18-19 第3章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

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3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、知识框图二、目标认知学习目标1。

指数函数(1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景；（2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2。

对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3。

反函数知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).4.幂函数（1)了解幂函数的概念;(2）结合函数的图象，了解它们的变化情况。

重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点三种函数类型的增长比较[填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝x n(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.[答一答]怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？提示：一般地，对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0 )的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．类型一函数增长快慢的比较【例1】试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【思路探究】应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x ∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x 越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．规律方法(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a>1)的增速会远远超过y＝x n(n>0)的增速，而函数y ＝log a x(a>1)的增长速度最慢．故选B.类型二比较大小【思路探究】方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．【解】规律方法对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0<x<1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏上”．反之由图像的位置也能确定底数的大小关系．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.40.5的大小关系为(D)A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.类型三不同增长的函数模型的实际应用【例3】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【思路探究】某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，当x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1符合公司要求．规律方法 从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位为：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间/t50 110 250 种植成本/Q 150 108 150(1)变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t 中任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解上述方程组得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，描述西红柿种植成本Q 和上市时间t 变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)由(1)可知当上市t ＝150天时，种植成本为100元/102kg.——如何选择函数模型——指数函数型模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；对数函数型模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1，x >0)；幂函数型模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y ＝x α(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快． 【例4】 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y ＝a x ＋b ，指数函数型模型：y ＝ab x ＋c )【解析】 (幂函数型模型)设y 1＝a x ＋b ，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≈0.48，b ≈0.52，所以y 1＝0.48x ＋0.52.(指数函数型模型)设y 2＝ab x ＋c ，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，所以y 2＝－0.8×0.5x ＋1.4.将x ＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y 1＝1.48，y 2＝1.35.因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4估算以后几个月的产量．规律方法 利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可用函数f 1(x )＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可用函数f 2(x )＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可用函数f 3(x )＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lg x D．y＝10x2解析：在指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)中，随着x 的增大，指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)解法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x＝3时，2x＝23＝8，x2＝32＝9，log2x＝log23<log24＝2，故x2>2x>log2x.二、填空题3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是y2.解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．4．函数y＝3x与y＝x3的交点个数为2.解析：作出两函数图像知在第一象限有两个交点，但随着x增大，3x的值总大于x3的值，再无交点，∴共有2个．三、解答题5．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性并证明．解：(1)由a x－1>0得a x>1，∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．证明如下：。

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．了解指数增长、幂增长、对数增长的意义．2．能够解决相应的实际问题．三种增长函数模型的比较在区间（0，＋∞)上尽管y＝a x(a＞1），y＝x n（x＞0,n＞1)和y ＝log a x（a＞1）都是________，但它们增长的速度不同，而且不在一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会越来越____，会超过并远远大于y＝x n（x＞0，n＞0)和y＝log a x（a＞1)的增长速度．由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“________"．【做一做1－1】当a＞1时,下列结论：①指数函数y＝a x,当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时,其函数值的增长越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时,其函数值的增长越快．其中正确的结论是( ）．A．①③B．①④C．②③D．②④【做一做1－2】当x越来越大时，下列函数中,增长速度最快的是( ）．A．y＝2x B．y＝x10 C．y＝lg x D．y＝10x2【做一做1－3】当x＞0，n＞1时,幂函数y＝x n是________函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就________．答案：增函数快指数爆炸【做一做1－1】B【做一做1－2】A【做一做1－3】增越快如何选择增长型函数描述实际问题？剖析：选择的标准是:指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．题型一比较函数增长的差异【例1】分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．分析：解答本题时,应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．反思：在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况．如图所示:题型二 比较大小问题【例2】 比较下列各组数的大小．(1）3423⎛⎫ ⎪⎝⎭，2334⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)0。

幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。

这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。

下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。

一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。

当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。

幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。

例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。

另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。

二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。

对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。

例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。

三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。

指数函数随着x的增大而快速增加。

例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。

比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。

2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。

例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。

3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。

例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。