中小学优质课件降次—解一元二次方程课件.ppt

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21.2降次---解一元二次方程课件(共6份)4

(2) 配方法：____________； (3) 公式法：____________；
(4) 因式分解法：________．
知3－练
3
解下列方程:
(1) 4x2－121＝0；
(2) 3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3) (x－4)2＝(5－2x)2.
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度 (单位：m)为 10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留
小数点后两位)？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即思考： 10x－4.9x2＝0. ①
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法
解方程①？
知1－讲
知识点
1 因式分解法的依据
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？ 10x - 4.9x 2 = 0 x(10 - 4.9x) = 0 x= 0 两个因式的积等于零
或
10 - 4.9x = 0
100 x1 = 0，x2 = 49
至少有一个因式为零
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
知2－讲
总结
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对
于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次
项系数是偶数，可选用配方法.

人教九年级数学上册《降次—解一元二次方程》课件(共15张PPT)

x26x16 0
变形为
(mxn)2 p的形式.（p为非负常数）
• 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法。学科网 zxxk
•(1)x2＋8x＋16 =4 (x＋ )2 •(2)x2－4x＋4 =2 (x－ )2 •(3)x2－6 ___x＋ 9 =3 (x－ )2
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方学科网 zxxk
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
那么x可得 p或 m xn p. 化成两个一
元一次方程
合作探究，深入辨析
问题2：要使一块矩形场地
的长比宽多6m，并且面积为
解根1：据6设题㎡场意，地得宽:场为地X米的，长则和长为宽（怎应x样+各6解）这是米，
多少？ X（X+6） = 16 学科网 zxxk
个方程？
整理得：X2+6X－16 = 0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
x2+6x-16=0
移项
(mx+n)2=p(p≥0)
x2+6x=16
两边加上3²
x2+6x+9=16+9

21.2降次---解一元二次方程课件(共6份)

降次
知1－导
知识点
1
形如x²=p(p≥0)型方程的解法
问题（一）
一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，
李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正
方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
知1－导
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500. ① 整理，得 x2=25 . 根据平方根的意义，得 x=±5 ，即 x1=5, x2=－5.
)
D．x2＋x＋1＝0
知1－练
4
解下列方程：（1）2x² -8=0 （2）9x² -5=3 （3）9x² +5=1
知2－导
知识点
探究
2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程得 (x＋3)2＝5，② x＋3＝± 5 ，即 x＋3＝ 5 ，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
知2－讲
总
结
解形如(mx+n)² =p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.
知2－练
1 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根
D．有两个实数根
知2－练
知2－导
归
纳
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一

降次——一元二次方程的解法课件(45页)

一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步骤是：
（1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为
x2 c . a
（2）根据平方根的意义，可知当a、c异号时， c 0,方程的根是 a
c
c
x1
a , x2
; a
当a、c同号时， c 0,方程没有实数根；
a
当c
0时，
例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?
解：利用开平方法，得可得
x 1 4 x 1 4
所以，原方程的根是
或x 1 4
x1 3, x2 5.
上面这种解法中，实质上是把一个一元二次方程
“降次”，转化为两个一元一次方程。
用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7
就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x;
(3) x2+9=-6x ;
(5)
x2 4
9
0
(2) (x -2)(2x -3)=6; (4) 9x2=(x-1)2
例2 解方程x2=2√2x－2 解移项，得 x2 －43;(√2)2=0. ∴(x －√2)2=0, ∴x1=x2=√2
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（3）2x2-7x=0 解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
=

