7.1不等式及其基本性质不等式的性质应用举例素材

例谈不等式性质的综合运用不等式是初中数学中的重点内容之一，灵活应用它的相关性质解答问题，是我们必须具备的一项能力，也是进一步学习其它知识的基础，下面举例说明，供同学们参考．一、 巧用不等式意义深化理解例1 已知ax 2-a >3(x-1)是一元一次不等式，求a 的值．析解：由一元一次不等式的定义可知，指数2-a=1,解得a=1∴当a=1时是一元一次不等式例2 已知a >b ，则下列不等式不成立的是（ ）A 、c ＋a >b ＋cB 、－1－3a <－1－3bC 、b －a <0D 、a×c 2>b×c 2析解：∵a >b ，由不等式性质1可知A 正确；由性质3得，－3a <－3b 成立，再由性质1 ∴－1－3a <－1－3b ，B 正确；有性质1得0>b －a 即b －a <0；由c 2可能等于0，因此可能有a×c 2 =b×c 2∴D 不正确二、 活用不等式性质巩固深化例3 已知a =x +2，b =x -1,且a >3>b ，则x 的取值范围是 ( )A ．x >1B ．x <4C ．x >1或x <4D ．1<x <4析解：利用转化的数学思想， 将已知转化为不等式组 x+2>3x -1<3解得：1<x<4 故选D例4. 如果不等式()22m x m ->-的解集为1x <，那么正确的是( )A ．2m ≠B ．2m >C ．2m <D ．m 为任意有理数析解：根据已知解集，结合不等式性质3，可知m －2<0, ∴m<2选C 三、 数形结合形象识别例5 不等式3(x －1)+4≥2x 的解集在数轴上表示为______．A ：B ：C ：D ：析解：解不等式得x ≥-1,把不等式的解集标在数轴上，形象直观理解不等式的解的取值范围，注意圆圈和实点的区别．选A四、妙用不等式解集便于掌握例6、下列说法中错误的是 （ ）（A ）2x >-6的解集是x>-3（B ） -8是2x<-8的一个解（C ）x <5的整数解有无数个（D ）x <3的正数解只有两个析解：本题对不等式的解、解集、整数解、正数解巧妙设置，拓广了思维空间．要正确区别上述几个概念含义，由题意可知D选项错误．五、联系实际情景，深化不等式性质应用例7 设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大．．．．的顺序排列为（）A、○□△B、○△□C、□○△D、△□○析解：把不等式和等式的关系用天平的倾斜与平衡，形象直观的表示低的一边为重（即大），贴近生活实际，体现了数学Array来源于生活的新理念．由第一个天平可知2○＞○+□即○＞□，由第二个天平可知3△=△+□，即□=2△，∴□>△；因此△<□<○∴应选D．。

不等式的基本性质与解法总结不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式，它描述了两个数或者数值表达式之间大小关系的不同情况。

在解决实际问题中，我们经常会遇到需要研究不等式的性质并解决不等式的问题。

本文将总结不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、不等式的基本性质1. 加法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a+c<b+c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a+c>b+c仍然成立。

2. 减法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a-c<b-c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a-c>b-c仍然成立。

3. 乘法性质：如果a<b且c>0，那么ac<bc仍然成立；如果a<b且c<0，那么ac>bc仍然成立。

4. 除法性质：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c仍然成立；如果a<b且c<0，那么a/c>b/c仍然成立。

5. 等式的性质：如果a=b且b=c，那么a=c仍然成立。

可以在不等式的两边加上或者减去相等的数值，不等式的关系仍然保持不变。

二、不等式的分类与解法不等式可以分为一元不等式和二元不等式两类。

一元不等式指只有一个变量的不等式，而二元不等式指含有两个变量的不等式。

下面将分别介绍一元不等式和二元不等式的解法。

1. 一元不等式的解法（1）图像法：将一元不等式转化为二元不等式，绘制出二元不等式的图像，通过观察图像得到一元不等式的解集。

（2）数线法：将一元不等式表示在数轴上，根据不等式的性质，确定不等式的解集。

（3）代数法：通过变形和运算等方式将不等式转化为更简单的形式，进而得到不等式的解集。

2. 二元不等式的解法（1）图像法：将二元不等式表示为平面上的区域，通过观察图像确定变量的取值范围，得到不等式的解集。

（2）代数法：利用一元不等式的解法，将一个变量表示成另一个变量的函数，通过求解一元不等式得到二元不等式的解集。

《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学表达式。

用不等号（如“＞”大于、“＜”小于、“≥”大于等于、“≤”小于等于）连接两个数或表达式所组成的式子，就叫做不等式。

例如：3 ＜5，x ＋ 2 ＞ 5 等等。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。

这就好像两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，道理是很直观易懂的。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜c 。

比如说，甲比乙高，乙又比丙高，那自然甲就比丙高；反过来，如果甲比乙矮，乙又比丙矮，那甲肯定比丙矮。

3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

这意味着，当不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

就好比甲和乙有身高差，两人同时穿上一样厚的增高鞋，身高差依然不变。

4、减法性质如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c 。

跟加法性质类似，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向也不变。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。

当不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。

可以想象成把两个长度不同的线段同时按相同的比例放大，它们的长度差还是保持原来的大小关系。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

