培优练习题一

考试范围：xxx ；满分：***分；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、填空题1．如图中聪聪的位置是（________，________），丫丫的位置是（________，________）2．把 35 L 饮料平均分到6个杯子里，每个杯子分得________L ．3．商店运进a 袋大米，每袋重25千克，一共重________千克。

4．用火柴摆出……，4根摆出一个框，7根摆出两个框……，如果要摆出n个框需要________根。

5．已知等腰三角形的一个底角是70°，它的顶角是________度，如果这个三角形的面积是9.6平方米，那么和它等底等高的平行四边形的面积是________平方米。

6．3.15时=________时________分 5升50毫升=________立方分米7．255分=________时 1.5平方千米=________公顷5米3厘米=________米 2.05立方分米=________毫升8．汽车与轿车的速度之比为5：7，两车同时从甲乙两地出发，相向而行，两车的相遇地点距离中点16km 。

甲乙两地相距________km 。

9．汽车向东南方行40km 记为+40km ，向西北方行32km 记作________km 。

10．79的分数单位是________，再加上________个这样的分数单位就是2。

11．0.8： 12 的比值是________；20kg ：0.2t 的比值是________． 12．把 45 L 饮料平均分到8个杯子里，每个杯子分得________L ，是________mL ．13．38的 34 是________；5是________的 34 ． 14．一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做4天，完成这项工程的________．15．如图中∠1是________°，按边分是一个________三角形，它有________条对称轴．16．________元是40元的 14 ，比5米多20%是________米，120千克比________千克多50%．17．将如图的圆柱沿底面圆的直径切开，表面积增加了________平方厘米．18．把一个长、宽、高分别为9分米、8分米、6分米的长方体木块切成棱长为2分米的正方体木块，可以切________块。

一年级培优拓展练习题一、数学计算题1. 3 + 4 = ______2. 7 5 = ______3. 2 × 6 = ______4. 9 ÷ 3 = ______5. 8 + 5 3 = ______6. 4 + 2 × 3 = ______7. 10 ÷ 2 + 3 = ______8. 7 4 + 2 = ______9. 6 × 4 ÷ 2 = ______10. 9 + 5 2 × 3 = ______二、语文基础知识题1. 拼音填空：shū() bā() qiān bǐ()2. 填写同音字：花（）开了，好（）看。

3. 选字填空：我（）去公园玩。

（们、米、门）4. 找出不同类的一个词：苹果、香蕉、葡萄、电视5. 补全句子：妈妈（）去超市买东西。

6. �照样子写词语：大大（）的，红红（）的。

7. 连词成句：我作业写完了。

8. 写出反义词：高（），黑（）9. 找出句子中的错误：我今天去公园玩，看到了很多小鸟和小花。

（）10. 看图写句子：图上有（），他们在（）。

三、英语基础知识题1. 写出26个英文字母的大小写：Aa, Bb, Cc,2. 选出不同类的单词：cat, dog, apple, pen3. 填空：I am a ( ) student.4. 写出下列单词的过去式：go ( ), eat ( ), run ( )5. 翻译句子：What's your name?（）6. 选词填空：I ( ) to school bus every day.7. 连词成句：He like playing ( ) games.8. 找出句子中的错误：She is go to the park.（）9. 填写疑问词：What ( ) you do yesterday?10. 看图写句子：The ( ) is blue.四、科学常识题1. 太阳从（）边升起。

