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高中数学苗金利全套教学一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是基于高中数学课程，以著名数学教育家苗金利先生的全套教学理念为指导，全面系统地教授数学知识，旨在提高学生的数学思维能力、解题技巧和创新能力。
教学内容涵盖高中数学所有知识点，包括但不限于函数、几何、代数、概率统计等，注重理论与实践相结合，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、教学对象教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
在此基础上，通过本套教学设计，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的潜力，使他们在数学学科上取得更好的成绩，为未来的学习和生活打下坚实基础。
同时，针对不同学生的学习水平和接受能力，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，形成完整的知识体系。
（2）熟练运用数学方法解决实际问题，提高解题能力，特别是对复杂问题的分析、转化和解决能力。
（3）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、抽象概括等，提高数学素养。
（4）学会运用数学软件和工具，辅助解决数学问题，提高数学实践操作能力。
（5）了解数学在实际生活和科学研究中的应用，增强数学与现实世界的联系。
2、过程与方法（1）采用探究式、讨论式教学方法，引导学生主动参与课堂，培养自主学习能力。
（2）运用案例分析、问题驱动等方法，激发学生的学习兴趣，培养他们独立思考、合作交流的能力。
（3）注重数学思想方法的传授，使学生掌握数学的基本思想，提高解决问题的策略。
（4）实施分层教学，针对不同学生的学习需求，提供个性化的指导，提高教学质量。
（5）利用信息技术手段，如网络资源、在线课程等，丰富教学手段，提高教学效果。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，树立正确的数学观念，认识到数学的价值和美。
（2）培养良好的学习习惯和态度，使学生具备勤奋、严谨、求实的科学精神。
北京四中高级教师苗金利指导2011高考数学复习方法北京四中数学名师苗金利老师2016年7月10日，高考大幕方才落下，“商务印书馆2016年度高考备考策略”系列公益讲座旋即开讲。
北京四中数学名师苗金利老师，结合教学实践，给广大师生奉献了一场精彩的讲座——“科学的数学复习方法”，现场气氛热烈，掌声不断。
苗金利老师现任北京四中高级数学教师，奥林匹克数学竞赛高级教练，中国数学学会会员。
曾荣获全国青年教师课堂教学竞赛一等奖，连任高三实验班数学课教学、班主任14届，过去数年间其指导的高三毕业班，高考数学单科平均分140以上，奥林匹克竞赛辅导多人获得全国金奖。
苗老师在讲座中说，小学、初中阶段采用模仿与记忆的学习方法是行之有效的，但是到了高中阶段则显得远远不够，需要优化提升学习方法和策略。
苗老师说要强调六个方法——配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、割补法；六个思想——函数与方程的思想、数与形结合的思想、分类与综合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、或然与必然的思想；四个逻辑思维——分析与综合、归纳与演绎、分类与比较等。
从高一开始，同学们就要主动尝试进行观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，逐步形成自己对数学知识的理解，在学习过程中建立系统的知识体系，按照教材编写遵循的逐级递进、螺旋上升原则，体会数学知识之间的有机联系，感受整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解题的能力。
四中的做题理念以不变应万变，以少对多学理科的都知道一个顺口溜：“物理难懂，化学难记，数学有做不完的题。
”苗老师说，既然有这么多做不完的题，就需要找方法。
他说四中的教学方法就是：以不变应万变，以少对多。
苗老师强调了四大能力，第一，在高中数学中，函数是重点，所占分数在三分之一左右，学好函数非常重要。
第二，运算能力要尤其注意——这里的运算能力不是要做很多题，而是要做经典的好题，做精。
第三，要学会方程的思想方法。
世间万物都有数学，而所有的数学问题都可以转化为方程，所以要很好地利用这个思想解决数学问题。
高考热点10树立得分意识
北京四中 苗金利
一、考试中关注得分意识、创新意识和实践能力．
（1）扎实的基础知识，关注会的知识．
（2）关键落实的能力，强化对的能力．
（3）见多识广不断反思，方法的积累．
二、 典型例题分析
例1．函数(),,0)(0,sin x
y x x ππ=∈-的图象可能是下列
图象中的（ ）
例2．若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，
则以b a ,为坐标的点),(b a P 所形成的平面区域的面积等于
例3．设椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心 和2C 的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其 坐标记录于下表中：
