2020年高中数学人教A版必修第一册 专项练习《 基本不等式》 学生版

人教A 版必修一基本不等式同步练习题一 选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（ ）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（ ） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（ ）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3C ．4D ．8二 填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 ．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。

课时分层作业(九) 基本不等式的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题 1．若x ＋1x －2()x >2在x ＝a 时取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 C [当x >2时，x －2＋1x －2＋2≥2()x －2·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2()x >2，即x ＝3时取等号，所以x ＝3，即a ＝3，选C.] 2．设x 、y 为正数，则()x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．15 B [()x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×yx ＝5＋4＝9.当且仅当y ＝2x 时，等号成立．]3．已知x ＋y ＝1，x ，y ∈R ＋，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 D [∵x ＋y ＝1，x ＞0，y ＞0， ∴xy ≤14，在x ＝y ＝12时取等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝2＋xy xy ＝2xy ＋1≥214＋1＝9.故选D.] 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号).故该容器的最低总造价是160元．] 5．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．[0，＋∞)D ．[2，4]B [∵x ＋1x －2≥a 恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值． ∵x ＞2，∴x －2＞0. ∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.] 二、填空题6．设x ，y ，z 均为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________． 3 [由已知，得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝（x ＋3z 2）2xz ＝14(x z ＋9z x ＋6)≥14(2x z ·9z x ＋6)＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3.]7．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1＋2y 2xy 的最小值为________．26＋4 [1＋2y 2xy ＝（x ＋2y ）2＋2y 2xy＝x y ＋6yx ＋4≥26＋4.当且仅当x ＝6y 时等号成立．]8．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．4 [∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号． 故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.]三、解答题9．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3 ＝118－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x ＋3）＋784x ＋3－12 ＝130－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x ＋3）＋784x ＋3 ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号．所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益． 10．当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3的最小值．[解] ∵x >3，∴x －3>0. 又y ＝2x 2x －3＝2（x －3）2＋12（x －3）＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22（x －3）·18x －3＋12＝24，当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立． 所以，y ＝2x 2x －3的最小值为24.11．若x ，y ，z 均为正实数，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2的最大值是( )A ．22 B ．2 C ．22 D ．23A [xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2＝xy ＋yz ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＋z 2≤xy ＋yz 2xy ＋2yz ＝22，当且仅当x ＝z ＝22y 时，等号成立．]12．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则()1＋x ()1＋y 的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．25 D ．36 C [()1＋x()1＋y ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤()1＋x ＋()1＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋()x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y＝4时，等号成立．]13．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2C [(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·yx ＝a ＋2a ＋1，当且仅当a ·x y ＝yx 时，等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，∴a ≥2，则a ≥4. ∴a 的最小值为4.]14．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，试求使不等式1a －b ＋1b －c ≥na －c 成立的n 的最大值为________．4 [∵a －c ＞0，要使原不等式成立，只需a －ca －b ＋a －cb －c ≥n 成立．即（a －b ）＋（b －c ）a －b ＋（a －b ）＋（b －c ）b －c≥n成立．也就是2＋b －c a －b＋a －b b －c≥n 成立．又b －c a －b＋a －b b －c≥2，∴n ≤4，∴n 有最大值为4.]15．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x >0，y >0，∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，即xy ≥8xy ， ∴xy ≥8，即xy ≥64.当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22x y ·8yx ＝18当且仅当2x y ＝8y x ，即x ＝2y ＝12时“＝”成立． ∴x ＋y 的最小值为18.。

第2课时 基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答 案』 A『解 析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答 案』 D『解 析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答 案』 A『解 析』 由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答 案』 AC『解 析』 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答 案』 B『解 析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答 案』 4『解 析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答 案』 3＋2 2 『解 析』 ∵2m ＋n ＝1， 则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 『答 案』 160『解 析』 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32， 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？ 解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45， 即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答 案』 A『解 析』 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答 案』 AC『解 析』 设矩形的长和宽分别为x ，y ， 则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答 案』 16『解 析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 a ≤0『解 析』 因为x >－1，所以x ＋1>0， 则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解 析』 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ， 由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