初中数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及解析(1)一、全等三角形旋转模型1．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空：①AEBF的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________；（2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出AEBF的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积．答案：G解析：（1）1；60°；（2）33AE BF =，∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；（2）根据题目已知条件可以计算出3BC =，同理可以证得3CF CE =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60° ∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF ∴∠ACE =∠BCF ∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ，即1AEBF= ②∵△ACE ≌△BCF ∴∠EAC =∠CBF由①可知△ABC 是等边三角形 ∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°（2）AE BF =∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC ∴∠ABD =30°=∠ACB∴BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE =，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF ∴∠CAE =∠CBF∴3AE AC BF BC ==∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°， ∴∠CAE =∠CBF =60° 又∵∠BDG =90° ∴∠G =30°（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC∴sin 4562BCAD BD CD AB =====∠DAC =45° ∵∠ACE =15°∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DCDE ==∴AE AD DE =-=2BC CFAC CE==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°， ∴∠CAE =∠CBF =45° ∴△ACE ∽△BCF ∴2BF BCAE AC== ∴()262232BF =-=-∵∠ADC =∠BDG ∴∠G =∠ACB =45° ∴223BG BD ==∴2FG BG BF =-= 过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ， ∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90° ∴=6DG BD CD ==∴232DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△第二种情况：当E 在DA 的延长线上时 过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，同上可证2BF BCAE AC==，6BG BD ==，3DM =∵∠ACE =15°，∠DAC =45° ∴∠DEC =30°∵AD ⊥CD ，6CD =∴32tan 30DCDE ==∴=6DG BD CD ==326AE DE AD =-=∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△ 故答案为：3或33．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点． 2．问题提出（1）如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，若∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，则ABD ACDSS＝ ． 问题探究（2）如图②，在正方形ABCD 中，边长为8，点E 是AB 的中点，作∠EDF ＝45°，交BC 于点F ，求DEF 的面积． 问题解决（3）如图③，某市为迎接城市运动会，打造融体育、文化、饮食、旅游为一体的综合商业品牌，规划了如图所示的矩形ABCD 观光区，如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16km ，AD ＝12km ，要求在边AB 上确定一点E 为观光区的南门，在边BC 上确定一点F 为观光区的东门，且∠EDF ＝30°，同时为了方便市民游览，还要修建一条观光通道FG ，使FG ∥AB ，交DE 于点G （观光带的宽度不计），为了节约成本，要使FG 的长度最小，那么是否存在符合条件的修建方案？若存在，请求出FG 的最小值；若不存在，请说明理由．答案：B解析：3(2)803，(3) 323．【分析】(1)根据∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，求出BD 、AD 、DC 的关系即可；(2)将△DCF 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAG ，可证△DEF ≌△DEG ，得到EF =CF +AE ，求出CF 长即可；(3) 作DM ⊥DF ，交BA 延长线于点M ，作EN ⊥DF 于N ，EH ⊥DM 于H ，作△DME 的外接圆⊙O ，连接OD 、OE 、OM ，作OQ ⊥ME 于Q ，求出△DEF 的面积最小值，再用面积求FG 最小值． 【详解】解:(1)∵AD 是BC 边上的高，若∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°， ∴AD =BD ，AD = tan 603DC DC ︒=，12312ABD ACDBD AD S SCD AD ⋅==⋅， (2) 将△DCF 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAG ， ∵∠DAG =∠C =90°，∠DAE =90°， ∴G 、A 、E 三点共线，由旋转可知，∠FDG =∠CDA =90°，DF =DG ， ∴∠GDE =∠FDE =45°，DE =DE , ∴△GDE ≌△FDE ， ∴GE =EF ， ∴EF =AE +CF ，设EF 为x ，则CF =x -4，BF =12-x ，2224(12)x x +-=，解得，x =203, DEF 的面积=DEG 的面积=120808233⨯⨯=；(3)作DM ⊥DF ，交BA 延长线于点M ，作EN ⊥DF 于N ，EH ⊥DM 于H ，作△DME 的外接圆⊙O ，连接OD 、OE 、OM ，作OQ ⊥ME 于Q ，∵∠FDM =∠CDA =90°， ∴∠ADM =∠CDF ， ∵∠C =∠DAM =90°， ∴△ADM ∽△CDF ，∴34MD AD DF DC ==, ∵∠FDE =30°， ∴∠EDM =60°，∵1sin 302EN DE DE =︒=,3sin 602EH DE DE =︒=, ∴3EHEN=,1432192DEF DMEDF ENS S DM EH ⋅==⋅,设⊙O 的半径为R ， ∵∠MDE =60°， ∴∠MOE =120°， ∠MOQ =60°，3sin 602RMQ OM =︒=，ME =3R ,OQ =12R ,OD +OQ ≥AD , 1122R R +≥,解得，8R ≥， 138122DMES≥⨯⨯⨯，即483DMES ≥，DME S △的最小值为483，DEF S △的最小值为43483649⨯=，1()62DEFDGFEGFSSSFG CF BF FG =+=+=, FG 的最小值为643263=．本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，解直角三角形等，解题关键是充分理解题意，恰当的构建全等三角形、相似三角形和外接圆． 3．如图．四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，请直接写出．．．．．AG 和CE 的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0180β︒︒＜＜），如图2，直线AG 、CE 相交于点M ．①AG 和CE 是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB ，求证：MB 平分AME ∠．（3）在（2）的条件下，过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ，请直接写出．．．．．线段CM 与BN 的数量关系．答案：A解析：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）2． 【分析】（1）由正方形BEFG 与正方形ABCD ，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，再利用同角的余角相等即可得证； （2）①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题；②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC ，可得出BP=BH ，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线；（3）在AN 上截取NQ=NB ，可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到2BN ，接下来证明BQ=CM ，即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ，利用等式的性质得到AQ=BM ，利用SAS 可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．解：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ，理由为： ∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB=BE ，∠ABG=90°，AB=BC ，∠ABC=90°， 在△ABG 和△BEC 中，BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△BEC （SAS ）， ∴CE=AG ，∠BCE=∠BAG ， 延长CE 交AG 于点M ， ∴∠BEC=∠AEM ， ∴∠ABC=∠AME=90°， ∴AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由是： 如图2中，设AM 交BC 于O ．∵∠EBG=∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC ， 在△ABG 和△CEB 中，AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△CEB （SAS ）， ∴AG=EC ，∠BAG=∠BCE ，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM ， ∴∠BCE+∠COM=90°， ∴∠OMC=90°， ∴AG ⊥EC ．②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ， ∵△ABG ≌△CEB ， ∴S △ABG =S △EBC ，AG=EC ， ∴12EC•BP=12AG•BH ， ∴BP=BH ， ∴MB 平分∠AME ；（3）2BN ，理由为：在NA 上截取NQ=NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即2BN ， ∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN=MN ， ∴MN-BN=AN-NQ ，即AQ=BM ，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠MBC=∠BAN ， 在△ABQ 和△BCM 中，AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABQ ≌△BCM （SAS ）， ∴CM=BQ ， 则2BN ．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键． 4．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形． （1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒- 【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形， ∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．5．探究：（1）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝28°，则∠ACD 的度数是 ．拓展：（2）如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别存CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP 于点D 、E ，若AC ＝CB ，则AD 、DE 、BE 三者间的数量关系为 ．请说明理由；应用：（3）如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连结AD 、BE 、AE ，且使∠MCN ＝∠ADP ＝∠BEP ．当AC ＝BC 时，△ ≌△ ；此时如果CD ＝2DE ，且S △CBE ＝6，则△ACE 的面积是 ．