2021年高一入学摸底考试数学试题 含答案

2021-2022年高一数学上学期入学摸底试题试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。

4．考试结束后，将答题卷交回。

5．参考公式：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象的顶点坐标是(,).一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）1．－3的绝对值等于（）A．±3 B．3 C．－3 D．2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A B C D3．下列计算正确的有（）①；②；③；④；A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（）A．30° B．60°C．80° D．120°5．函数自变量的取值范围是（）A．B．C．D．6．雷霆队的杜兰特当选为某个赛季NBA常规赛MVP，下表是他8场比赛的得分，则他这8场比赛得分的众数与中位数分别为（）A．29，28 B．28、29 C．28、28 D．28、27 7．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（）A．10 B．8 C．6 D．58．下列关于的方程有实数根的是（）A．B．C．D．9．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD。

下列结论中不一定正确的是（）A．AE＝BE B．弧AD＝弧BDC．OE＝DE D．∠DBC＝90°10．下列图案都是由若干个全等的等边三角形按一定的规律排列而成。

按此规律，第8个图案中的等边三角形的个数为（）A．28 B．32 C．36 D．4011．李明从家骑自行车上学，匀速行驶了一段距离，停下来休息了一会，在休息时发现自己忘了带数学复习资料，便打电话叫妈妈送来，同时自己立即原路原速返回，在途中遇到给他送数学复习资料的妈妈，拿到数学复习资料后，李明立刻掉头沿原方向加快速度匀速行驶到学校。

昆明市第一中学2021届摸底考试参考答案（理科数学）一、选择题1.解析：因为112+=，所以1i i z ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-，选B ．2. 解析：因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞，所以[]0,1AB =，选A ．3. 解析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d ==0p >，所以2p =，选C ． 4. 解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C ．5. 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8，另外中间一位数有10种可能，所以有41040⨯=个，选A ．6. 解析：函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选D ． 7. 解析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120︒的扇形，故该几何体的体积为π91642π31312=⨯⨯⨯=V ，选C ． 8. 解析：令0y =，4x =；0x =，2y =.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB ==，选C ． 9. 解析：由题意，()()()()255221441x x x x x -+=-++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x -⋅⋅055546C x x +⨯=-，所以56a =-，选C ．10. 解析：由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面⊥SAB 平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径3333=⨯=R ，故该三棱锥外接球的半径3=R ，其表面积π12π42==R S ，选D ．11. 解析：解析：因为)(x f 的最小正周期为π，故2=ω，将其向右平移3π后所得图像对应的解析式为)32π2sin()(-+=ϕx x g ，又)(x g 为奇函数，所以π32πk =-ϕ，2π<ϕ，解得3π-=ϕ，故)3π2sin()(-=x x f .令π2π3π2k x +=-（Z ∈k ），解得2π125πk x +=（Z ∈k ），取1-=k ，12π-=x ，故①正确；令π3π2k x =-（Z ∈k ），解得2π6πk x +=（Z ∈k ），)(x f 的对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2π6πk （Z ∈k ），②正确；又由π22π3π2π22π3k x k +-≤-≤+-（Z ∈k ），取0=k 知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12π,12π7是原函数的一个单调递减区间，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12π,2π712π,2π，故③正确；对于④，函数在此区间上的零点只有3π2，6π7两个，故错误，综上所述正确结论的编号为①②③，选A ．12. 解析：依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，选B ．二、填空题13. 解析：如图所示y x z +=2在()2,2A 处取得最大值，且2226z =⨯+=．14. 解析：由b a b a 2-=+平方可得：21122a b b ⋅==，所以a 在b 方向上的投影是12a b b ⋅=． 15. 解析：由题意可得，直线:210l x --=过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，设P 、Q 在l 上的射影分别是1P 、1Q ，过Q 作1QM PP ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt PQM △中，得45BAE ∠=︒，1112cos451PP QQ PM PF QF PQ PF QF PF QF λλ---︒=====+++323λ=+ 16. 解析：因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对.所以正确结论是①②③④．HGA 1EB 1CD F AD 1C 1三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）由1121S a =-得：11a =，因为11(2)(2(1))n n n n S S a n a n ---=---- (2)n ≥，所以121n n a a -=+ (2)n ≥，所以2121=3a a =+，3221=7a a =+； 由此猜想数列{}n a 的通项公式21n n a =-；证明：因为121n n a a -=+ (2)n ≥，所以112(1)n n a a -+=+， 所以1121n n a a -+=+(2)n ≥，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，即：21n n a =-.（用数学归纳法证明也可） ………6分 （2）由（1）得21n n a =-，所以()32313523222(2)n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+22(14)(2)14n n +-=-+-252383n n +--=. ………12分18. 解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且121===CD AD AB ，可得2BD BC ==，2=CD ，所以BD BC ⊥又平面⊥ADEF 平面ABCD ，平面 ADEF 平面AD ABCD =，四边形ADEF 是矩形，AD ED ⊥，⊂ED 平面ABCD ，可得⊥ED 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，则ED BC ⊥，BD ，ED ⊂平面BDE ，D ED BD = ，故⊥BC 平面BDE ， BC ⊂平面BCE ，所以，平面BCE ⊥平面BDE ． ………6分（2）由（1）知△BCE ，△BDE ，△CDE 都是直角三角形，030BEC ∠=．设a ED =，则42+=a CE ，2=BC ，BC CE 2=， 2442⨯=+a ，解得2=a ，如图以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,0(E ，)2,0,1(F ， 故），，（211-=EB ，），，（001=EF ， ），，（220-=EC ， 设），，（z y x m =为平面BEF 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF m EB m ，得），，（120--=m ，同理可得平面BCE 的一个法向量为），，（111=n ， 设二面角C BE F --的平面角为α， nm n m n m ⋅>=<,cos 35120⋅-+-+=）（）（551-=， =αcos ><n m ,cos 515-=， 所以，二面角M CN A --的余弦值为515-. ………12分19. 解：（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=.因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. ………6分 （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是1130. ………12分20. 解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =，所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=， 由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=. ………5分 （2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在， 设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2221222122222438434343641630340k k k mk x x k m x x k m m m ⎧+⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪∆=-->⇒+⎩->+ 因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=， 则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-，所以直线AD 恒过定点()1,0 ………12分21. 解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e x f x a ，当0a 时，()0f x ，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a 时，令()0f x ，得ln()x a ． 所以()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．综上所述，当0a 时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a 时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．………6分（2）当0,x时，11x ，所以()ln(1)0g x x ．设()ln(1)h x x x (0)x ， 则1()111xh x x x '=-=++，当0x 时，()0h x '>，()h x 在0,上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以ln(1)x x ， 故0()g x x ．由（1）可知，当0a 时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增． 所以(())()f g x f x <成立；当10a 时，ln()0a -≤，且()f x 在ln(),a 上单调递增，所以(())()f g x f x <成立； 当1a时，()f x 在0,ln()a 上单调递减；则有(())()f g x f x >，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[)1,-+∞. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

