2017届广东省华南师大附中高三综合测试(一)(即月考)数学理试卷【图片版】

2016—2017学年广东省华南师大附中高三（上）月考物理试卷(理科）一、选择题(共8小题，每小题6分，满分48分.在每小题给出的四个选项中,1～4题只有一项符合题目要求；第5~8小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选但不全的得3分,有选错的得0分）1．如图所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时开始运动的v﹣t图线，已知在第3s末两个物体在途中相遇，则（）A．A、B两物体是从同一地点出发B．A、B两物体在减速段的加速度大小之比为3：1C．3s内物体A的平均速度比物体B的大D．t=1s时，两物体第一次相遇2．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速滑下,到达斜面中点用时1s，速度为2m/s,则下列说法正确的是（)A．物体运动的加速度为1m/s2B．斜面长度为2mC．物体在斜面上运动的总时间为2sD．物体到达斜面底端时的速度为4m/s3．如图在水平板的左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧．紧贴弹簧放一质量为m的滑块,此时弹簧处于自然长度．已知滑块与板的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现将板的右端缓慢抬起（板与水平面的夹角为θ），直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是（）A．B．C．D．4．如图为三种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的杆，重量不计,AB为缆绳,当它们吊起相同重物时，杆OA在三图中受力分别为F a、F b、F c的关系是（）A．F a＞F b=F c B．F a=F b＞F c C．F a＞F b＞F c D．F a=F b=F c5．半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN．在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q,整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是（）A．MN对Q的弹力逐渐减小B．P对Q的弹力逐渐增大C．地面对P的摩擦力逐渐增大 D．Q所受的合力逐渐增大6．如图,物体A静止在箱子B中，离地足够高，某时刻将它们由静止自由释放，则在下落过程中，下列说法正确的是(）A．若没有空气阻力，A开始的一段短时间内，速度增加得越来越快B．若没有空气阻力，A所受的支持力始终为零C．若空气阻力与速度成正比,则开始的一段短时间内,A受的支持力越来越大D．若空气阻力与速度成正比，只要下落时间足够长,则A可能不受B的支持力而“飘”起来7．如图所示，A、B、C三球的质量均为m,轻质弹簧一端固定在斜面顶端,另一端与A球相连，A、B间固定一个轻杆，B、C间由一轻质细线连接，倾角为θ的光滑斜面固定在地面上,弹簧、轻杆与细线均平行于斜面，初始系统处于静止状态．在细线被烧断的瞬间,下列说法正确的是（）A．B球所受合力为mgsinθ,加速度为gsinθB．A球的加速度沿斜面向上,大小为gsinθC．A、B之间杆的拉力大小为mgsinθD．C球的加速度沿斜面向下，大小为gsinθ8．如图所示，质量为m0的木楔ABC静置于粗糙水平面上，在斜面顶端有一质量为m的物体,给物体m一沿斜面方向的初速度使其沿斜面向下做减速运动．物体减速过程中，木楔始终保持静止．则下列说法中正确的是（)A．地面对木楔的支持力大于（m0+m）gB．地面对木楔的支持力小于（m0+m）gC．地面对木楔的摩擦力向左D．地面对木楔的摩擦力向右二、必考题（共4小题,满分47分）9．完成以下“验证力的平行四边形定则"实验的几个主要步骤：（1）如图甲，用两只弹簧测力计分别钩住两细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，记下结点O点的位置、两弹簧测力计的读数F1、F2以及相应的．（2）如图乙，用一只弹簧测力计钩住细绳套把橡皮条的结点O拉到,记下细绳套的方向（如图丙中的OC），读得(根据图乙）弹簧测力计的示数F=．（3）如图丙,根据（1）中的测量结果按选定的标度（图中相邻圆环间距表示1N）作出了F1、F2的图示（大小未标出），请继续在图丙中：①按同样的标度作出力F（即合力的测量值）的图示；②按力的平行四边形定则作出F1、F2的合力的图解值F′．(4)比较F和F′的，如果在误差范围内两者近似相同，则可验证力的合成与分解中符合平行四边形定则．10．在“验证牛顿运动定律”的实验中，采用如图1所示的实验装置，小车及车中砝码的总质量用M表示,所挂钩码的总质量用m表示，小车的加速度a可由打点计时器在纸带上的打点信息测量并计算出来．(1）当M与m的大小关系满足时，才可以近似认为绳对小车的拉力大小等于所挂砝码的重力mg．(2）在探究加速度与质量的关系时，保持钩码的质量m一定，改变小车及车中砝码的总质量M，测出相应的加速度．如果采用图象法处理数据，为了比较直观地反映加速度a与质量M的关系，应该画出a与的图象．（3)在探究加速度a与合力F的关系时,甲同学根据测量数据做出的a﹣F图线如图2中（A)所示，说明实验中存在的主要问题是：．（4）乙、丙同学用同一装置做实验,画出了各自得到的a﹣F图线，如图2中（B）所示，两个同学做实验时取值不同的物理量是：；（选填“m”或“M”）（5）图3给出的是实验中获取的一条纸带的一部分：0、1、2、3、4、5、6、7是计数点,每相邻两计数点间还有4个打点(图中未标出），测得计数点间的距离如图所示．根据图中数据计算加速度a=m/s2．（保留三位有效数字）11．如图所示,质量为m=0.8kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态．PA 与竖直方向的夹角37°，PB沿水平方向．质量为M=10kg的木块与PB相连,静止于倾角为37°的斜面上,已知sin37°=0.6,cos37°=0。

