江苏专版2018年高考数学二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(六)(含解析)

6个解答题综合仿真练(四)1.如图，四棱锥P ­ABCD 中， 底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AC ，E 是PA 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求证：AF ⊥平面BDE .证明：(1)连结OE ，因为O 为菱形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PA 的中点，所以OE ∥PC .又因为OE ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)因为PA ＝AC ，△PAC 是等腰三角形，又F 是PC 的中点，所以AF ⊥PC .又OE ∥PC ，所以AF ⊥OE .又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ⊥BD .因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AF ⊂平面PAC ，所以AF ⊥BD .因为OE ∩BD ＝O ，所以AF ⊥平面BDE .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2＋2ac ＝b 2，sin A ＝1010. (1)求sin C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由a 2＋c 2＋2ac ＝b 2， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－22， 又B ∈(0，π)，所以B ＝3π4. 因为sin A ＝1010，且B 为钝角，所以cos A ＝31010， 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋3π4＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋31010×22＝55.(2)由正弦定理得a sin A ＝csin C， 所以c ＝a sin C sin A ＝2×551010＝22， 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×22×22＝2. 3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，一个焦点为F (－1,0)，点F 到相应准线的距离为3.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．解：(1)由焦点F (－1,0)知c ＝1，又a 2c－c ＝3， 所以a 2＝4，从而b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，此时S 1＝S 2，|S 1－S 2|＝0； 若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2. 此时|S 1－S 2|＝12·AB ·||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2| ＝2|k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)|＝2|k ||(x 1＋x 2)＋2|＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k23＋4k 2＋2＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪63＋4k 2＝12|k |3＋4k 2. 因为k ≠0，所以|S 1－S 2|＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝1243＝3， 当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±32时取等号． 所以|S 1－S2|的最大值为 3.4.如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M ，N 在线段DE (含端点)上，且点M在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6米，AE ＝6米，AP ＝2米，∠MPN ＝π4.记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．(1)求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；⎝⎛⎭⎪⎫参考数据：tan 54≈3 (2)求S 的最小值．解：(1)法一：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得PM sin ∠PEM ＝PE sin ∠PME， 所以PM ＝PE ·sin∠PEM sin ∠PME ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝4sin θ＋cos θ， 在△PNE 中，由正弦定理得PN sin ∠PEN ＝PE sin ∠PNE， 所以PN ＝PE ·sin∠PEN sin ∠PNE ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝22cos θ， 所以△PMN 的面积S ＝12PM ·PN ·sin ∠MPN ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54. 法二：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得ME sin θ＝PE sin ∠PME， 所以ME ＝PE ·sin θsin ∠PME ＝4sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝42sin θsin θ＋cos θ， 在△PNE 中，由正弦定理得NE sin ∠EPN ＝PE sin ∠PNE， 所以NE ＝PE ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos θ ＝22θ＋cos θcos θ， 所以MN ＝NE －ME ＝22cos 2θ＋sin θcos θ， 又点P 到DE 的距离为d ＝4sin π4＝22， 所以△PMN 的面积S ＝12MN ·d ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54， 所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54. (2)当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54时，S 取得最小值为82＋1＝8(2－1). 所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2－1)平方米．5．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －a .(1)当a ＝e 时，求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的最小值；(3)指出函数f (x )的零点个数，并说明理由．解：(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x ＋x 2－x －e ，f ′(x )＝e x＋2x －1.设g (x )＝e x ＋2x －1，则g (0)＝0，且g ′(x )＝e x ＋2>0.所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当x >0时，g (x )>g (0)＝0；当x <0时，g (x )<g (0)＝0.即当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.综上，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．(2)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x ，①当a >1时，若x >0，则a x >1，ln a >0，所以f ′(x )>0，若x <0，则a x <1，ln a >0，所以f ′(x )<0.②当0<a <1时，若x >0，则a x <1，ln a <0，所以f ′(x )>0，若x <0，则a x >1，ln a <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增．所以f (x )min ＝f (0)＝1－a .(3)由(2)得，a >0，a ≠1，f (x )min ＝1－a .①若1－a >0，即0<a <1时，f (x )min ＝1－a >0，函数f (x )不存在零点．②若1－a <0，即a >1时，f (x )min ＝1－a <0. f (x )的图象在定义域内是不间断的曲线，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．f (a )＝a a ＋a 2－a ln a －a >a 2－a ln a －a ＝a (a －ln a －1)．令t (a )＝a －ln a －1(a >1)，t ′(a )＝1－1a>0，所以t (a )在(1，＋∞)上单调递增； 所以t (a )>t (1)＝0.所以f (a )>0.故f (x )在(0，a )上有一个零点．又f (－a )＝a －a ＋a 2＋a ln a －a >a 2－a ＝a (a －1)>0，故f (x )在(－a,0)上有一个零点．所以f (x )在(－∞，0)上和(0，＋∞)上各有一个零点，即f (x )有2个零点．综上，当0<a <1时，函数f (x )不存在零点；当a >1时，函数f (x )有2个零点．6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －(－1)n ，n ∈N *.设an 1，an 2，…，an i (其中n 1<n 2<…<n i ，i ∈N *)成等差数列．