高等代数II-试题05

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= ________________ .(2) 曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.(3)=--⎰1221)2(xxxdx______________(4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为________________.(5) 当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k =________________ .(6) 设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则()f x 在),(+∞-∞内 ( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.(8) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”， 则必有 ( )(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. (C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.(9) 设函数()y y x =由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x轴交点的横坐标是 ( )(A) 1ln 238+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.(10) 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( ( )(A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + .(11) 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有 ( )(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. (B) 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂.(12) 设函数,11)(1-=-x xex f 则 ( ) (A) 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. (B) 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点.(C) 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. (D) 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点.(13) 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.(14) 设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,B A 分别为,A B 的伴随矩阵，则 ( )(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分11分)设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x(16)(本题满分11分)如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴 的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=(17)(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0))与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数()f x 具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.(19)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==. 证明：)(I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；(II)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f(20)(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =. 求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D(22)(本题满分9分)确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数)，且0AB =, 求线性方程组0AX =的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分.方法1：利用恒等变形得xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法2：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得1cos ln(1sin )1sin x x y x y x'=+++， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故 π=x dy =.)(dx dx y ππ-='(2)曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.【详解】由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=，lim[()]x b f x ax →∞=-)，得：32())limlim 1,x x f x a x →+∞=== []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y(3)【详解】通过还原变换求定积分 方法1：令t x sin = (0)2t π<<,则=--⎰10221)2(x x xdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t t t 220sin 2sin t dt t π=-⎰22200cos arctan(cos )1cos 4d t t t πππ=-=-=+⎰方法2t =，有221,x t =-所以有xdx tdt =-，其中01t <<.112001arctan 014dtt t π-===+⎰⎰(4)【答案】.91ln 31x x x y -=【详解】求方程()()dyP x y Q x dx+=的解，有公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ (其中C 是常数). 