（1）求1C 、2C 的标准方程；
（2）设直线l 与椭圆1C 交于不同两点M 、N ，且0OM ON →→⋅=，
请问是否存在这样的直线l 过抛物线2C 的焦点F ?若存在，求出 直线l 的方程；若不存在，说明理由．
例4．设关于x 的方程2
10x mx --=有两个实根α、β，且α<β． 定义函数22().1x m f x x -=
+
（Ⅰ）求()()f f αα+ββ的值；
（Ⅱ）判断()f x 在区间(,)αβ上的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ为正实数，证明不等式：
|(
)()|||.f f λα+μβμα+λβ-<α-βλ+μλ+μ
总结与升华：
平时学习中注重得分意识、创新意识和实践能力的培养， 多关注以下几方面．
（1）扎实的基础知识，关注会的知识．
（2）关键落实的能力，强化对的能力．
（3）见多识广不断反思，方法的积累．。
高考热点10树立得分意识
北京四中 苗金利
一、考试中关注得分意识、创新意识和实践能力．
（1）扎实的基础知识，关注会的知识．
（2）关键落实的能力，强化对的能力．
（3）见多识广不断反思，方法的积累．
二、 典型例题分析
例1．函数(),,0)(0,sin x y x x ππ=
∈-的图象可能是下列 图象中的（ ）
例2．若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，
则以b a ,为坐标的点),(b a P 所形成的平面区域的面积等于
例3．设椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心
和2C 的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其
（1）求1C 、2C 的标准方程； （2）设直线l 与椭圆1C 交于不同两点M 、N ，且0OM ON →→⋅=，
直线l 的方程；若不存在，说明理由．
例4．设关于x 的方程210x mx --=有两个实根α、β，且α<β． 定义函数22().1x m f x x -=
+
（Ⅰ）求()()f f αα+ββ的值；
（Ⅱ）判断()f x 在区间(,)αβ上的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ为正实数，证明不等式：
|()()|||.f f λα+μβμα+λβ-<α-βλ+μλ+μ
总结与升华：
平时学习中注重得分意识、创新意识和实践能力的培养，
多关注以下几方面．
（1）扎实的基础知识，关注会的知识．
（2）关键落实的能力，强化对的能力．
（3）见多识广不断反思，方法的积累．。
高考数学复习方法2019年7月10日，高考大幕方才落下，商务印书馆2019年度高考备考策略系列公益讲座旋即开讲。
北京四中数学名师苗金利老师，结合教学实践，给广大师生奉献了一场精彩的讲座科学的数学复习方法，现场气氛热烈，掌声不断。
苗金利老师现任北京四中高级数学教师，奥林匹克数学竞赛高级教练，中国数学学会会员。
曾荣获全国青年教师课堂教学竞赛一等奖，连任高三实验班数学课教学、班主任14届，过去数年间其指导的高三毕业班，高考数学单科平均分140以上，奥林匹克竞赛辅导多人获得全国金奖。
苗老师在讲座中说，小学、初中阶段采用模仿与记忆的学习方法是行之有效的，但是到了高中阶段则显得远远不够，需要优化提升学习方法和策略。
苗老师说要强调六个方法配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、割补法;六个思想函数与方程的思想、数与形结合的思想、分类与综合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、或然与必然的思想;四个逻辑思维分析与综合、归纳与演绎、分类与比较等。
从高一开始，同学们就要主动尝试进行观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，逐步形成自己对数学知识的理解，在学习过程中建立系统的知识体系，按照教材编写遵循的逐级递进、螺旋上升原则，体会数学知识之间的有机联系，感受整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解题的能力。
四中的做题理念以不变应万变，以少对多学理科的都知道一个顺口溜：物理难懂，化学难记，数学有做不完的题。
苗老师说，既然有这么多做不完的题，就需要找方法。
他说四中的教学方法就是：以不变应万变，以少对多。
苗老师强调了四大能力，第一，在高中数学中，函数是重点，所占分数在三分之一左右，学好函数非常重要。
第二，运算能力要尤其注意这里的运算能力不是要做很多题，而是要做经典的好题，做精。
第三，要学会方程的思想方法。
世间万物都有数学，而所有的数学问题都可以转化为方程，所以要很好地利用这个思想解决数学问题。
第四，要注重实践能力和创新意识。
北京四中高级教师苗金利指导高考数学复习方法4.纠正错误。
当老师讲解出正确答案时，同学们手里要用红色笔随着老师的讲解，在原题下面空白处记下自己没有做出来或做错的原因分析，最后按老师讲的正确思路，一步一步规范地把原题做一遍，以便加深印象和逐步形成能力。
如果此题有多种解题思路，可以在旁边用另一色笔把几种解法的简要思路写上。
5.定期归类、整理。
高三学年一般实行月考制，因此，每一个月复习结束之前，教师应要求学生把这一个月解题过程中所犯错误进行归类整理，把它们分成知识型错误、思维方法型错误、运算错误等几部分。
这个过程是学生再学习、再认识、再总结、再提高的过程，使学生对知识的理解更加深刻，从而对知识的理解掌握更加牢固。