新教材高中数学基础练：基本不等式(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2 ≥23【解析】选D.a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．若0≤x ≤6，则f (x )＝x （8－x ） 的最大值为( ) A ．163 B ．4 C ．433D ．5【解析】选B.因为0≤x ≤6，所以8－x >0，所以f (x )＝x （8－x ） ≤x ＋（8－x ）2＝4，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，等号成立．故f (x )的最大值为4. 3．若f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( ) A ．52 B ．3 C ．72 D ．4 【解析】选B.由f (x )＝x ＋1x －2 ＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号．4．若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【解析】选A.当a >0，b >0时，a ＋b ≥2ab ，则当a ＋b ≤4时有2ab ≤a ＋b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立．当a ＝1，b ＝4时满足ab ≤4，但此时a ＋b ＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．5．(2021·玉溪高一检测)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ．2B ．2C ．22D ．4 【解析】选C.由ab ＝1a ＋2b≥22ab ，得ab ≥22 ，当且仅当1a ＝2b时取“＝”． 6．已知x ，y 为正实数，且xy ＝4，则x ＋4y 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【解析】选B.由题意，正实数x ，y 且xy ＝4，可得y ＝4x，则x ＋4y ＝x ＋16x≥2x ×16x ＝8，当且仅当x ＝16x时，即x ＝4时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是8.二、填空题(每小题5分，共10分)7．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1 －32 的最小值为______．【解析】y ＝x ＋22x ＋1 －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 ＋1x ＋12 －2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12 ＝1x ＋12，即x ＝12 时等号成立．所以函数的最小值为0. 答案：08．若a ，b 是正实数且a ＋b ＝1，则1a ＋2b的最小值为________．【解析】因为a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝b a ＋2ab＋3≥2b a ·2ab＋3＝3＋22 ，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b a ＝2a b，即a ＝2 －1，b ＝2－2 时，等号成立． 答案：3＋22三、解答题(每小题10分，共20分)9．设a ，b ，c 都是正数，求证bca ＋acb ＋ab c≥a ＋b ＋c .【证明】因为a ，b ，c 都是正数，所以bc a ，ac b ，ab c 也都是正数，所以bc a ＋ac b ≥2c ，ac b＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ac b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c ).即bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 10．(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (2)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【解析】(1)因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16 (2x ·3y )≤16 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 2 2 ＝16 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫62 2 ＝32 ，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32 ，y ＝1时，xy 取到最大值32.(2)因为1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy＋10，又因为x ＞0，y ＞0，所以y x＋9xy ＋10≥2y x ·9xy＋10＝16， 当且仅当y x＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知x >0，y >0，则“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A.若xy ＝1，由基本不等式，知x ＋y ≥2xy ＝2；反之，取x ＝3，y ＝1，则满足x ＋y ≥2，但xy ＝3≠1，所以“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的充分不必要条件．2．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2D ．最大值2【解析】选B.因为x >0，所以f (x )＝2x ＋1x≤1.3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C ．2aba ＋b ≤ab (a >0，b >0) D ．a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)【解析】选D.由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b 2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝（a －b ）24 ＋（a ＋b ）24 ＝a 2＋b 22 ，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．4．(多选题)规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数).若1⊗k ＝3，函数f (x )＝k ⊗xx，1≤x ≤4，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小值为3 B ．f (x )的最小值为2 C ．f (x )的最大值为72D ．f (x )的最大值为32【解析】选AC.由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，故k 的值为1.又f (x )＝＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3.由函数单调性知：f (x )＝＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x在x ＝4时有最大值为72 .二、填空题(每小题5分，共20分) 5．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________． 【解析】因为y ＝2x ＋1x －1 (x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1 ＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋22（x －1）1x －1＝22 ＋2. 当且仅当x ＝1＋22 时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22 ＋2. 答案：22 ＋26．定义运算“”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0).当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y ) ⊗x的最小值为________．【解析】因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y ) ⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x≥2 ，当且仅当xy＝2yx，即x ＝2 y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y ) ⊗x 的最小值为2 .答案：27．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1 的最大值为________． 【解析】a b 2＋1 ＝22 ×2 a b 2＋1 ≤22 ×12 (2a 2＋b 2＋1)＝24×(3＋1)＝2 ，当且仅当2 a ＝b 2＋1 ，且2a 2＋b 2＝3，即a 2＝1，b 2＝1时，等号成立．故a b 2＋1 的最大值为2 . 答案：28．已知x ，y ∈R ＋，且2x ＋y ＝4，则xy 的最大值是________．【解析】因为x ，y ∈R ＋，由基本不等式可得4＝2x ＋y ≥22xy ，得xy ≤2， 当且仅当2x ＝y ，即x ＝1，y ＝2时，等号成立． 因此xy 的最大值是2. 答案：2三、解答题(共30分)9．(10分)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3， 求：(1)ab 的取值范围． (2)a ＋b 的取值范围．【解析】(1)因为ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，所以t 2－2t －3≥0所以(t －3)(t ＋1)≥0.所以t ≥3即ab ≥3，所以ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．(2)因为ab ＝a ＋b ＋3，所以a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2.令t ＝a ＋b >0，所以t 2－4t －12≥0，所以(t －6)(t ＋2)≥0.所以t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 10．(10分)(1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值．(2)设0<x <32 ，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值． 【解析】(1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．所以函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)因为0<x <32 ，所以3－2x >0，所以y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）2 2＝92 .当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34 时，等号成立．因为34 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 .所以函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32 的最大值为92 . (3)因为x >2，所以x －2>0，所以x ＋4x －2 ＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. 11．(10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 【证明】(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b＋b a≥2＋2＝4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立 .(2)方法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba，同理，1＋1b ＝2＋a b，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12 时等号成立). 方法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab.由(1)知，1a ＋1b＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12 时，等号成立．。

