13.1.2 用计算器求一个正数的算术平方根

用计算器求一个正数的算术平方根一、教学目标(一)知识与技能：1.会用计算器求一个数的算术平方根，理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律；2.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；(二)过程与方法：1.培养学生的探究能力和归纳问题的能力；2.体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.(三)情感态度与价值观：通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点、难点重点：会比较两个数的算术平方根的大小.难点：会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识.三、教学过程课前热身求下列各数的算术平方根，并用“＜”分别把被开方数和算术平方根连接起来.1，4，9，16，25.解：1=1，4=2，9=3，16=4，25=5.比较结果：1＜4＜9＜16＜25，1＜4＜9＜16＜25.被开方数越大，对应的算术平方根也越大.若a＞b＞0，则a＞b＞0.探究能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x，则x2=2，由算术平方根的意义可知x=2，所以大正方形的边长是2dm.小正方形的对角线的长是多少呢？2有多大呢？因为12=1，22=4，所以1＜2＜2因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4＜2＜1.5因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以1.41＜2＜1.42因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以1.414＜2＜1.415……事实上，2=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数.(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.) π也是一个无限不循小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7等)都是无限不循小数.大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).例2 用计算器求下列各式的值:(1) 3136 (2) 2 (精确到0.001)解：(1)依次按键3136=，显示：56，∴ 3136=56 (2)依次按键2=，显示：1.4142135623731，∴ 2≈1.414注：计算器上显示的1.4142135623731是2的近似值.下面我们来看引言中提出的问题：由v 12=g R ，v 22=2g R ，得v 1=gR ，v 2=gR 2，其中g ≈9.8，R ≈6.4×106.用计算器求v 1和v 2(用科学记数法把结果写成a ×10n 的形式，其中a 保留小数点后一位，得v 1≈610×6.4×9.8≈7.9×103，v 2≈610×6.4×9.8×2≈1.1×104.因此，第一宇宙速度v 1大约是7.9×103m /s ，第二宇宙速度v 2大约是1.1×104m /s . 探究(1)利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？规律：_________________________________________________________________________(2) 用计算器计算3≈______(精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说03.0≈______，300≈______，30000≈______的近似值.你能根据3的值说出30是多少吗？例3小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？解：设长方形纸片的长为3x cm ，宽为2x cm .根据边长与面积的关系得3x •2x =3006x 2=300x 2=50x =50 因此长方形纸片的长为350cm .( 350就是3×50) 因为50＞49，所以50＞7.由上可知350＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm .因为400=20. 所以正方形纸片的边长只有20cm .这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片. 练习1.用计算器求下列各式的值：(1) 1369 (2) 2036.101 (3) 5(精确到0.01)解：(1) 1369=37；(2) 2036.101=10.06；(3) 5≈2.242.比较下列各组数的大小：(1) 8与10 (2) 65与8 (3) 215-与0.5 (4) 215-与1 解：(1)∵ 8＜10，∴ 8＜10(2) ∵ 65＞64，∴ 65＞64，即 65＞8(3)∵ 5＞2，∴ 5-1＞2-1，∴215-＞21，即215-＞0.5 (4)∵ 5＜3，∴ 5-1＜3-1，∴ 215-＜22，即215-＜1 课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法. 让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值.。