2020-2021学年北京一零一中学高一新生入学摸底测试数学试题一、单选题1．满足的非负整数对的个数是（ ）2a b a b ++-=(),a b A ．2B ．3C ．4D ．6B【分析】依题意可得，再分种情况讨论，得到所对应的方程组，求出方程组0a b +≥5的解即可判断；【详解】解：因为、是非负整数，所以，又，a b 0a b +≥2a b a b ++-=根据题意可得：，或或或或，02a b a b +=⎧⎨-=⎩02a b a b +=⎧⎨-=-⎩11a b a b +=⎧⎨-=⎩11a b a b +=⎧⎨-=-⎩20a b a b +=⎧⎨-=⎩解方程组得：（舍去）或（舍去）或或或，11a b =⎧⎨=-⎩11a b =-⎧⎨=⎩10a b =⎧⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩11a b =⎧⎨=⎩故符合题意的数对有、、共个；(),a b ()1,0()0,1()1,13故选：B ．2．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．B【分析】根据题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，当中下面为三个正方体，上面为两个正方体，然后根据题中定义好的表示方法组合在一起即可．【详解】由题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，用表示，当中为三个正方体，用表示，上面为两个正方体，用表示，所以答案B 是符合题意的，故选B ．本题考查几何体的正视图的画法，解题关键是注意用什么样的小正方形，代表几个小正方体．3．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟a b 为（ ）A ．元B ．54b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭54b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．元D ．元34b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭43b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D【分析】设原收费标准每分钟为x 元，则根据题意，以现在的收费标准为等量关系，列出等式，表示出原收费标准即可.【详解】解：设原收费标准为x 元，则第一次降价后的收费标准为元()x a -再次下调了后的收费标准为元，25%()(125%)x a --依题意知现在的收费标准为b 则有，()(125%)x a b --=解得，故原收费标准为元，43b x a =+43bx a =+故选：D.4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345…输出…1225310417526…那么，当输入数据是时，输出的数据是（ ）A ．B ．C ．n 21nn +21nn -D ．21n n +21nn -C【分析】分析输入、输出的数据之间的关系，从而找到规律．【详解】解：输入，输出；1211211=+输入，输出；2222521=+输入，输出；32331031=+输入，输出；42441741=+由此可得，输入，输出；n 21n n +故选：C5．如图，与是两个全等的等边三角形，且.有下列四个命题；ABP △CDP PA PD ⊥①；②；③直线与垂直；④四边形是轴对称图15PBC ∠=︒AD BC ∥PC AB ABCD 形.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D【分析】由题意可得为等腰直角三角形，则可得，则已知条APD △45PAD PDA ∠=∠=︒件可得，，然后逐个分析判断即可AB PB AP PC PD CD =====60APB DPC ∠=∠=︒【详解】因为与是两个全等的等边三角形，且，ABP △CDP PA PD ⊥所以，，45PAD PDA ∠=∠=︒AB PB AP PC PD CD =====，60APB DPC BAP ABP PDC PCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒所以，36090120150BPC ∠=︒-︒-︒=︒所以，130152PBC PCB ∠=∠=⨯︒=︒所以，6045105,601575BAD ABC ∠=︒+︒=︒∠=︒+︒=︒所以，10575180BAD ABC ∠+∠=︒+︒=︒所以，AD BC ∥因为，751590ABC PCB ∠+∠=︒+︒=︒所以，AB PC ⊥因为，，，AD BC ∥AB CD =AD BC ≠所以四边形为等腰梯形，ABCD 所以四边形是轴对称图形.ABCD 所以①②③④均正确，故选：D6．在平面直角坐标系中，有两个定点，.在轴上找一点，使得xOy ()3,3A -()5,1B x C 最小，则点的坐标是（ ）||||AC CB +C A ．B ．C ．D ．()3,0()5,0()7,0()9,0A【分析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴点，连接. 求B x (5,1)D -AD x C BC 出直线的解析式即得解.AD 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴点，连接.B x (5,1)D -AD x C BC 则此时最小.||||AC CB +设直线的解析式为，AD y kx b =+由题得3313,,.1522k b k b k b=-+⎧∴=-=⎨-=+⎩所以.1322y x =-+令.0,3,(3,0)y x C =∴=∴故选：A7．等腰三角形内接于一个半径为6的圆.其中ABC O AB AC ==与圆相切，且圆同时也和在底边中点处相切，则圆的半径是E O E ABC BC E （ ）A B ．2C ．D 83C【分析】设的中点为，圆与圆切于点，连接，即可得到是圆的BC F E O D AD AD O 直径，连接，利用勾股定理求出，再由等面积法求出，最后由勾股定理求BD BD BF 出，即可得解.DF 【详解】解：设的中点为，圆与圆切于点，连接，BC F E O D AD因为，，所以过点，AB AC ==AF BC ⊥DF BC ⊥AD F 依题意可得如下图形：所以即为圆的直径，连接，所以，即，AD O BD AB BD ⊥90ABD ∠=︒所以，8BD ===又，即，1122AB BD AD BF ⋅=⋅1181222BF⨯=⨯⋅解得BF =所以，163DF ===所以，即圆的半径为.1823DE DF ==E 83故选：C8．某中学每年都要举行秋季运动会，为了进一步科学地指导学生提高运动成绩，某体育老师在学校的秋季运动会上根据一名同学1500m 跑的测试情况绘成下图，图中是一条折线段，图形反映的是这名同学跑步的时间与距离的关系，由图可知下列说OA 法错误的是（ ）A ．这名同学跑完1500m 用了6分钟，最后一分钟跑了300mB ．这名同学的速度越来越快C ．这名同学第3到第5分钟的速度最慢D ．这名同学第2、第3分钟的速度是一样的B【分析】根据图象判断同学跑步速度变化情况及总路程和时间关系，即可判断各项的正误.【详解】由图知：6分钟跑完1500m 且最后一分钟跑了300m ，A 正确；前5分钟，第0到1分钟斜率最大，第1到3分钟、第3到5分钟斜率依次变小，而从第5到6分钟斜率再次变大，所以B 错误，C 、D 正确.故选：B9．一次数学考试共有8道判断题，每道题4分，满分32分，规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则的值为（ ）m题号学生12345678得分甲×√×√××√×24乙××√√√××√20丙√×××√√√×20丁×√×√√×√√mA ．16B ．20C ．24D ．28C【分析】根据甲乙的得分情况判断甲乙正确和错误分布，即可判断丙答案正误情况，最终得到8道题的标准答案，进而确定丁的分数.【详解】由表知：2、3、5、7、8中甲正确有3个，乙正确有2个，而1、4、6甲乙的判断都正确；所以丙的1、4、6均错误，故丙所选的2、3、5、7、8都正确，综上，丁的2、8判断错误，1、3、4、5、6、7判断正确，共得24分.故选：C10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权. k 他们的编号分别为1,2,3,, ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：k （其中且）则同时同意1,0,ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选1,2,,i k = 1,2,,j k = 第号同学当选的人数为（ ）1,2A ． 11121312122232k k a a a a a a a a +++++++++ B ．11213111222322k k a a a a a a a a +++++++++ C ．11122122313212k k a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅ D ．11211222132312k ka a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅ C【分析】由已知得出同意第1号同学当选依次由决定，同意第1121311,,,,k a a a a ⋯2号同学当选依次由决定，故得结论.1222322,,,,k a a a a ⋯【详解】第1，2，…，k 名学生是否同意第1号同学当选依次由来确定（表示同意，表示不同意或弃权），是否同1121311,,,,k a a a a ⋯11i a =10i a =意第2号同学当选依次由确定，1222322,,,,k a a a a ⋯而是否同时同意1，2号同学当选依次由 确定，11122122313212,,,,k k a a a a a a a a 故同时同意1，2号同学当选的人数为11122122313212k k a a a a a a a a ++++ 故选:C ．本题考查对新定义的理解，关键在于理解定义中所表示符号的含义，属于中档题.二、双空题11．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有白色瓷砖______块，第（）个图形中需要黑色瓷砖______块（用含的代数式n n 表示）.25 31n +【分析】用第（3）个图形中总的瓷砖数减去黑色瓷砖数即可得解；利用图中黑色瓷砖数的增加规律可得第（）个图形中需要的黑色瓷砖数.n 【详解】从图形观察，每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，第一个图中黑色瓷砖有4块，则第（3）个图形黑色瓷砖有10块，第（3）个图形中共有瓷砖35块，所以白色瓷砖有25块；第n 个图形瓷砖有（块）.43(1)31n n +-=+故25；.31n +三、填空题12．当______.3x <6-=3-【分析】利用二次根式的性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可．【详解】解：，所以，，3x < 30x -<60x -<6-6=-，()()3636363x x x x x x =---=-----=-++-=-⎡⎤⎣⎦故3-13．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线xOy ()1,1A --上，则此抛物线的对称轴方程是______.()()221221y k x k x =---+58x =-【分析】将点的坐标代入抛物线方程，解出，需注意二次项系数不为，()1,1A --k 0再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为点在抛物线上，()1,1A --()()221221y k x k x =---+所以，解得，()()221221110k k k ⎧-+-+=-⎪⎨-≠⎪⎩3k =-所以抛物线方程为，对称轴为；28101y x x =++105288x =-=-⨯故58x =-14．如果可以分解为两个一次因式之积，那么______.225206x xy ay x y ++-+-=a -14【分析】原多项式可分解为：，然后把225206x xy ay x y ++-+-(2)(3)x my x ny +++-因式展开，解出的值，进而求出a 的值.,m n 【详解】由已知，因为x 系数为，所以原式225206x xy ay x y ++-+-1-可分解两个一次因式为：，(2)(3)x my x ny +++-则，22(2)(3)()(23)6x my x ny x m n xy mny x n m y +++-=+++-+--解得所以52320,m n n m mn a +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，，7,2,m n =⎧⎨=-⎩14a =-故-1415．