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

课时分层作业(十) 基本不等式（建议用时：60分钟）[合格基础练]一、选择题1．设t ＝a ＋2b ,s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s 〉tC ．s ≤tD ．s 〈tA [∵b 2＋1≥2b ,∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1.］2．下列不等式中正确的是( ）A ．a ＋错误!≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥错误! D ．x 2＋错误!≥2错误!D [a ＜0，则a ＋错误!≥4不成立,故A 错;a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错;a ＝4，b ＝16，则错误!＜错误!，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．]3．已知a 〉0，b 〉0,则下列不等式中错误的是( )A ．ab ≤错误!2B ．ab ≤错误!C 。

错误!≥错误! D.错误!≤错误!2D [由基本不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab≤错误!2,∴错误!≥错误!2，故选D.］4．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞b ＞错误!＞错误!B ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞错误!＞b ＞错误!D.a ＞错误!＞错误!＞bB［a＝错误!＞错误!＞错误!＞错误!＝b，因此只有B项正确．]5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4,则下列不等式恒成立的是( ）A.错误!＞错误!B。

错误!＋错误!≤1C。

错误!≥2 D.错误!≤错误!D［由ab≤2得ab≤4，∴错误!≥错误!，故A错；B中，错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥1，故B错；由a＋b＝4，得错误!≤错误!＝错误!＝2，故C错；由错误!≥错误!2得a2＋b2≥2×错误!2＝8,∴错误!≤错误!，D正确．］二、填空题6．已知a＞b＞c，则a－b b－c与错误!的大小关系是________．错误!≤错误!［∵a＞b＞c，∴a－b＞0,b－c＞0，∴错误!≤错误!＝错误!.]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值错误!的大小关系为________．x≤错误![用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a）(1＋b),A(1＋x)2，则有（1＋x）2＝(1＋a)（1＋b）．∴1＋x＝错误!≤错误!＝1＋错误!，∴x≤错误!。

精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D 【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8，故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<< 【答案】D 【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为故选：C5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ）A ．最小值4B ．最大值4C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b=++4≥ 8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤BC ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x xx=+≥，等号成立当且仅当24x a =，∴2x ==，解得：16a =，故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】 由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=， 则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ）A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+，∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．7+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y>，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 262x +-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?3xy xy x y z x xy y x y y xy x===-++--， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+ ()2242114131xx ≥+⋅=-=+， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(),221-∞由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8 【详解】1x >，∴函数1115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号． )120∴≥，∴21≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】 因为x ，0y >，且194x y+=， 所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________.【答案】25【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值. 【答案】20202019-【详解】由已知有： 22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10 26．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元. 根据题意可设1y xλ=，2y x μ=. 由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x >⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值． 【答案】（Ⅰ）32a b ==时，11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a =-3b =-+32+； 【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b a a b a b a b a b a b +++=+=+=+++=， 当且仅当33b a a b =且3a b +=，即32a b ==时取等号， 3211423log a b ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭即最大值为2-， （Ⅱ）3a b +=， ∴223313131(1)121111a b a b a b a b a b a b a b ++=++-+=+-++=++++++ 3113(1)3(1)2()()332314444(1)4(1)a bb a b a a b a b b ++=+++=+++=+++ 当且仅当3(1)44(1)b a a b +=+且3a b +=，即6a =-3b =-+ 29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+； （2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥， ∴()2232a b b a b +≥+. （2）∵0a >，0b >， ∴22ab a b ab =+≥，即22ab ab ≥， ∴1≥ab ，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。

