2015_2016高中数学3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)教案新人教A版必修5

含参的一元二次不等式及其解法的教学设计一、教学内容分析含参的一元二次不等式及其解法为人教A版必修五第3章第二节《一元二次不等式及其解法》的引申内容，含参的一元二次不等式及其解法是联系不等式、函数、方程、几何、三角函数等的桥梁和纽带，在高考中常常以导数的形式出现，结合函数、不等式等知识考察学生的综合应用知识的能力，因此该部分内容非常重要，是高考重点考察知识。

二、学习者特征分析本节课授课对象为区重点学校高一年级的学生，大部分学生思维比较活跃，对数学比较有兴趣，前面学习了不含参的一元二次不等式的解法，解法掌握的较扎实，数形结合思想的应用也比较灵活、恰当。

三、教学策略与方法因该部分内容与不含参的一元二次解法、步骤一样，学生的理解力较高，所以本节课基本采用的是学生自学、自主探究与合作交流相结合的方式，教师只起到引导、点拨、归纳的作用，本节课以问题串、变式题相结合使学生自己发现问题、分析问题最后解决问题然后自主总结归纳含参的一元二次不等式的解法，应该如何讨论？讨论的依据是什么？分几类讨论？让学生明白变与不变的辩证关系及在变化中发展自己的思维能力．四、教学目标：知识与技能：通过含参的一元二次不等式及其解法的学习进一步熟悉求解一元二次不等式的方法、步骤．同时能数正确的分类讨论来解含参数的一元二次不等式，提高学生数形结合的能力，分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力．过程与方法：从熟悉的解一元二次不等式问题入手通过把系数变换成字母来探究其解法，在变式中对比发现问题的同源性，同时在解决问题中感受参数对问题的影响，明确分类的原因和标准，学会对参数进行正确的分类讨论．情感、态度与价值观：通过探究，增强对数学的亲和力，面对困难，培养坚韧的意志，勇于探索、勇于创新的精神。

五、教学重难点教学重点：含参数一元二次不等式的解法,分类讨论的原则和标准。

教学难点：对参数进行正确的分类讨论如何做到不重不漏．六、教学过程（一）、自主学习问题探究师：前面我们学习了一元二次不等式及其解法，你还记得吗？首先我们来完成课前自测的几个小题。

3.2 一元二次不等式及其解法【课题】 3.2.2 一元二次不等式及其解法【教课目的】1、知识与技术目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可转变为一元一次不等式组；（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；2、过程与方法目标：经过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生浸透数形联合、等价变换、函数与方程等基本数学思想；3、感情、态度与价值观目标：经过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是互相联系、互相转变的，建立辨证唯物观。

．【教课要点】要点是一元二次不等式的解法．【教课难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．【课前准备】课件．【教课过程设计】教课环节教课活动设计企图（—）复习发问上节课我们只谈论了二次项系数 a 0 的一元二次不等式的求解问题。

一定有同学会问，二次项系数 a 0 的一元二次不等式怎样来求解？我们班上有谁能解答这个疑问呢？．(二 ) 研究与研究（学生谈论纷繁．有的说仍旧利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，．教师分别请持上述看法的学生代表进一步说明各自的看法．）创建情形生 1：只需将课本第87 页上表中的二次函数图像次依对于x 轴翻转变为张口向下的抛物线，再依据可得的图像即可求得二次项系数a0 的一元二次不等式的解集．生 2：我感觉先在不等式两边同乘以－ 1 将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就能够了．师：这两种看法都是符合逻辑且可行的．可是按前一看法来操作的话，同学们则需再记着一张近似于第 87 页上的表格中的结论．这不只加重了记忆负担，并且两表中的结论简单混杂致使错误，按后一种看法来操作时则不存在这个问题.问题反馈探练习究[训练一 ]求解二次项系数a0 的一元二次不等式对于二次项系数 a 0 的一元二次不等式是将其经过同解变形化为a0 的一元二次不等式来求解的，所以只需掌握了上一节课所学过的方法。

一元二次不等式（2）教学目标：经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．教学重点，难点：运用一元二次不等式解决实际问题教学过程：一．问题情境某文具店进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应该怎样制定这批台灯的销售价格？二、学生活动：三、知识建构：1、解决实际应用问题步骤：二．数学运用600m的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于2的矩形的面积最大？小结：例2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？小结：例3．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？小结：练习：书P79 练习 1、2三．回顾小结：知识： 思想方法：四．课外作业：书P79 习题3.2 3、4、5。

