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数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析数学模型和物理模型在动力学仿真中都起着非常重要的作用，它们都用来描述和预测复杂系统的运动行为。
然而，它们之间存在一些显著的区别，可以通过比较分析来更好地理解它们在动力学仿真中的作用和适用情况。
一、数学模型和物理模型的定义和特点数学模型是一种用数学语言和符号描述系统行为和特性的模型。
它通常以方程或者图形的形式表示，能够精确描述系统的运动规律，提供了对系统的定量分析和预测能力。
数学模型的特点是抽象性强，可以忽略系统的具体物理结构和机制，着重于描述系统的数学关系和规律。
物理模型是一种用物理理论和实验数据建立的模型，它通过对系统的物理结构和特性进行建模，描述系统的运动和行为。
物理模型常常是通过实验数据和物理定律得到的，更直观地反映了真实系统的性质和特征。
物理模型的特点是具体性强，能够直观地展现系统的物理特性和行为。
二、数学模型和物理模型在动力学仿真中的作用和应用数学模型在动力学仿真中具有重要的作用，它能够通过建立数学方程来描述系统的动力学行为，并进行数值计算和仿真分析。
例如，在机械系统动力学仿真中，可以利用牛顿运动方程和拉格朗日方程建立机械系统的数学模型，对系统的运动轨迹和受力情况进行仿真分析。
数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，具有广泛的应用领域和灵活的建模方法。
物理模型在动力学仿真中也扮演着重要的角色，它能够通过对系统实际物理结构和特性的建模来进行仿真分析。
例如，在流体动力学仿真中，可以利用纳维-斯托克斯方程建立流体系统的物理模型，对流场和压力场进行仿真分析。
物理模型能够直观地展现系统的物理特性和行为，具有较强的可视化效果和直观性。
三、数学模型和物理模型的优缺点比较分析数学模型的优点包括：1.精确性高：数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，能够准确预测系统的行为和性能。
2.灵活性强：数学模型具有灵活的建模方法和丰富的数学工具，能够适应不同系统的建模需求和仿真分析。
Matlab在“大学物理”可视化教学中的应用探索理工科课程普遍具有抽象、难理解的特点。
为解决这一学习难点，国内外高校在教学中尝试采用数值计算软件作为辅助教学工具。
[1，2]学习物理必须学习其概念和定理，而这些概念、定理是用数学语言描述出来的，因此学生在学习物理的时候常常感到抽象、枯燥甚至产生了厌学情绪。
21世纪，计算机技术已广泛普及，在“大学物理”教学中，利用计算机仿真技术，可把物理学中阐述概念、定理的抽象公式以图形、图像及动画的形式具体生动地展现在学生面前，实现抽象公式的可视化，从而提高学生学习物理的兴趣。
根据广东海洋大学（以下简称“我校”）的实际情况，以Matlab作为平台，在“大学物理”课程的教学中，进行了可视化教学方法的探索。
Matlab是Mathworks公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件，是在国际科学界应用和影响最广泛的三大计算机语言之一，编程简单、易学易用，是一种“演算纸”式的高级语言。
和C、C++语言相比，[2]即使对于非计算机专业没有编程能力的一年级学生，也很容易掌握并在今后的专业学习中灵活运用，为未来从事科研工作打下良好的基础。
经过几年的教学积累，针对每个章节的重要知识点应用Matlab系统地开发了程序库，把抽象的物理现象、规律进行可视化。
一、二维图形的应用许多物理规律可抽象为形如y=f（x）的一元显示函数表示，若该函数较为复杂，可借助二维图形直观形象地表示x、y之间的映射关系。
编程方法如下：[3]使用“：”运算符，在自变量x的定义域内以一定的步距采样，得到自变量向量；运用“.” 运算符，计算因变量在每个采样点上相应的函数值，得到因变量向量；根据自变量x、因变量y绘图。
运行上述程序结果如图1所示。
从结果中可看出：辐射出射度最大值对应的波长λm=9.4μm，λmT=2.9×10-3m?K。
学生可以尝试任意改变温度，从而画出不同温度下的黑体辐射曲线，得出维恩位移定律。
Quantum3D可视化仿真系统解决方案Quantum3D可视化仿真解决方案视觉和传感器系统的可靠性对于精密飞行训练和任务演练应用是至关重要的。