答案：D解析：（1）28° （2）DE ＝AD ﹣BE ；理由见解析 （3）ACD ；CBE ；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD ＝∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC ＝∠CEB ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，得出S △ACD ＝S △CBE ，再求出S △ADE ＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∵∠B ＝28°，∴∠BCD ＝90°﹣∠B ＝68°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．6．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△； （2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证．【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC =∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形∴∠CFD=90°又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒∴DM BC ，DN AC∵D 为AB 边的中点 ∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC =∵AC=BC∴MD=ND∵90EDF ∠=︒∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒∴MDE NDF ∠=∠在DME ∆与DNF ∆中DME DNF MD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆∴DME DNF S S ∆∆=∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形 ∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 对于图3：连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形 ∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．7．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，3∴3∴AB 2=AD 2+BD 23∴ABC S =23AB =25336 （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．8．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点DP及D，连接PD可以得到△PP D'，△PP D'是直角三角形和，利用勾股定理即可求出' PC的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC∴△ABD≌△ACE（2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示：∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点∆'，连接（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到ACPPP'和PC∆'∵将△ABP旋转120°得到ACP∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4 ∴PP '=23，∵∠AP C '=120°，∠AP P '=30°， ∴∠PP C '=90°，∴PC=()2223427+=．当点P 在△ABC 外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4， ∴PP '=23，∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°， ∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°， 在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=， ()222237213PC PD DC ∴=+=+= ．综上所述，27213PC =或 【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．9．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝PDAD，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P（32，154）；（3）M（9332-，0）或（9332+，0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PD AD ＝PFAE， ∵S △PBC ＝12•BC •PF ，S △ACB ＝12•BC •AE ， ∴PD AD ＝PBCABCS S ∆∆， ∵S △ABC ＝12•AB •OC ＝12×4×3＝6， ∴t ＝PD AD ＝6PBC S ∆＝211133(23)332226m m m ⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m 2+34m ＝﹣14（m ﹣32）2+916， ∵﹣14＜0， ∴m ＝32时，t 有最大值，最大值为916，此时P （32，154）； （3）如图，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°， ∴∠MEH ＝∠CMO ， ∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0， 解得m 933-933+， ∴M 933-，0933+0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．10．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，AD 是对角线，60BAC ∠=︒，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，（1）求ADC ∠的度数；（2）若AD BD CD =+，求证：AD 平分BDC ∠；（3）在（2）的条件下，E 、F 分别在AC 、AB 上，连接BE 、CF ，交于点P ，使得BPC BDC ∠=∠，若7BD EF ==，15AD =，求EFP ∆的面积答案：A解析：（1）=60∠︒ADC ；（2）证明见详解；（34003【分析】（1）先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒，再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案；（2）把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）及题意易得D 、C 、E 三点共线，从而得到ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒，故得证；（3）过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由（2）及题意易得DC=8，由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠，进而得到AFC CEB △≌△，设AF=CE=x ，根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长，最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比，进而求解即可． 【详解】（1）解：=60BAC ∠︒，∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒， 又BDC ADB ADC ∠=∠+∠，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒； （2）证明：把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）得：∴AD=AE ，BD=CE ，=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+，DE=DC+CE ，∴D 、C 、E 三点共线，∴ADE 是等边三角形，∴60ADB E ∠=∠=︒， ∴60ADB ADC ∠=∠=︒，∴AD 平分BDC ∠； （3）解：过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由题意及（2）可得：ABC 是等边三角形，120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ，60BDG ∠=︒，7BD EF ==，15AD =，∴72DG =，32BG =，DC=AD-BD=8， ∴723822GC GD DC =+=+=， 在Rt BGC △中，222273231322BC BG GC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又=120BPC BDC ∠=∠︒，∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒，60ECP PCB ∠+∠=︒，∴=ECP EBC ∠∠，=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=，∴AFC CEB △≌△，∴CE=AF ，设133,1313222CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-，，，，∴在Rt FHE 中，222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125,8x x ==，①当CE=AF=5时，则AE=8，∴111322BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====，，，，则有：a cb d FP PC ==∶∶∶，,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+，∴BFEBECSSFP PC =∶∶，∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶，又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=，∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=； ②当CE=AF=8时，AE=5，则有：∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=，1694CBEABCBECSSS =-==∴654BFEABEAFESSS=-=-=由①可得：25=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶，又11822FECSCE FH =⋅=⨯⨯=∴2525129129EFPFECSS ==⨯=综上所述：129EFPS =． 【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题，主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理，熟练掌握各个知识点是解题的关键，尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点．11．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C 关于直线l的对称点为点D，连接CD，BD， AD．（1）如图1，①填空：∠ABD∠ADB（填 >，=，<号）．②求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，在直线l绕点A旋转过程中，记直线l与CD的交点为F．①若点M为AC的中点，连接MF， MF的长是否会发生变化？若不变，求出MF的长；若会发生变化，说明理由；②连接BF，当线段BF的长取得最大值时，求tan∠FBC的值．答案：B解析：（1）①=；②∠BDC＝12α；（2）详见解析；（3）①MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化，MF=1；②1 3【分析】（1）①根据点C关于直线l的对称点为点D，得到AD＝AC，且AB＝AC，则AD＝AB＝AC，可得∠ADB＝∠ABD；②连接DA，并延长DA交BC于点M，由①可知AD＝AB＝AC，则有∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，可以得到∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，利用∠BAC＝∠BAM+∠MAC，可得12BDC＝，（2）连接CE，根据∠BAC＝60°，AB＝AC，得到△ABC是等边三角形，则有BC＝AC，∠ACB＝60°，根据12BDC＝，可知∠BDC＝30°，则有∠CDE＝60°，易证△CDE是等边三角形，可以得出△BCD≌△ACE（SAS），则有BD＝AE；（3）①根据∠AFC=90°，M为AC的中点，得到 MF= 12AC=122⨯=1，则可知MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化，②连接MB，根据在△BMF中，BM MF BC，可知当点M，点B，点F三点共线时，BF最长，过点M作MH⊥BC，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，可得BC2AC，∠ACB＝45°，且MH ⊥BC ，则有∠CMH ＝∠HCM ＝45°，可得出MC ＝2HC ，根据点M 是AC 中点，得到AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ，则可求出BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ，利用tan ∠FBC ＝3MH HCBH HC=可得出结果． 