2016—2017学年广东省华南师大附中高三（上）综合物理试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中．1～5题只有一项符合题目要求．6～8题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上,当细绳由水平方向逐渐向上移动时，球始终保持静止状态，则细绳上的拉力将（)A．先增大后减小 B．逐渐减小 C．先减小后增大 D．逐渐增大2．如图所示，三个重均为100N的物块,叠放在水平桌面上,各接触面水平，水平拉力F=20N 作用在物块2上，三条轻质绳结于O点，与物块3连接的绳水平，与天花板连接的绳与水平方向成45°角，竖直绳悬挂重为20N的小球P．整个装置处于静止状态．则()A．物块1和2之间的摩擦力大小为20NB．水平绳的拉力大小为15NC．桌面对物块3的支持力大小为320ND．物块3受5个力的作用3．如图所示，质量为m的小球用水平轻弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态．当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度大小为（）A．0 B．C．g D．4．如图所示的装置中，重4N的物块被平行于斜面的细线拴在斜面上端的小柱上,整个装置保持静止，斜面的倾角为30°，被固定在测力计上，如果物块与斜面间无摩擦，装置稳定以后，当细线被烧断物块下滑时，与稳定时比较，测力计的读数：(g=10m/s2）（）A．增加4N B．增加3N C．减少1N D．不变5．如图所示，质量为m的物体用细绳拴住放在粗糙的水平传送带上，物体距传送带左端的距离为L．当传送带分别以v1、v2的速度逆时针转动（v1＜v2）,稳定时绳与水平方向的夹角为θ，绳中的拉力分别为F1、F2；若剪断细绳时，物体到达左端的时间分别为t1、t2，则下列说法正确的是(）A．F1＜F2B．F1=F2C．t1一定大于t2D．t1一定等于t26．如图所示,木块b放在一固定斜面上，其上表面水平,木块a放在b上．用平行于斜面向上的力F作用于a，a、b均保持静止．则木块b的受力个数可能是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．将可看作质点的物体A与物体B叠合在一起，二者处于静止状态,弹簧上端与O点等高，如图,弹簧自由伸长时上端与C点等高，现用一力作用于A，将AB往下压至一定程度，然后撤去该力，关于以后的运动情况以下说法正确的是（）A．从最低点到C点所在的高度，物体的速度先增大后减小B．从最低点到C点所在的高度，物体的加速度一直在减小C．AB将在弹簧到达C点所在的高度时分离D．分离后A向上运动，B向下运动8．如图,A、B分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v﹣t图象，两图线交点时刻为t1，根据图象可以判断(）A．甲、乙两球做初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相等、方向相反B．两球在t=t1时相距最远C．两球在t=8s时相遇D．两球在t=2s时速率相等二、非选择题:包括必考题和选考题两部分．第9～12题为必考题，每个试题考生都必须作答．第13~14题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题9．在“研究弹簧的形变与外力的关系”的实验中，竖直悬挂让其自然下垂，然后测出其自然长度，在其下端悬挂砝码．实验过程是在弹簧的弹性限度内进行的．用记录的所挂砝码质量m与弹簧的长度l作出的m﹣l图线，如图所示．（1）由图求出弹簧的劲度系数，即k=N/m．（保留两位有效数字）（2）弹簧原长是：cm．（保留两位有效数字）10．用如图1所示的实验装置来验证牛顿第二定律．①为消除摩擦力的影响，实验前平衡摩擦力的具体操作为:取下，把木板不带滑轮的一端适当垫高并反复调节，直到轻推小车后，小车能沿木板做运动．②在实验过程，某次打出纸带如图2，相邻计数点A、B、C、D、E之间还有4个点未画出，该纸带对应的加速度为:m/s2 (保留两位有效数字）;③某次实验测得的数据如下表所示．根据这些数据在图3坐标图中描点并作出a﹣图线．从a﹣图线求得合外力大小为N（保留两位有效数字）．a/m•s2/kg﹣14.0 1。

2017届高三综合测试理科综合试题 （2017-5-23） 注意事项：1. 答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和答卷上。

2. 选择题在选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字答作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答卷和答题卡一并交回。

[可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 O —18 S —32 Fe —56 Cu —64]第Ⅰ卷二、选择题（本大题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，14～17题只有一项符合题目要求。

18～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分。

有选错的得0分）14. 在光滑水平面上，a 、b 两球沿水平面相向运动。

Iv 两球间距小于或等于L 时，则相互作用力为零，两球沿水平平面相向运动。

当两球间距小于或等于L 时，则相互作用力为零，两球在相互作用区间运动时始终未接触。

两球运动的t v -图像如图所示，则A ．a 球质量小于b 球质量B ．1t 时刻两小球间距最小C ．20t -时间内，两小球间距逐渐减小D ．30t -时间内，b 球所受排斥力方向始终与运动方向相反15. 如图所示，图形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过△t 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成︒60角。

现将带点粒子的速度变为3v ，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为A.2△tB.21△tC.3△tD.31△t16.如图所示，一个小型水电站，其交流发电机的输出电压1U 一定，通过理想升压变压器1T 和理想降压变压器2T 向远处用户供电，输电线的总电阻为R 。