将原方程等价化为 x y xy ln 2=+'，于是利用公式得方程的通解 22[ln ]dx dx x xy e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰221[ln ]x xdx C x =⋅+⎰=211ln 39C x x x x-+, (其中C 是常数) 由91)1(-=y 得0C =，故所求解为.91ln 31x x x y -=(5)【详解】由题设，00()lim()x x x x βα→→=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 20x x x kx x x x x ++-+→ 201arcsin 1cos lim 2x x x x k x →+-=2001arcsin 1cos lim lim 2x x x x k x x →→-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 又因为 201cos 1lim 2x x x →-=，00arcsin lim arcsin lim 1sin x u x ux u xu →→ = =所以 0()11lim(1)()22x x x k βα→=+34k=由题设0→x 时()~()x x αβ，所以314k =，得.43=k(6)【答案】2 【详解】方法1：因为1231231()(,,)11αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(24)(,,)24αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(39)(,,)39αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故 123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 记123(,,)A ααα=，两边取行列式，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)123123123,24,39B ααααααααα=++++++[2][1]1232323[3][1],3,28ααααααα--====++++[3]2[2]123233====,3,2αααααα-+++123233=2,3,αααααα+++[1][3]1223[2]3[3]====2,,αααα--+[1][2]123====2,,ααα-又因为123,,1A ααα==，故B 2A =2=.二、选择题 (7)【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当||1x <时，≤≤，命n →∞取极限，得1n =，lim 1n →∞=，由夹逼准则得()1n f x ==；当||1x =时，()1n n f x ===；当||1x >时，33|||x x =<≤=，命n →∞取极限，得3||n x =，由夹逼准则得13331()lim ||(1)||.||n n n f x x x x →∞=+=所以 31,||1(),||1x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩再讨论()f x 的不可导点. 按导数定义，易知1x =±处()f x 不可导，故应选(C).(8)【答案】A 【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数()f x 的任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当()F x 为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，亦即)()(x f x f -=-，可见()f x 为奇函数；反过来，若()f x 为奇函数，则0()()xF x f t dt C --=+⎰，令t k =-，则有dt dk =-，所以 0()()()()()xxx F x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=+=--+=+=⎰⎰⎰，从而 ⎰+=x C dt t f x F 0)()( 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =， 则取21()2F x x =, 排除(D);(9)【答案】A【详解】当3x =时，有322=+t t ，得121,3t t ==-(舍去，此时y 无意义)，曲线()y y x =的导数为 2111222(1)dy dy dt t dx dx t t dt+===++， 所以曲线()y y x =在3x =(即1t =)处的切线斜率为18于是在该处的法线的斜率为8-, 所以过点(3,ln 2)的法线方程为)3(82ln --=-x y ，令y =0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).(10)【答案】D【详解】由于积分区域D 是关于y x =对称的, 所以x 与y 互换后积分值不变, 所以有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=12D d σ⎰⎰ =212.2242Da b a b a b d σππ+++=⋅⋅⋅=⎰⎰ 应选(D).(11)【答案】B 【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B).(12)【答案】D【详解】由于函数()f x 在0x =，1x =点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以0x =为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D).(13)【答案】B 【详解】方法1：利用线性无关的定义12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.设有数12,k k ，使得0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k 1211222()0k k k λαλα⇒++=.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，则⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当122100λλλ=≠时，方程只有零解，则0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由于()()()1112111221221,(),,0A λααααλαλαααλ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭， 因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知21,αα线性无关. 若1α，)(21αα+A 线性无关，则()112,()2r A ααα+=，则()()11112122221112,min ,,2000r r r r λλλααααλλλ⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≤≤≤ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，故121220r λλ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，从而12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而122100λλλ=≠ 若122100λλλ=≠，则12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又21,αα线性无关，则()11122211,200r r λλααλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()11121221,(),20r A r λαααααλ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).