(1)若i ＝3.①当n 1，n 2，n 3为连续正整数时，求n 1的值；②当n1＝1时，求证：n3－n2为定值；(2)求i的最大值．解：(1)①依题意，an1，an1＋1，an1＋2成等差数列，即2an1＋1＝an1＋an1＋2，从而2[2n1＋1－(－1)n1＋1]＝2n1－(－1)n1＋2n1＋2－(－1)n1＋2，当n1为奇数时，解得2n1＝－4，不存在这样的正整数n1；当n1为偶数时，解得2n1＝4，所以n1＝2.②证明：依题意，a1，an2，an3成等差数列，即2an2＝a1＋an3，从而2[2n2－(－1)n2]＝3＋2n3－(－1)n3，当n2，n3均为奇数时，2n2－2n3－1＝1，左边为偶数，故矛盾；当n2，n3均为偶数时，2n2－1－2n3－2＝1，左边为偶数，故矛盾；当n2为偶数，n3奇数时，2n2－2n3－1＝3，左边为偶数，故矛盾；当n2为奇数，n3偶数时，2n2＋1－2n3＝0，即n3－n2＝1.(2)设a s，a r，a t(s<r<t)成等差数列，则2a r＝a s＋a t，即2[2r－(－1)r]＝2s－(－1)s＋2t－(－1)t，整理得，2s＋2t－2r＋1＝(－1)s＋(－1)t－2(－1)r，若t＝r＋1，则2s＝(－1)s－3(－1)r，因为2s≥2，所以(－1)s－3(－1)r只能为2或4，所以s只能为1或2；若t≥r＋2，则2s＋2t－2r＋1≥2s＋2r＋2－2r＋1≥2＋24－23＝10，(－1)s＋(－1)t－2(－1)r≤4，故矛盾，综上，只能a1，a r，a r＋1成等差数列或a2，a r，a r＋1成等差数列，其中r为奇数，从而i的最大值为3.。

6个解答题综合仿真练(五)1.如图,在四面体ABCD 中,AD ＝BD ,∠ABC ＝90°,点E ,F 分别为棱AB ,AC 上的点,点G 为棱AD 的中点,且平面EFG ∥平面BCD .求证：(1)EF ＝12BC ； (2)平面EFD ⊥平面ABC .证明：(1)因为平面EFG ∥平面BCD,平面ABD ∩平面EFG ＝EG ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,所以EG ∥BD .又G 为AD 的中点,故E 为AB 的中点．同理可得,F 为AC 的中点,所以EF ＝12BC . (2)因为AD ＝BD ,由(1)知,E 为AB 的中点,所以AB ⊥DE .又∠ABC ＝90°,即AB ⊥BC ,由(1)知,EF ∥BC ,所以AB ⊥EF ,又DE ∩EF ＝E ,DE ⊂平面EFD ,EF ⊂平面EFD ,所以AB ⊥平面EFD ,又AB ⊂平面ABC ,故平面EFD ⊥平面ABC .2．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且sin(2A ＋B )＝sin C －sin B .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2,求AB ―→·AC ―→的最大值．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π,所以A ＋B ＝π－C ,B ＝π－C －A ,所以sin(2A ＋B )＝sin(π－C ＋A )＝sin(C －A ),sin B ＝sin(C ＋A ),由sin(2A ＋B )＝sin C －sin B ,得sin(C －A )＋sin B ＝sin C ,所以sin(C －A )＋sin(C ＋A )＝sin C ,即sin C cos A －cos C sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝sin C ,所以2sin C cos A ＝sin C .在△ABC 中,sin C ≠0,所以cos A ＝12. 因为A ∈(0,π),所以A ＝π3. (2)在△ABC 中,由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,由(1)知A ＝π3,又a ＝2, 所以22＝b 2＋c 2－2bc ·12, 即4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ,当且仅当b ＝c ＝2时,bc 有最大值4.所以AB ―→·AC ―→＝bc cos A ≤2,此时a ＝b ＝c ＝2,所以AB ―→·AC ―→的最大值是2.3.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的焦点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ,Q 两点,T 为弦PQ 的中点,M (－1,0),N (1,0),记直线TM ,TN 的斜率分别为k 1,k 2,当2m 2－2k 2＝1时,求k 1·k 2的值．解：(1)因为0<b <2,所以椭圆E 的焦点在x 轴上,又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点,所以椭圆的半焦距c ＝b ,所以2b 2＝4,即b 2＝2,所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)法一：设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),T (x 0,y 0),联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m消去y ,得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0, 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2. 又2m 2－2k 2＝1,所以x 1＋x 2＝－2k m ,所以x 0＝－k m ,y 0＝m －k ·k m ＝12m, 则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·12m －k m －1＝14k 2－4m 2＝1－2(2m 2－2k 2)＝－12. 法二：设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),T (x 0,y 0),则⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差,得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0, 又x 1＋x 2＝2x 0,y 1＋y 2＝2y 0,∴x 0(x 1－x 2)2＋y 0(y 1－y 2)＝0, ∴x 02＋y 0(y 1－y 2)x 1－x 2＝0,又y 1－y 2x 1－x 2＝k , ∴x 0＋2ky 0＝0,①又T (x 0,y 0)在直线y ＝kx ＋m 上,∴y 0＝kx 0＋m ,②由①②可得x 0＝－2km1＋2k 2,y 0＝m1＋2k 2. 因为2m 2－2k 2＝1,所以x 0＝－k m ,y 0＝12m.则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·12m －k m －1＝14k 2－4m 2＝1－2(2m 2－2k 2)＝－12. 4．某城市有一直角梯形绿地ABCD ,其中∠ABC ＝∠BAD ＝90°,AD ＝DC ＝2 km,BC ＝1 km.现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ,将绿地分成面积相等的两部分．(1)如图①,若E 为CD 的中点,F 在边界AB 上,求灌溉水管EF 的长度；(2)如图②,若F 在边界AD 上,求灌溉水管EF 的最短长度．解：(1)因为AD ＝DC ＝2,BC ＝1,∠ABC ＝∠BAD ＝90°,所以AB ＝3,取AB 中点G ,连结EG ,则四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD＝S 梯形BCEG ＋S △EFG , 即12×12×3×(1＋2)＝12×32×⎝⎛⎭⎫1＋32＋12GF ×32,解得GF ＝36, 所以EF ＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫362＝213(km)． 故灌溉水管EF 的长度为213km. (2)连结AC ,设DE ＝a ,DF ＝b ,在△ABC 中,CA ＝12＋(3)2＝2, 所以在△ADC 中,AD ＝DC ＝CA ＝2,所以∠ADC ＝60°,所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12ab sin 60°＝34ab , 又S 梯形ABCD ＝332,所以34ab ＝334,即ab ＝3. 在△DEF 中,由余弦定理,得EF ＝a 2＋b 2－ab ≥ab＝3,当且仅当a ＝b ＝3时,取“＝”．故灌溉水管EF 的最短长度为 3 km.5．设f k (n )为关于n 的k (k ∈N)次多项式．数列{a n }的首项a 1＝1,前n 项和为S n .对于任意的正整数n ,a n ＋S n ＝f k (n )恒成立．(1)若k ＝0,求证：数列{a n }是等比数列；(2)试确定所有的自然数k ,使得数列{a n }能成等差数列．解：(1)证明：若k ＝0,则f k (n )即f 0(n )为常数,不妨设f 0(n )＝c (c 为常数)． 因为a n ＋S n ＝f k (n )恒成立,所以a 1＋S 1＝c ,即c ＝2a 1＝2.所以a n ＋S n ＝2,①当n ≥2时,a n －1＋S n －1＝2,②①－②得2a n －a n －1＝0(n ≥2,n ∈N *)．若a n ＝0,则a n －1＝0,…,a 1＝0,与已知矛盾,所以a n ≠0(n ∈N *)．故数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列. (2)(ⅰ)若k ＝0,由(1)知,不符题意,舍去.(ⅱ)若k ＝1,设f 1(n )＝bn ＋c (b ≠0,b ,c 为常数),所以a n ＋S n ＝bn ＋c ,③当n ≥2时,a n －1＋S n －1＝b (n －1)＋c ,④③－④得2a n －a n －1＝b (n ≥2,n ∈N *)．要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有a n ＝b －d (常数),而a 1＝1,故{a n }只能是常数数列,通项公式为a n ＝1(n ∈N *),故当k ＝1时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n ＝1(n ∈N *),此时f 1(n )＝n ＋1.