2020年高中数学人教A 版必修第一册 专项培优《 基本不等式》一、选择题1.不等式(x-2y)＋1x －2y≥2成立的条件为( ) A.x ≥2y ，当且仅当x-2y=1时取等号B.x>2y ，当且仅当x-2y=1时取等号C.x ≤2y ，当且仅当x-2y=1时取等号D.x<2y ，当且仅当x-2y=1时取等号2.已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.83.若2x ＋2y =1，则x ＋y 的取值范围是( )A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]4.设M=3x ＋3y 2，N=(3)x ＋y ，P=3xy(x ，y ＞0，且x ≠y)，则M ，N ，P 大小关系为( ) A.M ＜N ＜P B.N ＜P ＜M C.P ＜M ＜N D.P ＜N ＜M5.已知a ，b 都是正数，设M=a b ＋b a，N=a ＋b ，则( ) A.M>N B.M<N C.M=N D.M ≥N6.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m7.点P(x ，y)是直线x ＋3y －2=0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )A.最大值8B.最小值8C.最小值6D.最大值68.若x>4，则函数y=x ＋1x －4( ) A.有最大值－6 B.有最小值6C.有最大值－2D.有最小值29.已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2=4，那么ab( )A.有最大值2，有最小值－2B.有最大值2，但无最小值C.有最小值2，但无最大值D.有最大值2，有最小值010.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.2311.已知a>0，b>0，2a ＋1b =16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( ) A.8 B.7 C.6 D.512.若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2- 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4-2 2二、填空题13.已知点P(x ，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为________.14.已知x ≥52，则f(x)=x 2－4x ＋52x －4的最小值为________.15.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________.16.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6=xy ，则xy 的最小值是________.三、解答题17.已知a ，b 为正实数，且a ＋b=1，求1a ＋2b的最小值.18.已知x ≥52，求f(x)=x 2－4x ＋5x －2的最小值.19.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac≥4.20.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.22.已知a>0，b>0，a ＋b=1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.23.已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.。