方法3：利用矩阵的秩12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，又121122()A ααλαλα+=+，故1α，)(21αα+A 线性无关112(,())2r A ααα⇔+=又因为 ()()211122122,,αλαλαλααλα+=11将的-倍加到第列则111221222(,)(,)20r r αλαλααλαλ+==⇔≠(若20λ=，与122(,)2r αλα=矛盾) 方法4：利用线性齐次方程组12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，112,()A ααα+线性无关11122,αλαλα⇔+线性无关⇔11122,0αλαλα+≠，⇔()11122,0X αλαλα+=只有零解，又()()1111221221,,0λαλαλαααλ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⇔()1112221,00x x λααλ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有零解⇔12,αα线性无关时()12,0Y αα=只有零解，故1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，只有零解，⇔1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的系数矩阵是个可逆矩阵，⇔122100λλλ=≠，故应选(B)方法5：由12λλ≠，21,αα线性无关12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.向量组()12I :,αα和向量组()1121122II :,()A αααλαλα+=+. 显然向量组()II 可以由向量组()I 线性表出；当20λ≠时，不论1λ的取值如何，向量组()I 可以由向量组()II 线性表出11αα=，112111*********11()()()A λλααλαλααααλλλλ=-++=-⋅++， 从而()I ，()II 是等价向量组⇒当20λ≠时，()()1211122,,2r r αααλαλα=+=(14)【答案】(C) 【详解】方法1：由题设，存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得B A E =12，(A 进行行变换，故A 左乘初等矩阵)，于是 ****1212()B E A A E ==，又初等矩阵都是可逆的，故 *1121212E E E -=， 又121E E =-=-(行列式的两行互换，行列式反号)，11212E E -=，故****1*1*1212121212B A E A E E A E A E --==⋅=-=-，即*12*B E A -=,可见应选(C).方法2：交换A 的第一行与第二行得B ，即12B E A =.又因为A 是可逆阵，121E E =-=-，故12120B E A E A A ===-≠， 所以B 可逆，且1111212()BE A A E ---==.又11,A B A B A B **--==，故12B A E B A**=，又因B A =-，故*12*B E A -=.三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换，命x t u -=，则00()()()()xxxf x t dt f u du f u du -=-=⎰⎰⎰,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxxx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=洛必达法则⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=整理⎰⎰+→xxx x xf du u f dt t f 000)()()(lim0001()lim 1()()xx x x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰上下同除 而 00000(())1lim ()lim lim ()(0)xxx x x f t dt f t dt f x f x x →→→'==='⎰⎰ 所以由极限的四则运算法则得，原式0001()lim1()()xx x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰00001lim ()1lim ()lim ()x x x x f t dt x f x f t dtx →→=+⎰⎰(0)(0)(0)f f f =+(0)012f ≠=.(16) 【详解】由题设图形知，3C 在1C 的左侧，根据平面图形的面积公式得，⎰--=+-=xx t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由)()(21y S x S =，得⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，注意到(,)M x y 是xe y =的点， 于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 整理上面关系式得函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ(17)【详解】由直线1l 过(0,0)和(2,4)两点知直线1l 的斜率为2. 由直线1l 是曲线C 在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知(0)2f '=. 同理可得(3)2f '=-. 另外由点(3,2)是曲线C 的)一个拐点知(3)0.f ''=由分部积分公式，33220()()()()x x f x dx x x df x '''''+=+⎰⎰3320()()()(21)x x f x f x x dx ''''=+-+⎰ 3220(33)(3)(00)(0)()(21)f f f x x dx ''''''=+-+-+⎰=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-30330)(2)()12()()12(30(231)(3)(201)(0)2()f f f x dx '''=-⨯++⨯++⎰=.20)]0()3([216=-+f f(18)【详解】 由题设)0(cos π<<=t t x ，有sin dxt dt=-，由复合函数求导的链式法则得 dtdyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，)sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，2222cos 111(1cos )[]()cos ()0sin sin sin sin t dy d y dyt t y t dt t dt t t dt--⋅---+=， 化简得022=+y dty d ，其特征方程为210r +=，特征根1,2r i =±, 通解为12cos sin y C t C t =+所以 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件01,x y==代入得，1210C C C =⨯+=，即21C =.而121y C x C C '''=+=+，将2x y ='=代入得112C C =+=，即12C =.将122,1C C ==代入通解公式得满足条件的特解为21 1.y x x =-<<(19)【详解】(I) 令x x f x F +-=1)()(，则()F x 在[0，1]上连续，且(0)10F =-<, (1)10F =>,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .(II) 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f(20)【详解】由ydy xdx dz 22-=知2,2z z x y x y ∂∂==-∂∂.对2zx x∂=∂两边积分得2(,)()z f x y x c y ==+. 将2(,)()z x y x c y =+代入2zy y∂=-∂得()2c y y '=. 所以2()c y y c =+. 所以22z x y c =-+.再由1,1x y ==时2z =知， 2c =. 于是所讨论的函数为222z x y =-+.求z 在2214y x +<中的驻点. 由2,2z zx y x y ∂∂==-∂∂得驻点(0,0)，对应的(0,0)2z f ==.