(ⅲ)若k ＝2,设f 2(n )＝an 2＋bn ＋c (a ≠0,a ,b ,c 是常数),所以a n ＋S n ＝an 2＋bn ＋c ,⑤当n ≥2时,a n －1＋S n －1＝a (n －1)2＋b (n －1)＋c ,⑥⑤－⑥得2a n －a n －1＝2an ＋b －a (n ≥2,n ∈N *)．要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有a n ＝2an ＋b －a －d ,且d ＝2a ,考虑到a 1＝1,所以a n ＝1＋(n －1)·2a ＝2an －2a ＋1(n ∈N *)．故当k ＝2时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n ＝2an －2a ＋1(n ∈N *),此时f 2(n )＝an 2＋(a ＋1)n ＋1－2a (a 为非零常数).(ⅳ)当k ≥3时,若数列{a n }能成等差数列,则a n ＋S n 的表达式中n 的最高次数为2,故k ≥3时,数列{a n }不能成等差数列．综上得,当且仅当k ＝1或2时,数列{a n }能成等差数列．6．已知λ∈R,函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )存在极值,求λ的取值范围；(3)若x ≥1时,f (x )≥0恒成立,求λ的最大值．解：(1)因为f ′(x )＝e x －e －λln x ,所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0,又f (1)＝0,所以切线方程为y ＝0.(2)g (x )＝e x －e －λln x (x >0),g ′(x )＝e x －λx .当λ≤0时,g ′(x )＞0恒成立,从而g (x )在(0,＋∞)上单调递增,故此时g (x )无极值.当λ＞0时,设h (x )＝e x －λx ,则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立, 所以h (x )在(0,＋∞)上单调递增.①当0＜λ＜e 时,h (1)＝e －λ＞0,h ⎝⎛⎭⎫λe ＝e λe －e ＜0,且h (x )是(0,＋∞)上的连续函数,因此存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫λe ，1,使得h (x 0)＝0.②当λ≥e 时,h (1)＝e －λ≤0,h (λ)＝e λ－1＞0,且h (x )是(0,＋∞)上的连续函数,因此存在唯一的x 0∈[1,λ),使得h (x 0)＝0.综上,当λ＞0时,存在唯一的x 0＞0,使得h (x 0)＝0.且当0＜x ＜x 0时,h (x )＜0,即g ′(x )＜0,当x ＞x 0时,h (x )＞0,即g ′(x )＞0, 所以g (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,＋∞)上单调递增,因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时,λ的取值范围是(0,＋∞)．(3)g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x (x >0),g ′(x )＝e x －λx .若g ′(x )≥0恒成立,则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1),则φ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0恒成立,所以φ(x )在[1,＋∞)上单调递增,从而φ(x )≥φ(1)＝e,即λ≤e. 于是当λ≤e 时,g (x )在[1,＋∞)上单调递增,此时g (x )≥g (1)＝0,即f ′(x )≥0,从而f (x )在[1,＋∞)上单调递增． 所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．当λ＞e 时,由(2)知,存在x 0∈(1,λ),使得g (x )在(0,x 0)上单调递减, 即f ′(x )在(0,x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时,f ′(x )＜f ′(1)＝0,于是f (x )在[1,x 0)上单调递减,所以f (x 0)＜f (1)＝0.这与x ≥1时,f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e,即λ的最大值为e.。

6个解答题综合仿真练(一)1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b ＝3，c ＝2. (1)若2a ·cos C ＝3，求a 的值；(2)若c b ＝cos C 1＋cos B ，求cos C 的值．解：(1)由余弦定理得，2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝3，将b ＝3，c ＝2代入，解得a ＝2. (2)由正弦定理，得sin C sin B ＝cos C1＋cos B ，即sin C ＋sin C cos B ＝sin B cos C ，则sin C ＝sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )． 因为0<C <B <π，所以0<B －C <π， 所以C ＝B －C ，则B ＝2C .由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝b2sin C cos C ，将b ＝3，c ＝2代入，解得cos C ＝34.2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)PA ∥平面BDE; (2)平面BDE ⊥平面PCD .证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点， 所以OE ∥PA .又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，求a ，b 的值； (2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB ―→＝12OC ―→，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆的离心率为23，所以a 2－b 2a ＝23，即b 2a 2＝59. ①又因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上，所以4a 2＋259b 2＝1. ②由①②解得a 2＝9，b 2＝5. 因为a >b >0，所以a ＝3，b ＝ 5.(2)法一：由(1)知，b 2a 2＝59，所以椭圆方程为x 2a 2＋9y 25a2＝1，即5x 2＋9y 2＝5a 2.设直线OC 的方程为x ＝my (m >0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 由{ x ＝my ，5x 2＋9y 2＝5a 2消去x ，得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2，所以y 2＝5a 25m 2＋9.因为y 2>0，所以y 2＝5a5m 2＋9. 因为AB ―→＝12OC ―→，所以AB ∥OC .可设直线AB 的方程为x ＝my －a .由{ x ＝my －a ，x 2＋9y 2＝5a 2消去x ，得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0，所以y ＝0或y ＝10am 5m 2＋9，得y 1＝10am5m 2＋9.因为AB ―→＝12OC ―→，所以(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，于是y 2＝2y 1，即5a5m 2＋9＝20am 5m 2＋9(m >0)，所以m ＝35.所以直线AB 的斜率为1m ＝533.法二：由(1)可知，椭圆方程为5x 2＋9y 2＝5a 2， 则A (－a ，0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由AB ―→＝12OC ―→，得(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，所以x 1＝12x 2－a ，y 1＝12y 2.因为点B ，C 都在椭圆5x 2＋9y 2＝5a 2上，所以⎩⎨⎧5x 22＋9y 22＝5a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－a 2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222＝5a 2.解得x 2＝a 4，y 2＝5a43，所以直线AB 的斜率k ＝y 2x 2＝533.4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为10.管理部门在A ，B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度I 成正比，与光源距离x 的平方成反比，即y ＝kIx2(k 为比例系数)．经测量，在弧AB 的中点C 处的照度为130.(C 处的照度为A ，B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P ，试问新增光源P 安装在什么位置？解：(1)因为半径OA 的长为10，点C 是弧AB 的中点， 所以OC ⊥AB ，AC ＝BC ＝10 2. 所以C 处的照度为y ＝4k 22＋9k 22＝130，解得比例系数k ＝2 000.(2)设点P 在半圆弧AB 上，且P 距光源A 为x ， 则PA ⊥PB ，由AB ＝20，得PB ＝400－x 2(0＜x ＜20)． 所以点P 处的照度为y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2(0＜x ＜20)．所以y ′＝－16 000x3＋36 000x－x 22 ＝4 000×9x 4－－x22x 3－x22＝20 000×x 2－x 2＋x 3－x22.