最新苏版初一下册算术平方根《用计算器求一个正数的算术平方根》教学设计—、内容和内容解析1.内容：用估算法或计算器求一个数的算术平方根的近似值2.内容解析:使用计算器可以求任何一个正数的算术平方根（或近似值），这个内容学生独立完成.基于以上分析,可以确定本节课的教学重点:掌握用有理数估计一个（无理）数的大小.二、目标和目标解析1.目标（1）能用估算法求一个数的算术平方根的近似值，体验"无限不循环小数“的含义，感受不同于有理数的一类新数的存在，目标（2）会用计算器求一个数的算术平方根;理解被开方数的扩大（或缩小）与其算术平方根的扩大（或缩小）之间的规律•2.目标解析目标（1）：用估算法求一个数的算术平方根的近似值的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”，使学生体验"无限不循环"小数的特点，并且会利用估算比较大小.目标（2）:用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根（或其近似值）,再通过一些特殊的例子找出一些正数的算术平方根的规律:被开方数小数点向右（或向左）移动2位，它的算术平方根就相应地向右（或向左）移动1位.三、学生问题诊断分析用有理数估计一个无理数的大致范围，并让学生在这个过程中体验"无限不循环小数"的含义，需要多次采用逼近法进行估计，而逼近法在以前的学习中从未出现过，学生一下子很难体会它的妙处,思维也很难展开,这些对学生综合运用知识的能力有较高的要求.基于以上分析，本节的难点：逼近法估计一个（无理）数的大小的思想,认识无限不循环小数的特点.四、教学策略分析本节课采用"复习回顾--问题情境--自主探究一小组合作一综合应用"的模式展开教学，以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，充分调动学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验，五、教学过程设计1梳理旧知，铺垫新知（1）算术平方根的概念（2）利用概念填表，并归纳所得结论a (a>0)4251 1.96 2.2549164~a师生活动:学生代表回答，如出现错误或不完整，请其他学生修正或补充，得出结论：对于所有正数:被开方数越大，对应的算术平方根也越大，反之，亦然.设计意图：有意识的让学回顾上节课内容，为后面学习逼近法估算做好铺垫.2.创设情境，引入新知［问题1】用一个面积为4的正方形纸片.(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形？(2)你能折出面积为2的小正方形吗？师生活动:教师提出问题，学生动手折叠，教师参与帮助指导学生完成折纸活动.设计意图：通过折纸活动，调动学生思维的积极性,建立初步的空间观念，发展形象思维.【追问11折出的面积为1的小正方形的对角线是多少？【追问2］面积为2的正方形的边长是多少？师生活动:学生独立思考,数形结合,容易得到，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长VL设计意图：通过实际问题的操作探究，说明实际生活中确实存在被开方数不是一个有理数的平方数的情况,激发学生学习积极性，追问(1注要为后面介绍用数轴上的点表示扼做准备•［追问3］V2背后有怎样的故事呢？师生活动：学生知道的，学生介绍；若不知道，教师介绍.设计意图：通过很背后的故事,学习无理数之父希帕索斯不畏权威,敢于创新，勇于追求真理的精神，同时大大提高学生探究扼的兴趣，3.问题探究，学习新知【问题2】V2有多大？为了弄清这个问题,请同学们探究V2"在哪两个相邻整数之间？"师生活动:先让学生思考讨论并大概估计有多大，数形结合，直观可知扼大于1而小于2,教师引导学生利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大“说明理由，教师板书推理过程•［追问1】㈤是1点几呢？你能不能得到V2的更精确的范围？师生活动:在梳理旧知的表格里，已经做好铺垫,学生试验可得到平方数小于2且最接近的1位小数是1.4,而平方数大于2且最接近的1位小数是1 .5,所以扼大于］.4 而小于1.5.......用类似的方法反复上述过程，说明是姻一个无限不循环小数,以及什么是无限不循环小数•［追问2】许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数，如J?、布、、僧、、斤等.根据估计扼的大小的方法，请你估计布的整数部分是多少？师生活动:学生在独立思考的基础上，学生交流，在与学生沟通的过程中及时发现学生探究过程中的困难，给予及时指导帮助，引导学生对探究结果进行总结和交流，设计意图：在探究活动中加强培养学生的估算能力,渗透估算的思想和方法,感受两个方向无限逼近的数学思想,发展学生的抽象思维.了解无限不循环小数的特征，为后面学习实数做铺垫.追问（2）主要为及时巩固估算方法.［问题3］你对正数a的算术平方根西的结果有怎样的认识呢？师生活动:学生自己归纳总结，相互完善.最后一致得出：、伤的结果有两种,当a能表示成有理数的平方时，扃是一个有理数；当a不能表示成有理数的平方时,扃是一个无限不循环小数.设计意图：让学生对带有根号的数能进行分类.［问题4】用计算器求下列各式的值.(1)71136(2)V2(精确到0.001)师生互动:学生独立思考，动手完成.设计意图：通过用计算器求算术平方根，使学生进一步体会无限不循环小数的现实性和存在性，发展数感■4.初步应用,巩固新知［问题5】体验估算1.(2019年天津中考)估计719的值在()A、2和3之间B、3和4之间C、4和5之间D、5和6之间2.(2019天津中考)估计把+1的值在()A、2到3之间B、3到4之间C、4到5之间D、5到6之间3.(2019中考)已知a,b为两个连续的整数，且a<<。