§3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x g x ；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D 解析x ＋5x －2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g＝x 2－3x ＋2>0g －＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f x，gx的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x ，g x 的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4. 三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解 由题意可列不等式如下：⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}， 方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧x －－＋x 2－2x ＋1>0，x －＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .。

人教版高中必修5-3.2：一元二次不等式及其解法教学设计一、教学目标本节课主要通过讲解一元二次不等式的定义、性质以及求解方法，让学生掌握解决实际问题的方法，使其具有初步解决实际问题的能力。

具体目标如下：1.理解一元二次不等式的定义及其解法。

2.掌握一元二次不等式求解的方法及其应用。

3.培养学生解决实际问题的能力。

二、教学重点难点1. 教学重点：1.掌握一元二次不等式的概念。

2.掌握一元二次不等式的性质。

3.掌握一元二次不等式求解的基本方法。

2. 教学难点：1.拟合实际问题，生成一元二次不等式。

2.计算不等式的解集。

三、教学过程设计1. 导入通过一个掷骰子的游戏引出实际问题，让学生了解到数学中的不等式与实际问题的联系。

2. 讲解1.概念：引出一元二次不等式的定义，让学生了解其概念及表达式形式。

2.性质：通过实例让学生掌握一元二次不等式的基本性质。

3.求解：介绍一元二次不等式的求解方法，并配以实例讲解具体步骤。

4.应用：通过实际问题的应用示范让学生掌握不等式的作用及意义。

3. 练习教师设置不等式的基本练习，通过练习让学生掌握一元二次不等式的求解方法及应用。

4. 总结让学生总结本节课的重点内容及学习方法，同时帮助学生发现学习中存在的不足之处并提出改进方法。

四、教学评价通过课堂练习及思考题考核，了解学生对于一元二次不等式概念、性质及求解方法的理解程度及学习进度。

同时，通过与学生进行个别交流，收集他们在学习中遇到的问题及建议，为今后的教学提供参考。

五、课后拓展1.自主拟合一元二次不等式解决实际问题。

2.阅读相关数学文章，拓宽知识面。

3.参与有关数学的社区活动，与他人交流学习心得。

必修5 3.2一元二次不等式及其解法（教案）（第2课时）【教学目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 2．进一步熟练解一元二次不等式的解法； 【重点】熟练掌握一元二次不等式的解法；【难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 78 页～第79页）1.当0<a 时，如何解一元二次不等式()?002<>++或c bx ax答：可以再不等式两边同乘以1-，将二次项系数化为正数后求，此时应注意不等号的变化；也可以通过移项的办法，即将不等号左边的所有项移到右边，注意变号.2.若一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{},21x x x x <<则可以判断 > 0，方程02=++c bx ax 的根分别为 21,x x .3.在例3中是如何构造二次不等式的？提示：从实际问题出发，利用刹车距离大于m 5.39，即m S 5.39>，抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解展开解决问题.4.在例四中，为什么对x 的取值进行限制？你从中得到的启发是什么？提示：实际问题中的变量都有明确的意义，在例4中，变量x 是指摩托车的车辆，不仅N x x ∈>且0，通过这个问题的解决，揭示在解决实际问题时，一定要注意变量的具体含义.5.如何解决一元二次不等式的应用？提示：对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言转换成数学语言，从而把实际问题转换成数学问题，同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑. 【基础练习】1.在下列不等式中，解集是φ的是（ D ）.(A)02322>+-x x （B ）0442≤++x x （C ）0442<--x x （D ）02322>-+-x x 2.一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数的条件是（ B ）. （A ）⎩⎨⎧>∆>00a （B ）⎩⎨⎧<∆>00a （C ） ⎩⎨⎧>∆<00a (D)⎩⎨⎧<∆<0a3.不等式()()021≤-+x x 的解集为（ C ）.（A ）{}12≤≤-x x （B ）{}21≤≤-x x （C ）{}21≥-≤x x x 或 （D ）{}12≥-≤x x x 或 4.二次函数342+-=x x y 在0<y 时x 的取值范围是31<<x .【典型例题】例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21801201x x S +=在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于m 5.39，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到01.0km/【审题要津】从实际问题出发，构造数学模型，抽象出一元二次不等式模型. 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到5.3918012012>+x x移项整理得：0711092>-+x x .显然 0>∆，方程0711092=-+x x 有两个实数根，即94.79,94.8821≈-≈x x .所以不等式的解集为{}94.7994.88>-<x x x 或.在这个实际问题中，0>x ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为94.79km/h.【方法总结】⑴把握问题中的关键量，找准不等关系；⑵用不等式表示不等关系；回扣实际问题；变式训练1：一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：x x y 22022+-=若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 【审题要津】解一元二次不等式应用题的关键是设未知数，根据题目中的不等关系列出一元二次不等式，解不等式即可.