由y ′＝0，解得x ＝410. 当0＜x ＜410时，y ′＜0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x2为减函数； 当410＜x ＜20时，y ′＞0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2为增函数．所以x ＝410时，y 取得极小值，也是最小值.所以新增光源P 安装在半圆弧AB 上且距A 为410(距B 为415)的位置． 5．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)法一：因为f ′(x )＝a －3－2x(x >0),当a ≤3时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a ＞3时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a －3上单调递减，由f ′(x )＞0，得x ＞2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3，＋∞上单调递增.因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以a ＞3且2a －3≤1，所以a ≥5, 所以实数a 的最小值为5.法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以f ′(x )＝a －3－2x≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥3＋2x在(1，＋∞)上恒成立，又当x ＞1时，3＋2x＜5,所以a ≥5，所以实数a 的最小值为5.(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]， 所以g ′(x )＝a －2x.①当a ≤2时，由于x ∈(0,1]，所以2x≥2，所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝0，所以对任意x ∈(0,1]，g (x )≥g (1)＝0， 即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;②当a ＞2时，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减；由g ′(x )＞0，得x ＞2a，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，1上单调递增．所以，存在2a∈(0,1)，使得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＜g (1)＝0，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围； (3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得a 1＝1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n －1，① 得S n －1＝2a n －1－1，② ①－②，得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)． 因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)由已知可得λ≤n n ＋2n －1，令f (n )＝n n ＋2n －1，则f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝52，f (5)＝158，下面研究f (n )＝n n ＋2n －1的单调性，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋n ＋2n－n n ＋2n －1＝n ＋－n2n，所以，当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0，f (n ＋1)＜f (n )， 即f (n )单调递减. 因为M 中有3个元素， 所以不等式λ≤n n ＋2n －1解的个数为3，所以2＜λ≤52，即λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.(3)设存在等差数列{b n }使得条件成立，则当n ＝1时，有a 1b 1＝22－1－2＝1，所以b 1＝1. 当n ＝2时，有a 1b 2＋a 2b 1＝23－2－2＝4，所以b 2＝2. 所以等差数列{b n }的公差d ＝1，所以b n ＝n . 设S ＝a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1，S ＝1·n ＋2(n －1)＋22(n －2)＋…＋2n －2·2＋2n －1·1，③所以2S ＝2·n ＋22(n －1)＋23(n －2)＋…＋2n －1·2＋2n·1，④④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋－2n1－2＝2n＋1－n－2，所以存在等差数列{b n}，且b n＝n满足题意．。

3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P为垂足．求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .证明：(1)因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .(2)由(1)知，△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝AC AB ， 即AC 2＝AP ·AB .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2. 因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切， 所以d ＝|2|1＋k 2＝1，得到k ＝±3， 故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.2.已知正六棱锥S -ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )． 解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有C 37＝35种取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ， 这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝635. (2)由题意，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个． 因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935， P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235. 所以随机变量X 的概率分布为：所求数学期望 E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. 3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n .(1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝⎛⎭⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1k (k ＋1)a k ＋12k ＞2.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n 1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1(n －1)n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n <34.由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34.。

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。

江苏新高考“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近二十年来的能力考查重点.江苏卷一直在坚持以建模为主.所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键.应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题年应用考题()是解不等式模型，年应用考题()可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，、年应用考题()都先构造函数，再利用导数求解、年应用考题是立体几何模型，年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解.[常考题型突破][例](·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥-，下部的形状是正四棱柱-(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．()若＝ ，＝ ，则仓库的容积是多少？()若正四棱锥的侧棱长为 ，则当为多少时，仓库的容积最大？ [解]()由＝知＝＝. 因为＝＝，所以正四棱锥-的体积锥＝··＝××＝()；正四棱柱-的体积柱＝·＝×＝()．所以仓库的容积＝锥＋柱＝＋＝()． ()设＝ ，＝ ， 则＜＜，＝.连结. 因为在△中， ＋＝，所以＋＝，即＝(－)．于是仓库的容积＝柱＋锥＝·＋·＝＝(－)，＜＜，从而′＝(－)＝(－)．令′＝，得＝或＝－(舍去)．当＜＜时，′＞，是单调增函数；当＜＜时，′＜，是单调减函数．故当＝时，取得极大值，也是最大值．因此，当＝时，仓库的容积最大．[方法归纳]解函数应用题的四步骤[变式训练]．(·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量(单位：百千克)与肥料费用(单位：百元)满足如下关系：＝－，且投入的肥料费用不超过百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)百元．已知这种水蜜桃的市场售价为元千克(即百元百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()(单位：百元)．()求利润函数()的函数关系式，并写出定义域；()当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：()()＝－－＝－－(≤≤)．()法一：()＝－－＝－≤－＝.当且仅当＝(＋)时，即＝时取等号．故()＝.答：当投入的肥料费用为元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是元.法二：′()＝－，由′()＝，得＝.故当∈()时，′()>，()在()上单调递增；当∈()时，′()<，()在()上单调递减．所以当＝时，()取得极大值，也是最大值，故()＝()＝.。

