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基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
第二章 基本初等函数知识点小结一．【课标要求】1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．知道指数函数x a y =与对数函数x y alog =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。
4.幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数y=x, ,y=x 2, y=x 3,y=x 21,y=x1的图象，了解它们的变化情况二．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a xn=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）a a nn =)(；2）当n 为奇数时，a ann=；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aapp(1Q ，4）m a a anmnm,0(>=、∈n N *且)1>n②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。
第2课时 对数及对数的运算（预习案）一、学习目标：1.理解对数的概念，了解对数与指数的关系.2.理解和掌握对数的性质；对数式与指数式的关系.二、回归教材1.对数定义：一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的 ，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .2. （1）当a >0，a ≠1时， ⇔N x 10log =；（2） 和 没有对数.（3）化指数式N a b=为对数式3.两个常用的结论：1log a = ，a a log = （a >0，且a ≠1）.4.对数的运算性质如下：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ()()N M a •log 1= ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛N M a log = ；()n a M log 3= （n ∈R ）. 5. 换底公式及对数恒等式：（1）b a log = ；（2）对数恒等式：三、基础自测1.对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中正确的是（ ）①若，则N M a a log log =；②若N M a a log log =，则；③若22log log N M a a =，则M=N ；④若，则22log log N M a a =.A.①③B.②④C.②D.①②③④2.设2log 3=a ，则6log 28log 33-用a 表示的形式是（ ）A.a -2 ()213.a a B -- C.5a -2 2.a D -+3a -1 3.()x 32log log =0，则x =（ ）4.已知lg 2=a ，lg 3=b ，则lg 6= .5.3log 2·2log 3= .6.已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求lg 45.第2课时 对数及对数的运算（预习案）一、典例精析考向一：指数与对数的转化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）ln 10=2.303； （2）64126=-； （3）m⎪⎭⎫ ⎝⎛31=5.73； （4）16log 21=-4； （5）lg 0.01=-2；【例2】求下列各式中x 的值：()32log 164-=x ； ()68log 2=x ； （4）-2ln e =x ； ()()1lg log 63=x .考向二：换底公式与对数运算律的应用【例3】计算（1）. （2）()()2log 2log 3log 3log 9384++【例4】用，表示下列各式：； .考向三： 对数式的化简与求值 【例5】求值：(1)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245（3）5log 177-二、当堂达标：1．2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．42．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b 3．若log a 23>1，则a 的取值范围是________． 4. 若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝________. 5. 若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b的值．6.求下列各式的值：；（2）lg 0.000 01；（3）ln . （4）lg 5+lg 2；三、高考链接：1．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．1002．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+3．（2013浙江）已知为正实数，则A ．B ．C ．D ． 4．(2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a = ，b = ． 5．（2015浙江）若4log 3a =，则22a a -+=_______．6．（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．7．（2011天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b+的最小值为__________． y x ,y x y x lg lg lg lg 222+=+lg()lg lg 222x y x y +=g y x yx lg lg lg lg 222+=•lg()lg lg 222xy x y =g。
(2013，山东，理5)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A．3π4 B．π4 C．0 D．π4-答案：B解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin28y xϕ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin24xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭的图象，又πsin24y xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42kϕ+=+，k∈Z，∴ππ4kϕ=+，k∈Z.若k＝0，则π4ϕ=.故选B.(2013，山东，理8)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为( )．答案：D解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(x cos x＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，又x∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y＞0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D. (2013，山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b＝2，a＋c＝6，cos B＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sin B=.由正弦定理得sin A＝sin3a Bb=因为a＝c，所以A为锐角．所以cos A13=.因此sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝27.(2012，山东，理7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35（B ）45（C）4（D ）34 解析：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。
另解：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2=8θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ， 而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D 。
(2012，山东，理16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。
当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。
解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转 了212=弧度，此时点P 的坐标为 )2cos 1,2sin 2(,2cos 1)22sin(1,2sin 2)22cos(2--=-=-+=-=--=y x P P ππ.另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2c o s 1,2s i n 2(--=OP .C D(2012，山东，理17)已知向量m=（sinx ，1），函数f（x ）=m ·n 的最大值为6. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象。
求g （x ）在上的值域。
解析：（Ⅰ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f ，则6=A ;（Ⅱ）函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时，]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ，]6,3[)(-∈x g . 故函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.另解：由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ，令0)(='x g ，则)(234Z k k x ∈+=+πππ，而]245,0[π∈x ，则24π=x ，于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g ， 故6)(3≤≤-x g ，即函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.(2011，山东，理6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【命题意图】本题考查正弦函数的性质，考查数形结合思想。
【答案】B【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选B.【点评】重点考查根据正弦函数的图像分析问题和解决问题的能力。
(2011，山东，理17)在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（1）求sin sin CA的值； （2）若cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积.【命题意图】本题考查余弦定理、正弦定理和简单的三角恒等变换公式，属于容易题。
考查转化思想方程思想。
【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【点评】余弦定理、正弦定理的问题值得重视。
(2013，山东，文7)ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =(A) 答案：B(2013，山东，文9)函数x x x y sin cos +=的图象大致为答案：D(2013，山东，文18)设函数2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π， (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 分析：（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f （x ）在区间[π，3π/2]上的最大值和最小值．(1−cos2ωx)/2−1/2•sin2ω•cos2ωx −1/2•sin2ωx=−sin(2ωx −π/3)．因为y=f （x ）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π/4，故周期为π又ω＞0，所以2π/2ω＝4×π/4，解得ω=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f （x ）=-sin （2x-π/3）， 当π≤x ≤3π/2时， 5π/3≤2x −π/3≤8π/3，所以−≤sin(2x −π/3)≤1，因此，-1≤f （x ）≤/2，所以f （x ）在区间[π，3π， −1．点评：本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．(2012，山东，文8) (8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 (A)2 (B)0 (C)－1 (D)1--【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.【答案】A(2012，山东，文16同理16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA ,,则22π-=∠PCA ,所以2c o s )22s i n(-=-=πPB ，2sin )22cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2c o s 1,2s i n 2(--=.【答案】)2cos 1,2sin 2(-- (2012，山东，文17)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S . 【答案】(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =， 所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C ==，∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=. (2011，山东，文6) 若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 【命题意图】本题考查正弦函数的性质，考查数形结合思想。