2017-2018 华附高二理科一、选择题1．设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，设:q 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出p ，q 表示的区域如下所示：y=2x+xO由图可以看出，p 表示的阴影区域是q 表示的划线区域的子集，所以p 是q 的充分不必要条件． 故选A ．2．抛物线21(0)y x a a=≠焦点坐标是（ ）．A ．0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭或0,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】解：将抛物线方程化为2x ay =，当0x >时，2a p =，焦点为0,4a ⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a <时，2a p =-，焦点为0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，也是0,4a ⎛⎫⎪⎝⎭故选B ．3．下列命题中，假命题的是（ ）．A ．x ∀∈R ，120x ->B ．x ∃∈R ，sin 2xC ．x ∀∈R ，210x x -+>D ．x ∃∈R ，lg 2x =【答案】B【解析】A ．将指数1x -视为整体，利用指数函数性质判断为正确；B ．利用正弦函数的有界性，判断为错误；C ．0∆<，可知21x x -+，判断为正确；D ．方程lg 2x -的解是100x -，判断为正确．故选B ．4．函数2log ,0()2,0x x x f x a x >⎧⎪=⎨-+⎪⎩≤有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）．A ．0a <B ．102a <<C ．112a <<D ．0a ≤或1a >【答案】A【解析】∵当0x >时，1x =是函数()f x 的一个零点； 故当0x ≤时， 20x a -+≤恒成立；即2x a ≤恒成立， 故0a ≤． 故选A ．5．已知10a b <<，且1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的大小关系是（ ）．A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．不能确定【答案】A【解析】解：∵10a b<<， ∴10a +>，10b +>，10ab ->， ∴1122011(1)(1)a b abM N a b a b ----=+=>++++， ∴M N >． 故选A ．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）．A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．430x y ±=D ．340x y ±=【答案】C【解析】由题意，设渐近线方程为0bx ay ±=，右焦点到左顶点的距离为a c +，右焦点(,0)cbcb c==， 因为2a c b +=，又有222a b c +=，解得43b a =，故渐近线为430x y ±=． 故选C ．7．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD △的形状是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】()()BC BD AC AB AD AB ⋅=-- 2||AC AD AC AB AB AD AB =⋅-⋅-⋅+ 2||0AB =>，则cos 0B >，所以B 是锐角，同理D ，C 都是锐角， 故BCD △是锐角三角形． 故选C ．8．（理）已知双曲线22221x y a b -=的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆的位置关系为（ ）． A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能 【答案】B【解析】解：如图所示，若P 在双曲线左支，则1221112111||||(||2)||222O O PF PF a PF a r r ==+=+=+，即圆心距为半径之和，两圆外切；若P 在双曲线右支，则1212||O O r r =-，两圆内切， 所以两圆相切． 故选B ．9．如图，1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）．ABC ．32D【答案】D【解析】设1||AF x =，2||AF y =，因为点A 为椭圆221:14x C y +=上的点，所以24a =，1b =，c =2221212||||||AF AF F F +=，即2222(2)12x y c +===，联立得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2x =2y =设双曲线2C 的实轴长为2a '，焦距为2c '，则212||||a AF AF y x '=-=-=c c '= 所以双曲线2C的离心率c e a'=='．故选D ．10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）．A ．72B ．52C ．3D ．2【答案】C【解析】设Q 到l 的距离为d ，则||QF d =， 因为4FP FQ =， 所以||3PQ d =，所以直线PF的斜率为- 因为(2,0)F ，所以直线PF的方程为2)y x =--， 与抛物线2:8C y x =的方程联立，可得1x =， 所以||13QF d =+=． 故选C ．11．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在C 上且直线2MA 的斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1MA 斜率的取值范围是（ ）．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设P 点坐标为00(,)x y ，1(2,0)A -，2(2,0)A ． 则1002PA y k x =+，2002PA yk x =-． 因为点P 在椭圆上，所以2200143x y +=，整理得2020344y x =--，而1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，故1234PA PA k k ⋅=-．又1[2,1]PA k ∈--， 故233,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选B ．12．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由动直线0x my +=知定点A 的坐标为(0,0)， 由动直线30mx y m --+=知定点B 的坐标为(1,3)， 且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动． 故当点P 与点A 或点B 重合时，||||PA PB +取得最小值，min (||||)||PA PB AB +=当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt PAB △中，有222||||||10PA PB AB +==． 因为22||||2||||PA PB PA PB +≥， 所以2222(||||)(||||)PA PB PA PB ++≥， 当且仅当||||PA PB =时取等号，所以||||PA PB +||||PA PB +≤ 故选B ．二、填空题13．命题“x ∀∈R ，*n ∃∈N ，使得2n x ≥”的否定形式是__________． 【答案】x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x <【解析】“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”，“2n x ≥”的否定是“2n x <”． 故答案为x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x <．14．已知(3,1,5)A ，(2,1,4)B --，则直线AB 与坐标平面xOy 的交点坐标为__________．【答案】(22,9,0)--【解析】设直线AB 与坐标平面xOy 的交点为(,,0)P x y ，则AB BP λ=，即(2,1,4)(3,1,5)(2,1,04)x y λ---=++-，(5,2,1)(2,1,4)x y λ---=++-？ ∴5(2)x λ-=+，2(1)y λ-=+，1(4)λ-=-？ ∴52x λ-=-，21y λ-=-，14λ=？ ∴22x =-，9y =-？∴直线AB 与xOy 平面的交点坐标为(22,9,0)--．15．已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的点，21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】43【解析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图所示：由题意可得，21120PF F ∠=︒， 所以260PF A ∠=︒，232aAF c =-， 所以22122322PF AF a c F F c ==-==， 所以34c a =，即离心率34e =． 故答案为34．16．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =__________．【答案】49【解析】由图可知，曲线2C 到直线l 的距离2d可以转化为圆心到直线的距离m 与圆半径r 的差．