6个解答题综合仿真练(二)1．已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解：(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α. 由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75. 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925. (2)因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14. 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 2.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1)AM ∥平面PBC ； (2)CD ⊥PA .证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点，故AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以AM ∥BC .又BC ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM ∥平面PBC .(2)连结PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点， 所以CD ⊥PM ， 又AB ⊥BC ，所以平行四边形ABCM 是矩形，所以CD ⊥AM ， 又PM ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ， PM ∩MA ＝M ，所以CD ⊥平面PAM . 又PA ⊂平面PAM ，所以CD ⊥PA .3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . (1)求椭圆的标准方程；(2)过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c ＝1，又e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)－2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，又A (2，0)，所以k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2，由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－ 2 ]x 2＋[k (x 2－2)－ 2 ]x 1＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， 故k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间)，且∠MON ＝30°.(1)若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．解：(1)在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°. 在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277. 在△OMN 中，由MN sin 30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74.(2)法一：设AM ＝x,0＜x ＜3.在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9， 所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x 2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9.由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝3 3 x 2－3x ＋96－x. 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝12·x 2－3x ＋9·3 3 x 2－3x ＋96－x·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3.令6－x ＝t ，则x ＝6－t,3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334⎝⎛⎭⎫t －9＋27t ≥334·⎝⎛⎭⎫2t ·27t －9＝27(2－3) 4.当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4.所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)4km 2. 法二：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3，在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OAsin ∠OMA，得OM ＝332sin ()θ＋60°.在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA，得ON ＝332sin ()θ＋90°＝332cos θ.所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝12·332sin ()θ＋60°·332cos θ·12 ＝2716sin ()θ＋60°cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin 2θ＋43cos 2θ＋43＝278sin ()2θ＋60°＋43，0＜θ＜π3.当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，S △OMN 的最小值为27(2－3)4. 所以应设计∠AOM ＝15°，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)4 km 2.5．已知数列{a i }共有m (m ≥3)项，该数列前i 项和为S i ，记r i ＝2S i －S m (i ≤m ，i ∈N *). (1)当m ＝10时，若数列{a i }的通项公式为a i ＝2i ＋1，求数列{r i }的通项公式； (2)若数列{r i }的通项公式为r i ＝2i (i ≤m ，i ∈N *)， ①求数列{a i }的通项公式；②数列{a i }中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由．解：(1)因为S i ＝3＋(2i ＋1)2·i ＝i 2＋2i, 所以由题意得r i ＝2S i －S 10＝2i 2＋4i －120(i ≤10，i ∈N *). (2)①因为r i ＝2S i －S m ＝2i ， r i ＋1＝2S i ＋1－S m ＝2i ＋1，两式相减得a i ＋1＝2i －1，所以数列{a i }从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即a i ＝2i －2(2≤i ≤m ，i ∈N *)．又2a 1＝2＋S m ，即a 1＝2＋(a 2＋a 3＋…＋a m )＝2＋1－2m －11－2＝2m －1＋1.所以数列{a i }的通项公式为a i ＝{ 2m －1＋1，i ＝1，i －2，2≤i ≤m ，i ∈N *.②数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列，理由如下：因为数列{a i }从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为a p ，a q ，a r (2≤p <q <r ≤m ，p ，q ，r ∈N *)，则有2a q ＝a p ＋a r ，即2·2q －2＝2p －2＋2r－2,2q －p ＋1＝1＋2r －p .因为q －p ＋1∈N *，r －p ∈N *，所以上式左边为偶数，右边为奇数，此时无解． 所以数列{a i }从第2项至第m 项中不可能存在三项构成等差数列，所以若数列{a i }中存在三项构成等差数列，则只能是a 1和第2项至第m 项中的两项，不妨设为a p ，a q (2≤p <q ≤m ，p ∈N *，q ∈N *)．因为0<a p <a q ≤a m <a 1.所以a p ，a q ，a 1若构成等差数列，只能是a q 为等差中项， 故有2·2q －2＝2p －2＋(2m －1＋1)，因为左边＝2q －1≤2m －1，右边>2m －1，所以该情况下也无解．因此，数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列．6．设函数f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求b 的值；(2)当a ≤12时，求函数f (x )的单调区间；(3)若存在x ≥1使得f (x )<2aa －1成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax＋2(1－a )x －b ， 由题设知f ′(1)＝2a ＋2(1－a )－b ＝0，解得b ＝2. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－2x ，f ′(x )＝2(1－a )(x －1)⎝⎛⎭⎫x －a1－a x .由f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a1－a .因为a ≤12，所以1－a >0，a 1－a ≤1.①当a1－a≤0，即a ≤0时， x ∈(0,1]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ②当0<a 1－a<1，即0<a <12时，x ∈⎝⎛⎦⎤0，a1－a 时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎦⎤a1－a ，1时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a 1－a＝1，即a ＝12时，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间为[1，＋∞)； 当0<a <12时，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤a 1－a ，1，单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，a 1－a ，[1，＋∞)；当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.(3)①若a ≤12，由(2)知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f (1)<2aa －1，即－a －1<2aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <2aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝2a ln a 1－a ＋a 21－a ＋2a a －1>2aa －1，所以不符合题意．③若a ＞1，因为存在x ＝1，即f (1)＝－a －1<2a a －1成立．所以a ＞1适合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。

6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD为矩形，EA ⊥EB ，点M ，N 分别是AE ，CD 的中点．求证：(1)MN ∥平面EBC ； (2)EA ⊥平面EBC .证明：(1)取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点， 所以MF 綊12AB .又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以NC 綊12AB ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN ∥CF . 又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ， 所以MN ∥平面EBC .(2)在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EAB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB .又EA ⊂平面EAB ，所以BC ⊥EA .又EA ⊥EB ，BC ∩EB ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以EA ⊥平面EBC . 2．△ABC 中，AB ―→·AC ―→＝27S △ABC (S △ABC 表示△ABC 的面积)．(1)若BC ＝2，求△ABC 外接圆的半径； (2)若B －C ＝π4，求sin B 的值．解：(1)因为AB ―→·AC ―→＝27S △ABC ，所以AB ·AC ·cos A ＝27·12AB ·AC ·sin A ，即cos A ＝17sin A ，又因为cos 2A ＋sin 2A ＝1，A ∈(0，π)， 解得sin A ＝7210，cos A ＝210. 设△ABC 外接圆的半径为R ， 则2R ＝BC sin A ＝27210＝1027，所以R ＝527，即△ABC 外接圆的半径为527. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝7210， cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ＝－210， 则cos 2B ＝cos[(B ＋C )＋(B －C )] ＝cos ⎣⎡⎦⎤(B ＋C )＋π4 ＝cos(B ＋C )cos π4－sin(B ＋C )sin π4＝－210×22－7210×22＝－45. 又cos 2B ＝1－2sin 2B ，所以sin 2B ＝1－cos 2B2＝1＋452＝910，又因为B ∈(0，π)， 所以sin B ＞0，所以sin B ＝31010. 3．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A ，E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B ，D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离H ＝6米，圆弧的弓高h ＝1米，圆弧所对的弦长BD ＝10米．(1)求BCD 所在圆的半径； (2)求桥底AE 的长.解：(1)设BCD 所在圆的半径为r (r >0)， 由题意得r 2＝52＋(r －1)2，∴r ＝13. 答：BCD 所在圆的半径为13米．(2)以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵H ＝6米，BD ＝10米，弓高h ＝1米，∴B (－5,5)，D (5,5)，C (0,6)，设BCD 所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (6－b )2＝r 2，52＋(5－b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，r ＝13.∴BCD 的方程为x 2＋(y ＋7)2＝169(5≤y ≤6)． 设曲线AB 所在抛物线的方程为y ＝a (x －m )2， ∵点B (－5,5)在曲线AB 上， ∴5＝a (5＋m )2，①又BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且BCD 在点B 处的切线的斜率为512，由y ＝a (x －m )2，得y ′＝2a (x －m )， ∴2a (－5－m )＝512， ∴2a (5＋m )＝－512，② 由①②得m ＝－29， ∴A (－29,0)，E (29,0).∴桥底AE ＝29－(－29)＝58米． 答：桥底AE 的长58米．4.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－2,0)，且点⎝⎛⎭⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标； (3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0， ∴点C 在x 轴下方，若F 1C ＝F 2C ，则C (0，－3)；若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C (0，－3)；若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C (0，－3)， ∴C (0，－3)．∴直线BC 的方程y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 24＋y 23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－3或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝335.∴B ⎝⎛⎭⎫85，335. (3)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k 2，∴x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2. 若k ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫1，32， ∴C ⎝⎛⎭⎫1，－32， ∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34，∴F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k2，kCF 1＝－1k ， ∴直线BF 2的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)， 直线CF 1的方程为y ＝－1k (x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝4k1－4k 2(x －1)，y ＝－1k (x ＋1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k .∴C (8k 2－1，－8k )．由点C 在椭圆上，得(8k 2－1)24＋(－8k )23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124，∵k >0，∴k ＝612. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4－a n . (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求通项公式a n ； (2)是否存在自然数c 和k ，使得a k ＋1S k －c＞1成立？若存在，请求出c 和k 的值； 若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＋a 1＝4，得a 1＝2, 由S n ＝4－a n ，① 得S n ＋1＝4－a n ＋1，②②－①得，S n ＋1－S n ＝a n －a n ＋1，即a n ＋1＝12a n,所以a n ＋1a n ＝12，且a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，且a n ＝12n －2.