Quantum3D为可视化仿真解决方案提供完整的硬件、软件和综合环境，以满足客户最先进的图像生成需求。
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基于着色器的渲染为培训场景增加了真实性。
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Quantum3D的IDX 6000和IDX 7000模拟跑道污染物包括积水与吹水、雪和沙子。
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![电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter22](https://uimg.taocdn.com/abb24fad31126edb6e1a105c.webp)
三维仿真监控系统三维可视化技术是计算机可视化技术与水利水电工程系统相结合产生的一种仿真体，它能有效的显现出数据的精准，其实质是通过图形、图像的方式对仿真计算过程的追踪与结果的处理，使用三维可视化技术的优越性不但可以节省劳动者的劳动强度，缩短周期，更能有效的为水利水电工程人员提供-一个快捷的数字化平台，有效的提高工程建设的工作效率。
随着三维可视化技术发展，三维仿真系统在各行各业辅助决策中得到越来越广泛的应用。
三维模型数据生产制作流程和工艺方法多种多样，但是三维模型数据至今没有行业规范和标准，各平台之间的数据共享困难。
一、三维仿真定义3D仿真，也称虚拟仿真。
是指利用计算机虚拟技术生成的具有视、听、触、味等多种感知的逼真的虚拟环境，用户可以通过使用各种传感设备与虚拟环境中的对象进行交互的一种技术。
3D仿真可以是现实世界的再现，也可以是想象中的世界，用户可借助视觉、听觉及触觉等多种感知与虚拟世界进行直接交互。
它是以仿真的方式给用户创造一个实时反映实体对象变化与相互作用的三维虚拟世界，并借助一定的设备，通过三维界面，以获取在现实世界中想要获得的效果，在数字校园、工程建设以及教学中得到越来越广泛的应用。
二、建设必要性传统的水利施工：工程大多数是依靠设计图纸、二维平面图来进行施工控制、整体规划，这很难让其它非技术的相关人员有一个直观清晰的认识，管理者也不容易实现对全局工程实施正确有效的管理控制。
基于上述原因，加之计算机强有力的计算功能和高效的图形处理能力，三维仿真技术在水利工程方面的应用越来越普遍。
在水利工程中应用三维仿真技术，将施工建筑、地理环境、人员配置、危险程度等进行真实模拟，可以浏览工程的整体场景，更加直观的、智能的辅助设计人员进行过程设计与分析，根据不同施工方案得到仿真结果，通过对仿真结果的评估和研究，选择最有效、最安全、最有力的方案运用到施工实践当中。
随着信息时代的高速发展，长距离输水工程现已进入网络时代。
第40卷 第12期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 40 No.12 2020年 12月 Journal of Science of Teachers′College and University Dec. 2020文章编号：1007-9831（2020）12-0083-06数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用王鹏1，王清亮1，左旭东2，张冬梅3（1. 忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000；2. 江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001；3. 大连理工大学 物理学院，辽宁 大连 116024）摘要：数学物理方法是物理专业的一门必修课程，由于具有较多数学技巧以及物理图像不直观等特点，授课与学习的难度均较大．以热传导方程的学习内容为例，论述了如何利用COMSOL Multiphysics有限元分析软件实现可视化和探究性教学，使学生更深刻地理解数学方程中的物理内涵并建立正确的物理图像，减轻教师的授课负担并提高学生的学习效果．