2d m r =-=，由题意可知曲线1C 到直线l 的距离1d = 即直线l 左上方距离1d =1l 与曲线1C 相切， 直线1l 方程设为y x b =+，1d ，解得2b =；2b =-（舍去），联立曲线1C 与直线1l 方程得220x x a -+-=， 根据0∆=，解得94a =．故本题正确答案为94．三、解答题17．（本小题满分10分）求与椭圆221259x y +=有公共焦点，且离心率43e =的双曲线的方程．【答案】见解析．【解析】解：椭圆221259x y +=的焦点坐标为(4,0)-和(4,0)，设双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>，则4c =，43c e a ==． ∴3a =，2227b c a =-=，∴所求双曲线方程为22197x y -=．18．（本小题满分12分）已知0c >且1c ≠，命题:p 指数函数(21)x y c =-在R 上为减函数；命题:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R ，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求c 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：当p 为真命题时，函数(21)x y c =-在R 上为减函数， 所以0211c <-<，所以112c <<； 当q 为真命题时，不等式2(2)1x x c +->的解集为R ， 所以当x ∈R 时，22(41)(41)0x c x c --+->恒成立． 所以22(41)4(41)0c c ∆=--⋅-<，所以850c -+<，所以58c >．由题设，若p 和q 有且只有一个为真命题，则 ①当p 真，q 假时，11258c c ⎧<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤，所以1528c <≤；②当p 假，q 真时，101258a x c ⎧<<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或，综上所述，c 的取值范围是15,(1,)28⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．19．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A的坐标为1,02⎫⎪⎪⎝⎭，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒． （1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】见解析．【解析】解：（1）过D 作DE BC ⊥于E，则sin30DE CD =⋅︒， 11cos60122OE OB BD =-︒=-=， ∴D的坐标为10,2⎛- ⎝⎭， 又∵(0,1,0)C ，∴30,2CD ⎛=- ⎝⎭． （2）依题设有A点坐标为1,02A ⎫⎪⎪⎝⎭，∴2AD ⎛=-- ⎝⎭，(0,2,0)BC =， 则cos ,||||AD BC AD BC AD BC ⋅<>==-⋅20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点． （1）证明：1A D ⊥平面1A BC ．（2）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．C 1A 1B 1CBAD【答案】见解析．【解析】（1）证明：设E 为BC 的中点，连结AE ，1A E ，ED ，如图．DABCB 1A 1C 1E由题意得1A E ⊥平面ABC ， 因为AE ⊂平面ABC ， 所以1A E AE ⊥． 因为AB AC =， 所以AE BC ⊥．因为1A E AE ⊥，AE BC ⊥，1A E BC E =，所以AE ⊥平面1A BC ．因为D ，E 分别为11B C ，BC 的中点， 所以1DE B B ∥且1DE B B =， 所以1DE A A ∥且1DE A A =， 所以1AA DE 为平行四边形， 所以1A D AE ∥． 因为AE ⊥平面1A BC ， 所以1A D ⊥平面1A BC ．（2）以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x 轴，y 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示．B 1由题意知各点坐标如下：1A，B，(D，1(B ．因此1(0,A B =，(BD =-，1(0,DB =．设平面1A BD 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1B BD 的法向量为222(,,)n x y z =． 由100m A B m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111100==⎪⎩可得(0,7,1)m =． 由100n DB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200==⎪⎩可取(7,0,1)n =． 于是||1|cos ,|8||||m n m n m n ⋅<>==⋅．由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角11A BDB --的平面角的余弦值为18-．21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为． （1）求双曲线C 的方程．（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点(0,1)A -，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>．由已知得a =2c =，222a b c +=， ∴21b =．故双曲线C 的方程为2213x y -=．（2）联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， 整理得222(13)6330k x kmx m ----=． ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴22213012(13)0k m k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩， 可得2231m k >-．（1）设11(,)M x y 、22(,)N x y ，MN 的中点为00(,)B x y ． 则122613km x x k +=-，12023213x x km x k +==-，00213my kx m k =+=-． 由题意，AB MN ⊥，∴221113(0,0)313ABmk k k m km kk+-==-≠≠-．整理得2341k m =+．（2）将（2）代入（1），得240m m ->， ∴0m <或4m >．又23410(0)k m k =+>≠，即14m >-．∴m 的取值范围是1,0(4,)4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．22．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，过点⎛ ⎝⎭，，左、右焦点分别为1F 、2F ．点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程．（2）设直线1PF 、2PF 斜率分别为1k 、2k ． ①证明：12132k k -=． ②问直线l 上是否存在一点P ，使直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率OA k 、OB k 、OC k 、OD k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】见解析．【解析】（1）因为椭圆过点⎛ ⎝⎭，e 所以221112a b +=，c a = 又222a b c =+，所以a 1b =，1c =，故椭圆方程为2212x y +=．（2）①设00(,)P x y ，则0101y k x =+，0201yk x =-， 因为点P 不在x 轴上，所以00y ≠． 又002x y +=， 所以00012000013(1)213422x x y x k k y y y y +---=-===． ②设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，(,)C C C x y ，(,)D D D x y ， 联立直线1PF 与椭圆方程得122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 化简得222111(21)4220k x k x k +++-=，因此2121421A B k x x k +=-+，21212221A B k x x k -=+，由于OA 、OB 斜率存在，所以0A x ≠，0B x ≠，因此210k ≠，1， 因此11121(1)(1)22A B A B OA OB A B A B y y k x k x k k k x x x x k +++=+=+=--． 类似可以得到0C x ≠，0D x ≠，220k ≠，1，22221OC OD k k k k +=--， 故121212222212122(1)()11(1)(1)OA OB OC OD k k k k k k k k k k k k k k -++++=+=-----． 若0OA OB OC OD k k k k +++=，必须有120k k +=货121k k =． 当120k k +=时，结合①的结论，可得22k =-， 所以解得P 点坐标为(0,2)．当121k k =时，结合①的结论，可得23k =或21k =-（舍去）， 此时直线CD 的方程为3(1)y x =-，联立方程2x y +=得54x =，34y =． 因此P 点坐标为53,44⎛⎫⎪⎝⎭．。

