3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

复数代数形式的四则运算3．2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→的向量所对应的复数．OZ 1――→[点睛]　对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )答案：(1)×　(2)×　(3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8i B ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 答案：D4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→则||等于( )AB ――→A.B ．22C. D ．410答案：B复数代数形式的加、减运算[典例]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以Error!解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝.2[答案]　(1)－2－i (2)2复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [活学活用]已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3复数加减运算的几何意义[典例]　如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) 表示的复数；AO ――→(2)对角线表示的复数；CA ――→(3)对角线表示的复数．OB ――→[解]　(1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→－2i.(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[活学活用]　复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数模的最值问题[典例]　(1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12C ．2 D.5(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．3[解析]　(1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.[答案]　A(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.[一题多变]1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→平方和等于对角线的平方和)，所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|z －32－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －32－i |432min ＝|O ′M |－1＝－1.|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343层级一　学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1 B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴Error!解得Error!答案：6　117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋42答案：58．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝3233________.解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32a ＋33b )3由复数相等的条件知Error!解得Error!∴a ＋b ＝3.答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴Error!解得Error!∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二　应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0 B ．1C. D.2212解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.222．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34答案：＋i 346．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→那么对应的复数为________．BC ――→解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→(3)S △ABC ＝××2＝2.12228．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，33∴Error!∴Error!∴z ＝＋i ，3212∴z －ω＝－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ ＝ ，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。

2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。

2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。

3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。

2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。

2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。

2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。

3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。

5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。

7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。

2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。

3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。

七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。

2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。

3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。

八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案【学习目标】1. 掌握复数代数形式的加、减运算；2. 复数加、减法的几何意义及利用它们解决一些数学问题.【自主学习】（认真自学课本）任务1：阅读教材，理解下列问题：1.复数加、减法的运算法则：已知两复数12,z a bi z c di =+=+（a ,b ,c ,d 是实数）(1)加法法则：12()()z z a c b d i +=+++;(2)减法法则：12()()z z a c b d i -=-+-即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)注:⑴复数的减法是加法的逆运算；⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何123,,z z z C ∈,有1221z z z z +=+,123123()()z z z z z z ++=++⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.复数与复平面内的向量有一一对应关系，我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？复数加法的几何意义设OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别与复数a +bi,c +di 对应,则由OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,b ),OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(c,d )平面向量的坐标运算，得OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a +c,b +d )复数的加法可以按照向量的加法来进行。

【合作探究】例1：计算(5－6i )＋(－2－i)－(3＋4i).例2：222222()()().222222i i i +--+---计算：例3.已知复数z 满足28z z i +=+，求复数z 【目标检测】1. 化简5i －(2＋2i )的结果为 ( )A. －2＋7iB. 3－2iC. －2＋3iD. －2－3i2. 设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. (0.5 ＋1.3i )－(1.2＋0.7i )＋1－0.4i ＝4． 如果一个复数与它的模的和为5＋√3i ，那么这个复数是________5.设12,z z C ∈，已知121z z ==，122z z +=，则12z z -＝ 。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(导学案)预习目标：1、 掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；2、 理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。

预习内容：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=（1）)(__________21加法运算法则=+z z（2）为坐标原点，则对应的点分别为若复数O Z Z z z ,,,2121 ________,________________,_______,212121对应的复数为则若OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ +==+==(3)__________________________________21的几何意义是z z + (4))__(____________________21复数减法运算法则=-z z（5）同（2），______________;2121对应的复数为Z Z OZ OZ =- _______________________||_____,||2121的几何意义是z z Z Z -=_________________________________21的几何意义是z z -提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1：掌握复数的加法运算及意义2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 学习重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．学习难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

学习过程:例1．计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[探究:1.观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证?2.例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现？例3．计算（1）(14)(72)i i +--（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[当堂检测：1、的值为多少？则212121,,2,43z z z z i z i z +---=+=2、计算（1）)43()42(i i -++ （2）)23(5i +-（3）)51()2()43(i i i --++-- （4）i i i 4)32()2(++--3、ABCD 是复平面内的平行四边行，A,B,C 三点对应的复数分别是 对应的复数求点D i i i ,2,,31+-+课后练习与提高：1．计算（1）()845i -+（2）()543i i --（3）()()232923ii i ++---- 2．若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（教学设计）教学目标：知识与技能：理解并掌握复数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。