6.错题本上也可以记载一些非常典型、考查知识全面、解法灵活多样的优秀习题。
【如何利用错题本】1.经常阅读。
错题本不是把做错的习题记下来就完了。
同学们要经常在空闲时间或准备下一次考试时，拿出错题本，浏览一下，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道题都发挥出最大效果，在今后遇到同类习题时，会立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯。
做到同一道题不能错两次，同一类题目不能错两次，从而减少习题量。
如果各科都建立错题本，这样经常温故知错、持之以恒，学生的高考成绩至少会提高20分。
2.相互交流。
由于基础不同，各位同学所建立的错题本也不同。
通过交流，同学们可以从别人的错误中吸取教训，得到启发，以此警示自己不犯同样的错误，提高练习的准确性。
俗话说，吃一堑，长一智。
如果同学们能从做的错题中得到启发，从而不再犯类似的错误，成绩就能有较大的提高。
高考并不需要灯光下的熬夜苦战，也不需要题海中的无边漫游，有一套适合自己的学习方法，才是最为重要的。
北京四中数学名师苗金利老师2010年7月10日，高考大幕方才落下，商务印书馆2011年度高考备考策略系列公益讲座旋即开讲。
北京四中数学名师苗金利老师，结合教学实践，给广大师生奉献了一场精彩的讲座科学的数学复习方法，现场气氛热烈，掌声不断。
北京四中名师指导高考数学复习中国教育在线讯为了使宽敞考生了解2021高考最新的变化，并有针对性的复习。
中国教育在线联合北京四中网校邀请北京四中数学高级教师苗金利老师针对2021高考复习的重难点进行梳理。
问：2021年高考数学考试大纲在内容上有没有什么变化？答：2021年各地考试说明（考试大纲）现在正在紧锣密鼓的制作过程当中，估量在春节前后，就能够先后印刷出版出来，从我现在了解的情形，像北京、天津还有山东、海南这些省份差不多专门早的就使用了新的课程标准，现在全国绝大多数省份都在使用新课程标准，这些省份或者直辖市，考试内容与去年相比，差不多没有什么变化，所强调的确实是更加突出了能力方面的要求，还有运算结果重要性的要求，如此来讲，今年与去年相比变化不大，能力要求有所加强，如此就说明我们在2021的备考考生应该专门关注几个方面？关注空间想象能力，还有推理论证能力，运算求解能力以及分析能力和解决问题的能力。
在处理数据的时候，还要争取针对知识所在的知识考点，有处理数据的能力，要关注课改稳步过渡，适度的创新，考查学生的潜能。
从那个角度上，要让考生在这方面有所提高。
问：高三备考的同学可能都会遇到如此一个矛盾，应该回来课本，依旧应该更多的去做题？如何处理好那个关系？要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
北京四中高级教师苗金利指导高考数学复习方法导读：教书育人楷模，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。
让我们一起到店铺一起学习吧!下面店铺网的小编给你们带来了《北京四中高级教师苗金利指导高考数学复习方法》供考生们参考。
一本好的“错题集”引领成功之路学习中，大部分学生都会有这样的体会：许多题目讲过了、做过了、考过了，有的还不只考过一遍，最终还是错了，这些错题的背后，往往隐藏了学习过程中所产生的漏洞。
那么如何弥补这些漏洞呢?凡是善于总结失败教训的人往往比别人多一些接近成功的机会，正所谓失败乃成功之母。
因而整理错题集不失为一剂良策。
常见的错题集有三种类型：一是订正型，即将所有做错题的题目都抄下来，并做出订正;二是汇总型，将所有做错题目按课本的章节的顺序进行分类整理;三是纠错型，即将所有做错的题目按错误的原因进行分类整理。
新型的错题集活页型错题集，其整理步骤为：1.分类整理。
将所有的错题分类整理，分清错误的原因：概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图型类、技巧类、新概念类、数学思想类等等，并将各题注明属于某一章某一节，这样分类的优点在于既能按错因查找，又能按各章节易错知识点查找，给今后的复习带来简便，另外也简化了错题集，整理时同一类型问题可只记录典型的问题，不一定每个错题都记。
2.记录方法。
老师试卷评讲时，要注意老师对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、规范步骤及小结等等。
并在该错题的一边注释，写出自己解题时的思维过程，暴露出自己思维章碍产生的原因及根源的分析。
这种记述方法开始时可能觉得较困难或写不出，不必强行要求自己，初始阶段可先用自己的语言写出小结即可，总结得多了，自然会有心得体会，渐渐认清思维的种种章碍(即错误原因)。
3.必要的补充。
前面的工作仅是一个开始，最重要的工作还在后面，对错题集中的错题，不一定说订正得非常完美了，就证明你这一知识的漏洞就已经弥补好了。
对于每一个错题，还必须要查找资料或课本，找出与之相同或相关的题型，并作出解答。
理 数- 1一、高三一模后的《备考策略》1、对2013年高考试题要有宏观的展望（1）2012试题偏难均13.9（2）2013试题趋易2、保持最佳的心理状态（1）专注（自我控制能力：举起羽毛）（2）坦然（良性心理暗示）（3）大气（18岁，没有什么能够决定你的一生；不能改变世界，就改变世界观）3、使用2013年高考《考试说明》，“专项+综合”加强练习，查缺补漏。
（1）专项：选择+填空+大题；5+2+1,4+1=1，3+2+1（2）综合：模拟卷限时4、考试中关注得分意识、答题技术。