已知，则分式______.4a bb a +=22223a ab b a ab b -+=++0.215【分析】将目标式分子、分母同时除以ab ，结合已知求值即可.【详解】由，则.4a b b a +=222233151a b a ab b b a a b a ab b b a +--+==++++故1516．如图所示的八个点，，，，，，，处各写一个数，分别是，A B C D E F G H a ，，，，，，，已知每个点处所写的数等于与这个点有线段相连的三个b c d e f g h 点处的数的平均数，则代数式______.()()1213a b c d e f g h a b c d e f g h +++++++=+++-+++340.75【分析】根据题意可得，，，，设3d b e a ++=3a c f b ++=3b d gc ++=3a c h d ++=，，代入可得和的关系，继而可得出答案．a b c d m +++=e f g h n +++=m n 【详解】解：由图形及题意得：，，，，3d b e a ++=3a c f b ++=3b d gc ++=3a c h d ++=，2()()3a b c d e f g h a b c d +++++++∴+++=设，，a b c d m +++=e f g h n +++=，23m na b c d +∴+++=，，23m nm +∴=m n =∴即a b c d e f g h+++=+++．∴11()23233221123234()33a b c d e f g h m nm n m m m n m m a b c d e f g h m n +++-+++---==⨯=⨯=--+++-+++-故．3417．如图所示，正方形的面积是4，点在反比例函数的图像OABC B ()0,0k y k x x =><上，若点是该反比例函数图像上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂R B R x y 线，垂足为，，从矩形的面积中减去其与正方形重合部分的面积，M N OMRN OABC 记剩余部分的面积为.则当（为常数，且）时，点的坐标是S S m =m 04m <<R ______.（用含的代数式表示）m或48,24m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭84,42m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】依题意可得点坐标，从而得到函数的解析式，所以可以设的坐标为，B R 4(,)x x 当在点的左边时，，由此可以求出然后求出；当在点R B 4()(2)S x m x =-⨯--=x y R 右边时，也用同样方法求出，．B x y 【详解】解：正方形的面积是，OABC 4，点坐标为，2AB BC ∴==∴B (2,2)--，，4k ∴=4y x ∴=设的坐标为，R 4,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭当在点的左边，即时，，R B 2x <-4((2)S x m x =-⨯--=解得，，84x m =-42m y -∴=当在点右边，即时，，R B 20x -<<4(2)S x m x =-⨯--=解得，．42m x -=84y m ∴=-故或．48,24m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭84,42m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭18．规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近[]x x ()x x [)x 的整数（，为整数），例如：，，，则下列说法x 12x n ≠+n []2.32=()2.33=[)2.32=正确的是______.（写出所有正确说法的序号）①当时，；1.7x =[]()[)6x x x ++=②当时，；2.1x =-[]()[)7x x x ++=-③方程的解为；[]()[)4311x x x ++=1 1.5x <<④当时，函数的图像与正比例函数的图像有两个交点.11x -<<[]()y x x x=++4y x =②③【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而得解．【详解】解：①当时，1.7x =[]()[)x x x ++[1.7](1.7)[1.7)=++122=++，故①错误；5=②当时，2.1x =-[]()[)x x x ++[ 2.1]( 2.1)[ 2.1)=-+-+-，故②正确；(3)(2)(2)7=-+-+-=-③当，1 1.5x <<4[]3()[)x x x ++4321=+⨯+，故③正确；11=④时，11x -<< 当时，，∴10.5x -<<-[]()101y x x x x x =++=-++=-当时，，0.50x -<<[]()101y x x x x x =++=-++=-当时，，0x =[]()0000y x x x =++=++=当时，，00.5x <<[]()011y x x x x x =++=++=+当时，，0.51x <<[]()011y x x x x x =++=++=+，则时，得；时，得；当时，，4y x = 14x x -=13x =-14x x +=13x =0x =40y x ==当且时，函数的图象与正比例函数的图象有三个∴11x -<<0.5x ≠-[]()y x x x =++4y x =交点，故④错误，故②③．四、解答题19．解方程：()()()()111111223x x x x x ++=-----4x =【分析】首先将方程变形，再解分式方程即可，最后需检验；【详解】解：()()()()111111223x x x x x ++=-----即11111112132x x x x x +-+-=-----即113x =-所以，解得，31x -=4x =检验：把代入得，4x =()()()1230x x x ---≠所以方程的解为.4x =20．如图.在梯形中，，，，，，在线ABCD AD BC ∥90A ∠=︒6AB =2AD =3BC =段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三AB P P A D P B C 角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点有几个？并计算出的长.P PA存在3个点P ，或.125PA =33【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A,P,D 分别与点B,C,P 对应；若点A,P,D 分别与点B,P,C 对应，分别分析得出AP 的长度即可.【详解】设，则，AP x =6BP x =-若 ,则,PAC PBC PA AD PB BC =即 ，解得；263x x =-125x =若,则 ,PAD CBP PA AD CB BP =即 ，解得；236x x =-123,3x x ==综上所述，这样的点P 有3个，或.125AP=3321．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋Q ＝a ＋120．设甲大棚的投入为x (单位：14万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．（1）求f (50)的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．【分析】（1）由计算可得；(50)(50)(150)f P Q =+（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化()()(200)f x P x Q x =+-t =为二次函数，由二次函数知识得最大值．【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋×150＋120＝277.5．14（2）由题知，f (x)＝80＋ (200－x )＋12014＝－x ＋250，14依题意得20,20020,x x ≥⎧⎨->⎩解得20≤x ≤180，故f (x )＝－x ＋250(20≤x ≤180)．14令tt 2＝x，t ∈，y ＝－t 2＋t ＋250＝－ (t －2＋282，1414当t ＝，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．22．某班有学生50人，老师为了解学生课外阅读时间，收集了他们2019年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：，1012x ≤<，，，，得到如图所示的频率分布直方图.1214x ≤<1416x ≤<1618x ≤<1820x ≤<(1)试计算该班学生中，2019年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；(2)已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在，求从课外阅读时间1820x ≤<在中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率是多少？1820x ≤<(3)假设同组中的每个数据用该组的两个端点的数的平均数代替，试估计该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数.(1)15(2)710(3)小时14.68【分析】（1）根据频率分布直方图求出频率，即可计算出人数；（2）首先求出课外阅读时间在中的学生人数，设女生为，，男生为，1820x ≤<A B C ，，利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；D E （3）根据平均数公式计算可得；【详解】(1)解：由频率分布直方图可知外阅读时间不小于小时的频率为16，0.1020.0520.30⨯+⨯=因为，500.3015⨯=所以该班学生中，2019年10月课外阅读时间不小于小时的学生人数为人．1615(2)解：依题意可知课外阅读时间在中的学生人数为人，1820x ≤<0.052505⨯⨯=这名学生中有名女生，名男生，设女生为，，男生为，，，523A B C D E 从中抽取人的所有可能情况有：，，，，，，2(,)A B (A,C)(,)A D (,)A E (,)B C (,)B D ，，，，共种．(,)B E (,)C D (,)C E (,)D E 10其中至少抽到1名女生的情况有，，，，，，(,)A B (A,C)(,)A D (,)A E (,)B C (,)B D ，共种，(,)B E 7所以从课外阅读时间在的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率1820x ≤<.710P =(3)解：根据题意，该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数为：（小时）．0.082110.122130.152150.102170.0521914.68⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由此估计该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数为小时．14.6823．如图，过的直角顶点作圆，圆与的两边，分别相切Rt ACB △C O O ACB △AB BC 于，，并交边于点.在优弧上任取一点，连结，.