关键词：COMSOL Multiphysics；数学物理方法；热传导方程中图分类号：O411.1∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2020.12.019The application of COMSOL software on the thermal conduction equation inmethods of mathematical physicsWANG Peng1，WANG Qingliang1，ZUO Xudong2，ZHANG Dongmei3（1. Department of Physics，Xinzhou Teachers University，Xinzhou 034000，China；2. School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001，China；3. School of Physics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）Abstract：Methods of mathematical physics is a compulsory course in physics major．Due to the characteristics of many necessary mathematical skills involved and unintuitive physical images，both teaching and learning are difficult．In order to achieve the visualization teaching and inquiry teaching，based on an example of thermal conduction equation，a COMSOL Multiphysics software based on finite analysis method is utilized，which makes students have deeper understanding on the physical connotation of mathematical equations and establish correct physical picture．The application of COMSOL software reduces the teaching burden of teachers and improves the learning effect of students．Key words：COMSOL Multiphysics；methods of mathematical physics；thermal conduction equation数学物理方法是物理学以及部分工科专业本科生必修的一门重要科目，旨在丰富学生的知识技能储备以及培养学生利用数学技能解决物理问题的能力．因此，这门课程不仅物理内容较多，而且涉及大量的高等数学知识，如复变函数、微积分和级数等，学生普遍反映学习难度较大，学习积极性不高．繁琐的数学推导也使得学生更关注“数学”技能的提高而忽略了“物理”内涵的理解；另外，数学物理方法课程还存在考核方式单一、教学时效性不强等不足[1]．目前，数学物理方法课程的教学方式仍以课堂讲授为主．无论是以往的板书教学还是如今的多媒体教学，都能够较好地做到数学公式的推导和数学思想的传达；但是如何让学生更直观地获得物理图像仍力有未逮，尤其在传统的板书教学过程中较难实现．即使是采用多媒体教学方式，也很难找到或者绘制贴合教材的相关素材用于直观展示物理图像，如果采用板书教学的方法绘图则更加不易，要想进一步实现学生自收稿日期：2020-08-12基金项目：山西省高等学校科技创新项目（2020L0538）；山西省高等学校教学改革创新项目（J2019169）；忻州师范学院科研基金项目（2019KY06）作者简介：王鹏（1991-），男，辽宁大连人，讲师，博士，从事碳纳米材料基础物性及应用研究．E-mail：**********************84 高 师 理 科 学 刊 第40卷 主深入学习、拓展思路、发散思维的目标就更难了．因此，如何在教学过程中实现“数学方法”与“物理图像”的有机结合成为提高教学效果必须要解决的问题．计算机仿真是一种能够实现物理图像展示的有效手段，已经被广泛使用于大学教学中．宋彦琦[2]等人利用Matlab 软件编程实现了复变函数方程以及波动方程定解问题的求解．