【教学重点】共角型或等角型相似三角形的存在性问题；抛物线中的相似三角形存在性问题。

【教学难点】综合应用的第2题角度不是直角学生较难理解；点在不同象限时，需要利用分类讨论进行距离的表示，较难理解。

【基础训练】1.已知点A(-1,0),点B （0，2），x 轴上有一个点C ，若△OAB 与△OBC 相似，请写出所有满足条件的点C 的坐标___________________. 2.已知点A(-2,0),点B （0，3），y 轴上有一个点C ，若△OAB 与△OAC 相似，请写出所有满足条件的点C 的坐标___________________. 3.已知点A(-1,0),点B （0，3），点C （3，3）,若y 轴上有一个点P ，若△OAB 与△PBC 相似，请写出所有满足条件的点P 的坐标___________________.【综合应用】1.如图，已知抛物线y=-x 2+3x+4经过 A （0，4），B （4，0），C （-1，0）三点．过点A 作垂直于y 轴的直线l ．在抛物线上有一动点P(点P 位于对称轴的右侧)，过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q ．连接AP ．是否存在点P ，使得以A 、P 、Q 三点构成的三角形与△AOC 相似？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.备用图2.如图，抛物线与x 轴交于点B （1，0）、C （-3，0），且过点A （3，6）．设此抛物线的顶点为P ， 在x 轴上找一点M ，使以点B 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点M 的坐标．备用图【能力提升】如图，抛物线分别与坐标轴交于点A,B,C.(1)请判断△ABC是什么三角形，并证明。

相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)．例题解析例❶如图1-1,抛物线y=1x2-3x+4与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动82直线EF(EF//x轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段0B上以每秒2个单位的速度向原点0运动.是否存在t,使得△匕卩卩与厶ABC相似.若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.图1-1【解析】ABP卩与厶ABC有公共角ZB，那么我们梳理两个三角形中夹ZB的两条边.△ABC是确定的.由y=x2-x+4，可得A(4,0)、B(&0)、C(0,4).782于是得到BA=4,BC=4*5.还可得到C E=C0=1.EF OB2△BPF中，BP=21,那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了. 在RtAEFC中，CE=t,EF=21,所以CF=^5t.因此BF=处5-呂二*；5(4-1).于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程BABP ①当—时，BCBF42t44_—.解得t—（如图1-2）. 4冒55（4-1）3BABF ②当—时，BCBP4—〔5（4-1）.解得1—20（如图1-3）. 4f5217得顶点M(1,-图1-2 图1-3例❷如图2-1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=120°.(1)这条抛【解析】AABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第(2)题求ZAOM的大小作铺垫；求得了ZAOM的大小，第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与ZAOM相等的角.(1)如图2-2,过点A作AH丄y轴，垂足为H.容易得到A(-1,3).再由A(-1,J3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y二辜x2-睾x.⑵由y吕x2一斗x召(x-1)2-斗,v33(3)由A (-1,\：'3)、B(2,0),可得ZABO=30°. 因此当点C 在点B 右侧时，ZABC=ZA0M=150°. 所以△ABC 与AAOM 相似，存在两种情况：① 当燮=_°A 仝时，BC =BA ==2.此时C(4,0)(如图2-3).BCOM J3弋3 BC OA —② 当==时，BC =x/3BA =\3x 2\；3=6.此时C (8,0)(如图2-4).BAOM图2-3.图2-4例❸如图3-1,抛物线y=ax 2+bx —3与x 轴交于A(l,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M,过M 作MN 丄x 轴于点N,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图3-1【解析】AAMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程.所以 tan ZBOM=.所以ZBOM=30。

抛物线中的相似问题三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1与x 轴交于两点A (－1,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2：在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．例3、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA =OD =2，OC =OE =4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合)，PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q . (1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；(2)是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；练习题： 练1、（09青海）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标； （2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．练2、、已知抛物线2y ax bx c =++经过0P E ⎫⎪⎪⎝⎭及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC△与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练3：如图1，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8。

初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。

分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）当三点设置法不能解决待证问题时，即线段比例公式中的四条线段在图中均在同一条直线上，不能形成三角形，或四条线段形成两个三角形，但两个三角形不相似时，就需要根据已知条件，找到与比例公式中的一条线段相等的线段来代替这条线段。

如果没有，可以考虑加一条简单的辅助线。

然后用三点成形法确定相似三角形。

只要代入得当，问题往往可以解决。

当然，也要注意最后把被替换的线段替换回来。

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：1、等比过渡法（等比代换法）当用三点设置法无法确定三角形，又没有等比线段代换时，可以考虑等比代换法，即可以考虑使用第三组线段的比比例桥，即通过对已知条件或图形的深入分析，在验证的结论中找到等于某一比值的比值并进行代换，再用三点设置法确定三角形。

相似三角形的解题技巧与策略相似三角形作为几何学中的重要概念，广泛应用于各类数学问题中。

解题过程中，正确掌握相似三角形的性质和解题技巧是至关重要的。

本文将介绍相似三角形的定义、性质，并提供几种常用的解题策略。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