（1）容易题：准确操作运算，规范表述。
上手前几步要慢，一遍就对，保证不错，避免后面无用功，否则检查错误非常困难。
（2）难题：分段得分。
认真审题，注意综合问题的阅读理解及相关解题策略，方法。
二、高考题的《解题方法与技巧》例1、不等式ax 2+ax+b>0(a,b ∈Z 且a ≠0)的解集是区间(-2,1)，满足这个条件的绝对值最小的a 和绝对值最小的b 值分别是（ ）A、a=1,b=-2B、a=-1,b=2C、a=1,b=2D、a=-1,b=-2例2、如果等比数列{a n }的首项是正数，公比大于1，那么数列{}13log na 是（ ）A、递增的等比数列B、递减的等比数列C、递增的等差数列D、递减的等差数列理 数- 2例3、若复数z 满足11z z +=，则z 的模的取值范围是（ ）A、1515(−+ B、515122 −C、1515 −+D、15 + 例4、在ABC ∆中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC ∆一定是（ ）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形例5、已知：,a b 是正实数，则下列各式中成立的是（ ）A、22cos lg sin lg lg()a b a b θθ+<+B、 22cos sin a b a bθθ=+C、22cos lg sin lg lg()a b a b θθ+>+ D、22cos sin a b a b θθ>+例6、设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2) （C ）[1,2) （D ）2)理 数- 3例7.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体积为（ ）A． B．C．33238+π D．例8、已知数列具有性质P ：对任意，j i a a +与j i a a −两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ；② 数列0,2,4,6具有性质P ；③ 若数列A 具有性质P ，则10a =；④ 若数列()123123,,0a a a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=．其中真命题有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例9、若正数a、b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是________.理 数- 4例10、已知函数3()2log (19)f x x x =+≤≤，则函数[]22()()yf x f x +的最大值为 例11、若函数，其图象如图所示，则=d c b a ::: ．例12、已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假： ①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________； （2）满足()()n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.理 数- 5例13. 在平面直角坐标系中（复平面内）,复数z x yi =+的对应点Z 在1+i 与1-i 对应的两点间的线段上运动,此点集设为A，集合22{(,)|1}B x y x y =+=.则（1）点集1111{(,),,(,),01}P x y x x m y y x y A m ==−=∈≤≤所表示的区域的面积为_____；（2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ；例14、某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A、B 两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．（Ⅰ）若在A，B 两组学生中各随机选1人，求其得分均超过86分的概率；（Ⅱ）若校团委会在该班A，B 两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人参加下一轮的参观学习活动，设B 组中得分超过85分的同学被选中的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．例15、黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5米到3米之间的环形礁盘。
礁盘外行星等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130平方公里、水深为10-20米的湖。
湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进入维修或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中整点（偶数）时的水深近似值如下表：时间（时）024681012141618202224水深（米）7.5 5.7 5. 5.77.51012.614.31514.412.510.17.5此通道的水深y（米）与时间x（时）可以用形如，的函数来刻画。
（1）根据以上数据画出其近似图像。