2017届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学考试参考答案一、选择题：每小题5分，满分60分．1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C7．B 8．A 9．B 10．A 11．A 12．D二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．20-； 14．8； 15．]63,0[π+； 16. 93.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 法一解：(1)在等比数列}{n a 中，因为21748≠=S S ，所以1≠q ，所以q q a S n n --=1)1(1…………………1分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=3401)1(201)1(818414q q a S q q a S ，两式相除得：1714=+q ，且0>q ，所以34,21==a q ……………4分所以3223411+-==n n n a 。

…………………5分（2）当1=n 时，222112===b T b当2≥n 时，由n n T b 21=+，得n n n n n b T T b b 2)(211=-=--+，即)2(31≥=+n b b n n ，…………6分 所以⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n b n n ，⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n n nb n n …………………8分 2103236341-⋅++⋅+⋅+=n n n H12132363433-⋅++⋅+⋅+=n n n H两式相减得：12232)333(2422--⋅-+++++-=-n n n n H …………………9分1)21(3323131232)3331(2111122--=⋅---=⋅-++++=-----n n n n n n n n …………………11分所以2132121+⋅-=-n n n H …………………12分 法二当2≥n ，232-⋅=n n n nb =213]21)1[(3)21(------n n n n ，所以：++-+-+= )323325()321323(11201n H 213]21)1[(3)21(------n n n n13)21(211--+-=n n 2132121+⋅-=-n n对应步骤相应给分。