讨论222z x y =-+在D 的边界22=14y x +上的最值，有两个方法. 方法1：把224(1)y x =-代入z 的表达式，有2222=52z x y x =-+-，11x -≤≤10x z x '=命0x z '=解得0x =，对应的2y =±，0,22x y z==±=-还要考虑11x -≤≤的端点1x =±，对应的0y =，1,03x y z =±==由2,2,3z z z ==-=比较大小，故min 2z =-(对应于0x =，2y =±)，max 3z =(对应于0x =，2y =±)方法2：用拉格朗日乘数法，作函数2222(,,)2(1)4y F x y x y x λλ=-+++-解方程组 2222(1)0,12022104xy f F x x x f y F y y y y F x λλλλλ⎧∂'=+=+=⎪∂⎪∂⎪'=+=-+=⎨∂⎪⎪'=+-=⎪⎩ 由上面的第一个方程解得0x =或1λ=-：当0x =时由最后一个方程解得2y =±；当1λ=-是由第二个方程解得0y =，这时由最后一个方程解得1x =±. 故解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0)--.计算对应z 的值：(0,2)(0,2)(1,0)(1,0)2,2,3,3zzzz--=-=-==再与(0,0)2z=比较大小，结论同方法1.(21) 【详解】D ：2210x y +-=为以O 为中心半径为1 的圆周，划分D 如下图为1D 与2D .这时可以去掉绝对值符号222222211,(,)11,(,)x y x y D x y x y x y D ⎧+-∈⎪+-=⎨--∈⎪⎩方法1：221Dx y d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x后一个积分用直角坐标做，21122220(1)1)D x y dxdy dx x y dy +-=+-⎰⎰⎰312222011[(1)((1-)]33x x x dx =----⎰ 33221111222200002222[()(1)](1)3333x x dx x dx dx x dx =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰ 42012cos 33tdt π=-+⎰220121cos 2()332t dt π+=-+⎰2+y 2=1220121(12cos 2cos 2)334t t dt π=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)3342t t dt π+=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)33422t t dt π=-+⨯+++⎰20121321cos 4(2cos 2)33422342tt dt ππ=-+⨯⨯⨯+⨯+⎰12103834π=-++⨯⨯138π=-+.前一个积分用极坐标做，11222220011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=8π+138π-+=.314-π方法2：由于区域2D 的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将2D 内的函数“扩充”到整个区域D =12D D ，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即222(1)d D x y σ+-=⎰⎰22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 因此221D xy d σ+-⎰⎰=122(1)D x y d σ--⎰⎰222(1)D x y d σ++-⎰⎰122(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 1222(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰由极坐标112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 而 3111222220001(1)(1)[(1)]03Dx x y d dy x y dx y x dy σ+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰311220011221[1]()[]033333y y dy y dy y =+-=-=-=-⎰⎰ 所以 221Dx y d σ+-⎰⎰=28π⨯13-=.314-π(22)【详解】方法1：记123123(,,),(,,)A B αααβββ==. 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a a a a+++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子11121(2)01031100a a a - +---行行行行13013(2)(1)11a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=(其中13(1)+-指数中的1和3分别是1所在的行数和列数)从而得1a =或2a =-.当1a =时，1231[1,1,1]Tαααβ====，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，故123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但2[2,1,4]Tβ=-不能由123,,ααα线性表出(因为方程组2123211111114111k k k β-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123123123214k k k k k k k k k ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解)，故1a =符合题意.当2a =-时,由于122112[]122121242211B A ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦12211221000033312006000---⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥+⨯⎢⎥-⎣⎦行行，行行 因2()2()3r B r B α=≠=，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组2BX α=无解，故2α不能由123,,βββ线性表出，这和题设矛盾，故2a =-不合题意.因此1a =.方法2：对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a1221121022010*********a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥++-⎢⎥-⨯⎢⎥+--⎣⎦行行，行行 1221132202201000403(1)1a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥-⨯++-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行行， 当2a =-时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 不存在非零常数123,,k k k ，使得123112230003006k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，3α不能由321,,βββ线性表示，不存在非零常数123,,k k k ，使得123412200663000k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα21112221011022310110423a a a a a a a aa a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，则方程组()1231x αααβ =或()1232x αααβ =或()1233x αααβ =无解，故系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，故()123()r B r ααα≠ .