但如果乘以一个负数，不等号方向就要改变。

这有点像在镜子里看东西，左右方向会反过来。

6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a/c ＞ b/c 。

不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 a/c ＜ b/c 。

除以一个负数时，不等号方向改变。

7、乘方性质如果 a ＞ b ＞ 0，那么 a^n ＞ b^n（n 为正整数，n ≥ 1）。

《不等式及其基本性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。

举例说明不等式的形式，如a > b、a ≤b 等。

1.2 不等式的基本性质性质1：如果a > b，a + c > b + c（其中c 是任意实数）。

性质2：如果a > b 且c > d，a + c > b + d。

性质3：如果a > b 且c < d，a + c < b + d。

性质4：如果a > b，a c > b c（其中c 是任意实数）。

第二章：不等式的运算2.1 加减法不等式介绍加减法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，a + c > b + c；a > b 且c < 0，a + c < b + c。

举例说明如何解决涉及加减法的不等式问题。

2.2 乘除法不等式介绍乘除法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，ac > bc；a > b 且c < 0，ac < bc。

举例说明如何解决涉及乘除法的不等式问题。

第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如解a > b 的问题，可将b 移至不等式右边，得到a b > 0。

举例说明如何解简单不等式。

3.2 复合不等式的解法介绍解复合不等式的方法，如解a > b 且c > 0 的问题，可将不等式两边乘以c，得到ac > bc。

举例说明如何解复合不等式。

第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的应用举例说明如何将实际问题转化为不等式问题，如判断身高、体重等是否符合要求。

引导学生运用不等式解决实际问题。

4.2 线性不等式组的解法介绍线性不等式组的解法，如解a > b 且c > d 的问题，可先解a > b，再解c > d，求交集。

不等式的性质及应用举例1.基本性质：（1）a ＞b ⇔b ＜a .（2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .（3）a ＞b ⇔a +c ＞b +c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a +c ＞b +d .（4）a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .（5）a ＞b ＞0⇒n a ＞n b （n ∈N ，n ＞1）；a ＞b ＞0⇒a n ＞b n （n ∈N ，n ＞1）.2.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒a 1＜b 1，不能弱化条件得a ＞b ⇒a 1＜b 1，也不能强化条件得a ＞b ＞0⇒a 1＜b1. 3.要正确处理带等号的情况.如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a =c ，当且仅当a =b 且b =c 时，才会有a =c .4.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.5.性质（5）中的指数n 可以推广到任意正数的情形.6．在利用不等式性质解题时，要注意合理转化，如欲证a>b ，有性质1可知只要证b<a 即可，再如欲证c<a ，由性质2可知只要证c<b,b<a 即可.例1．已知f （x ）=ax2-c ，且-4≤f （1）≤-1，-1≤f （2）≤5，试求f （3）的取值范围. 错解：由题意得-4≤a-c ≤-1 ①，-1≤4a-c ≤5 ② ，用①②进行加减消元，得0≤a ≤3，1≤c ≤7 ③ ，由f （3）=9a-c ，得-7≤f （3）≤27，辨析：求解不等式问题的关键是恒等变形，本题由①②得③时，不是等价变形。

正解：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=)2(31)1(34)]1()2([31f f c f f a ∴ f(3)=9a-c=⋅38 f(2)-35 f(1). ∵-1≤f （2）≤5，∴-38≤⋅38 f(2)≤340, ∵-4≤f （1）≤-1，∴35≤-35 f(1)≤320.∴-38+35≤⋅38 f(2)-35 f(1)≤340+320, 即-1≤f （3）≤20.评注：在错解中，不等式①和②中的a 与c 并不是相互独立的关系，而是由不等式组⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a 决定的互相制约的关系。

不等式的性质不等式是数学中一种重要的数值关系表达形式，它描述了数值之间的大小关系。

在解决各种实际问题以及数学推理中，不等式具有广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念和性质。

一、不等式的基本概念不等式是指两个数或者两个代数式之间的关系，用符号 "<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）或者"≥"（大于等于）表示。

例如，对于两个实数a和b，我们可以表示为a < b， a > b，a ≤ b 或a ≥ b。

其中，"<" 和 ">" 表示严格不等关系，"≤" 和"≥" 表示非严格不等关系。

二、不等式的性质1.传递性：如果 a < b，b < c，则有 a < c。

同样，如果 a > b，b > c，则有 a > c。

这表明不等式具有传递性，可以通过链式推理得出更复杂的不等式关系。

2.加法性质：如果 a < b，那么对于任意的实数c，a + c < b + c。

同样地，如果 a > b，那么 a + c > b + c。

加法性质指出，在不等式两边同时加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不变。

3.乘法性质：如果 a < b 且 c > 0，那么 ac < bc。

同样地，如果 a > b且 c < 0，那么 ac > bc。

乘法性质指出，在不等式两边同时乘以正数时，不等号的方向不变；但是当乘以负数时，不等号的方向会颠倒。

4.取反性质：如果 a < b，则 -a > -b。

同样地，如果 a > b，则 -a < -b。

取反性质说明不等式两边同时取反时，不等号的方向也会发生改变。

5.绝对值性质：对于任意实数a，有a ≤ |a| 和 -a ≤ |a|。

不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。

一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。

这一性质在比较大小时起到了重要的作用。

2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。

这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。

3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。

这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。

4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。

例如，如果a>b，则-b>-a。

这一性质在求解不等式时需要注意。

二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。

例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。

通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。

2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。

例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。

3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。

例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。

4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。

例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。

5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。

例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。