若，D C AC E DE F FE FD BC a =cos ACEFD AB∠=(1)求证：；AD BD =(2)试求的大小；EDA ∠(3)计算圆的面积.O (1)见解析(2)30°(3)213a π【分析】（1）由题意可知点在，连接，则，再由O AC ,OD CD EFD ACD ∠=∠，从而可得,再利用互余关系可得，cos cos AC EFD A AB ∠==∠A ACD ∠=∠B DCB ∠=∠然后由等角对等边可得结论，（2）连接，则，再由等腰三角形的性质可得OB 12ABO CBO ABC ∠=∠=∠，而，从而可得，再由弦切角定理可求得结果，A ABO ∠=∠90A ABC ∠+∠=︒30A ∠=︒（3）由（1）（2）可得，，然后求出，从而12BC AB a AD BD ====30ABO ∠=︒OD 可求出三角形的面积【详解】(1)证明：圆与的边相切于，，O ACB △BC C 90ACB ∠=︒所以点在上，O AC 连接，,OD CD 因为，和均为锐角，cos cos AC EFD A AB ∠==∠A ∠EFD ∠所以，A EFD ∠=∠因为，所以，EFD ACD ∠=∠A ACD ∠=∠所以，AD CD =因为，90,90A B ACD DCB ∠+∠=︒∠+∠=︒所以，B DCB ∠=∠所以，CD BD =所以AD BD =(2)连接，OB 因为圆与的两边，分别相切于，，O ACB △AB BC D C 所以平分，，OB ABC ∠⊥OD AB 所以，12ABO CBO ABC ∠=∠=∠因为，，AD BD =⊥OD AB 所以为等腰三角形，AOB 所以，OA OB =所以，A ABO ∠=∠因为，90A ABC ∠+∠=︒所以，390A =︒∠所以，30A ∠=︒因为切圆于，AB O D 所以，∠=∠EDA ACD 因为，A ACD ∠=∠所以30EDA A ∠=∠=︒(3)因为，，30A ∠=︒90ACB ∠=︒AD BD=所以，12BC AB a AD BD ====因为，,30A ABO ∠=∠=︒⊥OD AB 所以，tan OD OBD BD ∠=所以，tan OD BD OBD =∠=所以圆的面积为O 22213OD aπππ⎫==⎪⎪⎭24．有一张矩形纸片，按下面步骤进行折叠：ABCD 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点，重合，点落在点处，得折ABCD B D C C '痕；EF 第二步：如图②，将五边形折叠，使，重合，得折痕.再打开；AEFC D 'AE C F 'DG 第三步：如图③，进一步折叠，使，均落在上，点，落在点处，AE C F 'DG A C 'A '点，落在点处，得折痕，.E F E 'MN QP 这样，就可以折出一个五边形.DMNPQ (1)适当添加辅助线，请写出图①中三组全等三角形______，______，______；（写出不同的三组即可）(2)若这样折出的五边形（如图③）恰好是一个正五边形，当，DMNPQ AB a =，AD b =①请写出一个与的关系式，并加以证明；a b ②设正五边形的边长，请求出边长（用或表示）.=DM m m a b m (1)答案见解析(2)①，证明见解析；②；222tan18a b ab -=︒tan18m =︒【分析】（1）连接，根据翻折的性质判断即可；BF （2）根据正五边形的性质求出角的度数，再找出图形中的线段关系，最后利用锐角三角函数计算可得；【详解】(1)解：如图连接，可得、、BF BCF DC F '≅ BEF DEF ≅△△，DAE DC F '≅ 根据翻折的性质，翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，可得、、、，CF C F '=BC DC '=BE ED =EF EF =C C '∠=∠由、、，所以；CF C F '=C C '∠=∠BC DC '=BCF DC F '≅ 由，所以，BCF DC F '≅ BF DF =所以由、、可得，BF DF =EF EF =BE ED =BEF DEF ≅△△又，所以，90EDA EDF EDF C DF '∠+∠=∠+∠=︒EDA C DF '∠=∠又，，所以；90A C '∠=∠=︒AD DC '=DAE DC F '≅(2)解：①，222tan18a b ab -=︒证明：由题意知点是矩形的中心，即延长过点，延长也过点，G DG B MN B 由于五边形，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：，DMNPQ 54MDB ∠=︒，108DMB ∠=︒，18DBM ABM ∴∠=∠=︒．36DBA ∴∠=︒，，DE BE = 36EDB DBA ∠=∠=︒．543618ADE MDB EDB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在中，由勾股定理知，，即，Rt ADE △2222AD AE DE BE +==222()b AE a AE +=-解得．222a b AE a -=，22tan tan182AE AE a b ADE AD b ab -∠=︒=== ；222tan18a b ab ∴-=︒②，tan18m =︒证明：，PN DM = ，111222PG NG PN DM m ∴====，，，12BG DB = 1122NG DM m ==NG BD ⊥tan tan18NG GBN BG ∴∠=︒==．∴tan18m =︒25．已知点，，…，，…（为正整数）顺次为一条直线()111,B y ()222,B y (),n n B n y n 上的点，点，，…，，…（为正整数）顺次为1412x y =+()11,0A x ()22,0A x (),0n n A x n 轴上的点，其中，对任意正整数，点，，构成以为顶x ()101x a a =<<n n A n B 1n A +n B 点的等腰三角形.(1)求点的坐标；n B (2)求点的横坐标；n A n x (3)上述等腰三角形中，是否可能存在直角三角形？若可能，求此时的值；1n n n A B A +a 若不可能，请说明理由.(1)；1412,n n n B ⎛+⎫ ⎪⎝⎭(2)答案见解析；(3)存在，、、时等腰三角形为直角三角形.23a =16a =712a =1n n n A B A +【分析】（1）根据题设函数式写出的坐标；n B （2）由题设可得，讨论的奇偶性分别求出对应通项公式；22n n x x --=*(N ,2)n n ∈>n （3）讨论的奇偶性，结合求对应a 值，注意a 的范围.n 1||2||n n n A A y +=【详解】(1)由题设，，故.1412n n y =+1412,n n n B ⎛+⎫ ⎪⎝⎭(2)由题设，，，…，，1212x x +=2322x x +=112n n x x n -+=-*(N ,1)n n ∈>所以，，，…，，212x x +=324x x +=436x x +=12(1)n n x x n -+=-*(N ,1)n n ∈>则，，，，…，，312x x -=422x x -=532x x -=642x x -=22n n x x --=*(N ,2)n n ∈>当，，则，21n k =-*(N )k ∈()101x a a =<<212(1)22k x a k k a -=+-=+-当，，则，2n k =*(N )k ∈22x a =-222(1)2k x a k k a =-+-=-当为奇数时，当为偶数时.n 1n x n a =+-n n x n a =-(3)若△为等腰直角三角形，则，1n n n A B A +1||2||n n n x x y +-=若为奇数时，，即，n 12(1)26n a -=+12113a n =-当时；当时；当不满足；1n =23a =3n =16a =5n ≥若为偶数时，，即，n 1226n a =+1231a n =+当时；当不满足；2n =712a =4n ≥综上，、、时等腰三角形为直角三角形.23a =16a =712a =1n n n A B A +。

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知实数集R ， 集合{}{}2435A x x B x x =≤≤=≤≤∣，∣， 则 ()RA B =（ ）A ．{45}xx <≤∣ B ．{2xx <∣ 或 3}x ≥ C ．{}45xx ≤≤∣ D ．{2xx ≤∣ 或 3}x ≥ 【答案】B【分析】根据补集的定义，结合并集的定义进行求解即可.【详解】因为集合{}24A xx =≤≤∣， 所以(,2)(4,)R A =-∞+∞，而{}35B xx =≤≤∣， 所以()R A B ={2x x <∣ 或 3}x ≥， 故选：B2．22021x >是22022x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若22022x >，因为20222021>，故22021x >， 故“22022x >”可以推出“22021x >”，取22021.5x =，则满足22021x >，但22022x >不成立， 所以 “22021x >”不能推出“22022x >”，所以“22021x >”是“22022x >”的必要不充分条件， 故选：B ．3．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．4aB ．4a 或0a =C ．4a ≤-D ．40a【答案】A【分析】先讨论系数为0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立， 当0a =时，显然不恒成立，所以0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩，解得：4a.故选：A.4．已知0a b >>，则（ ） A ．22ac bc > B ．22a ab b >> C ．11a b> D ．a bab+的取值范围是[)2,+∞ 【答案】B【分析】取0c 判断A ；由不等式的性质判断BC ；由基本不等式判断D.【详解】当0c 时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，而a b >，D 错误． 故选：B5．函数()2,23,2x x f x x x-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()3f f 等于（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．3-【答案】D【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()()3f f 的值.【详解】因为()2,23,2x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则()3313f =-=-，故()()()31123f f f =-=--=-.故选：D.6．函数()31x f x x =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数()f x 的奇偶性及其在0x >时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，110x +≥>，故函数()31x f x x =+的定义域为R ，因为()()3311x x f x f x x x --==-=--++，则()f x 是奇函数，排除BD. 当0x >时，()0f x >，排除A. 故选：C.7．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()222f x f x f +=-+，若()11f =，则()2021f =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】令0x =，求得(2)0f =，从而得()()22f x f x +=-，再结合奇函数的性质可得()f x 的周期为8，从而可求得答案【详解】令0x =，则()()()222f f f =+，得(2)0f =， 所以()()22f x f x +=-，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()22(2)f x f x f x +=-=--， 所以(4)()f x f x +=-，所以(8)()f x f x +=， 所以()f x 的周期为8，所以()2021(25383)(3)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-， 故选：A8．设ω为实数，函数()3sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为（ ）A ．2B ．4±C ．4πD ．4π±【答案】B【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案. 【详解】由题意可得2||2ππω=，则4ω=±， 故选:B .二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ）A ．命题“0x ∃∈R ，使得2010x x +-<”的否定是“x ∀∈R ，均有210x x +->” B ．2,10x x x ∀∈++>RC ．“20x x -=”是“1x =”的必要不充分条件D ．如果0a b <<，那么2211a b < 【答案】BCD【分析】利用存在命题的否定变换形式即可得出答案；根据全称量词命题的真假即可得出答案；利用充分性和必要性的定义，逐个选项判断求解即可；利用不等式的性质即可得出答案. 【详解】对于A ，命题“x ∃∈R ，使得210x x +-<”的否定是“x ∀∈R ， 均有210x x +-≥”，所以，A 错误；对于B ，x ∀∈R ，22131()024y x x x =++=++>，所以，B 正确；对于C ，2(1)0x x x x -=-=，所以，“20x x -=”不一定能得到“1x =”，充分性不成立，而“1x =”成立，则“20x x -=”成立，所以，必要性成立，C 正确； 对于D ，如果0a b <<，则22a b >，所以，2211a b <，所以，D 正确； 故选：BCD10．