具体定义如下：定义1：若两个三角形的对应角相等且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

根据这个定义，相似三角形的性质如下：性质1：对应角相等。

相似三角形的对应角相等，即两个相似三角形的所有内角相等。

性质2：对应边成比例。

相似三角形的对应边成比例，即两个相似三角形的三条对应边的比值相等。

性质3：比例常数。

相似三角形的对应边之比等于一个常数。

这个常数被称为相似比例。

二、1. 判断相似三角形判断两个三角形是否相似的常用方法是比较它们的对应角和对应边是否成比例。

当给定两个三角形的所有对应角相等时，可以使用如下方法判断它们是否相似：方法1：对应角相等且有一个对应边成比例，则两个三角形相似。

方法2：对应角相等且两个对应边成比例，则两个三角形相似。

当给定两个三角形的某些对应角相等时，可以使用如下方法判断它们是否相似：方法3：如果两个三角形的两组对应角之比相等，则两个三角形相似。

2. 求解相似比例在解题过程中，一个常见的问题是求解相似三角形的相似比例。

以下介绍几种常见的求解方法：方法1：已知相似比例和一个对应边的长度，可以求解另一个对应边的长度。

方法2：已知相似比例和一个对应边的长度，可以求解相似三角形的周长。

方法3：已知两个相似三角形的面积比例和一个对应边的长度，可以求解另一个对应边的长度。

3. 求解未知边长当一个三角形是另一个大三角形的相似三角形时，可以使用以下方法求解未知边长：方法1：已知大三角形的一条边与相似三角形的对应边之比，可以求解相似三角形的对应边长。

方法2：已知大三角形的所有边长，可以求解相似三角形的所有边长。

三、示例与应用以下列举几个相似三角形的解题示例：1. 已知两个相似三角形的一个对应边长和相似比例，求解另一个对应边长。

用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。

一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。

这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。

二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。

一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。

3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。

三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。

2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。

确保图形准确无误。

3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。

4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。

可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。

5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。

可以通过代入已知量和已知比例求解。

四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。

2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。

3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。

4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。

有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。

综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。

中考前数学压轴题「抛物线与相似三角形存在性」多种解法思路初中数学，玩的就是几何。

相似三角形存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法,对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

笔者拟就九年级周末作业中的一道题目为例，从不同角度，用不同策略，多种方法解密相似存在性问题。

第一类：化斜为直处理反思：直角坐标系中只有与坐标轴平行或垂直的线段才方便与点的坐标建立联系，故在直角坐标系背景下处理线段问题，常采用'化斜为直'的解题策略。

根据形似三角形的判定定理3：两角相等的两个三角形相似．目标△CED与△AOC中有∠CED＝∠AOC＝90°，故两个三角形相似则需再有一组角对应相等．故将三角形相似问题转化为等角问题处理．故还可以采用以下处理方法。

第二类：垂直处理第三类：等腰处理第四类：图形变换处理第五类：对称处理反思：利用对称处理其本质是互相垂直的线段的处理，即以互相垂直的两条线段的端点作系列水平竖直线，构造'三垂直'相似，也可理解为以互相垂直的两条线段为斜边构造两个直角三角形，利用相似或三角函数的知识解决问题．其核心仍是'化斜为直'思想的运用．第六类：一线三等角反思：'一线三等角'是极其重要的相似形，在解题中可将其视为'工具'，其运用分三重境界，一重境是一线上已具备三个等角，只需识别模型，再证明相似，直接运用；二重境是一条线上有两个等角，需在补上一个等角，构造模型解题；三重境是一条线上只有一个等角，需补上两个等角，构造模型解题。

这种模型的关键是一线加顶点在这条线上的三个等角，解题时模型完整则直接用之，模型残缺则补全模型再用之．。

中考数学中如何运用相似三角形解决实际问题关键信息项：1、相似三角形的定义和性质2、实际问题的类型和特点3、解决实际问题的步骤和方法4、常见错误和注意事项11 相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

其性质包括：对应边的比值相等；对应角相等；周长的比值等于相似比；面积的比值等于相似比的平方等。

111 相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法主要有以下几种：（1）两角对应相等的两个三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

112 相似三角形性质的应用在解决实际问题中，相似三角形的性质常用于计算线段的长度、角度的大小以及图形的面积等。

12 实际问题的类型和特点在中考数学中，运用相似三角形解决的实际问题类型多样，常见的包括测量问题（如测量物体的高度、宽度、距离等）、投影问题（如路灯下的人影长度、建筑物的影子长度等）、几何图形问题（如三角形、四边形等的相似关系）等。

这些实际问题的特点通常是给出部分已知条件，需要通过构建相似三角形来求解未知量。

121 测量问题例如，要测量一个旗杆的高度，但无法直接测量。

可以在旗杆旁边立一根已知长度的标杆，在同一时刻测量标杆的影子长度和旗杆的影子长度，利用相似三角形对应边成比例的性质，计算出旗杆的高度。

122 投影问题当光线照射物体时形成的影子与物体和光源构成相似三角形。

通过测量相关的长度和角度，可以运用相似三角形的知识求出物体的高度或距离。

123 几何图形问题在一些复杂的几何图形中，可能存在多个相似三角形，需要通过仔细分析图形的特点和条件，找出相似关系，进而求解问题。

13 解决实际问题的步骤和方法131 分析题目仔细阅读题目，理解问题的背景和所给条件，确定需要求解的未知量。

132 构建相似三角形根据题目中的实际情况，找出或构建出相似三角形。

这可能需要观察图形中的角度关系、边长比例等。

133 列出比例式根据相似三角形对应边成比例的性质，列出相应的比例式。