解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到.600022022>+-x x移项整理，得.030001102<+-x x因为0100>=∆，所以方程030001102=+-x x 有两个实数根60,5021==x x由二次函数的图象，得不等式的解为：.6050<<x因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在59~51辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益. 【方法总结】解不等式应用题，一般可按如下四个步骤进行： ⑴阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； ⑵引进数学符号，用不等式表示不等关系； ⑶解不等式； ⑷回扣实际问题.例2已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{}βα<<x x ，其中0>>αβ，则 不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）. （A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛αβ1,1 (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βα1,1 (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα1,1 (D)⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ 【审题要津】注意“三个二次”之间的关系及韦达定理的应用.解：由已知条件可知0<a ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c a b αββα()αββαa c a b =+-=∴,所以不等式02<++a bx cx 可转化为： ()02<++-a x a x a βααβ又0<a ，所以原不等式等价于()012>++-x x βααβ，即()()011>--x x βα又因为0>>αβ，所以原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 【方法总结】弄清一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式间的联系是求解一元二次不等式的关键.变式训练2：已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，求022<++a bx x 的解集.【审题要津】注意“三个二次”之间的关系及韦达定理的应用. 解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-aa b 231213121解得:2,12-=-=b a ,所以一元二次不等式022<++a bx x 可化为： 062<--x x即()()023<+-x x ，所以原不等式的解集为：{}32<<-x x .【方法总结】弄清一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式间的联系是求解一元二次不等式的关键.1.函数122-+=x x y 的定义域是（ C ）.（A ）{}34>-<x x x 或 (B){}34<<-x x （C ）{}34≥-≤x x x 或 （D ）{}34≤≤-x x2.已知关于x 的不等式0>+b ax 的解集是()+∞,1，则关于x 的不等式()()02>--x b ax 的解集是（ A ）.(A)()()+∞⋃-∞-,21, （B ）()2,1- （C ）()2,1 （D ）()+∞,2 3.若()862++-=k kx kx x f 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ C ）.（A ）{}10≤<k k （B ）{}10><k k k 或 （C ）{}10≤≤k k （D ）{}1>k k4.已知集合{}42<=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则集合=⋂N M （ C ）.（A ）{}2-<x x （B ）{}3>x x （C ）{}21<<-x x （D ）{}32<<x x 5.不等式)0(26322<<-m m mx x 的解集为（ B ）. （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-79m x m x （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<97m x m x （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<79m x m x x 或 （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>97m x m x x 或 6.已知集合{}{}121,01032-≤≤+=≤--=m x m x B x x x A ，且φ=⋂B A ,则实数m的取值范围为（ C ）.（A ）()2,∞- （B ）()+∞,4 （C ）()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,421, （D ）()4,27.函数()x x y 34log 25.0-=的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-143041x x x 或.8.已知不等式02<--b ax x 的解集为()3,2，则不等式012>--ax bx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x .9．用一根长为m 100的绳子围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？【审题要津】解一元二次不等式应用题的关键是设未知数，根据题目中的不等关系列出一元二次不等式，解不等式即可.解：设矩形一边为)(m x ，则另一边的长为()500,50<<-x m x ，由题意，得().60050>-x x 即0600502<+-x x ，解得3020<<x ，所以，当矩形的一边的长在()30,20的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形.用S 表示矩形的面积，则()()62525502+--=-=x x x S ()500<<x所以当25=x 时，S 取最大值，此时2550=-x ，即长、宽都是m 25时，所围成的矩形的面积最大. 【方法总结】对于实际应用题要注意能把实际问题转化成一元二次不等式，同时要注意实际的范围.10.已知0122>++mx mx 恒成立，求m 的范围.【审题要津】①对二次项的参数系数做出讨论；②属性结合. 解：①当0=m 时，01>显然成立. ②⎩⎨⎧<∆>0m 即⎩⎨⎧<->04402m m m 解得10<<m ， 由①②知：10<≤m .【方法总结】如果题目中没有明确02>++c bx ax 是一元二次不等式，应首先考虑二次项系数0=a 时的情形.1.已知不等式()01212≥++-x x k 对一切∈x R 恒成立，则实数k 的取值范围是2≥k .2.m 为何值时，关于x 的方程()()()03112212=-++++m x m x m 有两个异号的实根. 解：⎩⎨⎧<-+≠+.0)31)(1(,01m m m 即⎩⎨⎧>-+-≠.0)13)(1(,1m m m 所以：.311><-m。