又当2-≠a 且4≠a 时，()3r B =，则必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：1a =.方法3：记()()123123,,,,,A B αααβββ==，对矩阵()A B 作初等行变换，得()12312311122(,,,,)111114aA B a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21112221011022310110423a a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行 2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a a a a +++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子 11121(2)01031100a a a -+---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=从而得1a =或2a =-.当1a =时，()111122000033000096A B -⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但由于()()212r A r A β=≠ =，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组2Ax β=无解，2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出. 或由于()()312r A r A β=≠ =，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组3Ax β=无解，3β不能由123,,ααα线性表出，即123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故1a =符合题意.当2a =-时，()112122033000000006A B --⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭，因()()323r A r A β=≠ =，，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，但()()223r B r B α=≠ =(或()33r B α =)，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，即2BX α=(或3BX α=)无解，即123,,ααα不能由123,,βββ线性表出，与题设矛盾，故2a =-不合题意.故1a =.(23)【详解】 由0AB =知，B 的每一列均为0Ax =的解，且.3)()(≤+B r A r (3是A 的列数或B 的行数)(1) 若9k ≠, 13,ββ不成比例，12,ββ成比例，则()2r B =, 方程组0Ax =的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数2≥，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数()r A -3()r A =-，于是()1r A ≤.又矩阵A 的第一行元素(),,a b c 不全为零，显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系由3()2r A -= 个线性无关解向量组成，13,ββ是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故0Ax = 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若9k =，则123,,βββ均成比例，故()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r 故()1r A =或()2r A =.①若()2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，1β是方程组0Ax =的基础解系， 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.②若()1r A =, 则A 的三个行向量成比例，因第1行元素(),,a b c 不全为零，不妨设0a ≠，则0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax , 系数矩阵的秩为1，故基础解系由312-=个线性无关解向量组成，选23,x x 为自由未知量，分别取231,0x x ==或230,1x x ==，方程组的基础解系为121,001b c a a ξξ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其通解为121210,,01b c a a x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.。

2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)1. 设()f x 是有理数域上的不可约多项式,α为()f x 在复数域内的一个根, 则α的重数为 12. n 阶行列式211113111111n =+111![]nk n k=+∑. 3. 设α、β均为n 维列向量:'2αβ=,则'A E αβ=+可逆,1A -='13E αβ-.4. 设向量组12,,,r ααα线性无关,123213121112r r r r r rβαααβαααβαααβααα-+=+++⎧⎪=+++⎪⎪⎨⎪=+++⎪=+++⎪⎩ 则121,,,,r r ββββ+线性 相关.5. 设A 是n 阶矩阵,秩A r =,非齐次线性方程组Ax β=有解,则Ax β=的解向量组的秩为1n r -+.6. 设a 、b 均为实数,二次型222212122311(,,,)()()()()n n n n f x x x ax bx ax bx ax bx ax bx -=++++++++a 、b 满足条件1(1)0n n n a b ++-≠时,f 为正定二次型.7. 设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间,其中21000000A ωω⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中132i ω-+=,则V 的一组基是2,,E A A .8. 设V 是数域P 上的一维线性空间,写出V 上的所有线性变换 ： 取定V 的一个非零向量α,则()V L α=的全部线性变换形如:()a f x a x αα,其中a 是P 中任一取定的数.9. 正交矩阵的实特征值为1±.10. 设G 为群,H 、N 分别是G 的子群, H 、N 的阶分别是m 、n ,且m 、n 互素,令H N α∈⋂,则元素α的阶为 1.二、(10分) 设(),()f x g x 是数域P 上的多项式,证明:在数域P 上,若33()|()f x g x ,则()|()f x g x .参考解答：若(),()f x g x 中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设()0f x ∂>,()0g x ∂>,且1212()()()()s r r r s g x ap x p x p x =是()g x 的标准分解式,其中12(),(),,()s p x p x p x 是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,12,,,s r r r 都是正整数.