但是编程方法不易掌握，对学生直观理解物理问题也并无明显益处．相比之下，COMSOL Multiphysics 软件是一款大型多物理场数值仿真软件，具有上手较快、操作便捷和可视性强的特点，能够根据实际需求建立物理模型，并将数学方程的数值求解结果以曲线图、分布图等图像的形式直观展示出来，体现了“数形结合”的思想．另外，COMSOL 软件涵盖了物理、化学、工程等多个科学领域的计算模块，能够满足教学和科研的需要．目前，已有不少学科的本科专业课使用这一软件辅助教学，如物理专业的电磁学[3-6]、模拟电子技术[7]等课程，甚至部分研究生的课程教学也采用这一软件[8-16]，取得了较好的成果．本文针对数学物理方法课程在教学过程中存在的重“数学”而轻“物理”的问题，利用COMSOL 软件求解一个空心圆柱体热传导模型，明确热传导方程的物理含义和3类边界条件的物理概念，展示数学方程中隐藏的物理图像．结合COMSOL 软件开展教学可以激发学生的自主学习动力并提高学生的思维发散能力和探索能力，实现探究性学习和翻转课堂的教学模式，提高学习效果．1 空心圆柱体的热传导方程及边界条件本文以一个空心圆柱的热传导模型（见图1）为例来展开说明．空心圆柱体的内、外半径（内R ，外R ）以及高度（h ）分别为0.05，0.15，0.2 m．图1 空心圆柱体 热传导方程一般可写为 (,)(,)(,)T r t c k T r t F r t tr ¶-D =¶r r r （1） 其中：T 是待求温度，与时间和空间均有关；t 为时间；F 为热源强度；c k ，，r 分别为热导率、密度和比热容．等号左边第１项就是初中时就学习过的单位体积内物体温度变化与外界所交换的热量（V T cm V q D =0，0q 和V 分别是物体吸收/释放的热量和物体体积），第２项则表示单位时间内以热传导形式流入该单位体积的热量．因此，方程（1）的物理本质就是能量或者说热能守恒．在本例中，认为空心圆柱体中无热源，则()0=t r F ，，该方程变为齐次方程．如果只想知道圆柱体达到热平衡状态时的温度分布而不研究温度随时间的变化，则方程（1）将化为拉普拉斯方程 (,)0T r t D =r （2） 要求解热传导方程，必须要给定初始条件和边界条件，圆柱体的初始温度被设定为20 ℃（293.15 K）．数学物理方法课程中常见的边界条件可以分为3类：第1类边界条件是直接规定待求物理量的取值．在本例中，空心圆柱的内表面被视为与一个恒温热源 接触，温度被固定为室温60 ℃（333.15 K），即高度h 内表面 上/下表面 外表面 R 内R 外第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 85|333.15 K r R T ==内 （3）第2类边界条件是规定待求物理量在边界外法线方向上的方向导数．对一个给定的边界截面，傅里叶热传导定律可以写为 T q k n ¶=-׶r （4） 其中：q r 是单位面积内的热流量，即热流密度；负号表示热量是逆温度梯度方向传导的．因此，对于给定热导率的空心圆柱体来说，规定外法线方向导数等价于直接定义热流密度．显然，热流密度是一个更具有直观物理意义的量，可以将边界处的热流密度直接视为第2类边界条件．本例中，将空心圆柱体的外表面设置为绝热条件，即圆柱体与外界不能通过外侧表面与外界环境进行热交换 |0r R T k n=¶-×=¶外 （5） 第3类边界条件规定了边界处待求物理量与待求物理量外法线方向上方向导数之间的线性关系，有时也称作混合边界条件．本例设定圆柱体的上下2个表面与外界存在热交换，根据牛顿冷却定律，在该表面设置第3类边界条件 0,ext |()z h f T k h T T n=¶-×=×-¶ （6） 其中：f h 为空心圆柱上下表面的对流换热系数；ext T 表示外界环境温度．等号左边表示圆柱表面因存在温度梯度而流通的热量，右边表示由于环境中热对流的存在而交换的热量．这样看就会发现，公式（6）的物理意义就是在圆柱体的上下2个表面不会有热量的持续累积和损耗，热量的流动是连续的，这也符合直观认知．通过给定f h 的值和环境温度ext T ，就可以得到确定的第3类边界条件．2 利用COMSOL Multiphysics 软件求解空心圆柱体热传导模型2.1 物理模型的构建由于空心圆柱具有中心对称结构，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真软件构建模型时无需构建三维模型，选择“二维轴对称”模型，可以减少计算量和计算时间．