数学：3.1.2《不等式的性质及其应用》课件(1)(新人教A必修5)

典例透析
IANLITOUXI
(7)正值不等式可乘方
文字语言
符号语言 作用
当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所 得的不等式与原不等式同向. a>b>0⇒an>bn(n∈N,且 n≥1) 不等式两边的乘方变形
归纳总结性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可 得an>bn.
【做一做2-7】 已知m>n>0,则下列不等式不成立的是 ( ). A.m2>n2 B.m3>n3 C.m4>n4 D.m-2>n-2 答案:D
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典例透析
IANLITOUXI
【做一做2-6】 已知a>b>0,则有( ).
A.3a<2b B.3a=2b
C.3a>2b 答案:C
D.3a与2b大小不确定
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归纳总结1.证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd. 2.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式 两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等 式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 3.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd; a<b<0,c<d<0⇒ac>bd. 4.该性质不能逆推,如ac>bd a>b,c>d.
a≥b,c>0⇒ac≥bc a≥b,c<0⇒ac≤bc a<b,c>0⇒ac<bc a<b,c<0⇒ac>bc a≤b,c>0⇒ac≤bc a≤b,c<0⇒ac≥bc

> ≥10%.

所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变
好了.
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D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
题型五
+
反思一般地,设a,b为正实数,且a<b,m>0,则 + > .利用这个不等
式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g
糖(m>0,且未到达饱和状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭
蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因为踮起脚尖改变了演员
下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比0.618,从
而带给观众更美的享受.
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改为 “
3


>
3


” ,其他条件不变,应该怎样证明?
1
1
1
1




3
证明:∵a>b>0,∴0< < ,即 > >0.




又 c>d>0,∴ > >0,∴
3
c
b
>

.
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4.做一做:已知a≥b,可以推出(
)
A.������ ≥ ������
������
1
1 ������
B.ac2≥bc2 D.(ac)2≥(bc)2
C.������2 > ������2
解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2. 答案:B
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打 “×”. (1)若a>b,c<d,则a-c>b-d. ( )
������ ������-������
>
������ . ;0, ∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
������(������-������) ������ ������ >0, − >0. (������-������)(������-������) ������-������ ������-������ ������ ������ ∴ > . ������-������ ������-������
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练 2 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
������
(������-������)
2 >
������ (������-������)
2.
������ < ������ < 0⇒-������ > -������ > 0, 证明: ⇒a-c>b-d>0 又������ > ������ > 0,
2.在解一元一次不等式3x-2≤5x+1的过程中,应用了不等式的哪 些性质? 提示:

栏目 导引
第 三章
不等式
故 C 为假命题；
b－a ⇒ab<0. 1 1 1 1 > ⇒ － >0⇒ >0 a b a b ab
a>b⇒b－a<0 ∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 为真命题． 法二：特殊值排除法． 取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；
栏目 导引
第 三章
ac＞bc (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，
ac＜bc c＜0⇒______________.
栏目 导引
第 三章
不等式
a＋c＞b＋d (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒_____________. ac＞bd (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒_______. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞bn ＞0(n∈N， n≥2)． (8)开方法则：a＞b＞0⇒＞＞0(n∈N,n≥2).
栏目 导引
想一想
两个同向不等式可以相乘吗？ 提示：不可以相乘,例如2＞－1，－1＞－3.
栏目 导引
第 三章
不等式
做一做
已知a＞b，则( )
A．3a＞3b
C．－a＞－b
B．－2a＞－2b
D．－11a＞－11b
答案：A
栏目 导引
第 三章
不等式
典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 的真假
例1 下列命题是真命题的是( )
【答案】 D
栏目 导引
第 三章
不等式
【名师点评】
判断一个命题是假命题的常
用方法：
(1)从条件入手，推出与结论相反的结论；
(2)举出反例予以否定.反例法简捷、 快速、

1 1
1
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.