降次—解一元二次方程-课件

x2+6x＋9=16＋9
如左边写成平方形式
何
( x + 3 )2=25
转
降次
化ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x+3=±5
可以验证，2和－8是方程②的两根，但是场地的宽不能是负
x＋3=5,x＋3=－5
值，所以场地的宽为2m，长为 8（即2＋6）m.
解一次方程
x1=2，x2=－8
以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/62021/3/6Marc h 6, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/6
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
x2+8x+_1_6__= ( x+___4___ )2.
2.解下列方程
1 x 2 1 0 x 9 0 ； 2 x 2 x 7 0 .
4
解：（1）移项，得
x2 10x9,
配方
x210x52952,
x52 16,
由此得
x52 4,
x54 x54,
x1 1,
x2 1.
2 x2 x70
4
解：移项，得：
x2 x 7 , 4
配方：x2x＋－12274－122,
x
1 2
2
7 4
,
由此得
x 1 2, 2
x1
1 2
2
x1
1 2
2.
作业：用配方法解下列方程
（1）x2－10x+25=7;

21.2降次---解一元二次方程课件(共6份)1

(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2 2 (4)x － x＋____＝(x－____)2. 3 2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5
)
C．(a＋2)2＋4
D．(a＋2)2－9
知1－练
3
对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是( A．非负数 C．负数 B．正数 D．无法确定
知1－讲
归
纳
1. 当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两
倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．
知1－练
1
填空： (1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2； (2)x2－12x＋____＝(x－____)2；
2
2
由此可得
3 1 x = . 4 16 3 1 x , 4 4
x1 1, x2 1 2
2
知2－讲
总
结
—般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) 的形式，那么就有： x1＝－n－ p ，x2＝－n＋ p； (2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
x2－8x＝－1. 配方，得
x2－8x＋42＝－1＋42，
(x－4)2＝15. 由此可得
x 4 15,
x1 4 15 , x2 4 15 .
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
3 1 x x . 2 2

降次——解一元二次方程配方法PPT教案

P45.习题22.2
第4页/共13页
把此方程“降次”，转化为两个一元一次方程
第5页/共13页
第6页/共13页
化成两个一元一次方程
P36 练习
第7页/共13页
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
例1 解下列方程
练习 P39.2
第11页/共13页
谢谢合作！
P45.3
第12页/共13页
感谢您的观看！
第13页/共13页
降次——解一元二次方程配方法
第1页/共13页
填一填
1 4
第2页/共13页
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值，所以正方来自的棱长为5d第m3页./共13页
为16 ,列方程
X(x+6)=16
怎样解?
第8页/共13页
移项两边加上32,使左边配成左边写成完全平方形式降次
第9页/共13页
以上解法中,为什么在方程两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一
元二次方程的方法, 叫做配方法.
堂上练习:
P39.1 P45.2
第10页/共13页

降次解一元二次方程教学课件

6 ＋ 9 =(x－ 3 )2 (3)x2－___x
练习
解方程
（1） 9x2＋6x+1=1

(2)
4x2＋12x+9=25

(3)
4(x－1)2 =
9
(4)4x2＋16 x＋16 = 9
归纳
直接开平方法适用于x2=a (a≥0)形式的一元二次方程的求解。这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式主要类型 1.x2=a (a≥0) 2.mx2=n (m与n异号且m不为0) 3.(mx+n)2=p (p≥0， m不为0) 4.(mx+n)2=p2
复习巩固
2 1、如果 x = a x= ± a 。
则x叫a的平方根，也可以表示为
2、将下列各数的平方根写在旁边的括号里 9 （ ± 3 ）； 8 （± 2 2 ）； 5 （± 5 ）； 2 5 24 （± 2 6 ）；
3 16
49
7 （±5
）；）；
（
±
3 4
3、如果x2=4，则x= ± 2 想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？
探究1
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 例1.用直接开平方法解下列方程:
（1）x2-121=0 （2）- x2+3=0 （3）x2+1=0
探究2
9x2=16可以怎样求解? 练习:用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0;
(2)9x2－20=5;
探究3
对照上述解题过程，你会解(2x-1)2=5方程吗? 练习:用开平方法解下列方程 (1) (2x－1)2 = (2)4 (x－1)2 = 9 9