(2)法一：因为a n ＝12n －2，所以a k ＋1＝12k －1，S k ＝4⎝⎛⎭⎫1－12k ， 要使a k ＋1S k －c ＝24(2k －1)－c ·2k >1成立，只要使(c －4)2k ＋6(c －4)2k ＋4<0(*)成立，当c ≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据S k ＝4⎝⎛⎭⎫1－12k >c ，且2≤S k ＜4，所以c 的可能取值为0,1,2,3) 当c ＝0时，1<2k <32，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝1时，43<2k <2，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝2时，2<2k <3，不存在自然数k 使(*)成立； 当c ＝3时，4<2k <6，不存在自然数k 使(*)成立． 综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c>1成立.法二：要使a k ＋1S k －c ＞1，只要S k ＋1－cS k －c>2，即只要c －⎝⎛⎭⎫32S k －2c －S k<0，因为S k ＝4⎝⎛⎭⎫1－12k <4， 所以S k －⎝⎛⎭⎫32S k －2＝2－12S k >0， 故只要32S k －2＜c ＜S k .①因为S k ＋1＞S k ， 所以32S k －2≥32S 1－2＝1.又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c ＝2时，因为S 1＝2，所以当k ＝1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 当k ≥2时，因为32S 2－2＝52>c ，由S k ＜S k ＋1，得32S k －2＜32S k ＋1－2，故当k ≥2时，32S k －2＞c ，从而①不成立.当c ＝3时，因为S 1＝2，S 2＝3，所以当k ＝1，k ＝2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 因为32S 3－2＝134>c ，又32S k －2＜32S k ＋1－2，所以当k ≥3时，32S k －2＞c ，从而①不成立.综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c>1成立． 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1，g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1. (1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2，函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4. ①若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； ②若x 1＝x 3＜x 2，m ，n ，p ∈(－∞，x 1)，f ′(m )g (n )＝f ′(n )g (p )＝f ′(p )g (m )，求证：m ＝n ＝p . 解：(1)因为f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立， 所以ax 2≥a 2x 2对任意实数x 恒成立， 所以a 2－a ≤0，解得0≤a ≤1.又由题意可得a ≠0，所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)①因为函数g (x )的图象开口向上，且其零点为x 3，x 4， 故g (x )＜0，得x 3<x <x 4.因为x 1，x 2是f (x )的两个不同零点， 故f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为x 3＜x 1＜x 4，故g (x 1)＜0＝f (x 1)， 于是(a 2－a )x 21＜0.注意到x 1≠0，故a 2－a ＜0. 因为g (x 2)－f (x 2)＝(a 2－a )x 22＜0， 故g (x 2)＜f (x 2)＝0，从而x 3<x 2<x 4， 于是x 3＜x 2＜x 4.②证明：记x 1＝x 3＝t ，故f (t )＝at 2＋bt ＋1＝0，g (t )＝a 2t 2＋bt ＋1＝0，于是(a －a 2)t 2＝0. 因为a ≠0，且t ≠0，故a ＝1. 所以f (x )＝g (x )且函数图象开口向上.所以当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递减，f ′(x )单调递增且f ′(x )＜0，g (x )单调递减且g (x )＞0.若m ＞n ，则f ′(n )<f ′(m )＜0，于是1g (n )＞1g (p )＞0，从而g (p )＞g (n )＞0，故n ＞p .同上，当n ＞p 时，可推得p ＞m .所以p ＞m ＞n ＞p ，矛盾．所以m ＞n 不成立. 同理，n ＞m 亦不成立． 所以m ＝n .同理，n ＝p . 所以m ＝n ＝p .。

6个解答题综合仿真练(二)1．已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 解：(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75.所以sin α＝α＋sin α－α－sin α2＝35， 从而t ＝sin 2α＝925.(2)因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.2.如图，四棱锥P ­ABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1)AM ∥平面PBC ； (2)CD ⊥PA .证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点，故AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以AM ∥BC.又BC ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ， 所以AM ∥平面PBC .(2)连结PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点， 所以CD ⊥PM ， 又AB ⊥BC ，所以平行四边形ABCM 是矩形，所以CD ⊥AM ， 又PM ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PM ∩MA ＝M ，所以CD ⊥平面PAM .又PA ⊂平面PAM ，所以CD ⊥PA .3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . (1)求椭圆的标准方程；(2)过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c ＝1，又e ＝c a ＝22， 则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)－2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k x －2－2，x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1， 又A (2，0)，所以k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋2，由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－ 2 ]x 2＋[k (x 2－2)－ 2 ]x 1＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1，故k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋2＝－4k 2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1， 所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间)，且∠MON ＝30°.(1)若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．解：(1)在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°. 在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277.在△OMN 中，由MN sin 30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74.(2)法一：设AM ＝x,0＜x ＜3.在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9， 所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9， 在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9. 由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA ，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝3 3 x 2－3x ＋96－x. 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin∠MON＝12·x 2－3x ＋9·3 3 x 2－3x ＋96－x ·12 ＝33x 2－3x ＋－x，0＜x ＜3.令6－x ＝t ，则x ＝6－t,3＜t ＜6， 则S △OMN＝33t 2－9t ＋4t＝334⎝ ⎛⎭⎪⎫t －9＋27t ≥334·⎝⎛⎭⎪⎫2t ·27t －9＝－3 4.