课题：用计算器求一个正数的算术平方根1．利用计算器求一个正数的算术平方根．2．用估算的方法求一个正数的算术平方根．3．能通过估算的方法确定无理数的大致范围、整数部分及小数部分．利用计算器求一个正数的算术平方根．用估算的方法求一个正数的算术平方根．【导学流程】一、情景导入、感受新知你能用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗？你知道大正方形的边长是多少吗？你有几种拼法？二、自学互研、生成新知【自主探究】阅读教材P41～P44的内容，完成下面问题．【探究1】确定情景导入中正方形的边长．1．大正方形的面积是多少？2．你能根据算术平方根的意义由正方形的面积求得正方形的边长吗？由上图知道大正方形的对角线长为2，根据图形拼接知识知大正方形的面积为2.设大正方形的边长为x，由正方形的面积公式得x2＝2.由算术平方根的意义知x＝ 2.所以大正方形的边长是 2.【探究2】估算2的大小通过夹逼法确定无限不循环小数的大小；1．如何比较1，2，2的大小关系；2．确定1.4，2，1.5的大小关系；3．确定1.41，2，1.42的大小关系．如此反复确定无限不循环小数的更精确的近似值．【合作探究】【探究3】利用计算器探究被开方数小数点移动与算术平方根的小数点的移动规律(1)利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表格中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？…0.0625 0.625 6.25 625 6250 62500 ……0.250.79 2.52579250…(2)用计算器计算3(精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说出0.03，300，30000的近似值，你能根据3的值说出30是多少吗？师生活动：①明了学情：关注学生对用计算器求一个正数算术平方根的方法，会估算一个正数的算术平方根．②差异指导：及时对学习有困难的学生进行引导点拨．③生生互助：小组内交流讨论，相互释疑，形成共识．三、典例剖析、运用新知【合作探究】【例1】用计算器求下列各式的值．(精确到0.001)(1) 5.72(2)2012(3)89 3解：(1)2.392(2)44.855(3)5.447【例2】小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3∶2，她不知道能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.根据边长与面积的关系，得3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50，x＝50.因此长方形纸片的长为350cm.因为50＞49，所以50＞7.由上可知350＞21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.因为400＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．答：不同意小明的说法，小丽不能用这块正方形纸片剪出符合要求的长方形纸片．四、检测反馈、落实新知1．下列各数与7最接近的是(B)A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.82．(安徽中考)设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是(C)A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和53．已知20n是整数，则满足条件的最小正整数n为(D)A．2 B．3 C．4 D．54．若3＝1.732，30＝5.477，则0.03＝(B)A．0.01732 B．0.1732 C．0.05477 D．0.54775．2016里约奥运会国际比赛的足球场要求长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560 m 2，问这个足球场是否达到要求．解：设足球场长为x m ，则宽为23x m. 23x 2＝7560，x 2＝11340. ∵1002＜11340＜1102， ∴100＜x ＜110.设足球场宽为y m ，则长32y m.∴32y 2＝7560，y 2＝5040.∵642＜5040＜752，∴64＜y ＜75. ∴这个足球场达到要求． 五、课堂小结、回顾新知请大家回顾一下，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 在学生回答的基础上，教师点评算术平方根⎩⎪⎨⎪⎧概念及表示方法性质应用→无限不循环小数用夹逼法估算一个数的算术平方根.六、课后作业、巩固新知 (见学生用书)。

13.1平方根（1）教学目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：a是非负数；正确区分算术平方根与平方根㈠创设情景，导入新课dm 请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）㈡合作交流，解读探究讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数的平方吗？自主探索：让学生独立看书，自学教材=，那么正数x叫做a总结：一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x a号a，其中a叫做被开方数另外：0的算术平方根是0探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。

x=设大正方形的边长为x，则22由算术平方根的意义，x=㈢应用迁移，巩固提高例1 求下列各数的算术平方根⑴100 ⑵4964 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸124点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗？备选例题：要使代数式3x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤㈣总结反思，拓展升华小结：1、算术平方根的定义和性质2、用计算器求一个正数的算术平方根拓展：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 2a b c +-的算术平方根㈤课堂跟踪反馈1、 非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____2、____,_____===3、_____, 0.64-的算术平方根____4、 若x 是49的算术平方根，则x =（ ）A. 7B. －7C. 49D.－495、 7=，则x 的算术平方根是（ ）A. 49B. 53C.7 D6、 若()2130x y -+++=，求,,x y z 的值。

