数学：3.1.2《不等式的性质及其应用》课件(1)(新人教A必修5)

典例透析
IANLITOUXI
(7)正值不等式可乘方
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符号语言 作用
当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所 得的不等式与原不等式同向. a>b>0⇒an>bn(n∈N,且 n≥1) 不等式两边的乘方变形
归纳总结性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可 得an>bn.
【做一做2-7】 已知m>n>0,则下列不等式不成立的是 ( ). A.m2>n2 B.m3>n3 C.m4>n4 D.m-2>n-2 答案:D
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典例透析
IANLITOUXI
【做一做2-6】 已知a>b>0,则有( ).
A.3a<2b B.3a=2b
C.3a>2b 答案:C
D.3a与2b大小不确定
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归纳总结1.证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd. 2.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式 两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等 式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 3.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd; a<b<0,c<d<0⇒ac>bd. 4.该性质不能逆推,如ac>bd a>b,c>d.
a≥b,c>0⇒ac≥bc a≥b,c<0⇒ac≤bc a<b,c>0⇒ac<bc a<b,c<0⇒ac>bc a≤b,c>0⇒ac≤bc a≤b,c<0⇒ac≥bc

> ≥10%.

所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变
好了.
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IANLITOUXI
UITANGLIANXI
题型五
+
反思一般地,设a,b为正实数,且a<b,m>0,则 + > .利用这个不等
式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g
糖(m>0,且未到达饱和状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭
蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因为踮起脚尖改变了演员
下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比0.618,从
而带给观众更美的享受.
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改为 “
3


>
3


” ,其他条件不变,应该怎样证明?
1
1
1
1




3
证明:∵a>b>0,∴0< < ,即 > >0.




又 c>d>0,∴ > >0,∴
3
c
b
>

.
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4.做一做:已知a≥b,可以推出(
)
A.������ ≥ ������
������
1
1 ������
B.ac2≥bc2 D.(ac)2≥(bc)2
C.������2 > ������2
解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2. 答案:B
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打 “×”. (1)若a>b,c<d,则a-c>b-d. ( )
������ ������-������
>
������ . ;0, ∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
������(������-������) ������ ������ >0, − >0. (������-������)(������-������) ������-������ ������-������ ������ ������ ∴ > . ������-������ ������-������
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探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练 2 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
������
(������-������)
2 >
������ (������-������)
2.
������ < ������ < 0⇒-������ > -������ > 0, 证明: ⇒a-c>b-d>0 又������ > ������ > 0,
2.在解一元一次不等式3x-2≤5x+1的过程中,应用了不等式的哪 些性质? 提示:

栏目 导引
第 三章
不等式
故 C 为假命题；
b－a ⇒ab<0. 1 1 1 1 > ⇒ － >0⇒ >0 a b a b ab
a>b⇒b－a<0 ∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 为真命题． 法二：特殊值排除法． 取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；
栏目 导引
第 三章
ac＞bc (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，
ac＜bc c＜0⇒______________.
栏目 导引
第 三章
不等式
a＋c＞b＋d (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒_____________. ac＞bd (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒_______. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞bn ＞0(n∈N， n≥2)． (8)开方法则：a＞b＞0⇒＞＞0(n∈N,n≥2).
栏目 导引
想一想
两个同向不等式可以相乘吗？ 提示：不可以相乘,例如2＞－1，－1＞－3.
栏目 导引
第 三章
不等式
做一做
已知a＞b，则( )
A．3a＞3b
C．－a＞－b
B．－2a＞－2b
D．－11a＞－11b
答案：A
栏目 导引
第 三章
不等式
典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 的真假
例1 下列命题是真命题的是( )
【答案】 D
栏目 导引
第 三章
不等式
【名师点评】
判断一个命题是假命题的常
用方法：
(1)从条件入手，推出与结论相反的结论；
(2)举出反例予以否定.反例法简捷、 快速、

1 1
1
1
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题型四
题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
题型一
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题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
题型一
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题型四
题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.

推论：如果
a 且 b
，c d
那么 acb （ 相减d 法则）
证：∵ c ∴d cd
或证： ( a a cc ) b d ( b d a) c( a bb ) d ( c d )
a b cd
a b c d
=(a2-2a)+(b2+2b)+3
=(a-1)2+(b+1)2+1>0，

∴a2+b2+3>2(a-b)．
小结
作差后常进行配方，以便 于判断符号
例4、已知x>y且y≠0，比较x/y与1的大小。
解： ∵ x-1 =
y
x y y
∵x>y,∴x-y>0
当y<0时，
x y
<0，y 即
-1<0
x y
x
∴
y<1
当y>0时，
x>0y，y即
x
-1>0
∴
y
x
>1
y
b
2． 和
a
bm am
(a,b,mR)
练习： 1、比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。
2、如果x>0，比较( -1)2与(x +1) 2的大x小。
3、已知a≠0，比较(a2+ a+1)(a2- a+1)与(a2+a+1)(a2-
它也表示b-a>0
A
B
实数的大小和运算性质之间的关系:
a>b a-b>0 a=b a-b=0 a<b a-b<0