【详解】解：（1）①ABD ADB ∠=∠． ∵点C 关于直线l 的对称点为点D ， ∴AD ＝AC ，且AB ＝AC ， ∴AD ＝AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠ABD ．②如图1，连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，∵AD ＝AB ＝AC,∴∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ．∵∠BAM ＝∠ADB +∠ABD ，∠MAC ＝∠ADC +∠ACD ， ∴∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，∴∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ＝2∠ADB +2∠ADC ＝2∠BDC ＝α ． ∴12BDC ＝．（2）如图3，连接CE ，∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°， ∵12BDC ＝，∴∠BDC ＝30°， ∵BD ⊥DE ， ∴∠CDE ＝60°．∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°．∴△CDE是等边三角形．∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD＝AE ．（3）①如图4，因为∠AFC=90°，M为AC的中点，∴ MF= 12AC=122=1．∴MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化．②法一：如图5，连接MB，∵在△BMF中，BM+MF≥BC∴当点M，点B，点F三点共线时，BF最长，如图6，过点M作MH⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC2AC，∠ACB＝45°，且MH⊥BC，∴∠CMH＝∠HCM＝45°，∴MH＝HC，∴MC2HC，∵点M 是AC 中点，∴AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ． ∴BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ． ∴tan ∠FBC ＝3MH HCBH HC =＝13． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 12．探究：如图①和②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B 、∠ADC 都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，则能得EF=BE+DF ，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF ；（3）拓展：如图③，在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE 的长．答案：B解析：（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）53【分析】（1）根据已知条件证明△EAF ≌△GAF ，进而得到EF=FG ，即可得到答案；（2）先作辅助线，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，根据（1），要使EF=BE+DF ，需证明△EAF ≌△GAF ，因此需证明F 、D 、G 在一条直线上，即180ADG ADF ∠+∠=︒，即180B D ∠+∠=︒；（3）先作辅助线，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ，根据已知条件证明△FAD ≌△EAD ，设DE=x ，则DF=x ，BF=CE=3﹣x ，然后再Rt BDF 中根据勾股定理即可求出x 的值，即DE 的长． 【详解】 （1）解：如图，∵把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合， ∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，BE=DG ， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：如图，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合， 则AE=AG ，∠B=∠ADG ，∠BAE=∠DAG ， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F 、D 、G 在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ； 故答案为：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=22，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=22AB AC +=4，如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ． 则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ， 设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，由勾股定理得：222DF BF BD =+，22(3)1x x =-+，解得：x=53， 即DE=53． 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．13．如图1，ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=，D 为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,AD 的对应点分别为点,BE ，且,,A D E 三点在同一直线上．（1）填空：CDE ∠=______（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若60α=︒，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若90α=︒，52AC =，直接写出四边形ABEC 面积的最大值______． 解析：（1）1802α-；（2）233AE BE CF =+；证明见解析；（3）25(21)2+． 【分析】（1）由旋转的性质可得CD CE =，DCE α∠=，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD BE =，CD CE =，60DCE ∠=︒，可证CDE ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得33DF EF CF ==，即可求解； （3）如图3中，过点C 作CF BE ⊥交BE 的延长线于F ，设AE 交BC 于J ．证明90ACJBEJ，推出点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC 的面积最大，此时EC EB =，分别求出ABC ∆，BCE ∆的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆，DCE α∠= CD CE ∴=1802CDE α︒-∴∠=．故答案为：1802α︒-． （2）233AE BE CF =+理由如下：如图2中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆AD BE ∴=，CD CE =，60DCE ∠=︒ CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥ 33DF EF CF ∴==AE AD DF EF =++ 233AE BE CF ∴=+． （3）如图3中，过点C 作CWBE 交BE 的延长线于W ，设AE 交BC 于J ．CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转90︒得到CBE ∆，CAD CBE ，CAD CBE ∴∠=∠， AJC BJE ，90ACJBEJ，∴点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC的面积最大，此时EC EB =，CD CE =，90DCE ∠=︒， 45CED ∴∠=︒， 90AEW AEB ， 45CEW ， CF EW ， 45WCE CEW ，CWEW ，设CWEWx ，则2EC EB x ==，在Rt BCW 中，222BC CW BW ，222(2)(52)x xx ，225(22)2x ，21225(21)222BCESBE CW x ， 2521252115252222ABCBCEABECS SS四边形．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟悉相关性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．14．如图，△ABC 和△CEF 中，∠BAC ＝∠CEF ＝90°，AB ＝AC ，EC ＝EF ，点E 在AC 边上． （1）如图1，连接BE ，若AE ＝3，BE ＝58，求FC 的长度；（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数； （3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．答案：C解析：（1）422）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE 2BP ，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题； （2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF ＋AE 2BP ．如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ABE 中，AB ＝()2222583497-=-==BF AE ，∴AC ＝AB ＝7，∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4， ∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3，∴CF ＝22224442+=+=EF CE ； （2）①如图2﹣1中，当CM ＝CN 时， α＝∠MCE ＝∠ECN ＝12∠ACB ＝22.5°．如图2﹣2中，当NM ＝NC 时，α＝∠MCN ＝45°．如图2﹣3中，当CN ＝CM 时， ∠NCE ＝12∠BCM ＝67.5°，α＝∠ACE ＝45°＋67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°． （3）结论：CF ＋AE ＝2BP ． 理由：如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵∠BAC ＝∠BEC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠ACE ， ∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE （ASA ）， ∴BD ＝EC ＝EF ，AD ＝AE ， ∴△ADE 是等腰直角三角形， ∴DE 2AE ， ∵P 是BF 的中点， ∴BP ＝12BF ， ∵BP ＝12BF ＝12（2EF ＋DE ），CF 2EF ，DE 2AE ， ∴BP ＝122CF 2AE ）， ∴CF ＋AE 2． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．如图1，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,AB AD 上，且AE AF =，延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接,,EF GE CE ．（特例感知）（1）图1中GE 与CE 的数量关系是______________． （结论探索）（2）图2，将图1中的AEF 绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，连接FD 并延长到点G ，使得DC DF =，连接,,GE CE BE ，此时GE 与CE 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （拓展应用）（3）在（2）的条件下，若5,32AB AE ==EFG 是以EF 为直角边的直角三角形时，请直接写出GE 的长．答案：G解析：(1) GE 2CE ，(2)存在，证明见解析，（3）25810或16或4． 【分析】(1)连接GC ，证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD ≌△AEB ，再证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(3)根据E 、F 是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：(1)连接GC ， ∵AE =AF ，AD =AB ， ∴DF =BE ， ∵DG DF =， ∴DG = BE ，∵∠GDC =∠B =90°，DC =BC ， ∴△CDG ≌△CBE ， ∴CE =CG ，∠GCD =∠ECB ， ∵∠ECB +∠DCE =90°， ∴∠GCE =∠GCD +∠DCE =90°， ∴GE 2CE ； 故答案为：GE 2CE ；。