利用COMSOL 软件绘制的矩形（见图2），其位置和大小均可在软件中任意更改．本例中矩形的宽度和高度分别为0.1，0.2 m，左下角顶点的坐标为（0.1，0 m）．r =0处的红线表示旋转轴，矩形绕轴旋转一圈即可得到与图1所示同尺寸的空心圆柱体．COMSOL 软件内置了多种材料的基本物理特性参数，在仿真过程中可以直接对仿真模型添加材料并调用相关参数．空心圆柱体的材料被设置为铁，其密度、比热容和热导率分别为7 870 kg/m 3，440 J/（kg·K），76.2W/(m·K)．由于本文研究的是空心圆柱体的热传导问题，因此选择软件中自带的“固体传热”模块进行仿真计算．86 高 师 理 科 学 刊 第40卷 该模块已经内置了热传导方程，无需修改，只需进行边界条件和初始条件的设置即可．利用COMSOL 软件设置初始温度条件的界面见图3a．可以看到，COMSOL 软件的界面对用户非常友好，直接在输入框内输入数值即可．根据对空心圆柱体初始温度的设定，此处输入“293.15 K”．利用COMSOL 软件设置第1类边界条件的界面见图3b ．设置一栏中，在“边界选择”中选择矩形的左边（这一条边经绕轴旋转后即形成空心圆柱体的内表面），表示要对这一条边进行物理条件的设置．其下方“方程”中展示了一个关于温度的公式，表示此处设置的物理含义是温度边界条件．在温度输入框中输入“333.15 K”，即可完成了第1个边界条件的设置．设置圆柱外表面绝热和上下表面热对流边界条件时的软件界面分别见图3c~d，与对空心圆柱体的边界条件设定的操作基本一致．通过以上操作，可以使学生对数学方程、初始条件和边界条件有更直观的认识，有利于深入理解数学公式背后的物理内涵．2.2 仿真结果与讨论点击COMSOL 软件中的“物理场控制网格”实现空心圆柱体的网格自动剖分，本案例中将网格数设置为360．由于本案例求解的是空心圆柱体热稳定状态温度分布，因此研究模式选择“稳态”（此时软件自动将要求解的方程设定为拉普拉斯方程）；点击“计算”按钮，软件开始自动求解数学方程并输出物理图像，使用普通笔记本电脑的计算时间仅需约2 s．f h =100 W/（m 2·K）时，空心铁圆柱体的温度分布情况见图4a~b．可以看到圆柱体的温度从内表面（333.15 K）向外表面（约328 K）逐渐降低，同时上下表面的温度比圆柱体的中央区域要低，这是上下表面与温度较低的外界环境（293.15 K）存在热交换的边界条件导致的必然结果；等温线自左向右（对应空心圆柱体由内而外）逐渐稀疏，表示温度梯度的绝对值逐渐减小；由于圆柱体上下表面与外界存在热交换，因此，上下表面的温度沿径向方向降低得比其内部要快，导致上下表面附近的等温线分布比中央更密集．结果表明，COMSOL 软件能够展示热传导方程中的待求温度函数在给定的初始条件和边界条件下是如何分布a 整体设置初始温度条件（293.15 K）b 内表面设置为第1类边界条件（温度333.15 K）第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 87 的，使学生不仅能够很好地理解边界条件的概念，还能够直观地把数学方程与物理图像联系起来．在满足教学需求的基础上，COMSOL 软件还自带有“参数化扫描”功能，可以赋予某个条件任意多的数值，用于研究该条件对仿真结果的影响．在本例中，通过赋予空心圆柱体表面对流换热系数()f h 3个不同的数值，研究了表面对流换热情况对其空心圆柱体热传导过程的影响．圆柱上下表面在具有不同换热系数的条件下，其温度沿径向方向的变化曲线见图4c．可以看到，空心圆柱体的温度沿着径向向外逐渐降低，且斜率逐渐趋于0，与图4a 和图4b 的结果一致．另外，随着f h 取值的增加，空心圆柱体外侧的温度逐渐降低，这是由于f h 的增大使圆柱体通过上下表面向低温外界环境释放出了更多的热量，导致处于热绝缘状态的外表面从圆柱内侧吸收到的热量较少，因此温度较低．在仿真过程中，计算热传导方程中温度函数的空间分布仅是COMSOL 软件的结果之一，软件已经把所有热物理参数的分布进行了计算并保存在模型中．因此，对学有余力的学生，教师可以引导其进一步深入思考和探索，利用COMSOL 软件展示更多的结果．例如：圆柱体上下表面的换热边界条件既然能够影响圆柱体的温度分布，那热流量究竟是多大，与空间位置以及表面换热系数的大小是否有关．