难点
不等;4与4+4，那 么反过来呢？
2、桌子上有一个盘放着五个苹果，另 一个盘放着八根香蕉，问那一个多？反 过来呢？
由以上的两个例子可以得出一下结论
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换
位置，所得不等式与本来的不等式异同，我
若a>b>0则有
an bn a b 0,bn an 0 (a b)(b n an ) 0
若a=b则有a-b=0
(a b)(b n an ) 0
若0<a<b则有
an bn a b 0 bn an 0
(a b)(b n an ) 0
综上所述时 a, b R ，都有
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果 a>b,c<0则ac<bc
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
证明：因为a>b,c>0.所以ac>bc
又因为c>d,b>0所以bc>bd
几个两边都是正数的同向不等式的 两边分别相乘，所得到的不等式与原不 等式同向
例3.将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空：
7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。

二、不等式的基本性质
性质1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么 a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
性质2：如果b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c⇒ a>c ⇒ 不等式的传递性可以推广到n个的情形． 不等式的传递性可以推广到 个的情形． 个的情形
性质3：如果 ：如果a>b，那么 ，那么a+c>b+c． ．
n
b ( n ∈ N 且n > 1)
c c 已知a>b>0，c<0，求证： > 例4 已知 ， ，求证： a b
已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1, 例5 已知函数 -1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。 的取值范围。 的取值范围
不等式的基本性质总结 不等式的基本性质总结
作业： 作业 习题6.1 4~6. 补充：1.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是 a b A．a-d>b-c B． > c C．a+d>b+c D．ac>bd d
3.1.2 不等式的性质 课件
不等式的性质（ ） 不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的， 相等是相对的。过去我们已经接 触过许多不等式的问题，本章我 们将较系统地研究有关不等式的 性质、证明、解法和应用.
一、不等式的几个基本概念
1．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种 关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充 要条件是：a > b ⇔ a − b > 0 a = b ⇔ a − b = 0 a < b ⇔ a−b < 0 2．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所 得的式子，叫做不等式． 3. 同向不等式与异向不等式 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： a>b，c>d，是同向不等式. 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如： a>b，c<d，是异向不等式.

3．1.2 不等式的性质及应用
栏 目 链 接
1.用不等式的基本性质比较代数式的大小． 2．用不等式的基本性质证明简单的不等式． 3．用不等式的基本性质讨论式子的取值范围．
栏 目 链 接
题型1 利用不等式的性质判断命题真假
判断下列三个命题的真假． 1 1 (1)若 a＜b＜0，则 ＜ ； a b
栏 目 题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则： 链 接
一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
1．设 m∈R，则下列式子正确的是( A．3－2m＞1－2m B．m3＞m2 1 C. ＜m D．－2m＞－3m m
)
栏 目 链 接
解析：∵3＞1，∴3－2m＞1－2m.故选 A. 答案：A
题型2 求取值范围问题
a 例 2 已知 1＜a＜4，2＜b＜8，试求 a－b 与 的取值范围． b 解析：因为 1＜a＜4，2＜b＜8， 所以－8＜－b＜－2. 所以 1－8＜a－b＜4－2. 即－7＜a－b＜2. 1 1 1 1 a 4 又因为 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜ ＝2， 8 b 2 8 b 2 1 a 即 ＜ ＜2. 8 b 点评：本题需使用性质去求解，而不能错误地使用同向不等式 相减(除)等．同向不等式只能相加，不能相减．
1a 1b (2)若 a＞b，则2 ＞2 ；
栏 目 链 接
(3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|. 1 解析：(1)∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴ ＞0. ab 1 1 1 1 ∴a· ＜b· .∴ ＜ . ab ab b a ∴(1)是假命题．
1x (2)∵函数 y＝2 在 R 上是减函数． 1a 1b 又 a＞b，∴2 ＜2 .
栏 目 链 接

探究一 35岁了
您多大了?
我6岁了。 哇！再过30年 我就比爸爸大了！
35
＞6
30年后
35+30 ＞ 6 +30
5年前
35- 5 ＞ 6 - 5
不等式两边都加（或减）同一个正数，
大小关系不变。
3<7
3+(-2)_<_7+(-2) 3-(-5)_<_7-(-5)
不等式两边都加（或减）同一个负数， 大小关系也不变。
杨村煤矿中学 李秋保
(1)若-5a＜-5b，则a＜b。 ( ) ×
(2)若-a＞-b，则2-a＞2-b。 ( ) √
(3)若a＞b，则ac2＞bc2。 (4)若ac2＞bc2，则a＞b。 4，则a＞-4。 ( )
()
×
( ) (5)若√a+8＞
√
例题 将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式
(1)x -5> -1 (2)-2x > 3 (3) 7x﹤6x -6
解: (1)根据不等式基本性质1,两边都加5
x > -1+ 5 ∴ x>4 (2)根据不等式基本性质3,两边都除以-2
x＜- —3
2
(3)根据不等式基本性质1,两边都减去6x
7x-6x＜-6 ∴ x＜-6
将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式： (1)x+3＜-1；(2)3x≥27；(3)- —＞5；3x(4)5x＜4x-6。
＜
＜
(–4)＿＿(– 6) (– 4)×(-5)＿＿(– 6)×(-5) (– 4)÷(-2)＿＿(– 6)÷(-2)
>
＜
>