期末复习培优练习题（一）一．选择题1．下列各式计算正确的是（）A．3﹣2＝B．＝×C．＝4a（a＞0）D．÷＝2．式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1B．x≠1C．D．x＞﹣且x≠1 3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.54．下列说法不正确的是（）A．平行四边形对边平行B．两组对边平行的四边形是平行四边形C．平行四边形对角相等D．一组对角相等的四边形是平行四边形5．在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（）A．9 B．10 C．19 D．26．甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．下列命题中，正确的命题是（）A．一组对边平行但不相等的四边形是梯形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形8．在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，得到的直线的函数表达式为（）A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣5 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣19．若y关于x的函数关系式为y＝kx+1，当x＝1时，y＝2，则当x＝﹣3时函数值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣410．在四边形中，给出下列四个条件：①四边都相等，有一个内角是直角；②四个内角都相等，有一组邻边相等；③对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④对角线互相垂直平分且相等；其中能判定这个四边形为正方形的所有条件分别为（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④11．若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x ﹣5）+3＝0的解为（）A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝512．如图，在直角坐标系中，已知点A（6，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值（）A．B．3 C．2D．3二．填空题13．计算：（5+）（5﹣2）＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝．15．直线y＝﹣2x+1不经过第象限．16．若直线y＝（m2﹣4m+1）x+（2m+1）与直线y＝﹣2x+3平行．则m的值为．17．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝°．（点A，B，C，D，P 是网格线交点）18．如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝，∠A＝45°．过点B、D分别作BE⊥AD，DF⊥BC，交AD、BC与点E、F．点Q为DF边上一点，∠DEQ＝30°，点P 为EQ的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN＝EQ，则EM的长等于．三．解答题19．计算：（1）×+（2）2﹣6+20．在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；＝2，求点C的坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC21．为了解某校八年级学生科普知识竞赛的情况，现从中随机抽取部分学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为，图①中的m的值为；（Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；（Ⅲ）若该校八年级共有学生300人，如果竞赛成绩达到28分（含28分）及以上为优秀，请估计该校八年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数．22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，且点A、B、C均在格点上．（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形并写出点D的坐标；（2）菱形ABCD的周长为；（3）菱形ABCD的面积为．24．某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B 两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B 两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．（1）请填写下表A（吨）B（吨）合计（吨）C（吨）240D（吨）x260总计（吨）200 300 500（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞0），其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．参考答案一．选择题1．A．2．A．3．D．4．D．5．A．6．D．7．A．8．D．9．B．10．C．11．C．12．B．二．填空题13．19．14．9．15．三．16．3．17．4518．1或2三．解答19．解：（1）原式＝+4＝3+4＝7；（2）原式＝4﹣6+4＝2．20．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（1，0），B（0，﹣2）分别代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；（2）设C（t，2t﹣2）（t＞1），＝2，∵S△BOC∴×2×t＝2，解得t＝2，∴C点坐标为（2，2）．21．解：（Ⅰ）9÷18%＝50（人），12÷50＝24%；故答案为：50，24；（Ⅱ）∵在这组数据中，18出现14次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是18；将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是18，因此中位数是18；＝＝17.8；答：平均数为17.8，中位数是18，众数是18；（Ⅲ）300×＝174人，答：该校八年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数为174人．22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，∴ED＝BF，又∵AD∥BC，∴四边形BFDE是平行四边形．23．解：（1）以线段AB、BC为边的菱形ABCD是菱形．D（﹣2，1）．故答案为D（﹣2，1）．（2）∵B（3，﹣4），C（2，0），∴BC＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为4．（3）∵A（﹣1，﹣3），C（2，0），B（3，﹣4），D（﹣2，1），∴AC＝3，BD＝5，∴S＝•5＝15．菱形ABCD故答案为15．24．解：（1）∵D市运往B市x吨，∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）＝（x﹣60）吨，故答案为：x﹣60、300﹣x、260﹣x；（2）由题意可得，w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，∴w＝10x+10200（60≤x≤260）；（3）由题意可得，w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，当0＜m＜10时，x＝60时，w取得最小值，此时w＝（10﹣m）×60+10200≥10320，解得，0＜m≤8，当m＞10时，x＝260时，w取得最小值，此时，w＝（10﹣m）×260+10200≥10320，解得，m≤，∵＜10，∴m＞10这种情况不符合题意，由上可得，m的取值范围是0＜m≤8．25．解：（1）①∵∠ABC＝90°，∴BD＝AC＝＝＝，故答案为，②∵A（0，3），B（5，0），∴AB＝＝，设点P（m，n），O（0，0），∴OP＝＝，∵m ，n 都为整数，∴点P （3，5）或（5，3）； 故答案为P （3，5）或（5，3）； （2）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EBF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形； （3），，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2， ∴BC ＝2，AC ＝4，准矩形ABCD 中，BD ＝AC ＝4， ①当AC ＝AD 时，如图1，作DE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝AB ＝1， ∴DE ＝＝＝，∴S 准矩形ABCD ＝S △ADE +S 梯形BCDE ＝DE ×AE +（BC +DE ）×BE ＝×+（2+）×1 ＝+；②当AC ＝CD 时，如图2，作DF ⊥BC ， ∴BD ＝CD ， ∴BF ＝CF ＝BC ＝，∴DF ＝＝＝，∴S 准矩形ABCD ＝S △DCF +S 梯形ABFD ＝FC ×DF +（AB +DF ）×BF ＝××+（2+）×＝+； ③当AD ＝CD ，如图3，连接AC 中点和D 并延长交BC 于M ，连接AM ，连接BG ，过B 作BH ⊥DG ， 在Rt △ABC 中，AC ＝2AB ＝4， ∴BD ＝AC ＝4， ∴AG ＝AC ＝2， ∵AB ＝2， ∴AB ＝AG ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠ABG ＝60°，∴∠CBG ＝30°在Rt △BHG 中，BG ＝2，∠BGH ＝30°， ∴BH ＝1，在Rt △BHM 中，BH ＝1，∠CBH ＝30°， ∴BM ＝，HM ＝，∴CM ＝， 在Rt △DHB 中，BH ＝1，BD ＝4，∴DH ＝，∴DM ＝DH ﹣MH ＝﹣， ∴S 准矩形ABCD ＝S △ABM +S 四边形AMCD ， ＝BM ×AB +AC ×DM ＝××2+×4×（﹣） ＝2； 故答案为+，+，2．。