已知定义域为R 的函数()f x 在(),1-∞-上为增函数，且()1f x -为偶函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在()1,-+∞上为减函数 C ．()1f -为()f x 的最大值 D ．()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据函数的奇偶性结合对称轴，可判断函数()f x 的性质，从而可判断A,B 的对错；因为定义域内x =-1时的值不确定，故可判断C;根据函数的对称轴以及单调性，可判断D 的对错. 【详解】因为()1f x -为偶函数，且函数()f x 在(),1-∞-上为增函数, 所以()f x 的图象关于直线=1x -对称，且()f x 在()1,-+∞上为减函数, 所以A 不正确，B 正确；因为()f x 在(),1-∞-上为增函数，在()1,-+∞上为减函数,但没有明确函数是否连续，不能确定()1f -的值，所以C 不正确；因为()()02f f =-，1322f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,1)-∞-上为增函数，所以()()3322f f f ⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，即()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，所以D 正确．故选：BD ．11．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ） A ．在()0,1上单调递减B ．()1,2上单调递减C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的值域为[)0,∞+【答案】BC【分析】利用复合函数的单调性可判断AB 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于函数()()ln ln 2f x x x =+-，有020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，所以，函数()f x 的定义域为()0,2，且()()2ln 2f x x x =-.对于AB 选项，内层函数22u x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，由于外层函数ln y u =为增函数，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，A 错B 对； 对于C 选项，()()()()()2ln 2ln 22ln 2ln f x x x x x f x -=-+--=-+=⎡⎤⎣⎦， 所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，C 对；对于D 选项，当02x <<时，()(]222110,1x x x -=--+∈，故()()(]2ln 2,0f x x x =-∈-∞，D 错.故选：BC.12．已知函数()2πcos 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线6π5x =-对称． C ．函数()f x 的图象关于点11π,020⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移9π20个单位长度，可得到函数()y f x =的图象 【答案】ABD【分析】根据余弦函数的周期，对称轴，对称中心和图像变换的相关知识，对每一选项逐一判断即可.【详解】对于A ，2ππ2T ==，A 正确； 对于B ，()6πcos 2π15f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，11π7πcos 02010f ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，9π9ππ9π9ππ2πsin 2sin 2cos 2cos 2cos 220102101025x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D 正确． 故选:ABD ．三、填空题13．已知函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，则()2f -=______．【答案】34##0.75【分析】根据条件求出1b =，1a =-，再代入即可求解.【详解】因为()f x 的图象过原点，所以()01002f a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0a b +=．又因为()f x 的图象无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，所以1b =，1a =-，所以()112xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()2321412f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭．故答案为：3414．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，将()y f x =的图象上所有点向右平移6π个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为___________.【答案】56π##150 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π得到T 及ω，由()y f x =的图象上所有点向右平移6π个单位得到()g x 的图象关于y 轴对称，可得ϕ. 【详解】由题意()f x 的最小正周期222T ππω=⨯=，∴2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，()y f x =的图象上所有点向右平移6π个单位后，得到 ()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，∴32k ππϕπ-+=+，56k πϕπ=+，k ∈Z ， 0ω>，∴ϕ的最小正值为56π. 故答案为：56π. 15．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg ，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s ，当燃料质量为()e 1kg m -时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s ，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.52≈） 【答案】51【分析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，根据条件列方程求出k 值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，根据题中数据再列方程可得a 值.【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，则[]{}22ln 2ln ((e 1)ln()k m m m m -=+--+， 解得2k =，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍， 则[]{}7.922ln()ln (e 1)am m m m -=+-+-[]1e7.922ln2ln(1)1a a +∴-==+- 2ln(1)7.9a ∴+=，得27.9(1)e a +=152a ∴+≈， 51a ∴≈则燃料质量是箭体质量的51倍 故答案为：51.16．一物体相对于某一固定位置的位移y （cm ）和时间t （s ）之间的一组对应值如下表所示，其中最小位移为 4.0-cm ，则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为______【答案】()54cos,02y t t π=-≥ 【分析】由已知数据，设所求函数关系式sin()y A x ωϕ=+，利用y 的最大值与最小值确定振幅，由周期确定ω，代入点坐标（0.4,4）求ϕ，确定函数式. 【详解】设()sin y A t ωϕ=+， 则从题表中可得到4A =，2250.82T πππω===． 又由4sin 4.0ϕ=-，可得sin 1ϕ=-， 所以2,2k k Z πϕπ=-+∈可取2πϕ=-，则54sin 22y t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即()54cos ,02y t t π=-≥． 故答案为：()54cos,02y t t π=-≥四、解答题17．已知全集为R ，集合{}12A x x =≤≤，{B x x m =<或}21,0x m m >+>. (1)当2m =时，求A B ⋂； (2)若RA B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据2m =，求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果； （2）先求出R B ，再根据R A B ⊆，可得1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，求解不等式即可. 【详解】（1）解：当2m =时，{2B x x =<或}5x >， 又{}12A x x =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤<；（2）因为{B x x m =<或}21,0x m m >+>，所以{}R 21B x m x m =≤≤+， 又R A B ⊆，所以1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，解得112m ≤≤，即1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以实数m 的取值范围1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知函数2()4f x x bx =++，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,)m ． (1)求实数b ，m 的值；(2)当,()0x ∈+∞时，()0f x kx ->恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)4m =，=5b -； (2)(),1-∞-.【分析】（1）根据韦达定理求解即可；（2）转化为254x x k x -+<在,()0x ∈+∞上恒成立，利用均值不等式求254()x x g x x-+=的最小值即可.【详解】（1）由题意得：m ，1是方程240x bx ++=的根，由韦达定理得14m ⨯=，所以4m =，又1m b +=-，解得=5b -． 所以4m =，=5b -．（2）由题意得，254x x k x -+<在,()0x ∈+∞上恒成立，令254()x x g x x-+=，只需min ()k g x <即可，由均值不等式得4()551g x x x=+-≥=-，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立．所以1k <-，则k 的取值范围是(),1-∞-． 19．