并求出水深y（米）与时间x（时）的具体函数关系式；（2）若某渔船吃水深度为5米，船底与海底的安全间隙为2.5米，该船需进湖休息，一天中什么时刻可以进入湖内？理 数- 6理 数- 7例16、 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD, 90ABC BCD ∠=∠=°，12PA PD DC CB AB ====，E 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EC//平面APD；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值；(Ⅲ) 求二面角P-AB-D 的大小.例17、圆221x y +=内接等腰梯形ABCD ，其中AB 为圆的直径（如图）．（1）设(,)(0)C x y x >，记梯形ABCD 的周长为()f x ，求()f x 的解析式及最大值；（2）求梯形ABCD 面积的最大值．例18、已知：221()(),0ax f x x x e a a a=−+>（Ⅰ）若1a =，求曲线()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）是否存在实数(1,2)a ∈，使22()f x a >当(0,1)x ∈时恒成立？若存在，求出实数a ；若不存在，请说明理由.理 数- 8例19、已知点1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线24y x =上相异两点，且满足122x x +=．（Ⅰ）若AB 的中垂线经过点(0,2)P ，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程．例20、对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.课后参考——理数1. 设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如下图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）AA．{}|21x x −≤<B. {}|22x x −≤≤ C．{}|12x x <≤ D．{}|2x x 2．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x<−+的解集为 （ ）A A．≤<<<−15520552x x x 或B．≤<−<<−155551x x x 或C．<<−<<−550551x x x 或 D．≠<<−0552552x x x 且3．如图，空间四边形ABCD 的两条对棱AC、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．4．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ={,,}a b c ，对于下面给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ∅，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ∅，； ③{{}{}{}}a a b a c τ∅，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ∅，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是____________．5．已知A BC 、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．（Ⅰ）求0B 的大小；（Ⅱ）当034B B =时，求cos cos AC −的值．6．为了调查某中学高三学生的身高情况，在该中学高三学生中随机抽取了40名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：（I）估计该校高三学生的平均身高；（II）从身高在180cm（含180cm）以上的样本中随机抽取2人，记身高在185~190cm 之间的人数为X，求X 的分布列和数学期望。
7．如图，在斜三棱柱111C B A ABC −中，点O 、E 分别是11C A 、1A 的中点，AO ⊥A O 平面111C B A ．已知，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求异面直线与C A 1所成的角；（Ⅲ）求11C A 与平面11B A 所成角的正弦值．8．已知函数21()ln()(0)2f xa x a x x a =−−+<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a −<<−，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+；（Ⅲ）当45a =−时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x −=都有21()()f x f x m −≥成立，求实数m 的最大值.9．已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为βα,，且πβα=+，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．10.汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。