填空：1、36÷4＝9，这个算式读作（），其中除数是（），商是（）。

2、8+22＝30，54－30＝24，把这两道算式改写成一道算式应该是（）。

3、72÷8=9可以表示72里面有（）个（）。

4、计算54÷9＝（）时，用到的乘法口诀是（）。

5、一个直角三角板中有一个（）角，两个（）角。

6、风扇转动是（）现象，推拉抽屉（tì）是（）现象。

7、将下列算式填在合适的（）里。

35÷742÷67×772÷836÷6（）> ( ) > ( ) >( ) >( )判断下面的话对吗？（5分)1、计算35-（23-12）时，先算23-12。

（）2、12÷4=3,这道算式表示把12分成4份，每份是3。

（）3、风车转动是平移现象。

（）4、计算7×8和56÷7用同一句乘法口诀。

（）5、比锐角大的角一定是钝角。

（）二年级下册培优练习题（二）1、直接写得数。

54÷9＝5×8＝54＋6＝7÷7＝64－8＝16÷2＝7×3＝32÷8＝36÷6＝16÷2＝48÷6＝45÷5=56÷8＝63÷9＝ 83－25＝6×7＝72÷8＝27÷3＝6＋8÷4＝4×9÷6＝48÷8×5＝9×8＋15＝8×7－30＝7×3－17＝2、用脱式计算。

3×9＋23 42＋81÷924÷（4+2）4×9÷61、有15个●，每3个一份，可以分成（）份，算式是（）。

2．18÷3＝（），读作（），表示把（）平均分成（）份，每份是（）。

一年级小学数学培优练习题第一部分: 加法练习题1. 小明有4个苹果，他又从果篮里拿了2个苹果。

请问他一共有多少个苹果？2. 小红有7个糖果，她又从朋友那里得到了3个糖果。

请问她一共有多少个糖果？3. 请你计算：3 + 2 = ?4. 请你计算：4 + 5 = ?5. 请你计算：6 + 1 = ?第二部分: 减法练习题1. 小明有6个苹果，他吃掉了2个苹果。

请问他还剩下多少个苹果？2. 小红有8个糖果，她送给了朋友4个糖果。

请问她还剩下多少个糖果？3. 请你计算：5 - 2 = ?4. 请你计算：7 - 3 = ?5. 请你计算：9 - 4 = ?第三部分: 数字排序练习题请你按照从小到大的顺序排列下列数字：6, 3, 9, 1, 5第四部分: 数字填空练习题1. 请你填入空白处，使等式成立：3 + ___ = 82. 请你填入空白处，使等式成立：7 - ___ = 33. 请你填入空白处，使等式成立：___ + 4 = 10第五部分: 数字比较练习题请你判断下列不等式是否成立，用 "<" （小于）、"=" （等于）或">" （大于）表示。