要得到以上结论只需要在软件中将之前展示的纵坐标“温度”替换为“热流密度”．空心圆柱体上表面的热流密度沿径向方向的变化曲线见图4d．可以看到，上表面的热流量密度沿着径向向外逐渐降低，这是由于空心圆柱体的内侧温度较高，与外界环境温差较大，因此热流量密度较大．由此可见，f h 与圆柱体表面的热流密度成明显的正相关关系，提高f h 有助于圆柱体的散热，而降低f h 则有助于圆柱体的保温．f h 取值的数量和大小均可在COMSOL 软件中根据教学和研究需求进行自定义设置．通过COMSOL 软件还可以对空心圆柱体的初始温度、内表面温度等初始条件和边界条件进行修改或赋予不同的取值，从而进一步研究不同条件对热传导过程的影响，这样不仅能够使学生对热传导现象的理解更加深入，更能调动学生学习的主观能动性．在实际的教学过程中，还可以将学生们提前分组，分别研究不同物理条件对空心圆柱体热传导过程的影响，在课堂上互相交流学习，从而实现翻转课堂教学模式和探究性学习模式，锻炼学生的探究能力，提高科学素养．最终完成的计算结果可以保存为一个单独的工程文件（.mph 格式），便于学生上交和教师检查，也有利于保存记录和用于交流学习．这些操作不仅可以使用在热传导方程的学习上，对数学物理方法课程中的其它内容同样有效．在学习结束后，教师可以结合实际应用与课程内容出题，=100 W·（m ·K）时空心圆柱体的等温线分布/℃88 高 师 理 科 学 刊 第40卷让学生开展调研后将实际问题转化为仿真模型，制作并上交仿真案例．这个过程既可以作为课后作业发布，也可以作为期末考试的一种新载体，未来甚至可以在数学物理方法课程中设置计算机实践课时，进一步实现教学模式和考核模式的改革．利用COMSOL软件辅助教学可以实现物理概念的理解、模型的建立和仿真结果的可视化展示等目的，是一种能够让学生更好地预习、学习和复习的有效手段．不仅能够使学生直观建立物理图像，理解数学方程背后的物理内涵，还可以让学生将理论知识与实际应用联系起来，提高认识问题和解决问题的能力．3 结论本文以空心圆柱体为例，利用COMSOL Multiphysics软件实现了热传导过程的物理图像的可视化教学，帮助学生进一步理解3类边界条件和热传导方程的物理内涵．COMSOL软件具有操作简单、可视性强的特点，集教、学、研多种功能于一体，加强了数学公式与物理图像和实际应用之间的关联性，同时减少学生的畏难心理和教师的授课压力．该软件的使用有助于激发学生的主观能动性，利于探究性学习和翻转课堂教学模式的开展；能够让教师和学生在教与学的过程中更加关注数学方程背后的物理概念与物理思想，让学生在掌握数学技能的同时，实现领悟物理思想、使用数学工具解决实际物理问题的教学目标．COMSOL 软件的应用为课后作业和能力考核提供了一种全新的方式，是实现新时代教学改革的有效手段．参考文献：[1] 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数学物理方程三维可视化仿真作者：江萍杨华军何文森罗志华来源：《教育教学论坛》2013年第03期摘要：数学物理方程三维可视化仿真及创新实践训练是《数学物理方法》教学模式改革中的重要内容。
本文通过MATLAB程序求解二维菱形晶格光子晶体的电磁场本征值方程，绘制出二维能带曲线，并将结果三维可视化，体现出复杂数学物理问题的物理图像，解决大学生在课程学习过程中理解困难的教学问题，加强大学生编程实践能力和创新能力的培养。
关键词：本征值问题；三维可视化仿真；光子晶体；平面波展开法；能带结构中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）03-0247-03一、课程背景《数学物理方法》是理工科学生的基础课程之一，也是科研中常用的基本方法。
数学物理方法课程的内容繁多，公式推导繁杂，尽管教材中的例题通常具有明确的物理意义，但是从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，不仅学生会觉得困惑、枯燥，教师也难免觉得棘手。
探索数学物理方法数值化教学的新方法，是数学物理方法课程教学中的一项重要工作，也是数学物理方法教学改革中的重要内容。
利用MATLAB数值求解数学物理方程，将传统教学手段与计算机仿真教学相结合，改变只用公式符号教学的模式[1]，令学生对复杂、抽象、烦琐的数学物理问题具有更深刻的理解。
本论文旨在进行数学物理方程仿真求解实践训练，着力培养大学生应用数学物理思想解决实际问题的能力。