已知函数23()f x mx x=+. (1)若2m =，求证：函数()f x 在(3,5)上单调递增；(2)若关于x 的不等式2()83f x m ≥+在[4,3]--上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用单调性的定义证明即可， （2）由于[4,3]x ∈--，所以将问题转化为32(2)m x x ≥+恒成立，然后求出3(2)x x +的最大值即可【详解】（1）依题意，23()2f x x x=+，设1235x x <<<， 则()()221212123322f x f x x x x x -=+-- ()()()()()121212121212123322x x x x x x x x x x x x x x -⎡⎤=+--=-+-⎢⎥⎣⎦ 因为1235x x <<<，故()1212320x x x x +->， 故()()120f x f x -<，故函数()f x 在(3,5)上单调递增；（2）依题意，22662()832832830f x m mx m mx m x x≥+⇔+≥+⇔-+-≥ 32(2)(2)(2)0m x x x x⇔-+--≥，因为[4,3]x ∈--，故320,20;2(2)0x x m x x-<+<+-≤，则32(2)m x x ≥+，若[4,3]x ∈--，则2(2)(1)1[3,8]y x x x =+=+-∈，则33,1(2)8x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，故21m ≥，解得12m ≥， 故实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x x x x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【答案】(1)8天(2)1.6【分析】（1）根据题意分04x ≤≤和410x <≤两种情况解不等式，从而可求出去污所持续的时间；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，则浓度()()116251286g x x a x ⎥=-+---⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥， ∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦， ∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=y 有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤≤，∴a 的最小值为24 1.6-≈．21．设定义在R 上的函数()f x ､奇函数()g x 和偶函数()h x ，满足()()()f x g x h x =+，若函数()(0,1)x f x a a a =>≠.(1)求()g x 的解析式；(2)求()h x 在R 上的最小值.【答案】(1)()2x xa a g x --= (2)1【分析】（1）求出()f x -，利用函数奇偶性可得()()()2f x f x g x --=，进而可得答案； （2）利用()()()2f x f x h x +-=求出()h x ，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由()()()f xg xh x =+，可知()()()f x g x h x -=-+-，由()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，可知()()()(),g x g x h x h x -=--=，则()()()f x g x h x -=-+，则()()()22x x f x f x a a g x ----==； （2）由（1）得()()()22x x f x f x a a h x -+-+== 当0,1a a >≠时，0x a >，则12x x x x a a a a -+=+≥， 当且仅当1x a =，即0x =时取等号，则()2x xa a h x -+=在R 上的最小值为1. 22．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π. (1)求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间；(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【答案】(1)20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)[1,2]-【分析】（1）先根据周期可求出ω，从而可求出函数()f x 的单调增区间，然后与[]0,π取交集即得解；（2）根据整体代换法即可求出值域．【详解】（1）因为()f x 图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π，所以()f x 的最小正周期T π=，所以22T πω==，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令222()262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，则()36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即()f x 的单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .而[]0,x π∈，所以 函数()f x 在[]0,π上的单调增区间是20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,663t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin ,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-，即()f x 的值域为[1,2]-．。

2021-2021学年高一数学下学期开学摸底考试试题〔扫描版〕高一下学期数学摸底考试〔2021.2.14〕参考答案：一．填空题：1.π；2.(2,3)；32.；4. 1±；5. sin()210xyπ=-；6.35；7.19；；9.2-4或；10.[)-22，；11.1-2；12.-（1，1】;13.1;14.4二．解答题：励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

2021年高三数学第一次摸底考试理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．【题文】1．计算：=（）A． i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣1【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C 解析：化简可得===1﹣I,故选：C【思路点拨】分子分母同乘以分母的共轭复数﹣i﹣1，化简可得．【题文】2．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A． {1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}【知识点】集合的包含关系判断及应用.A1【答案解析】C 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C），∵B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，∴B∩C={2}，而A⊆（B∩C）则A={2}或∅，故选C。

【思路点拨】先根据A⊆B，A⊆C可知A⊆（B∩C），然后求出B∩C，最后求出所求满足条件的A，最后得到结论．【题文】3．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。

A2【答案解析】B 解析：∵条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，∴q⊊p，即a≤2且4﹣4a+a2﹣1≥0，解不等式组可得：a≤1，故选：B。

【思路点拨】把充分性问题转化为结合关系，再利用不等式求解．【题文】4．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6【知识点】程序框图．L1【答案解析】C 解析：当S=1时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=2，k=2；当S=2时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=22，k=3；当S=22时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=24，k=4；当S=24时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=216，k=5；当S=216时，不满足进入循环的条件，故输出结果为：5，故选：C【思路点拨】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【题文】5．已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）【知识点】简单空间图形的三视图．G2【答案解析】A 解析：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选A．【思路点拨】结合选项，正方体的体积否定C，推出正确选项A即可．【题文】6．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A． g（x）=2sin（+）﹣1 B． g（x）=2sin（﹣）+1C． g（x）=2sin（﹣）+1 D． g（x）=2sin（﹣）﹣1【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】A 解析：函数y=2sin（+）的图象先向左平移个单位，可以得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin（+）的图象再向下平移1个单位后可以得到y=2sin（+）﹣1的图象故选：A．【思路点拨】根据平移变换的法则﹣﹣“左加右减，上加下减”，我们先求出将函数y=2sin （+）的图象先向左平移个单位的图象对应的函数的解析式，再求出再向下平移1个单位后得到图象的解析式即可得到答案．【题文】7．已知等差数列{an}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A． 8 B． 6 C． 4 D． 2【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前17项和为S17=34，∴=34∴a1+a17=4，∵a1+a17=2a9，∴a9=2，，等差数列{an}的前17项和为S17=34∴a12=a9+（12﹣9）×2，∴a12=8，故答案选A。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期新生入学摸底考试数学试题一、单选题1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍.将58000000000用科学记数法表示应为（ ）.A ．105.810⨯B ．115.810⨯C ．95.810⨯D ．110.5810⨯【答案】A【解析】直接用科学计数法标准形式(11100,n a n ≤<⨯且n 为整数)表示即可. 【详解】直接利用科学计数法表示数的标准形式为105.810⨯，故选：A.【点睛】本题主要考查科学计数法，属于容易题.2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）.A ．千里江山图B ．京津冀协同发展C ．内蒙古自治区成立七十周年D ．河北雄安新区设立纪念【答案】C【解析】根据对称性判断．【详解】A是轴对称，B，D不是轴对称也不是中心对称，C是中心对称．故选：C．【点睛】本题考查对称的概念，掌握轴对称和中心对称的概念是解题基础．3．空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示.AQI数据05051100101150151200201300301以上AQI类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示.根据以上信息，下列推断不合理的是（）.A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月之间的天数最少的是2014年1月B．AQI数据在0100C．这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大D．2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别【答案】D【解析】根据统计图作答．【详解】根据统计图AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月，共14天，A正确；优良相加，天数最少的是2014年1月，B正确；这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动达到10天，最大，C正确；2018年1月的AQI数据中，优有14天，良有12天，轻度污染只有4天，中度污染只有一天，月均值不可能达到中度污染程度，D错，故选：D．【点睛】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．4．