任取()f x 的一个不可约因式()q x ,由于()|()q x f x ,3()|()f x f x ,33()|()f x g x利用多项式整除的传递性,得3()|()q x g x .由于()q x 是不可约多项式,故()|()q x g x ,进一步可知,()()i q x cp x =, 对某个1i s ≤≤及c P ∈.于是我们可以设1212()()()()s t t t s f x bp x p x p x =,其中12,,,s t t t 是非负整数.从33()|()f x g x 知,存在多项式()[]h x P x ∈,使得33()()|()g x f x h x =,即1212333333331212()()()()()()()s s r t r r t t s s a p x p x p x b p x p x p x h x =.由此推出33i i r t ≥,即i i r t ≥,1,2,,i s =.因此1211221122121212()()()()()()()()()()()s s s s s t r t t t r t r t s s r t r t r t s g x a bp x p x p x p x p x p x ba f x p x p x p x b------=∙=∙由多项式整除的定义知,()|()f x g x .三、(15分) 设A 为n 级矩阵,且秩A =秩2A ,证明:对任意自然数k ,有秩kA =秩A . 参考解答：对k 作数学归纳法.当1,2k =时结论显然成立.假设1k -时结论成立,即rank A =rank 1k A-.令{|0}n i i V X P A X =∈=, 1,2,i=那么显然有123V V V ⊆⊆⊆.从rank A =rank 1k A-知dim 1V =n -rank A n =-rank 1k A-=dim 1k V -于是1V =1k V -.任取0k X V ∈,即00k A X =,亦即10()0k A A X -=,那么011k A X V V -∈=.于是200A X =.进一步有13200()0k k A X A A X --==,这表明01k X V -∈,从而1k k V V -⊆.因此,1k k V V -=.于是rank A n =-dim 1V =n -dim 1k V -=n -dim k V = rank kA .四、(15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.参考解答：充分性. 若12(,,,)n f x x x 的秩为1, 则可经非退化线性替换使2121(,,,)n f x x x ky =, 其中11122n n y a x a x a x =+++,故2121122(,,,)()n n n f x x x k a x a x a x =+++.若12(,,,)n f x x x 的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使2212121212(,,,)()()n f x x x y y y y y y =-=+-,其中12,y y 均为12,,,n x x x 的一次多项式, 即1112221122n n n ny a x a x a x y b x b x b x =+++=+++故12(,,,)n f x x x 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积.必要性. 设实二次型12(,,,)n f x x x 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积 1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++若两个一次多项式的系数成比例,即(1,2,,)i i b ka i n ==,不妨设10a ≠,令1112222n nn ny a x a x a x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩则2121(,,,)n f x x x ky =,即二次型12(,,,)n f x x x 的秩为1.若两个一次多项式系数不成比例,不妨设1212a ab b ≠,令 111222112233n n n nn ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则1212(,,,)n f x x x y y =.再令11221233n ny z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 则22121212(,,,)n f x x x y y z z ==-,故二次型12(,,,)n f x x x 的秩为2,符号差为零.五、(15分) 设1,,n εε是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,W 是V 的非平凡子空间, 1,,r αα是W 的一组基,证明:在1,,n εε中可以找到n r -个向量1,,n r i i εε-,使11,,,,,n r r i i ααεε-为V 的一组基.参考解答：因为W 是V 的非平凡子空间,故W V ≠.于是r n <.对n r -作数学归纳法.首先, 12,,,n εεε不能都在W 中.否则,W V =,出现矛盾.设1i ε是12,,,n εεε中不属于W 的一个向量,那么112,,,,r i αααε线性无关.令1112(,,,,)r i W L αααε=,则dim 11W r =+.由归纳假设,在12,,,n εεε中可以找到(1)n r -+个向量23,,,n r i i i εεε-使1212,,,,,,,n r r i i i αααεεε-是V 的一组基.六、(10分)设3阶矩阵A 满足2320A A E -+=,写出A 的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.参考解答： 因为2320A A E -+=,故2()32f x x x =-+是A 的一个零化多项式.设()m x 是A 的最小多项式,则()|()m x f x .由于()(1)(2)f x x x =--没有重根,故()m x 没有重根.因此A 可以对角化.从2320A A E -+=知,A 的特征根为1或2.于是A 的Jordan 标准型的可能形式为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 七、(10分)设V 是一个n 维欧氏空间,1,,n αα是V 的一个标准正交基, A 是V 的一个线性变换,()ij n n A a ⨯=是A 关于这个基的矩阵,证明: ji a =(A (i α),j α),,1,2,,i j n =.(其中( , )表示内积)参考解答：由所给条件知 (A 1α, A 2α,, A n α)=(1α,2α,,n α)A. 于是A i α=(1α,2α,,n α)121122i i i i ni n ni a a a a a a ααα⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭.注意1α,2α,,n α为V 的一组标准正交基,故11221122((),)(,)(,)(,)(,)(,)i j i i ni n j i j i j ni n j ji j j jiA a a a a a a a a αααααααααααααα=+++=+++==八、(25分) 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,()f x 是A 的最小多项式,在[]P x 中,12()()()f x f x f x =,1()f x 、2()f x 均为首项系数为1的多项式,且1()f x 与2()f x 互素,令11{|V V f α=∈(A )(α)0=}, 22{|V V f α=∈(A )(α)0=}.