降次-解一元二次方程课件

1、复习巩固所学内容 2、 P 第 3题 17
2 2
解： (1)3 x 2 3,3 x 2 3
5 1 x1 , x2 3 3
降次，化成两个一元一次方程
(2) x 2 3
2
x 2 3, x 2 3 x1 3 2, x2 3 2
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
x n
2
p p 0
x n= p
xn p
配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
理一理
例1: 用配方法解方程
(1) x 8x 1 0 (2)2 x 6x 3 0;
2 2
解:
2
(1) x 8x 1 0
2
x 8x 42 1 4
(1)
2
2
x px 共同点：
(4)
2
p 2 ( ) =( 2
x

p 2 ) 2
观察(1)(2)看所填的常数与一次项系数之间有什么关系?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方;
右边:所填常数等于一次项系数一半。
(1) x 49 0;(2)49x 25 2 2 (3)2x 6;(4)3x 15 0
x 3 2 2 x 3 2 ____________ ，________________。 1
x n
2
p
降次，转化
xn p
xn p
n、p是常数，p 0
练一练：解下列方程:
(1) 3 x 2 9; (2) x 4 x 4 3

21.2降次---解一元二次方程课件(共6份)5

未知数的方程，进而求出待定字母的值．
知2－练
1 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的
值为( ) B．－1 D．不存在
3 A．－1或 4 3 C. 4
（来自典中点）
知2－练
2 已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值为________．
知2－讲
例3 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为________ k＝ 1 ．
导引：由x12＋x22＝x12＋2x1· x2 ＋ x2 2 － 2x1 · x2＝(x1＋x2)2－2x1· x2
＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第 6 课时一元二次方程根
与系数的关系
1
课堂讲解一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系的应用
2
课时流程
逐点导讲练课堂小结作业提升
复习提问
1. 写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2. 一元二次方程求根公式.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的
一个根是2，求方程的另一个根和p的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值．
知2－讲
解：设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4. c 又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8， a ∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.

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如左边写成平方形式
何
( x + 3 )2=25
转
降次
化
x+3=±5
可以验证，2和－8是方程②的两根，但是场地的宽不能是负
x＋3=5,x＋3=－5
值，所以场地的宽为2m，长为 8（即2＋6）m.
解一次方程
x1=2，x2=－8
以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正好于x2+6x能够配成一个完全平方式: x2 + 6x + 9= ( x + 3 )2
2.解下列方程
1 x2 10x 9 0； 2 x2 x 7 0.
4
解：（1）移项，得
x2 10x 9,
配方
x2 10x 52 9 52,
x 52 16,
由此得
x 52 4,
x 5 4 x 5 4,
x1 1,
x2 1.
2 x2 x 7 04解移项，得：加其它数不行．
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法．
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
例1 解方程： x2+8x－9=0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9,
两边都加上42（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x+42=9+42,
即 ( x + 4 )2=25,
学.科.网
开平方，得 x+4=±5,
即 x+4=5或 x+4=－5,
所以 x1=1 , x2=－9.
练习
1. 填上适当的数，使下列等式成立：
xzxx2kw+12x+_3_6__= ( x+6 )2； x2+4x+__4__= ( x+___2__ )2；
x2+8x+_1_6__= ( x+___4___ )2.
x2 x 7 , 4
配方：x2
x＋－
1 2
2
7 4
－
1 2
2
,
x
1 2
2
7 4
,
由此得
x 1 2, 2
x1
1 2
2
x1
1 2
2.
作业：用配方法解下列方程
（1）x2－10x+25=7;
（2）x2 + 6x = 1.
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为 16m2，场地的长和宽应各是多少？
设场地宽xm，长（x+6）m，根据矩形面积为16m2列方程
x(x+6)=16,
即
x2+6x－16=0.
②
x2+6x－16=0
移项
x2+6x=16
思考
两使边左加边9配（成即x2＋622b2）x＋b2 的形式
x2+6x＋9=16＋9