将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750；③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（）.A．①B．②C．①③D．②③【答案】B【解析】事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得解答.【详解】解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题. 5．如图，数轴上点A ，B 分别对应实数1，2，过点B 作PQ AB ⊥，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的实数的平方是（ ）.A ．2B ．5C ．223D ．56【答案】C 【解析】先求AC 的长，然后确定点M 对应的实数，最后求得结果.【详解】因为A B 、分别对应1、2，所以1AB BC ==，因为PQ AB ⊥，所以在Rt ABC 中，2AC =， 所以2AM AC ==，所以点M 21，2(21)223=，故选：C.【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题.6．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】设三个关于x 的一元二次方程的公共实数根为t ，代入三个方程得到a ，b ，c 的关系，然后代入代数式求出代数式的值．【详解】解：设三个关于x 的一元二次方程的公共实数根为t ，则20at bt c ++=①，20bt ct a ++=②，20ct at b ++=③∴①+②+③得：2()()()0a b c t a b c t a b c ++++++++= ()2()10a b c t t ∴++++= 而2213 124t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 2102t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭210t t ∴++>0a b c ∴++= a b c ∴+=-原式222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc+++-+=++== 333223(33)3()3()3a b a a b ab b ab a b ab c abc abc abc+-+++-+--===== 故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值．7．不等式组()()11132412x x x x a -⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）.A ．65a -≤<-B ．65a -<≤-C ．65a -<<-D ．65a -≤≤-【答案】B【解析】先解不等式组，然后根据条件要有3个整数解，得到关于a 的不等式，求解即可.【详解】由不等式组()()11132412xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩得42xx a>⎧⎨≤-⎩，要有3个整数解，则728a≤-<即65a-<≤-，a的取值范围是65a-<≤-，故选：B.【点睛】本题考查了不等式组的整数解的问题，结合数轴更容易得到答案.8．如图，边长为2的等边ABC和边长为1的等边A B C'''，它们的边B C''，BC位于同一条直线l上，开始时，点C'与B重合，ABC固定不动，然后把A B C'''自左向右沿直线l平移，移出ABC外（点B'与C重合）停止，设A B C'''平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】求出y关于x的函数，由四个选项，只要求出前面一部分的函数就可选择正确选项．【详解】在01x<≤时，阴影部分是以BC'为边的等边三角形，BC x'=，则阴影部分面积为234y x=，最大值为34，对照各选项，只有A相符，BCD均排除．故选：A．【点睛】本题考查求函数的图象表示，解题时可先求出函数解析式，由解析式先把图象，但结合函数的性质求解更方便简捷．根据正三角形性质，本题中阴影部分面积对应的函数图象应该关于32x =对称，中间在12x ≤≤时面积不变，图象是水平线段，值为34．因此只要求得开始在01x <≤时的函数表达式即可得．9．如图，在33⨯的方格中，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别位于格点上，从C ，D ，E ，F 四点中任意取一点，与点A ，B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（ ）.A ．1B ．14C ．34D ．12【答案】C 【解析】根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．【详解】解：根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，故P （所作三角形是等腰三角形）34=． 故选：C ．【点睛】 此题主要考查了概率公式和等腰三角形的判定，熟记随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．10．如图，在正方形ABCD 中，2BC =，点P ，Q 均为AB 边上的动点，BE CP ⊥，垂足为E ，则QD QE +的最小值为（ ）.A ．2B ．3C 101D 131【答案】D 【解析】作出D 点关于直线AB 的对称点H ，则HQ DQ =，BE CP ⊥，则E 在以BC 为直径的圆上，设其圆心为O ，则当,Q ,,E H O 共线时，QD QE +最小．【详解】如图，作出D 点关于直线AB 的对称点H ，则HQ DQ =，QD QE +QH QE =+， 因为BE CP ⊥，所以E 在以BC 为直径的圆上，设其圆心为O ，显然HQ QE HE +≥，,,H Q E 共线时等号成立，易得223213HO =+=HE 的最小值是131HO OB -=，当E 是线段HO 与圆的交点时取得最小值，所以当,,,H Q E O 共线时，QD QE +131．故选：D ．【点睛】本题考查对称性，求直线上动点到两定点的距离之和的最小值，可利用对称性转化为求两定点间的距离，圆外定点到圆上点的距离的最值转化为定点到圆心的距离减半径得最小值，加半径为最大值．二、填空题11．若代数式11x x -+的值为0，则实数x 的值为______. 【答案】1【解析】将分式方程转化为整式方程求解即可.【详解】解：由已知可得101x x -=+， 则()()11010x x x ⎧-+=⎨+≠⎩，解得1x =． 故答案为：1．【点睛】本题考查分式方程的求解，注意分母不为零，属于基础题.12．化简：()()()421a a a a +--+=______.【答案】8a -【解析】根据整式的运算即可得到答案.【详解】()()()224212488a a a a a a a a a a +--+=-+---=-故答案为：8a -【点睛】本题主要考查整式的运算，属于简单题.13．如图，在ABC中，//DE AB，DE分别与AC，BC交于D、E两点，若49DECABCSS=△△，3AC=，则DC=______.【答案】2【解析】根据三角形相似结合条件2DECABCS CDS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，可求得CD的长.【详解】//DE AB，则CDE CAB∠=∠，CED CBA∠=∠，DEC ABC∴△△，所以，249DECABCS CDS AC⎛⎫==⎪⎝⎭△△，可得23CDAC=，3AC=，223DC AC∴==.故答案为：2.【点睛】本题考查利用三角形相似求线段长，考查计算能力，属于基础题.14．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h到达，从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快35km h，约用4.5h到达.如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，求“杭京高铁复兴号”的运行速度.设“杭京高铁复兴号”的运行速度为x km h，依题意，可列方程为______.【答案】()535 4.5x x-=【解析】根据“复兴号速度×运行时间＝G20速度×G20运行时间”可得的方程．【详解】解：题中设“杭京高铁复兴号”的运行速度为x km h，依题意，可列方程为：()535 4.5x x-=，故答案为：()535 4.5x x-=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 15．如图，AB 为O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=︒，//AD OC ，AD 交O 于点D ，连接AC ，CD ，那么ACD ∠=______.【答案】40【解析】先求出∠DAB =50°，进而得出∠AOD =80°，即可得出结论． 【详解】 连接OD ，∵AD ∥OC ，∴∠DAB =∠BOC =50°， ∵OA =OD ，∴∠AOD =180°-2∠DAB =80°， ∴∠ACD =12∠AOD =40°， 故答案为40° 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，求出∠AOD 是解本题的关键． 16．一个自然数的立方，可以分裂成若千个连续奇数的和.例如：32、33和34分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即3235=+，337911=++，3413151719=+++，…若3100也按照此规律来进行“分裂”，则3100“分裂”出的奇数中，最小的奇数是______. 【答案】9901【解析】根据"3235=+，337911=++，3413151719=+++",得出3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+,把100m =代入计算求值即可． 【详解】解: 3235=+，337911=++，3413151719=+++;3211=⨯+,7321,=⨯+ 13431,=⨯+∴3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+, ∴3100 “分裂”出的奇数中最小的奇数是1009919901⨯+＝, 故选答案为: 9901． 【点睛】本题为中考数学题，考查学生找规律求通项的能力，属于基础题.17．如图，Rt ABC △中，90B ∠=︒，正方形EFDQ 、正方形MNPQ 公共顶点记为点Q ，其余的各个顶点都在Rt ABC △的边上，若5AC =，3BC =，则EP =______.【答案】6029【解析】过P 作PG BC ⊥于G ，可证QDM MBN NGP ∆∆∆≌≌，AEF PGC ABC ∆∆∆∽∽，设33EF a CG b ==，，则5454AE a AF a PC b PG b ====，，，，可列二元一次方程组：3731044a b a b +=+=，，求出a b 、的值，代入555EP a b =--求出即可．【详解】在Rt ABC ∆中，9053B AC BC ∠=︒==，，，由勾股定理得：4AB =， 过P 作PG BC ⊥于G ，∵四边形EFDQ 和四边形QMNP 是正方形，∴90CGP QMN QDF B PN MN MQ ∠=∠=∠=∠=︒==，， ∴9090GPN GNP GNP BNM ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴GPN BNM ∠=∠， 同理BNM QMD ∠=∠，在QDM MBN NGP ∆∆∆、、中，90PGN B QDM ∠=∠=∠=︒，GPN BNM DMQ PN MN QM ∠=∠=∠==，，∴QDM MBN NGP ∆∆∆≌≌，∴PG BN DM GN BM DQ ====，， ∵90PGC B ∠=∠=︒， ∴CGP CBA ∽， ∴3,5CG CB PC AC == ∴34CG PG = 同理34CG PG =，34EF AF =， 设33EF a CG b ==，，则5,4,5,4,3,AE a AF a PC b PG b BN DM GN BM DQ EF a ========== 可列一元二次方程组：3731044a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：829929a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6055529EP a b =--=． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度．18．