过程与方法：在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等思想方法，感悟运算形成的基本过程。

情感态度价值观：培养学生观察、理解、推理论证的能力。

教学重点：理解并掌握复数的加减运算及其运算定律，准确进行加减运算，初步运用复数加减法的几何意义解决简单问题。

教学难点：复数加减法的几何意义及其应用。

课型与课时：新授课、1课时教学手段：课件教学方法：阅读、理解、类比教学过程：一．知识回顾1、复数的代数形式是什么？z=a+bi(a,b ∈R )2、复数相等的充要条件是什么？3、复数几何意义z= a+bi (a,b ∈R ) 复平面内的点z(a,b) 复平面内的向量OZ =(a ，b )想一想：类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？二、认识新知探究一：复数的加法运算设12z a bi Z c di =+=+与(a ,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的和为12()()Z Z a c b d i +=+++。

说明：①复数的加法运算法则是一种规定。

当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致。

②两个复数的和仍然是一个复数，对于复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形。

探究一：复数的加法满足交换律、结合律吗？容易验证：对任意复数Z 1、Z 2、Z 3，有：Z 1+Z 2=Z 2+Z 1(Z 1+Z 2)+Z 3=Z 1+(Z 2+Z 3)即实数加法运算的交换律，结合律在复数集C 中仍然成立。

探究二：复数与复平面内的向量有一一对应的关系。

我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设1OZ 及2OZ 分别与复数α+bi 复数c ＋di 对应，则1OZ =（α,b ），2OZ =（c ，d ）OZ =1OZ +2OZ =（α,b ）+（c ，d ）=(α+c,b+d )向量OZ 是向量1OZ 与2OZ 的和，就是复数（a+c ）+(b+d)i 对应的向量。