推论：如果
a 且 b
，c d
那么 acb （ 相减d 法则）
证：∵ c ∴d cd
或证： ( a a cc ) b d ( b d a) c( a bb ) d ( c d )
a b cd
a b c d
=(a2-2a)+(b2+2b)+3
=(a-1)2+(b+1)2+1>0，

∴a2+b2+3>2(a-b)．
小结
作差后常进行配方，以便 于判断符号
例4、已知x>y且y≠0，比较x/y与1的大小。
解： ∵ x-1 =
y
x y y
∵x>y,∴x-y>0
当y<0时，
x y
<0，y 即
-1<0
x y
x
∴
y<1
当y>0时，
x>0y，y即
x
-1>0
∴
y
x
>1
y
b
2． 和
a
bm am
(a,b,mR)
练习： 1、比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。
2、如果x>0，比较( -1)2与(x +1) 2的大x小。
3、已知a≠0，比较(a2+ a+1)(a2- a+1)与(a2+a+1)(a2-
它也表示b-a>0
A
B
实数的大小和运算性质之间的关系:
a>b a-b>0 a=b a-b=0 a<b a-b<0

难点
不等;4与4+4，那 么反过来呢？
2、桌子上有一个盘放着五个苹果，另 一个盘放着八根香蕉，问那一个多？反 过来呢？
由以上的两个例子可以得出一下结论
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换
位置，所得不等式与本来的不等式异同，我
若a>b>0则有
an bn a b 0,bn an 0 (a b)(b n an ) 0
若a=b则有a-b=0
(a b)(b n an ) 0
若0<a<b则有
an bn a b 0 bn an 0
(a b)(b n an ) 0
综上所述时 a, b R ，都有
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果 a>b,c<0则ac<bc
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
证明：因为a>b,c>0.所以ac>bc
又因为c>d,b>0所以bc>bd
几个两边都是正数的同向不等式的 两边分别相乘，所得到的不等式与原不 等式同向
例3.将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空：
7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。

二、不等式的基本性质
性质1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么 a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
性质2：如果b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c⇒ a>c ⇒ 不等式的传递性可以推广到n个的情形． 不等式的传递性可以推广到 个的情形． 个的情形
性质3：如果 ：如果a>b，那么 ，那么a+c>b+c． ．
n
b ( n ∈ N 且n > 1)
c c 已知a>b>0，c<0，求证： > 例4 已知 ， ，求证： a b
已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1, 例5 已知函数 -1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。 的取值范围。 的取值范围
不等式的基本性质总结 不等式的基本性质总结
作业： 作业 习题6.1 4~6. 补充：1.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是 a b A．a-d>b-c B． > c C．a+d>b+c D．ac>bd d
3.1.2 不等式的性质 课件
不等式的性质（ ） 不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的， 相等是相对的。过去我们已经接 触过许多不等式的问题，本章我 们将较系统地研究有关不等式的 性质、证明、解法和应用.
一、不等式的几个基本概念
1．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种 关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充 要条件是：a > b ⇔ a − b > 0 a = b ⇔ a − b = 0 a < b ⇔ a−b < 0 2．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所 得的式子，叫做不等式． 3. 同向不等式与异向不等式 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： a>b，c>d，是同向不等式. 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如： a>b，c<d，是异向不等式.

3．1.2 不等式的性质及应用
栏 目 链 接
1.用不等式的基本性质比较代数式的大小． 2．用不等式的基本性质证明简单的不等式． 3．用不等式的基本性质讨论式子的取值范围．
栏 目 链 接
题型1 利用不等式的性质判断命题真假
判断下列三个命题的真假． 1 1 (1)若 a＜b＜0，则 ＜ ； a b
栏 目 题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则： 链 接
一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
1．设 m∈R，则下列式子正确的是( A．3－2m＞1－2m B．m3＞m2 1 C. ＜m D．－2m＞－3m m
)
栏 目 链 接
解析：∵3＞1，∴3－2m＞1－2m.故选 A. 答案：A
题型2 求取值范围问题
a 例 2 已知 1＜a＜4，2＜b＜8，试求 a－b 与 的取值范围． b 解析：因为 1＜a＜4，2＜b＜8， 所以－8＜－b＜－2. 所以 1－8＜a－b＜4－2. 即－7＜a－b＜2. 1 1 1 1 a 4 又因为 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜ ＝2， 8 b 2 8 b 2 1 a 即 ＜ ＜2. 8 b 点评：本题需使用性质去求解，而不能错误地使用同向不等式 相减(除)等．同向不等式只能相加，不能相减．
1a 1b (2)若 a＞b，则2 ＞2 ；
栏 目 链 接
(3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|. 1 解析：(1)∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴ ＞0. ab 1 1 1 1 ∴a· ＜b· .∴ ＜ . ab ab b a ∴(1)是假命题．
1x (2)∵函数 y＝2 在 R 上是减函数． 1a 1b 又 a＞b，∴2 ＜2 .
栏 目 链 接