甲乙丙三个人在一起聊天，每周从星期一到星期日每人连续两天说谎（包括星期日和星期一），其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎.已知周一时，乙说：“我昨天说谎了.”周二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了.”则三个人都没说谎的是星期______. 【答案】一【解析】分4种情况讨论，乙丙均说真话；乙说真话，丙说谎；乙说慌，丙说真话；乙丙均说慌，找出矛盾，即可得答案. 【详解】解：如果乙丙均说真话，则乙星期六和星期天说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；如果乙说真话，丙说谎，则乙星期六和星期天说谎，丙星期二和星期三说谎，此时甲星期四和星期五说谎，符合题意，则三个人都没说谎的是星期一；如果乙说慌，丙说真话，则乙星期一和星期二说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；如果乙丙均说慌，则乙星期一和星期二说谎，丙星期二和星期三说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；综上所述，三个人都没说谎的是星期一. 故答案为：一. 【点睛】本题主要考查了推理与论证，抓住乙和丙说真话和假话的日期特点，是本题推理的关键所在.19．已知0x y z ++=，0xyz ≠，则111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】3-【解析】首先将0x y z ++=转化为x y z +=-，x z y +=-，y z x +=-，再将111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简为()()()xz x z xy x y yz y z xyz +++++，代入上式即可得到答案. 【详解】因为0x y z ++=，所以x y z +=-，x z y +=-，y z x +=-.()()()111111x z y y z x z y x x y z y z x z x y yz xz xy +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222222x z y y z x z y x x z x y y z y x z y z xxyz xyz xyz xyz++++++++=++=()()()()()()222222x z z x x y y x y z z y xz x z xy x y yz y z xyz xyz++++++++++==3xyz xyz xyzxyz---==-.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，同时考查学生的计算能力，属于简单题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为1,0A ，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限.将ABC 绕点A 逆时针旋转75︒，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么边AB 的长为______.2【解析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE ＝60°，再根据OA ＝1，∠EOA ＝90°，∠OAE ＝60°，即可得出AE ，AC ．最后在RT ABC 中，可得到AB . 【详解】解：依题可知，∠BAC ＝45°，∠CAE ＝75°，AC ＝AE ， 则∠OAE ＝180°-45°-75°=60°，在RT OAE 中，OA ＝1，∠EOA ＝90°，∠OAE ＝60°， ∴AE ＝2OA ＝2， ∴AC ＝AE ＝2,∴在RT ABC 中，AB ＝BC ＝22⨯.. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的图形特征.三、解答题21．已知关于x 的方程()2330mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1-或3-. 【解析】（1）证明判别式0∆≥即可得；（2）利用求根公式求出两根，根据根为整数可得整数m 的值． 【详解】（1）证明：∵0m ≠，∴方程()2330mx m x +--=为一元二次方程.依题意，得()()223123m m m ∆=-+=+.∵无论m 取何实数，总有()230m +≥，∴此方程总有两个实数根. （2）解：由求根公式，得()()332m m x m--±+=.∴11x =，()230x m m=-≠. ∵此方程的两个实数根都为正整数，∴整数m 的值为1-或3-. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，考查整数解问题，用一元二次方程的求根公式解方程是基本方法．22．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A .纪念馆志愿讲解员；B .书香社区图书整理；C .学编中国结及义卖；D .家风讲解员；E .校内志愿服务.每位同学都从中选择一个项目参加.为了解同学们选择这5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下.收集数据：设计调查问卷，收集到如下的数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，整理、描述数据：划记、整理、描述样本数据、绘制统计图如下.（1）请补全统计表和统计图.选择各志愿服务项目的人数统计表志愿服务项目划记人数A.纪念馆志愿讲解员正8B.书香社图书管理C.学编中国结及义卖正正12D.家风讲解员E.校内志愿服务正6合计4040选择各志愿服务项目的人数比例统计图A纪念馆志愿讲解员B书香社区图书管理C学编中国结及义卖D家风讲解员E校内志愿服务（2）分析数据、推断结论（i）抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是.______（填A-E的字母代号）.（ii）请你任选A-E中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目.【答案】（1）统计图见解析；（2）（i）C，（ii）答案见解析.【解析】（1）依据收集的数据，即可得到补全统计表和统计图；（2）（i）依据抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，C出现的次数最多，可得众数是C；（ii）依据A−E中的各志愿服务项目在样本中所占的百分比，即可得到全年级大约有多少名同学选择某两个志愿服务项目．【详解】解：（1）B项有10人，D项有4人.选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占10100%25%40⨯=，D占4100%10%40⨯=，统计表和统计图如下：选择各志愿服务项目的人数统计表志愿服务项目划记人数A.纪念馆志愿讲解员正8B.书香社图书管理正正10C.学编中国结及义卖正正12D.家风讲解员 4E.校内志愿服务正 6合计40 40 选择各志愿服务项目的人数比例统计图A纪念馆志愿讲解员B书香社区图书管理C学编中国结及义卖D家风讲解员E校内志愿服务（2）分析数据、推断结论（i）抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C.故答案为：C；（ii）根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）.A：50020%100⨯=（人）.B：50025%125⨯=（人）.C：50030%150⨯=（人）.D：50010%50⨯=（人）.E：50015%75⨯=（人）.【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体、众数的定义的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为()4,0A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数()0ky k x=≠的图象上.（1）求m ，k 的值；（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度()0n >得到线段CD ，A ，M ，B 的对应点分别为C ，N ，D .①当点D 落在函数()0ky x x=<的图象上时，求n 的值； ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.【答案】（1）4m =，4k =-；（2）①1n =，②2n ≥.【解析】（1）利用待定系数法求出m ，进而求出点B 的坐标，即可得出M 的坐标，再代入双曲线解析式中，即可得出结论；（2）①先表示出点D 的坐标，代入双曲线解析式中，即可得出结论；②先确定出MD ，MN ，建立不等式即可得出结论. 【详解】 解：（1）如图.∵直线y x m =+与x 轴的交点为()4,0A -，∴4m =. ∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ，∴点B 的坐标为()0,4B .∵线段AB 的中点为M ，可得点M 的坐标为()2,3M -. ∵点M 在函数()0ky k x=≠的图象上，∴4k =-. （2）①由题意得点D 的坐标为(),4D n -. ∵点D 落在函数()40y x x=-<的图象上，∴44n -=-.解得1n =. ②n 的取值范围是2n ≥. 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，解不等式，利用待定系数法求出双曲线解析式是解本题的关键. 24．如图，O 的半径为r ，ABC 内接于O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D为CB 延长线上一点，AD 与O 相切，切点为A .（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）； （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值. 【答案】（1）2r ；（2）90ADH ∠=︒，12CB CD =. 【解析】（1）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得30BOC ∠=︒，然后在Rt BOE 计算BP 的长度即可。

2021年高一上学期摸底考试 数学一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1、下列命题不是全称命题的是（ ）A 、所有自然数的平方是正数B 、若一个四边形是正方形，则它的四条边相等C 、对任意实数x ，存在实数y ，使x+y>0D 、有些质数是奇数2、设全集，集合，,则=( )A 、B 、C 、D 、3、函数的定义域是（ ）A 、B 、C 、D 、4、以下各组两个函数相等的是（ ）A 、B 、C 、()()()()21,21f x n n Z g x n n Z =-∈=+∈D 、5、“若x=2则x 2-4=0”及其四种命题中真命题的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、2D 、46、设U 为全集，集合A ，B ，P 都是U 的子集,则右图中阴影部分表示的集合是( )A 、A ∩(B ∪P) B 、 A ∩[P ∩(C U B)]C 、P ∩[(C U A)∩(C U B)]D 、(A ∩B)∪(A ∩P)7、若{}{}12,12A x x x B x x x =≠≠=≠≠或且则以下关系正确的是（ ）A 、B 、C 、 A=B=RD 、8、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 9、若()(){},,,1x A x y y B x y y x x ⎧⎫⎪⎪====-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则( ) A 、｛（2，1）｝ B 、｛2，1｝ C 、｛（2，1），（0，1）｝ D 、｛x,y ｝10、已知函数是定义在上的减函数，若，实数m 的取值范围为( )A 、B 、C 、D 、11、已知定义域为R 的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（ ）A 、f(－1)＜f(9)＜f(13)B 、f(13)＜f(9)＜f(－1)C 、f(9)＜f(－1)＜f(13)D 、f(13)＜f(－1)＜f(9)12、已知函数是R 上的增函数，则（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。