1. 7 + 2 ___ 102. 6 + 3 ___ 93. 5 + 4 ___ 9第六部分: 图形识别练习题请你用线连起相匹配的图形。

- 图形1: ○- 图形2: □- 图形3: △- 图形4: ★A. 图形1与图形2匹配B. 图形2与图形3匹配C. 图形3与图形4匹配以上是一年级小学数学培优练习题的内容，通过这些练习题，孩子们可以巩固他们的加法和减法运算能力，提高数字排序和比较的能力，并培养他们对基本图形的识别能力。

希望这些练习题能对孩子们的数学学习有所帮助。

培优专题综合练习题（一）一、选择题1．如图所示的立方体，如果把它展开，能够是下列图形中的（）2．将图中的硬纸片沿虚线折起来，便可做成一个正方体，•则这个正方体的2号面的对面是（）号面A．3 B．4 C．5 D．63．对图中最左面的一些几何体，从正面看，图A、B、C、D中准确的是（）4．若a、b、c、d为互不相等的整数，abcd=25，那么a+b+c+d等于（） A．-8 B．0 C．12 D．285．使用计算器计算-24÷（-4）×（12）2-12×（-15+24）3，准确的是（）A．-10 B．10 C．-11 D．116．计算：34°45′÷5+47°42′37″×2准确的是（）A．101°22′14″ B．102°22′14″B．102°23′14″ D．102°24′14″7．若（x2+nx+3）（x2-3x+m）的展开式中不含x2和x3项，则m-3n的值为（）A．-3 B．3 C．15 D．-158．若一个整数为两位数，等于其数字和的k倍，现互换其数字的位置，则此新数为其数字和的（）A．（k-1）倍 B．（9-k）倍 C．（10-k）倍 D．（11-k）倍二、填空题1．计算：4×（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=__________．2．已知2a2-3a-5=0，则4a4-12a3+9a2-10的值为___________．3．已知一个角的余角的补角等于这个角的5倍加上10°，则这个角等于_______．4．线段AB=1996cm，P、Q为线段AB上两点，线段AQ=1200cm，线段BP=1050cm，•则线段PQ=________cm．三、解答题1．计算：1+12+1+12+13+23+1+23+13+14+12+34+1+34+12+14+…+120+110+320+…+1920+1+1920+…+120．2．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．3．如图综-4有3个面积都是k的圆放在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是2k+2，•并且重叠的两块是等面积的，直线L过两圆心A、B，如果直线L下方被圆覆盖的面积是9，试求k的值．答案：一、1．D 2．C 3．D 4．B提示：∵a、b、c、d是互不相等的整数且abcd=25，∴abcd=25=（-1）×1×（-5）×5．5．C 6．B 7．A提示：含x2项是mx2+3x2-3n x2=（m+3-3n）x2，含x3项是-3x3+nx3=（n-3）x3．∵展开式中不含x2项和x3项，∴30330nm n-=⎧⎨-+=⎩解得63mn=⎧⎨=⎩∴m-3n=6-3×3=-3．提示：设两位数字的十位数字和个位数字分别为a、b，则10a+b=k（a+b）①现互换其数字的位置后所得新数为其数字和x倍，则10b+a=x（b+a）②①+②得11（a+b）=（k+x）（a+b），∴11=k+x，即x=11-k．二、1．12×363-12．提示：设原式=M则2M=2×4×（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1） =（3-1）（3+1）（32+1）…（332+1）=（32-1）（32+1）…（332+1）…=（332-1）（332+1）=364-1．∴M=（364-1）×12=12×364-12．2．15．提示：∵2a2-3a-5=0，∴2a2-3a=5．∴4a4-12a3+9a2-10=4a4-6a3-6a3+9a2-10=2a2（2a2-3a）-3a（2a2-3a）-10 =10a2-15a-10=5（2a2-3a）-10=25-10=15．3．20°．提示：设这个角为x °，则这个角的余角为（90-x ）°，余角的补角为（180-90+x ） 由题意得：180-90+x=5x+10．解之得 x=20°．4．254cm ．提示：如图综-1， A PPQ=AQ-AP=AQ-（AB-BP ）=1200-（1996-1050）=254．三、1．210．提示：原式=1+1212+++(12)233+⨯++(123)244++⨯++… +(12319)22020++++⨯+=1+2+3+…+20=20(120)2⨯+=210． 2．495．提示：设N 为所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c （a 、b 、c•不全相等），将其数码重新排列后，连同原数共得到6个三位数：abc 、acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，设其中最大数为abc ，则其最小数为cba ．根据“新生数”定义，•得：N=abc -cba =（100a+10b+c ）-（100c+10b+a ）=99（a-c ）．可知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这9个数中，只有954-459=495．∴495是惟一的三位“新生数”．3．6．提示：设两圆重叠部分的每一块面积为m ，则：m=12[3k-（2k+2）] =22k - ∴9=2k +2k +k-22k --12·22k -9=322k+-24k-9=54k+32∴k=6．。

五年级培优题五年级完整版培优练习题一．填空题1﹑最小的质数是（），最小的合数是（），最小的自然数是（）。

2﹑连续三个偶数和是84，那么这个三个偶数是（），（），（）。

3﹑用15秒可以把一根木头锯成4段，用同样的速度将这根锯成5段需要（）秒。

4﹑一列火车长390米,每秒行17米.全车通过一座长120米的大桥,需要()秒.5﹑今年爸爸和小明年龄和是36岁,两年后爸爸和小明年龄和是()岁.6﹑40个学生参加校运动会中的田赛和径赛,参加田赛的有26人,参加径赛的有30人,两项都参加的有()人.二．计算题（要求运用简便方法）1、7.5x2.3+1.9x2.5+22.5x0.42、(0.54x0.75x0.48)÷(0.25x0.24x0.27)3、7.74x(2.8-1.3)+1.5x2.264、89.343+3889.3+8931.9三、解决问题1、一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。