3.2一元二次不等式及其解法【课题】3.2.2一元二次不等式及其解法 【教学目标】1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 【教学重点】熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 【教学过程设计】 0>，方程288.94,x ≈}88.94,79.94x >或在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩1000=>由二次函数的图象，得不等式的解为：x只能取正整数，车数量在51—59b?⊆，，且A B 练习：(1) 不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则a ＋b 的值是 （A ）10（B ）－10（C ）14 （D ）－14[解析]：不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-即方程022=++bx ax 的解为3121或-=x故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=+-aa b 231213121 212-=-=b a ∴14-=+b a 答案：D(2)．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或，求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．解析：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=ac 从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-ac x a b x即 01252<+-x x ∴221<<x答案：不等式的解集为{x |221<<x }(3)．已知函数R ，则实数m 的取值范围是 解析：依题意,当x R ∈时,2680mx mx m -++≥恒成立. 当m=0, x R ∈当0m ≠时⎩⎨⎧≤∆>00m即20(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+≤⎩ 解之得01m <≤,故01m ≤≤ 答案：01m ≤≤ （4）．有一批材料可以建成长为m 200的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），若所围成的矩形面积不少于1962m ，求中间隔离墙长度的取值范围？解析：设每个小矩形长为x ，宽为y ，则x x x x xy S y x 2004)4200(3,200342+-=-===+196≥491≤≤∴x答案：中间隔离墙长度的取值范围是 491≤≤x(5)．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?[解析]：（1）由题意得y ＝［1.2×（1＋0.75x ）－1×（1＋x ）］×1000（1＋0.6x ）（0＜x ＜1）， 整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200（0＜x ＜1）.（2）要保证本年度的利润比上年有所增加，必须⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.110,020602x x 解得0＜x ＜31.∴为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0＜x ＜0.33. 答案：y ＝－60x 2＋20x ＋200（0＜x ＜1）.；投入成本增加的比例x 应满足0＜x ＜0.33.(6)定义在R 上的减函数f (x ),如果不等式组⎩⎨⎧-+>-+>-+)1()13()2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何x ∈［0,1］都成立,求k 的取值范围解析:原问题⎩⎨⎧-+<-+<-+⇔2211321xkx kx k x kx 0,1］内恒成立⎩⎨⎧<-+>++-⇔0220122kx x k kx x 在x ∈［0,1］内恒成立 [][]⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=⇔上恒负在上恒正在1,022)(1,01)(2221kx x x f k kx x x f [][]⎩⎨⎧⇔上的最大值为负在上的最小值为正在1,0)(1,0)(21x f x f .211211为所求<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->⇔k k k 答案：211<<-x。

人教版高中必修5-3.2 一元二次不等式及其解法教学设计一、教学目标本节课的教学目标主要包括：1.理解一元二次不等式的概念和性质；2.掌握一元二次不等式的解法；3.学会利用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

二、教学重点和难点本节课的教学重点包括一元二次不等式的解法，教学难点包括应用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

三、教学内容和过程3.1 教学内容1.一元二次不等式的定义和性质；2.解一元二次不等式的基本方法：1.图像法；2.特殊方法；3.公式法；4.规律法；3.应用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