2.2 基本不等式1. 利用基本不等式比较大小;2. 变形技巧:“1”的代换;3. 证明不等式;4. 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法;5. 求参数的取值范围问题;6.求最大（小）值;7.均值不等式在实际问题中的应用一、单选题1．（2020·浙江高一单元测试）若0a <b <,则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-【正确答案】D 【详细解析】因为0a <b <,所以0->->a b 所以a b >,11a b -<-即11a b>,故A,B 正确. 因为()20a b -≥,所以222a b ab +≥,所以222a b ab +>故C 正确.当 2,1a b =-=-时, +<-a b 故D 错误. 故选:D2．（2020·全国高一课时练习）若0a b << ,则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2a ba b +>>> B ．2a bb a +>>>C ．2a bb a +>>> D ．2a bb a +>>>【正确答案】C 【详细解析】因为0a b <<,所以2b a b >+,又由基本不等式可得:2a b +>所以2a bb +>>,又2ab a >,a >,因此2a bb a +>>>. 故选:C.3．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x,y ＞0且x+4y=1,则11x y+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】B 【详细解析】0x y ，＞ 且41x y += ,∴11114 4?1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+（）（）．当且仅当1136x y ，==时,等号成立． ∴11x y+的最小值为9． 故选:B ．4．（2020·浙江高一单元测试）如图,某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场详细分析每辆客车营运的总利润y （单位:10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系,若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【正确答案】C 【详细解析】可设y=a( x －6)2+11,又曲线过( 4,7),∴7=a( 4－6)2+11 ∴a=－1． 即y=－x 2+12x －25,∴=12－( x+)≤12－2=2,当且仅当x=5时取等号. 故选C ．5．（2020·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >,0b >,11111a b +=++,则2+a b 的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．2【正确答案】B 【详细解析】 ∵0a >,0b >,11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥当且仅当2(1)111b a a b ++=++,即a =2b =时取等号.故选B6．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,则实数a 的最小值为 （ ） A ．1B ．52C ．2D ．32【正确答案】D 【详细解析】 设2()2f x x x a=+-,,0x a x a >∴->,227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,需min ()7f x ≥, 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--,当且仅当11x a x a -==-,即1x a =+时等号成立, 3427,2a a ∴+≥≥.故选:D.7．（2020·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知0a >,0b >,1ab =,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B 【详细解析】 由1ab =知,12m b b a =+=,12n a a b=+=,∴()24m n a b +=+≥=,当且仅当1a b ==时取等号. 故m n +的最小值为4 故选:B8．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数,x y 满足221x xy y -+=,则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B 【详细解析】原式可化为:22()1313()2x y x y xy ++=+≤+,解得22x y -≤+≤,当且仅当1x y ==时成立．所以选B. 9．（2020·河南高二期末（理））设,,a b c 为任意正数．则111,,a b c b c a+++这三个数（ ）A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【正确答案】C 【详细解析】假设三个数均小于2,即1112,2,2a b c b c a +<+<+<,故1116a b c a b c+++++<,而1116a b c a b c +++++≥=, 当1a b c ===时等号成立,这与1116a b c a b c+++++<矛盾, 故假设不成立,故至少有一个不小于2,C 正确;取2a b c ===,计算排除BD;取1a b c ===,计算排除A. 故选:C.10．（2020·浙江金华·高一期末）已知x ,0y >,则41x y x y+++的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．【正确答案】B 【详细解析】因为x ,0y >,由基本不等式可得,416x y x y +++≥=,当且仅当2,1x y ==时等号成立．故选:B ． 二、多选题11．（2020·浙江高一单元测试）已知函数11(0)y x x x=++<,则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-【正确答案】CD 【详细解析】0x <,∴函数111()12(11()y x x x x x ⎡⎤=++=--++--=-⎢⎥-⎣⎦,当且仅当1x =-时取等号,∴该函数有最大值1-．无最小值．故选:CD ．12．（2020·海南高二期末）已知实数a 、b 满足0a b >>,则下列不等式一定成立的有（ ） A ．22a b < B ．a b -<- C ．2b aa b+> D ．a b ab +>【正确答案】BC 【详细解析】因为0a b >>,于是22a b >,A 项不成立; 由0a b >>得a b -<-,B 项正确;由基本不等式可知2b a a b +≥=,因为a b ,所以等号取不到,所以C 项正确;当3a =,2b =时,D 项不成立. 故选:BC.13．（2020·山东德州·高三二模）若正实数a ,b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【正确答案】AB 【详细解析】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选:AB14．（2019·山东泰山·泰安一中高一期中）设0a >,0b >,给出下列不等式恒成立的是（ ）. A ．21a a +> B ．296a a +> C ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】ACD 【详细解析】 设0a >,0b >,22131024a a a ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭,A 成立,2296(3)0a a a +-=-,B 不成立()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭,当且仅当b a a b =即a b =时取等号,故C 成立,12a a +,12b b +,114a b a b ⎛⎫⎛⎫∴++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a a =,1b b =即1a b ==时取等号,故D 成立,故选:ACD ． 三、填空题15．（2020·浙江高一单元测试）已知04x <<,则414x x+-的最小值为______．【正确答案】94． 【详细解析】用“1”的代换法配凑出定值,然后用基本不等式得最小值．4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 当且仅当4(4)4x x x x -=-,解得1288,3x x ==, 又因为04x <<,所以83x =时等号成立．