当且仅当t ＝27t，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为－3 4.所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是－3 4km 2.法二：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3，在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OAsin ∠OMA ，得OM ＝332sin ()θ＋60°.在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA ，得ON ＝332sin ()θ＋90°＝332cos θ.所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin∠MON＝12·332sin ()θ＋60°·332cos θ·12 ＝2716sin ()θ＋60°cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin 2θ＋43cos 2θ＋43＝278sin ()2θ＋60°＋43，0＜θ＜π3.当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，S △OMN 的最小值为－34.所以应设计∠AOM ＝15°，可使△OMN 的面积最小，最小面积是－3 4km 2.5．已知数列{a i }共有m (m ≥3)项，该数列前i 项和为S i ，记r i ＝2S i －S m (i ≤m ，i ∈N *). (1)当m ＝10时，若数列{a i }的通项公式为a i ＝2i ＋1，求数列{r i }的通项公式； (2)若数列{r i }的通项公式为r i ＝2i(i ≤m ，i ∈N *)， ①求数列{a i }的通项公式；②数列{a i }中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由．解：(1)因为S i ＝3＋i ＋2·i ＝i 2＋2i,所以由题意得r i ＝2S i －S 10＝2i 2＋4i －120(i ≤10，i ∈N *). (2)①因为r i ＝2S i －S m ＝2i，r i ＋1＝2S i ＋1－S m ＝2i ＋1，两式相减得a i ＋1＝2i －1，所以数列{a i }从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即a i ＝2i －2(2≤i ≤m ，i ∈N *)．又2a 1＝2＋S m ，即a 1＝2＋(a 2＋a 3＋…＋a m )＝2＋1－2m －11－2＝2m －1＋1.所以数列{a i }的通项公式为a i ＝{ 2m －1＋1，i ＝1，i －2，2≤i ≤m ，i ∈N *.②数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列，理由如下：因为数列{a i }从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为a p ，a q ，a r (2≤p <q <r ≤m ，p ，q ，r ∈N *)，则有2a q ＝a p ＋a r ，即2·2q －2＝2p －2＋2r －2,2q －p ＋1＝1＋2r －p.因为q －p ＋1∈N *，r －p ∈N *，所以上式左边为偶数，右边为奇数，此时无解． 所以数列{a i }从第2项至第m 项中不可能存在三项构成等差数列，所以若数列{a i }中存在三项构成等差数列，则只能是a 1和第2项至第m 项中的两项，不妨设为a p ，a q (2≤p <q ≤m ，p ∈N *，q ∈N *)．因为0<a p <a q ≤a m <a 1.所以a p ，a q ，a 1若构成等差数列，只能是a q 为等差中项， 故有2·2q －2＝2p －2＋(2m －1＋1)，因为左边＝2q －1≤2m －1，右边>2m －1，所以该情况下也无解．因此，数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列．6．设函数f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求b 的值；(2)当a ≤12时，求函数f (x )的单调区间；(3)若存在x ≥1使得f (x )<2aa －1成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax＋2(1－a )x －b ，由题设知f ′(1)＝2a ＋2(1－a )－b ＝0，解得b ＝2. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－2x ，f ′(x )＝－ax －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a x.由f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a1－a . 因为a ≤12，所以1－a >0，a1－a ≤1.①当a1－a≤0，即a ≤0时， x ∈(0,1]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ②当0<a 1－a <1，即0<a <12时，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，a 1－a 时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1－a ，1时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减；x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a 1－a ＝1，即a ＝12时，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间为[1，＋∞)；当0<a <12时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1－a ，1，单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 1－a ，[1，＋∞)； 当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.(3)①若a ≤12，由(2)知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f (1)<2a a －1， 即－a －1<2aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增．所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <2a a －1.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝2a ln a 1－a ＋a 21－a ＋2a a －1>2a a －1，所以不符合题意．③若a ＞1，因为存在x ＝1，即f (1)＝－a －1<2aa －1成立．所以a ＞1适合题意． 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。

3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P为垂足．求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .证明：(1)因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .(2)由(1)知，△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝AC AB ， 即AC 2＝AP ·AB .B ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2. 因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切， 所以d ＝|2|1＋k 2＝1，得到k ＝±3， 故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.2.已知正六棱锥S -ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )． 解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有C 37＝35种取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ， 这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝635. (2)由题意，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个． 因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935， P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235. 所以随机变量X 的概率分布为：所求数学期望 E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. 3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n .(1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝⎛⎭⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1k (k ＋1)a k ＋12k ＞2.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1， 故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1(n －1)n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n <34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34.。