最初小狗从甲树跑向乙树，一共跑了41次（往返算2次），最后小狗停在哪个棵树旁？跑了256次呢？2、甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？3、在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走45米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走75米，小刚上、下山平均每分钟走多少米？4、一袋糖果分给若干个小朋友，若每人分6块，多25块，若每人分8块，则差7块，问有多少个小朋友？多少块糖？5、一个服装厂原来做一种儿童服装，每套用布2.2米。

现在改进了裁剪方法，每套节省布0.2米。

原来做600套这种服装所用的布，现在可以做多少套？6、自动扶梯以均匀的速度往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达梯顶，女孩用了6分钟到达梯顶。

问：扶梯一共有多少级。

解一元一次方程培优专项练习题一：选择题1、下列方程中，是一元一次方程的是（ ）（A ）;342=-x x （B ）;0=x （C ）;12=+y x （D ）.11xx =- 2、根据“x 的3倍与5的和比x 的 少2”可列方程（）A 、B 、C 、D 3、若方程 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 和c 的值满足（ ）A 、 ，b=0，c 为任意数B 、C 、D 、 4、方程063=+x 的解的相反数是( ）A.2 B.-2 C.3 D.-3 5、 当x=2时，代数式ax-2的值是4，那么，当x=-2时，这个代数式的值是（ ） A 、-4 B 、-8 C 、8 D 、26、方程x （x+1）=0的根是（）A 、0 B 、1 C 、0和1 D 、0和-17、已知关于x 的方程432x m -=的解是x=m,则m 的值是( )A.2 B.-2 C.2或7 D.-2或78、方程 的解是（）A 、 B 、 C 、 D 、 二、填空题1、6、已知 是关于x 的一元一次方程，求m=2、已知代数式15+a 与)5(3-a 的值相等,那么=a ___.3、若3x+2与-5x-8互为相反数,则x-2的值为_______｡4、已知方程x+1=-1与方程2x-k=-x 有相同的解，那么-k=5、若 是同类项，则3x+2y= 。

6、当k= 时，多项式 中不含xy 项。

7、已知-2是方程3|a|-x=1-2x 的解，那么a= 。

三、解答题1、解方1：（1）23579x x x -=++ （2）2x-3=3x-(x-2) （3）32)32(63=+-x2、解方程2：（1）3157146x x ---= （2）322126x x x -+-=-2353-=+x x 2353+=+x x ()2353-=+x x ()2353+=+x x 31()0122=++-c bx x a 21=a 0,0,21=≠≠c b a 0,0,21≠≠=c b a 为任意数c b a ,0,21≠=012=-x 2121-21±2±()()081122=++--x m x m 8213222+-+--x xy y kxy x 122213++y x ab b a 与（3）42331+-=--y y y （4） 42311212--=+-x x x3、解方程3：（1）35.012.02=+--x x （2）301.032.01=+-+x x四：能力提高1、解方程：（1） （2）（3）（4）（5） （6）（7） （8）()()()121212345--=+--x x x 633252212+-+=+--x x x x 2503.002.003.05.09.04.0-=+-+x x x 146151413121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 3221221413223x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-22136132432-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+--x x x x ()()()()4614351241131+-=++-++x x x x 012.015018.021024.017---=-x x x2、解答题（1）关于x 的方程27x-32=11m 和x+2=2m 有相同的根，求m 的值（2）如果方程 的解也是当成|3x-2|=m 的解，求m 的值？（3）已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k 的解？（4）方程|x-5|+2x=-5的解是多少？方程|5x+6|=6x-5的解是多少？（5）当a 为何值时，关于x 的方程 ①有唯一解？②无解？（6）求适合下列条件的x① ② ③23252+-=-x x ()6612131--=+x ax a x 023=--x x 5342=++-x x 56151xx -=--。

培优练习题一年级语文一年级语文培优练习题
一、汉字书写练习
1. 请正确书写下列汉字，并注音：
- 春（）
- 雨（）
- 花（）
- 草（）
2. 请在田字格中规范书写下列词语：
- 学校
- 老师
- 同学
- 书本
二、词语理解与运用
1. 选择正确的词语填空：
- 我的（）是红色的。

A. 书包
B. 苹果
2. 根据句子意思，选择恰当的词语：
- 我们一起去（）。

A. 公园
B. 学校
三、句子仿写
1. 例句：小猫咪在草地上玩耍。

仿写：小鸭子在（）。

2. 例句：春天来了，花儿都开了。

仿写：夏天到了，（）。

四、阅读理解
阅读下面的短文，回答问题：
春天的公园里，小朋友们在草地上玩耍。

有的在放风筝，有的在踢足球，还有的在跳绳。

他们玩得很开心。

1. 小朋友们在哪里玩耍？
2. 他们在玩什么？
3. 他们玩得怎么样？
五、看图写话
观察下面的图片，写一段话描述图中的情景。

[图片描述：一个小男孩在公园里喂鸽子]
六、古诗文背诵
请背诵并默写下面的古诗：
《春晓》
春眠不觉晓，
处处闻啼鸟。

夜来风雨声，
花落知多少。

七、综合运用
1. 你在学校里最喜欢的活动是什么？为什么？
2. 描述一下你和你的家人一起度过的一个愉快的周末。

通过这些练习题，一年级的同学们可以加强对语文基础知识的掌握，提高阅读理解和写作能力，同时培养对语文学习的兴趣。