证明:(1) (5分) 1V 和2V 都是A 的不变子空间； (2) (10分)12V V V =⊕；(3) (10分) A 1|V 的最小多项式是1()f x , A 2|V 的最小多项式是2()f x .参考解答：(1) 注意1f (A ), 2f (A )都是A 的多项式,故A 1f (A )=1f (A )A , A 2f (A )=2f (A )A.任取1V α∈,则1f (A )(α)=0.由于1f (A )(A (α))=(1f (A )A )(α)=(A 1f (A ))(α)= A (1f (A )(α))= A (0)=0.故A (α)1V ∈.由不变子空间的定义知,1V 是A 的不变子空间.类似地可证,2V 也是A 的不变子空间.(2) 因为1()f x 与2()f x 互素,存在(),()[]u x v x P x ∈使得12()()()()1u x f x v x f x +=.将x =A 代入上式,得u (A )1f (A )+v (A )2f (A )=ε (ε为恒等变换). (*) 任取V α∈,则()u αεα==(A )1f (A )(α)+v (A )2f (A )(α). (**) 由于()f x 是A 的最小多项式,故f (A )=1f (A )2f (A )=0.于是2f (A )(u (A )1f (A )(α))=(u (A )1f (A )2f (A ))(α)=u (A )(f (A )(α))=u (A )(0)=0类似地, 1f (A )(v (A )2f (A )(α))=0.因此u (A )1f (A )(α)2V ∈，v (A )2f (A )(α)1V ∈.于是从(**)知12V V V ⊆+.注意12,V V 都是V 的子空间,故12V V V =+.设12V V β∈⋂,则1f (A )(β)=0, 2f (A )(β)=0.由(*)知()βεβ==(u (A )1f (A ))(β)+(v (A )2f (A ))(β)=0,故12{0}V V ⋂=.因此12V V V =⊕.(3) 由于对任1V α∈,有1f (A )(α)0=,故1f (A )作为1V 上的线性变换是零变换,即1f (A )1|V 0=,亦即1()f x 是A 1|V 的零化多项式.设1()g x 是A 1|V 的最小多项式,则11()|()g x f x ,从而有 11()()g x f x ∂≤∂.类似地,设2()g x 是A 2|V 的最小多项式,则22()|()g x f x ,且22()()g x f x ∂≤∂. 取12()()()g x g x g x =,那么()|()g x f x ,故()()g x f x ∂≤∂. 任V γ∈,由(2)知12V V V =⊕,可设12γγγ=+,i i V γ∈.于是g (A )(γ)=1g (A )2g (A )(1γ)+ 1g (A )2g (A )(2γ)=2g (A )1g (A )(1γ)+1g (A )2g (A )(2γ)=000+=这表明()g x 是A 的零化多项式,故()|()f x g x .从而有()()f x g x ∂≤∂.于是12()()()()f x g x g x g x ∂=∂=∂+∂.从12()()()f x f x f x ∂=∂+∂, 11()()g x f x ∂≤∂, 22()()g x f x ∂≤∂知()()i i g x f x ∂≤∂.由于()i g x 是最高次项系数为1的多项式,且()|()i i g x f x 知()()i i g x f x =.九、(10分) 设R 是有1的交换环,P 是R 的素理想,12,,,n I I I 是R 的极大理想,如果P 包含12,,,n I I I 的交集,证明P 必为极大理想.参考解答：已知12n P I I I ⊇⋂⋂⋂. 现在我们证明:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.反证法:假设对任1i n ≤≤,P 都不包含i I ,则存在i i a I ∈,i a P ∉.由于j I 为理想,故12n j a a a I ∈, 1,2,,j n =.从而有1212n n a a a I I I P ∈⋂⋂⋂⊆.从12n a a a P ∈及P 是R 的素理想知, 12,,,n a a a 中至少有一个属于P ,这与i a P ∉,1,2,,i n =矛盾.这就证明了:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.而i I 是极大理想,故i P I =或P R =. 但P 是素理想,P R ≠,故i P I =. 因此P 为极大理想.。

试题1（北京大学高等代数(I)期末考试题）一、（本题共40分）给定有理数域Q 上的多项式42()3 3.f x x x =++1．（本题5分）证明()f x 为Q 中的不可约多项式.2．（本题5分）设α是()f x 在复数域C 内的一个根，定义[]{}2012.Q a a a a αα=++证明：对于任意的[]()g x Q x ∈，有[]()g Q αα∈；又对于任意的[],Q βγα∈，有[]Q βγα∈.3．（本题5分）接上题，证明：若[]Q βα∈，0β≠，则存在[]Q γα∈，使得1βγ=.4．（本题5分）找出()f x 的一个sturm 序列, 判断()f x 有几个实根.5．（本题5分）求下面三阶方阵在有理数域Q 上的最小多项式：0 031 000 13A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、（本题10分）在欧氏空间4R 内求下列齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间的正交补空间的一组标准正交基.三、（本题15分）给定数域P 上的多项式3()f x x px q =++.设()f x 在复数域C 内的三个根是123,,ααα.求P 上的首1三项式()F x ，它以222123,,ααα为三个根. 四、（本题15分）设σ是n 维酉空间V 内的一个Hermite 变换.1．（本题5分）证明i σε-可逆，这里i 为虚单位.2．（本题10分）证明1()()i i τσεσε-=-+为酉变换.五、（本题10分）设σ是n 维酉空间V 内的一个线性变换.如果σ的特征向量都是*σ的特征向量，证明σ是正规变换.六、（本题5分） 证明在n 维欧氏空间V 中两两夹钝角（即夹角大于2π）的向量不能多于1n +个.七、（本题5分）考察复数域上全体n 阶方阵所成的集合()n M C ，它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域R 上的线性空间.设M 为其子空间，且满足：（i ）若,A B M ∈，则,A B M ∈；（ii ）若,0A M A ∈≠ ，则A 可逆，且1A M -∈.1．证明：任给A M ∈，则()A aE a R =∈或A aE B =+，这里a R ∈，且2(,0)B b E b R b =∈<. 2．令{}2|,,0N A M A bE b R b =∈=∈<，证明N 是M 的子空间.。