广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高三综合测试（一）（第一次月考）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5【答案】B考点：1、二次不等式；2、集合的基本运算.2.“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤【答案】D【解析】试题分析：原的否定为0,01x x ∃>≤≤，故选D.考点：的否定.3.设248log 3,log 6,log 9a b c ===，则下列关系中正确的是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】 试题分析：248lg3lg 2lg32lg3log 3,log 6,log 9lg 22lg 23lg 2a b c +======⇒ 2lg3lg3lg3lg 2lg32lg 22lg 22lg 2a b ++==>=⇒3lg 23lg 3lg 33lg 34lg 36lg 26lg 26lg 2b c ++=>==⇒a b c >>,故选A.考点：1、对数的大小比较；2、对数的基本运算.4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 试题分析：2121012x x x +->⇔<-或x>,故“12x >”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A.考点：充要条件.KS5U 5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（ ）A ．112B ．124C ．14D ．12【答案】B考点：分段函数.6.由曲线y =2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（ ） A ．103 B ．4 C ．76 D ．6【答案】C【解析】试题分析：32122201121237(2)|(2)|(2)32326x dx x x x +-+=+-+=+-=⎰⎰，故选C. 考点：定积分公式.7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．[]4,4-D ．(]4,4-【答案】C考点：复合函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查复合函数的单调性，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化为函数23t x ax a =-+在[)2,+∞单调递增，然后结合二次函数的图象可得2223022a a a ⎧-+≥⎪⎨≤⎪⎩，从而解得44a -≤≤．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以化繁为简.8.函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 试题分析：由(0)2g =排除B,D ，由(1)1f =排除A,故选C.考点：函数的图象.9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2【答案】D【解析】试题分析：取特殊函数2()2f x x x =-⇒()0f x >的解集为()0,2，故选D. 考点：函数的性质.10.已知函数()sin f x x x =g ，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（ ） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查数的奇偶性、函数的单调性.，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化即: ()1f -=(1),(),33f f f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，然后作图，观察图像并结合单调性可得()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．善于应用数形结合思想和转化化归思想是，方能轻松解题.KS5U 11.下列中是假的是（ ）A ．m R ∃∈，使()()2431m m f x m x -+=-g 是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或 C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称【答案】D【解析】试题分析：选项A 中12()m f x x -=⇒=在()0,+∞上递减成立，故为真；选项B 中函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为21(1)4R t x a x a ⇒=++-+ 与x 至少有一个交点221(1)4()604a a a a ⇒∆=+--+=+≥⇒60a a ≤-≥或，故为真；①当0a =时，显然成立．②当0a ≠时，显然方程无零根．若方程有一正一负根，则440010a a a∆=->⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩；若方程有两负根，则440100120a a aa⎧⎪∆=-≥⎪⎪>⇒<≤⎨⎪⎪-<⎪⎩．综上，若方程至少有一个负根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负根，因此为真．排除A 、B 、C ，故选D.考点：的真假.12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩g，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（ ）A ．2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】B考点：1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数的零点；4、函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查函数的周期性、分段函数、函数的零点和函数的图象与性质，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化化归思想将转化为函数()f x 的图象与直线15y x =有5个交点，然后作图，观察图象可得2655x <<．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以四两拨千斤.KS5U第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()2log 1y x =-的定义域为____________． 【答案】()2,+∞【解析】试题分析：由已知可得(1)2390102log 0x x x x -⎧-≥⎪->⇒>⎨⎪≠⎩，故定义域为()2,+∞.考点：函数的定义域.14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =I ，则实数a 的所有可能取值的集合为____________．【答案】{}1,0,1-考点：集合基本运算.【方法点晴】本题主要考查集合基本运算，其中涉及分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于中等难题. 首先将A B A =I 转化为A B ⊆，然后对0a =与0a ≠进行分类讨论，从而求得实数a 的所有可能取值的集合为{}1,0,1-.分类讨论思想和转化化归思想是本题的解题关键.15.若25a b m ==，且112a b+=，则m =__________．【解析】试题分析：2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b+=+==⇒=m ⇒=．考点：指数式与对数式的综合运算.16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是 __________． 【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角.【方法点晴】本题主要考查函数的导数、切线的斜率与倾斜角，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，综合性较强，属于较难题型. 首先函数()f x 图象上一个动点的切线斜率转化为函数的导数，并求出()'1,f x ≥-再结合直线斜率图象，逆推出切线倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U ，数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1x A x B x x =≤≤=>．（1）分别求(),R A B C B A I U ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}|23A B x x =<≤I ，{}|3R C B A x x =≤U ．（2）3a ≤．【解析】试题分析：（1）由3327x ≤≤ ⇒13x ≤≤⇒{}|13A x x =≤≤，再2log 1x >⇒2x >⇒{}|2B x x =>⇒{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ⇒{}|3R C B A x x =≤U ；（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，再分情况讨论 C 为空集与非空集合，从而求出3a ≤．试题解析：（1）∵3327x ≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分 ∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ，∴{}|3R C B A x x =≤U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、不等式；2、集合的基本运算.KS5U18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）(]1,2．试题解析：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<， 因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<．又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件 ，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：简易逻辑.19.（本小题满分12分）函数()()01x x f x ka a a a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-g 在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 【答案】（1）{}|14x x x ><-或；（2）2m =．试题解析：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-， ∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：函数的性质.20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2a y x b=+（其中,a b 为常数）模型． （1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①()[]5,20f t t =∈；②当t =路l的长度最短，最短长度为【解析】试题分析：（1）由题意得,M N 分别为 ()()5,40,20,2.5⇒2a y x b =+⇒4025 2.5400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩⇒ 10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①由（1）知()21000520y x x =≤≤⇒P 21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求导得32000y x '=-⇒ l ；()2310002000y x t t t -=--⇒233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()[]5,20f t t =∈；②设()624410g t t t ⨯=+⇒()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=⇒t =可得：当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l 的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数及其应用.KS5U21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+⇒()2213f ax x x -+-+<⇒()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，又()()()11f n nf n =--⇒()12f =⇒()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦⇒()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．然后对12a +取值进行分类讨论可得：实数a 的取值范围是(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+， 故原不等式可化为：()2213f ax x x -+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--L ，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<，即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立， 令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-， ②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<，综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数及其应用．【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.（本小题满分12分）已知函数()ln x m f x e x +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．【答案】（1）1m =-，()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；（2）[)ln ,a a --+∞．试题解析：（1）()()1,0x mf x e x x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以()1110m f e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当01x <<时，1101,1x e x-<<-<-，所以()0f x '<， 当1x >时，111,10x e x ->-<-<，所以()0f x '>， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()1,0x m f x e x x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=，所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥． 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数及其应用．KS5U【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.。