故正确答案为:94．16．（2020·全国高一）若0, 0a >b >,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【正确答案】充分不必要 【详细解析】当0,0a b >>时,由基本不等式,可得a b +≥,当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性是成立的; 例如:当1,4a b ==时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立, 综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故正确答案为充分不必要条件.17．（2020·全国高一）若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+4y 2的最小值为______． 【正确答案】4 【详细解析】 若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +≥⋅⋅==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4 故正确答案为:4 四、双空题18．（2019·全国高一课时练习）若1x >,则1141x x ++-的最小值是______,此时x =______.【正确答案】9 32【详细解析】因为1x >,即10x ->所以1114=4(1)545911x x x x ++-++≥+=-- 当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时取等号．故第一空填9,第二空填3219．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗）,要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的宽为________m ;高为________m . 【正确答案】323 【详细解析】设窗户的宽为x ,则其高为62x -,要使阳光充足,只要面积最大,()()()23962232[]22x x S x x x x +-=-=-≤⨯=,当且仅当32x =时等号成立,这时高为3m .故正确答案为:( 1).32( 2). 3 用基本不等式求最值问题:已知0,0x y >>,则:( 1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x y =时,x y +有最小值是.( 简记:积定和最小)( 2)如果和x y +是定值p ,那么当且仅当x y =时,xy 有最大值是24p .( 简记:和定积最大)20．（2020·浙江金华·高一期中）已知正数a ,b 满足a +b =1,则1b a b+的最小值等于__________ ,此时a =____________. 【正确答案】3 12【详细解析】根据题意,正数a 、b 满足1a b +=,则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=, 当且仅当12a b ==时,等号成立,故1b a b+的最小值为3,此时12a =.故正确答案为:3;12.21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数x 、y 满足1x y +=,则: （1）22xy +的最小值为________．（2）若14a x y+>恒成立,则实数a 的取值范围是______． 【正确答案】12(),9-∞ 【详细解析】( 1)因为正数x ､y 满足1x y +=,所以21()24x y xy +≤=,当且仅当12x y ==时取等号, 所以2221()2122x y x y xy xy =+-=-≥+;( 2)因为正数x ､y 满足1x y +=,14144()()1459x y x y x y x y y x∴+=++=+++≥+=, 当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时取等号, 所以9a <;故正确答案为:()1;,92-∞ 五、参考解答题22．（2020·全国高一课时练习）已知a ,b ,c 为任意实数,求证:222a b c ab bc ca ++++． 【正确答案】见详细解析 【详细解析】∵222a b ab +,22222,2b c bc c a ca ++,∴()22222()a b cab bc ca ++++．即222a b c ab bc ca ++++．当且仅当a b c ==时,等号成立． 23．（2020·全国）设a ,b ,c 都是正数,求证:bc ca aba b c a b c++++．【正确答案】详见详细解析 【详细解析】证明:∵a ,b ,c 都是正数, ∴由重要不等式可得:2bc ca c a b +≥=①,当且仅当bc ac a b =时等号成立,即a b =;2bc ab b a c +≥=②,当且仅当bc ab a c =时等号成立,即a c =;2ac ab a b c +≥③,当且仅当ac ab b c =时等号成立,即b c =; ∴①+②+③得: 22()bc ca ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭ ∴bc ca ab a b c a b c++++;当且仅当a b c ==时等号成立. 24．（2020·全国高一课时练习）已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,求证:11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【正确答案】证明见详细解析 【详细解析】证明:法一:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1, 所以1＋1a ＝1＋ab a +＝2＋b a ,同理1＋1b ＝2＋a b, 故11112252549b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）. 法二:111111211111a b a b a b ab ab ab ab+⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为a ,b 为正数,a ＋b ＝1,所以ab ≤2124a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是14ab ≥,28ab ≥,因此1111189a b ⎛⎫⎛⎫++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）. 25．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?【正确答案】矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .【详细解析】设矩形菜园的长为m x ,宽为m y ,则100xy =,篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=,当且仅当10x y ==时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .26．（2020·浙江高一单元测试）(1)已知x >3,求y =x +4x−3的最小值,并求取到最小值时x 的值;(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,求xy 的最大值,并求取到最大值时x 、y 的值．【正确答案】(1)当x =5时,y 的最小值为7．(2) x =2,y =3时,xy 的最大值为6．【详细解析】(1)已知x >3,则:x −3>0,故:y =x +4x−3=x −3+4x−3+3≥2√(x −3)4(x−3)+3=7,当且仅当:x −3=4x−3,解得:x =5,即:当x =5时,y 的最小值为7．(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,则:x 2+y 3≥2√xy 6, 解得:xy ≤6,即:x 2=y 3=1,解得:x =2,y =3时,xy 的最大值为6．27．（2020·浙江高一单元测试）已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【正确答案】16m .【详细解析】 由191x y +=,则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=． 当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16． 若x y m +恒成立,则16m ．。