13.1平方根知识全解知识点一：算术平方根的概念及表示方法(重点)知识点：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．规定：0的算术平方根是0.非负数a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．知识拓展：算术平方根a 具有双重非负性：（1）被开方数a 是非负数；（2）算术平方根a 本身是非负数. 知识警示：①“”的指数为2，是2的简写形式；②0的算术平方根是0，负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，它一定表示一个非负数；③由于任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数，即算术平方根具有非负性，;0 a ④算术平方根是它本身的数只有0和1. 【试练例题1】求下列各数的算术平方根： (1)169, (2)121144(3)0.01 (4)(-6 )2 (5)106（6）13 思路导引：按照算术平方根的定义，只要分别找到一个非负数的平方分别等于上面的几个数，那么这几个非负数就是上面几个数的算术平方根.4 4 1 = 解：（1）∵132=169，∴169的算术平方根是13，即：16913=。

（2）∵21112112144⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴121144的算术平方根是1112，即：1211114412=。

（3）∵0.12=0.01，∴0.01的算术平方根是0.1，即：0.010.1=。

（4）∵(-6 )2=6 2=36，∴(-6 )2的算术平方根是6，即：2(6)6-=。

（5）∵106=()2310，∴106的算术平方根是103，即：631010=。

（6）∵13的算术平方根是13。

方法总结：正确理解算术平方根的定义，更主要的是找到哪个数的平方等于这个数，解决此类题主要是依据乘方和开方互为逆运算来进行的.注意在解这类题时，要明确是求哪个数的算术平方根.知识点二： 用计算器求一个正有理数的算术平方根（了解）在计算数的算术平方根时，有些数据比较大或不容易求出，可以借助计算器求其算术平方根.在计算器上按“”键，输入被开方数后，按“=”键直接计算出算术平方根.知识警示：①计算器里显示的数值中，许多都是近似值；②不同的计算器按键的顺序有所不同；③计算器显示的是一个非负数的算术平方根，求一个非负数的平方根时，只要在算术平方根前加“±”号即可；④通常求一个分数的平方根时，要先把这个分数化成小数再计算.【试练例题2】用计算器求下列各数的算术平方根（1）441； （2）4225；（3）44.81.思路导引：用计算器求一个正数的平方根，只需要直接按书写顺序按键即可.解：（1）在计算器上依次键入 ，显示结果为21，所以441的算术平方根为;21441=（2）在计算器上依次键入 ，显示结果为65，所以4225的算术平方根为;654225=（3）在计算器上依次键入， ，显示结果为6.694027188，所以44.81的算术平方根为.69.681.44≈点拨：用计算器求算术平方根时，要特别注意计算器的型号及按键顺序.知识点三：平方根的概念及其性质（重难点）1.平方根的概念：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2= a ，那么这个数x 叫做4 2 25 = = 4 4 · 8 1a 的平方根（也叫二次方根）.正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ”，另一个是“－a ”， 这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”. 2.平方根的性质（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）没有一个数的平方是负数，所以负数没有平方根.3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数. 知识拓展：关于算术平方根的公式 （1）()2aa =（a ≥0）（2）()()⎪⎩⎪⎨⎧〈-=〉==).0(,00,02a a a a a a a知识规律：平方根与算术平方根之间的区别和联系算术平方根平方根区别 定义不同 如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．个数不同 一个正数的算术平方根只有一个一个正数有两个平方根，它们互为相反数表示方法不同非负数a 的算术平方根表示为非负数a 的平方根表示为取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数正数的平方根是一正、一负联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0的平方根与算术平方根都是0知识警示：①一个正数的正的平方根就是它的算术平方根；②平方与开方是互逆运算关系.开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程.我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确；③平方根是它本身的数只有0.【试练例题3】求下列各数的平方根。