华南师大附中2009届高三综合测试（一）数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A 、B 均为数集，且{}{}12123,,,,A a a B b b b ==，则集合A Y B 中元素的个数至 多（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1,m n p ===则这三个数的大小关系是 （ ）A ．m n p <<B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m << 3．已知直线3443x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是（ ）A ．直线的倾斜角为3arctan 4B ．直线必经过点11(1,)2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为4．已知函数232,()3 2.x f x x a a ⎧⎪=⎨+-+⎪⎩[0,)(,0)x x ∈+∞∈-∞在区间（,-∞+∞）是增函数，则常数a 的取值范围是 （ ）A ．12a ≤≤B ．1,2a a ≤≥或C ．12a <<D ．1,2a a <>或5．若奇函数()()(2)1,(2)()(2),(1)f x x R f f x f x f f ∈=+=+满足则等于 （ ）A ．0B ．1C ．12-D ．126．已知1x y +=，那么2223x y +的最小值是（ ）A ．56B ．65C ．2536D ．36257．函数ln 1xy e x =--的图象大致是（ ）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=-且在－１，上是增函数，下列五个关于()f x 的命题中①()f x 是周期函数； ②()f x 的图象关于1x =对称； ③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数；⑤(2)(0)f f =正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．函数()f x =的定义域为 . 10．设函数21,(0)()(0)x x f x x -⎧-≤⎪=＞　若0()1,f x >则0x 的取值范围是 .11．在极坐标系中，若过点（4，0）且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =.12．如下图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥BC,AB=1，CD=3，6BCD S ∆=，则梯形ABCD 的面积为 ，点A 到BD 的距离AH= .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(2)(4)f f +=14．已知函数2()24(3)5f x ax a x =+-+是在区间(,3)-∞上的减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）设集合{}212,12x A x x a B xx -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A ⋂B=A ，求实数a 的取值范围．16．（本题满分12分）计算222lg 5lg8lg 5lg 20lg 2.3++⋅+17．（本题满分14分）已知2(),x f x ax b=+且方程()120f x x -+=有两个实根为13x =， 24x =（这里a 、b 为常数）. （1）求函数()f x 的解析式 （2）求函数()f x 的值域．18．（本题满分14分）某宾馆有相同标准的床位100米，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；② 该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？19．（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时（1）求证：()f x 是偶函数；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<20．（本题满分14分）设函数321()(),3f x ax bx cx a b c =++<<其图象在点(1,(1)),A f (,()B m f m 处的切线的斜率分别为0，a -（1）求证：01;ba≤< （2）若函数()f x 的递增区间为[],,s t 求s t -的取值范围．参考答案第一部分 选择题（40分）1－5DCDAD 6－8ADC第二部分 非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．{}4,1x x x ≤≠且. 10．(,1)(1,),-∞-⋃+∞ 11． 12．8；4.513．0. 14．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）.解：{}{}222.x x a x a x a -<=-<<+ …………3分 2112 3.2x B xx x x -⎧⎫=<=-><⎨⎬+⎩⎭………3分 因为,A B A A B ⋂=⊆即, ……………2分所以23.22a a +≤⎧⎨-≥-⎩…………2分解得01a ≤≤，故实数a 的取值范围为［0,1］ ………2分16．（本题满分12分）解：原式22(lg5lg2)lg5(1lg2)lg 2=++⋅++2l g 5(l g 5l g=+++⋅ 2l g 5l g 2=++=………3分 17．（本题满分14分）解：（1）依已知条件可知方程()120f x x -+=即为2120,x x ax b-+=+…1分 因为123,4x x ==是上述方程的解，所以931203,1641204a ba b⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩…………4分所以函数的解析式为2()2x f x x =--； ………1分（2）因为24()(2)422x f x x x x ⎡⎤=-=--++⎢⎥--⎣⎦， ………2分当42,(2)42x x x >-+≥-时，当且仅当4x =时取等号，所以8y ≤-，…2分 当42,(2)42x x x <-+≤--时，当且仅当0x =时取等号，所以0y ≥，…3分 所以函数][()0,)f x ∞⋃+∞的值域为(-,-8. …………1分 18．（本题满分14分）.解：（1）依题意有[]100575100(10)3575x y x x -⎧⎪=⎨--⨯-⎪⎩(10)(10)x x ≤>，且*x N ∈，……3分因为*0,y x N >∈， 由*1005750,610,.10x x x N x ->⎧≤≤∈⎨≤⎩得 ……2分由[]10,100(10)35750x x >⎧⎪⎨--⨯->⎪⎩得*1038,,x x N <≤∈ ………2分所以函数为21005753130575x y x x -⎧=⎨-+-⎩ (,610(,1038)x N a n d x x N a n d x ∈≤≤∈<≤， ……1分 定义域为{}638,;x x x N ≤≤∈ ………1分（2）当10x =时，*100575(610,)y x x x N =-≤≤∈取得最大值425元，1分 当10x >时，23130575y x x =-+-，仅当130652(3)3x =-=⨯-时，y 取最大值，但*2*223130575(1038,)x N x y x x x x N ∈==-+-<≤∈，所以当时，取得最大值833元， ……3分比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．………1分 19．（本题满分14分）.解；（1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有()()(f x f x f -=+- ……2分 又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 ……1分 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 ……1分 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． ……1分 （2）设212121110()()()(.)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 ……1分 221111()()()(),x xf x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ ………3分 由于21210,1,x x x x ><>所以从而21()0xf x >， ………1分 故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以 ……1分 于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， ………1分 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于2214x -< ………1分解得022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且． ………1分 20．（本题满分14分）.解（1）因为2()2f x ax bx c '=++ ………1分 于是依题意有(1)20,f a b c '=++= ① ……1分 2()2,f m a m b m c a '=++=- ② ……1分又由,a b c <<可得424a a b c c <++<，即404a c <<，所以0,0,a c <>由①得2,c a b a b c =--<<代入再由10,1,3ba a<-<<得③ ……2分 将2c a b =--代入②得2220,am bm b +-=即方程2220ax bx b +-=有实根，故其判别式2480,b ab ∆=+≥由此可得2()2()0,bb aa +≥解得2,0,b ba a≤-≥或④ ……2分 由③、④即可得01ba≤<； ………1分 （2）由于2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->， ……1分 所以方程220()a bx c ++=*有两个不相等的实数根，设为12,x x ， 又由(1)201f a b c '=++=1知是(*)的一个根，记x =1， ……1分 则由根与系数的关系得221b x a +=-，即21210,bx x a=--<< 当2,1x x x <>或时，()0;f x '>当21x x <<时，()0f x '>， ……1分 所以函数()f x 的单调递增区间为[]2,1x 由题设[][]2,1,,x s t =……1分 因此2212,b s t x a -=-=+由（1）知01ba≤<，所以[2,4).s t -∈…1分。