§一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.（2）明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.（3）经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措.教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加法的几何意义．教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性．五、教学过程与设计 12OZ OZ +[问题3]向量的加减运算满足何种法则？[问题4] 设向量索交流，解决问题OZ2→分别与复数a＋b i，c＋d i对应，那么OZ1→＋OZ2→的坐标如何呢？[问题5]向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是什么？[问题6]按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？[问题7]类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？b＋d)．教师5：提出问题5．学生5：向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教师6：提出问题6．学生6：复数z1－z2的几何意义就是向量OZ1→－OZ2→对应的复数．教师7：小结一下：1. 加、减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.教师8：提出问题7．学生7：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．高学生分析问题、概括能力。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教学目标：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义二、教学重点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， 由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b－d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义.知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合.一、 引入新课复习引入1.虚数单位i ：它的平方等于1-,即2i 1=-;2.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ：当且仅当0b =时,z 是实数a ; 当0b ≠时,z 为虚数;当0a =且0b ≠时,z 为纯虚数; 当且仅当0a b ==时,z 就是实数0.3.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .4.复数几何意义：我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.二、探究新知复数()i ,z a b a b =+∈R 复平面内的点(),a b Z 一一对应一一对应复数()i ,z a b a b =+∈R 复平面内的向量()=,OZ a b探究一:复数的加法1.复数的加法法则我们规定,复数的加法法则如下:设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,那么：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++提出问题：(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)当=0,0b d =时,与实数加法法则一致吗?(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确:(1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致;(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． 2.复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的123,,z z z ∈C ,有1221z z z z +=+（交换律）, 123123()()z z z z z z ++=++（结合律）.【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． 3.复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则有12(,),(,)OZ a b OZ c d ==,由平面向量的坐标运算有12(,)OZ OZ a c b d +=++.这说明两个向量12OZ OZ 与的和就是与复数()+()i a c b d ++对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：由图可以看出,以1OZ 、OZ 就是复数()+()i a c b d ++对应的向量.【设计意图】通过向量的知识,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 探究二:复数的减法类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)i c d x y a b +++=+的复数i x y +叫做复数i a b +减去i c d +的差,记作(i)(i)a b c d +-+.根据复数相等的定义,有,c x a d y b +=+=, 因此,x a c y b d =-=-,所以i ()()i x y a c b d +=-+-,即(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力． 2.复数减法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则这两个复数的差12z z —与向量12OZ OZ —（即21Z Z ）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差12z z —（即12OZ OZ —）与连接两个终点1Z ,2Z ,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.三、理解新知1.复数的加减法法则:设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,规定：12()()i z z a c b d +=+++; 12()()i z z a c b d -=-+-.2.复数加、减法的几何意义：(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(4)复平面内的两点间距离公式:12d z z =—.其中12,z z 是复平面内的两点1Z 和2Z 所对应的复数,d 为点1Z 和点2Z 间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.四、运用新知例1.计算：(1)(23i)(5i)-++-; (2)(1(1-+-; (3)(23i)(52i)--+; (4)(56i)(2i)(34i)-+---+;解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i 32i -++-=-++-=+;(2)(1(1(11)0-++=-++=;(3)(23i)(52i)(25)(32)i 35i --+=-+--=--;(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i 11i -+---+=--+---=-.【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立. 变式训练:计算(12i)(23i)(34i)(45)i (19992000i)(20002001i)-+-++-+-+++-+-+. 解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i =-+-+-++-+-+-+-+-+10001000i =-+.（解法二）(12i)(23i)1i -+-+=-+; (34i)(45i)1i -+-+=-+; …(19992000i)(20002001i)1i -+-+=-+. 将上列1000个式子累加,得1000(1i)10001000i -+=-+.【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.yx x例2.(1)设12,OZ OZ 分别与复数1253i,14i z z =+=+对应,计算12z z -,并在复平面内作出12OZ OZ -, (2)设12,OZ OZ 分别与复数1213i,2i z z =+=+对应,计算12z z +,并在复平面内作出12OZ OZ +. 解：图1 图2(1)12=(5+3i)(14i)(51)(34)i 4i z z --+=-+-=-.（如图1所示）; (2)12(13i)(2i)(12)(31)i 34i z z =+++=+++=++.（如图2所示）.【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z ,2z 所对应的的点分别为12,Z Z .12OZ OZ -就是表示向量21Z Z ,而12OZ OZ +可利用平行四边形法则作出.变式训练:已知复数213(5)i z a a =-++,221(21)i()z a a a a =-++-∈R 分别对应向量12,OZ OZ （O 为坐标原点）,若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数,求a 的值. 答案：1a =-.例3.已知关于x 的方程：2(6i)9i 0()x x a a -+++=∈R 有实数根b .(1)求实数,a b 的值;(2)若复数z 满足i 20z a b z -+-=,求z 的最小值．解：(1)由题意,得2(6i)9i 0b b a -+++=,即2(69)()i 0b b a b -++-=.由复数相等的定义得2690b b a b ⎧-+=⎨-=⎩, 解得3a b ==.(2)设i(,)z x y x y =+∈R ,由i 20z a b z -+-=,得(3)(3)i 2x y z -++=,即222(3)(3)4()x y x y -++=+,整理得22(1)(1)8x y ++-=,即复数z 在复平面内所对应的点Z(,)x y 的轨迹是以C(1,1)-为圆心,半径长为.又z 的几何意义是Z(,)x y 与原点O(0,0)的距离,如图,由平面几何知识知,min z CA CO =-=-=【设计意图】在问题(1)中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题(2)中由z =把z 转化为复数z 所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可． 变式训练:复数z 的模为1,求1i z --的最大值和最小值.答案1-.【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结(一)知识:1.复数代数形式的加法、减法的运算法则;2.复数加法、减法的几何意义.3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (4)复平面内的两点间距离公式:12d z z =—.其中12,z z 是复平面内的两点1Z 和2Z 所对应的复数,d 为点1Z 和点2Z 间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.六、布置作业必做题：1.计算：(1)(24i)(34i)++-; (2)(34i)(2i)(15i)--++--.2.复数6+5i 与3+4i -对应的向量分别是OA 与OB ,其中O 是原点,求向量AB ,BA 对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.3.复平面上三点,,A B C 分别对应复数1,2i,52i +,则由,,A B C 所构成的三角形△ABC 是 三角形.4.求复数2i +,3i -所对应的两点之间的距离．5.已知复数z 满足+28i z z =+,求复数z .6.已知平行四边形OABC 的三个顶点,,O A C 对应的复数分别为0,32i,24i +-+,试求:(1)AO 表示的复数; (2)CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.答案: 1.(1)5; (2)22i -+.2.9i --,位于第三象限; 9i +,位于第一象限.3.直角三角形.4.5.158i z =-+.6.(1)32i --; (2)52i -; (3)16i +选做题：1.在复平面内,求满足方程z+i z i 4+-=的复数z 所对应的点的轨迹．2.复数12z ,z 满足12z z 1==,12z +z =求12z z -.答案：1.提示:方程可以变形为z (i)z i 4--+-=|,表示到两个定点(0,1)-和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆．2.提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,,则所求的另一条对.法二:(向量法)设12z ,z 所对应的向量分别是a ,b ,将12z +z =0a b =,则212(z z )2-=,所以12z z -=【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是:（）本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复1数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念．(2)对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．(3)例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生．2.本节课的弱项是:复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力.八、板书设计。