探究一 35岁了
您多大了?
我6岁了。 哇！再过30年 我就比爸爸大了！
35
＞6
30年后
35+30 ＞ 6 +30
5年前
35- 5 ＞ 6 - 5
不等式两边都加（或减）同一个正数，
大小关系不变。
3<7
3+(-2)_<_7+(-2) 3-(-5)_<_7-(-5)
不等式两边都加（或减）同一个负数， 大小关系也不变。
杨村煤矿中学 李秋保
(1)若-5a＜-5b，则a＜b。 ( ) ×
(2)若-a＞-b，则2-a＞2-b。 ( ) √
(3)若a＞b，则ac2＞bc2。 (4)若ac2＞bc2，则a＞b。 4，则a＞-4。 ( )
()
×
( ) (5)若√a+8＞
√
例题 将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式
(1)x -5> -1 (2)-2x > 3 (3) 7x﹤6x -6
解: (1)根据不等式基本性质1,两边都加5
x > -1+ 5 ∴ x>4 (2)根据不等式基本性质3,两边都除以-2
x＜- —3
2
(3)根据不等式基本性质1,两边都减去6x
7x-6x＜-6 ∴ x＜-6
将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式： (1)x+3＜-1；(2)3x≥27；(3)- —＞5；3x(4)5x＜4x-6。
＜
＜
(–4)＿＿(– 6) (– 4)×(-5)＿＿(– 6)×(-5) (– 4)÷(-2)＿＿(– 6)÷(-2)
>
＜
>

数学·必修5(人教A 版)3.1 不等关系与不等式3．1.2 不等式的性质及应用►基础达标1．已知a ＞b ，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)1a ＜1b ( )(2)ac 2＞bc 2(c ≠0)( )(3)lg(a －b )＞0( )(4)a －c ＞b －c ( )解析：(1)取a ＝1，b ＝－2知1a ＞1b ，(1)错；(2)∵c ≠0，∴c 2＞0，又a ＞b ，∴ac 2＞bc 2.(2)对；(3)当a －b ∈(0,1]时，lg(a －b )≤0.(3)错；(4)∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－c )．(4)对．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知1a ＜1b ＜0，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)a 2＜b 2( )(2)ab ＜b 2( )(3)a b ＋b a ＞2( )(4)|a |＋|b |＞|a ＋b |( )解析：∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0且1a －1b ＜0，即b －a ab ＜0，∴b －a ＜0，即b ＜a ＜0.(1)由b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒b 2＞a 2，(1)对；(2)由b ＜a ＜0，又b ＜0⇒b 2＞ab ，(2)对；(3)a b ＋b a －2＝a 2＋b 2－2ab ab＝(a －b )2ab ＞0，(3)对； (4)由a ＜0，b ＜0⇒|a ＋b |＝|a |＋|b |，(4)错．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×3．如下图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x 满足下列哪个条件时，该公司盈利( )A ．x >aB ．x <aC ．x ≥aD ．0≤x ≤a解析：当x <a 时，f (x )<g (x )；当x ＝a 时，f (x )＝g (x )；当x >a 时，f (x )>g (x )，选A.答案：A4．若a ，b ，m ∈R ＋，a ＜b ，将a 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的盐的质量分数为P 1，将a ＋m 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的质量分数为P 2，对P 1 、P 2的大小判断正确的是( )A ．P 1＜P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1＞P 2D ．P 1与P 2大小不确定解析：P 1＝a (b －a )＋a ＝a b ，P 2＝a ＋m (b －a )＋a ＋m＝ a ＋m b ＋m ，P 1－P 2＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )， 又∵a ＜b ，m ，a ，b ∈R ＋，∴P 1－P 2＜0，即P 1＜P 2.故选A.答案：A5．设x >1，－1<y <0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下：________.答案：y <－y <x►巩固提高6．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，把a ＋b,2ab ，2ab 中最大与最小者分别记为M 和m ，则( )A ．M ＝a ＋b ，m ＝2abB ．M ＝2ab ，m ＝2abC ．M ＝a ＋b ，m ＝2abD ．M ＝2ab ，m ＝2ab解析：a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，∴a＋b≥2ab.又0＜a＜1,0＜b＜1，∴0＜ab＜1，∴ab＞ab.∴2ab＞2ab，∴M＝a＋b，m＝2ab.故选A.答案：A7．已知0＜a＜1,2＜b＜4，则b－2a的取值范围是________．解析：由0＜a＜1⇒0＜2a＜2⇒－2＜－2a＜0.又2＜b＜4，两式相加得：0＜b－2a＜4.答案：(0,4)8．已知x＞0，则x＋3－x＋2____x＋1－x(填“＞”“＜”或者“＝”)解析：x＋3－x＋2＝1x＋3＋x＋2，x＋1－x＝1x＋1＋x，又x＋3＋x＋2＞x＋1＋x＞0，∴1x＋3＋x＋2＜1x＋1＋x.答案：＜9．已知a＞b＞0，比较下列各组两式的大小：(1)a＋1b与b＋1a；(2)ab与2a＋ba＋2b.解析：(1)∵a＞b＞0 ，∴1b＞1a，∴a＋1b＞b＋1a.(2)∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b ＋a )(b －a )(a ＋2b )b＜0， ∴a b ＞2a ＋b a ＋2b.10．已知0＜x ＜1,0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和|log a (1＋x )|的大小．解析：解法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x. ∵0＜1－x 2＜1,0＜1－x 1＋x＜1， ∴log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x＞0. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x ) ＝|log 1＋x (1－x )| ＝－log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2) ∵0＜1－x 2＜1,1＋x ＞1，∴log 1＋x (1－x 2)<0.∴1－log 1＋x (1－x 2)＞1.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法三：∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2，∴log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0.∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)．∵0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1，∴log a (1－x 2)＞0.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.1．作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等．比较含字母的量的大小时，若不能确定差的符号，可对字母进行分类讨论．2．对于某些多项式，可将条件中的式子当作一个整体，把待求式用整体表示出来，再用不等式的性质．3．证明不等式时，可结合条件先进行适当分析转化．。