2016-2017学年度高三综合测试（一）参考答案数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．三. 解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. 解：（Ⅰ）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，…………2分2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，……………3分{}|23AB x x ∴=<≤；{}2RB x x =≤{}|3RBA x x ∴=≤ ………………………………………………………5分（Ⅱ）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当C A ⊆ ……………………………………6分当C 为空集时，1a ≤ 当C 为非空集合时，可得 31≤<a综上所述3a ≤ …………………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）对p ：由得，因为0a , 所以3a x a ………………………………………………2分 当时，解得1<,即为真时，实数的取值范围是1<. 又为真时实数的取值范围是………………………………………4分 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是()2,3 . …………………………………………… 6分(Ⅱ) p 是q 的必要不充分条件，即q p ,且p q ，设{}{}(),()A x p x B x q x ==, 则 B A ……………………………………8分又，A =；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,2 ……………12分19．解：（Ⅰ）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴= …………………….2分1(1)0,0f a a>∴->，又0a >且1, 1.a a ≠∴> ……………………4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-22430x ax a -+<(3)()0x a x a --<1a =3x <p x 3x <q x 23x <≤p q ∧p q x ⇒⇒/(2,3]B =(,3)a a224x x x ∴+>-，即2340x x +-> 14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或. ………………………………………6分（Ⅱ）313(1),22f a a =∴-=，……212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+ ………9分令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m <时，当32t =时，min 17()324g t m =-=-， 解得253122m =>，舍去. 综上可知2m =． …………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意知，点,M N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5.将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5.400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ …………….4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，21000y x =(520)x ，则点P 的坐标为21000(,)t t ， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t . 故()f t ==，[]5,20t ∈. ……………….8分 ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得t = 当(t ∈时，()0g t'<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()0g t'>，()g t 是增函数.从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l 的长度最短，最短长度为………………….12分21. 解：(Ⅰ)令0x y ==，恒等式可变为(00)(0)(0)1f f f +=+-，解得(0)1f = ……1分(Ⅱ)任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得21()1f x x ->∵()()()1f x y f x f y +=+-∴()()()()21211211()1f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦所以()f x 是R 上增函数 …………………………4分 （Ⅲ）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+故原不等式可化为：2(2)13f ax x x -+-+<,即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦ 而当*N n ∈时，()(1)(1)1(2)2(1)2f n f n f f n f =-+-=-+-=()(3)3(1)3(1)1f n f nf n -+-=⋅⋅⋅=--所以(6)6(1)5f f =-，所以(1)2f =, 故不等式可化为()212(1)f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()2()13g x x a x =-++，即min ()0g x >成立即可①当112a +<-即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增 则()min ()(1)=1+130g x g a =-++>解得5a >-，所以53a -<<-②当112a +≥-即3a ≥-时，有()2min 111()130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13--<-，所以31a -≤<- 综上，实数a的取值范围是()51- ………………………………………12分22.解：(Ⅰ)()1(),0x mf x ex x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以1(1)10mf e+'=-=，所以1m =-，所以11()x f x e x-'=- …………………2分 当01x <<时，1101,1x ex-<<-<-，所以()0f x '<当1x >时，111,10x ex->-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．…………………………………5分(Ⅱ)()1(),0x mf x ex x +'=->，设1()x m g x e x +=-，则21()0x m g x e x+'=+> 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．…………………………………………………6分 由于00x x <<时，0()()0f x f x ''<=；当0x x >时，0()()0f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，…………………………8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以000001()()ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．…………………………………………9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥. 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤.……………………………………………………11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--.即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞.……………………………………………………12分。

数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A （ ） A ．∅ B ．{}2 C ．{}5 D ．{}2,5 2.命题“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤3.设248log 3,log 6log 9a b ===，则下列关系中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（ ）A ．112 B ．124 C ．14 D ．126.由曲线y =2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（ ）A ．103 B ．4 C ．76D ．6 7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(]4,4- 8.函数()21log f x x =+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2 10.已知函数()sin f x x x =，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（ ） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.下列命题中是假命题的是（ ） A ．m R ∃∈，使()()2431m m f x m x-+=-是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或 C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（ ） A ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2y =的定义域为____________．14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =，则实数a 的所有可能取值的集合为____________． 15.若25abm ==，且112a b+=，则m =__________． 16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1x A x B x x =≤≤=>． （1）分别求(),R AB C B A ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合． 18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19.（本小题满分12分） 函数()()01xx f x ka aa a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型．（1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．参考答案一、选择题二、填空题13. ()2,+∞ 14. {}1,0,1-30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭三、解答题：17.解：（1）∵3327x≤≤，即13333x≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<． 又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件 ，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-， ∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵()312f =，∴132a a -=， (2)2320a a --=，∴122a a ==-或（舍去） ∴()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令()22xxt f x -==-，∵1x ≥，∴()312t f ≥=，∴()()222222g t t mt t m m =-+=-+-， 当32m ≥时，当t m =时，()min 17324g t m =-=-，∴2m =，当32m <时，当32t =时，()min 17324g t m =-=-，解得253122m =>，舍去， 综上可知2m =．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()()5,40,20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）令0x y ==，恒等式可变为()()()00001f f f +=+-，解得()01f =．．．．．．．．．．．．1分 （2）任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得()211f x x ->， ∵()()()1f x y f x f y +=+-，∴()()()()()212112111f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦， 所以()f x 是R 上增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+，故原不等式可化为：()2213f ax x x-+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<， 即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()1,0x mf x e x x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以()1110mf e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当01x <<时，1101,1x e x -<<-<-，所以()0f x '<，当1x >时，111,10x e x->-<-<，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()()1,0x mf x ex x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点，所以00001,ln x mex m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x mf x f x ex x m x +≥=-=++， 因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥． 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。