3.2 教学过程1.导入环节首先向学生介绍本节课的教学目标，并简单阐述今天要学习的内容和重点难点。

2.讲授环节2.1 讲解一元二次不等式的定义和性质。

首先通过数学公式介绍一元二次不等式的表达式，随后解析一元二次不等式的概念和性质，为下一步的解题打下基础。

2.2 讲解解一元二次不等式的基本方法。

首先介绍图像法，列举例子并让学生跟随图像法解题，然后介绍特殊方法和公式法，同样列举例子并让学生练习。

最后介绍规律法，并让学生通过练习掌握规律法的使用。

2.3 应用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

以生活中的实际问题为例，让学生运用所学知识解决问题，练习应用解一元二次不等式的能力。

3.练习环节让学生进行一定数量的练习题，以提高他们解决一元二次不等式的能力。

4.总结环节简单总结本节课学习到的知识点和技能，并鼓励学生多动脑、多思考，积极应用所学知识解决实际问题。

四、教学评估本节课的教学评估主要有以下几种形式：1.练习题评估；2.课堂互动评估；3.课后测验评估。

五、教学资源准备1.课堂黑板和白板；2.相关的教学PPT；3.一元二次不等式相关的教材和练习题；4.相关的实际问题。

六、教学反思本节课的教学中，采用了多种方式让学生掌握解一元二次不等式的方法，包括图像法、特殊方法、公式法和规律法等。

通过练习题和实际问题的实际应用，让学生加深对一元二次不等式的理解。

§ 3.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1•知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2•过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3•情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型2x —5x :： 0,,,,,,,,,, (1)2.讲授新课1)一元二次不等式的定义象x2 -5x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2)探究一元二次不等式x2 -5x ：：： 0的解集怎样求不等式(1)的解集呢？探究：(1) 二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：=0,x2 =5于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

(2)观察图象，获得解集画出二次函数y=x2-5x的图象，如图，观察函数图象，可知:当x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即X2 - 5x ■ 0 ；当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即x2 - 5x ：：： 0 ；所以，不等式x2 -5x <0的解集是fx|0 ：：：x ：：：5?，从而解决了本节开始时提出的问题。

3)探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式ax2bx c 0,(a 0)或ax2bx c ：： 0,(a 0)一般地，怎样确定一元二次不等式ax2 bx c>0与ax2 bx - c<0的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两占：八、、♦(1)抛物线y =ax2 bx c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2 bx c=0的根的情况⑵ 抛物线y =ax2 - bx - c的开口方向，也就是a的符号总结讨论结果：(I)抛物线y =ax2• bx c (a> 0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方2 2程ax bx c=0的判别式尺=b -4ac三种取值情况(△ > 0, △ =0, △ <0)来确定.因此，要分二种情况讨论(2) a<0可以转化为a>0分△ >0, △ =0, △ <0三种情况，得到一元二次不等式ax2 bx c>0与ax2 - bx c<0的解集元二次不等式ax2 bx c - 0或ax2• bx • c ：：： 0 a = 0的解集:设相应的一元二次方程ax2■ bx ■ c = 0 a = 0的两根为X2且为- X2，厶二b2 - 4ac，则不等式的解的各种情况如下表：让学生独立完成课本第页的表格例2 （课本第78页）求不等式4x2 - 4x T • 0的解集.2 1解：因为厶=0 ,方程4x -4x • 1 = 0的解是x^ x2.2 所以，原不等式的解集是丿x x^1}例3 （课本第78页）解不等式—x2• 2x -3 ■ 0 .解：整理，得x2 -2x • 3 ：：：0.因为.「：：0,方程x2「2x • 3 = 0无实数解,2所以不等式x -2x^0的解集是•-.从而，原不等式的解集是-.3.随堂练习课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（7）4.课时小结解一元二次不等式的步骤:①将二次项系数化为“ +”：A=ax2 bx c>0(或<0)(a>0)②计算判别式厶，分析不等式的解的情况：若A A O,则XC X J或〉x2;i. A >0 时，求根X1<X2 ,若 A c 0,则％c x < X2. 若A>0,则xHXo的一切实数;ii.也=0 时，求根X1 = X2= X o，’若A £ 0,贝V X E 収右A兰0,贝V x = x0.若A >0,则X E R；iii.也<0时，方程无解，丿若A £0,贝収亡嵌③写出解集.5.评价设计课本第80页习题3.2 [A]组第1题。

3.2 一元二次不等式及其解法（2）一、教学目标：知识与技能1. 巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;2. 通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.二、教学重点与难点:重点；1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点；1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．一、温故知新（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式.解分式不等式，切忌去分母. 1.解不等式：-x 2+5x ＞6({x|2＜x ＜3}). 2.解不等式：x 2-4x+4＞0({x|x∈R,x≠2}). 3.解不等式：x 2+2x+3＜0(Δ=-8＜0, x∈∅). 4.解不等式：253＞+-x x （{x|-13＜x ＜-5}）. 回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。