高中数学学业水平考试总复习
必修5 第三章 不等式
第一课时 不等式性质及其应用
学习目标
1.了解不等式的性质，理解两个正数 的基本不等式及其简单应用，关注学科 内综合.
2.知道一元二次不等式的概念，理解 一元二次不等式的解法；知道二元一次 不等式的几何意义，理解用平面区域表 示二元一次不等式组，关注实践应用.
【问题1】比较代数式的大小
例1 设x∈R，比较1＋2x4与x2＋2x3的 大小. 当x＝1时，1＋2x4＝x2＋2x3；
当x≠ห้องสมุดไป่ตู้时，1＋2x4＞x2＋2x3.
例2 两次购买同一种物品，可以用两 种不同的策略：第一种是不考虑物品价 格的升降，每次购买这种物品的数量一 定；第二种是不考虑物品价格的升降， 每次购买这种物品所花的钱数一定，试 判断哪种购物方式比较经济？ 第二种
例6 如图，树顶A离地面am，树上另
一点B离地面bm，若在离地面cm的C处看
此树，求离此树多远时看A、B的视角最
大？
A
B
(a c)(b c) D
C
【问题2】利用基本不等式求最值
例3 当x∈(0，1)时，求函数
f (x) 1
4 的最小值.
x 1x
9
例4 已知二次函数f(x)＝ax2＋4x＋c
的值域是[0，＋∞），求 a2 c2 的最小
值.
ac
2
【问题3】不等式性质与学科内知识的综合
例5 设函数 f (x)
|1
1 x
|，若b＞a＞
0，且f(a)＝f(b)，求证：ab＞1.

【拓展训练】若a>b>0,c<d<0,e<0, 求证: e ＞ e .
（a c）2 （b d）2
【解题指南】结合不等式的性质化简证明.
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
则(a-c)2>(b-d)2>0,即（a
1＜ c）2 （b
1， d）2
又e<0,所以 e ＞ . e
A. 1＜1 ab
B.a 2＞b 2
C.
a c2
＞ 1
b c2
1
D.a c ＞b c
()
3.若 1 < 1 <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中,正确的不等式有
ab
个.
【解析】1.选C.因为 a ＜ b ,又c2>0,所以a<b.
c2 c2
2.选C.若a>b,且ab>0,则 1＜1 ,A中少条件ab>0,
又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,
即a-c>b-d>0,所以0<1 1,
ac bd
又因为e<0,所以 e ＞ .e
ac bd
【拓展延伸】利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质. (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,如由a>b及c>d,推 不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.
1.若a<b<0,则下列结论正确的是( )