2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____.4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____. 6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9T T Tααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.12已知1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA .三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+， 试证：123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷答案专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.5111,,,4444--2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.是3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____. ()1'A -4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____.1,03. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____.()(),,f f αβαβ=6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）【解】设()325f x x x =-，则B 的特征值为()()()14,16,212f f f =--=-=-.于是()()()4612288B =-⋅-⋅-=-.7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.(){}10|0x V x ψψ-=∈= 8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 是 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.【解】设λ是A 的特征值，α是其对应的特征向量，则,0A αλαα=≠，22A A αλαλα==，又由2A A =得到2A A ααλα==，所以2λαλα=.20,0,1λλλ-==.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.【解】略.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.【解】既然B 是秩为2，解空间的维数为2，又12,αα线性无关，所以12,αα是解空间的一个基，()()()()1121221111,1,2,3,,14,2,10,6.,3TTβααββαβββ===-=-- 再单位化，))1121,1,2,3,2,1,5,3.TTηαη===--12已知1122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求nA . 【解】（1） 求A 的特征值，2300,3E A λλλλλ-=-=⇒==.(2) 求A 的特征向量，当3λ=时，112α⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0λ=时，211α⎛⎫=⎪-⎝⎭.令()12,P αα=，则13000A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是11111130303300002323nn n n nn n A P P P P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.【证明】根据(),0γγ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+，试证123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.证明：()()123123011,,,,112111g g g f f f -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。

《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

2005年高数（二）答案（A 卷）一．填空题：(每空格5分，共40分)1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，2．21， 3．（1）0y =， （2）2x = 4．1,0-==b a ，5．（1）y x r 2-， （2）xy23.三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,每小题7分，共70分）1．解 ：令)1ln (ln 2+-=x x x y ， （3分）则xx x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432'-=-=x x x x y ，驻点为34,021==x x （2分）（法一） 46''-=x y ，04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分） 04)34(''>=y ， 275)34(-=y （极小值）. （7分）（5分）当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）3．解：（法一）利用莱布尼兹公式x e x x dxfd ]66[233++= （7分） （法二）xe x x xf )2()(2'+=， （3分）xe x x xf )24()(2''++=， x e x x x f)66()(2)3(++= （7分）4．解：)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e5．解：⎰+dx e x211＝=+-+⎰dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(212x e x C （7分）6. 解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 1102)12()2( （3分）＝2－⎰+1)12(dx e x x＝2－)13(-e +12x e =＝e e e -=-+-12233。

试卷1一、填空题（每小题2分，共10分）1、若二次型2221231213522x x x tx x x x +++-正定，则t 的取值范围是 。

2、在P[x]3中，由基1 + x ，x + x 2，x 2到基1，x ，x 2的过渡矩阵是 。

3、设3级矩阵A 有不变因子：1，λ，λ(λ-2)，则A 的若当标准形是 。

4、已知R 3中向量a =（1，－1，2）与向量β＝（2，－2，x ）正交，则x ＝______ 。

5、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换在某组基下的矩阵，则|A| = 。

二、判断题（每小题2分，共10分）1、每一个实对称矩阵都合同于对角矩阵………………………………………………（ ）2、设V 1，V 2都是线性空间V 的子空间，V 1∩V 2 ={0}，则V = V 1 ⊕ V 2………………（ ）3、若A 可逆，则AB 与BA 相似…………………………………………………………（ ）4、设A(λ)是n ⨯n 的λ-矩阵，|A(λ)|≠0，则A(λ)可逆………………………………（ ）5、欧氏空间基的度量矩阵是正定矩阵…………………………………………………（ ）三、选择题（每小题3分，共15分）1、设A ，B 是同阶正定矩阵，则（ ）也一定是正定矩阵。

（1）A + B ， （2）A - B ， （3）AB ， （4）kA （k ∈R ）2、线性变换A 有n 个不同特征值是A 可对角化的（ ）（1）充要条件，（2）充分条件，（3）必要条件，（4）既非充分也非必要条件3、在R 3⨯3中，矩阵（ ）合同于2001002001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

（1）100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（2）100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，（3）100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（4）100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭4、设A 是欧氏空间V 的线性变换，则满足条件（ ）时，A 是对称变换。