本着“重理论、强实践、突创新”的教育理念，结合科技前沿，以光子晶体的电磁场理论作为实践内容，利用MATLAB对复杂的电磁场本征值问题进行计算机仿真求解，将结果三维可视化，以此来展现复杂电磁场问题的物理图像，对培养大学生创新能力具有重要意义。
二、光子晶体电磁理论基础在利用分离变量法求解数学物理方程时，最后都归结到求解本征值问题。
在用本征函数系展开法解数学物理方程时，也要对所用的本征函数系有较好的理解[2]。
所以，各种本征函数系在数学物理方程课程的学习中有非常重要的地位。
周期结构对电磁波的调控是物理学领域的基础问题。
光子晶体是由介电常数周期排列形成的一种合成材料，是非均匀介质中少数可以严格遵循电磁理论的新型人工材料。
在一定的晶格常数和介电常数条件下，布拉格散射使在光子晶体中传播的电磁波受到调制形成类似于电子的能带结构[3]。
利用计算机仿真求解光子晶体中的复杂本征值问题，可以帮助学生熟悉并更好地掌握本征函数系的性质和求解方法。
1.理想二维光子晶体的结构。
假设介电常数为εa，半径为r的介质柱平行于z轴，背景介质的介电常数为εb，在（x，y）平面内的晶格常数为a，θ为相邻基矢a1和a2之间的锐角，当θ=90°和60°时，分别为正方形晶格和正三角形晶格。
（x，y）平面的傅里叶变换空间为倒易空间（如图1所示），对应于由波矢k定义的频谱。
根据几何关系，（x，y）平面内的基矢（a1，a2）和倒易空间的基矢（b1，b2）分别为a1=aex，a2=a（cosθex+sinθey）；b1=■ex-■ctgθey，；b2=■ey。
在倒易空间中，Γ、T、N、X和M等点为布里渊区的高对称点，它们所构成的多边形区域（深灰色部分）称为不可约布里渊区。
不可约布里渊区是倒易空间中最小的、可重复的区域，可以映射出电磁波在整个光子晶体中的传输特性[4]。
对称点坐标分别为：Γ=（0，0），T=■（1，■），N=■（1，■ctgθ，■）；X=■（0，■），M=■（■ctgθ-1，■）。
2.理想二维光子晶体的本征值问题。
平面波的指数形式表示为H（r，t）=H（r）e-iωt （1）E（r，t）=H（r）e-iωt （2）联立无源Maxwell方程组，分别得到电场和磁场的传播方程？塄×■？塄×H（r）=■■H（r）（3）■？塄×？塄×E（r）=■■E（r）（4）ε（r）是光子晶体介质分布的周期函数，本征值方程（3）和（4）式与电子材料中的周期性势场问题的Schr？觟dinger方程类似，称为光子晶体的支配方程[5]。
本征场H（r）和E （r）分别对应于理想二维光子晶体中横磁（TM）模式和横电（TE）模式的空间形态，通过求解本征值（ω/c）2，可以得到频率ω与波矢k之间的色散关系，即光子晶体的能带结构。
3.光子晶体中的平面波展开。
根据Bloch理论，将光子晶体本征场用平面波展开为HK（r）=■H■（G）e■ （5）EK（r）=■E■（G）e■ （6）G为倒格矢，将（5）和（6）式分别代入本征值方程（3）和（4）式，利用平面波基{G，exp[i（k+G）gr]，…}的正交性[6]，得到如下关于电磁场展开系数的本征值方程■k%（G-G'）（k+G）g（k+G'）Hk（G'）=■Hk（G）（7）■k%（G-G'）（k+G'）g（k+G'）Ek（G'）=■Ek（G）（8）矩阵k%（G）是k（r）=1/ε（r）=k%（G）e■的傅立叶展开系数k%（G）=■■k%（r）e■dr■=■■■e■dr2+■（■-■）■e■dr2 （9）u表示一个周期单元，Au为周期单元横截面的面积。
c表示一个散射单元横截面上的积分边界。
（9）式右边包含了G≠0和G=0的项k%（G）=■+（■-■）fr，G=02fr（■-■）■，G≠0 （10）其中J1（GR）为第一类贝塞尔函数，fr为填充比。
三、仿真求解电磁场本征值问题我们通过计算机仿真求解TM模式电磁场本征值方程（7）式，获得二维菱形晶格光子晶体的本征频率ωk与波矢k之间的色散关系，绘制出能带曲线。
1.光子晶体的数学建模。
对于θ=70°的二维菱形晶格光子晶体，背景介质的介电常数为εb=12，空气柱的半径r=0.4a。
仿真步骤和MATLAB程序如下：①定义光子晶体的结构参数。
ea=1；eb=12；R=0.4；sita=70；a=1；a1=a*[1，0]；a2=a*[cos（sita*pi/180），sin（sita*pi/180）]；b1=2*pi/a*[1，-1/tan（sita*pi/180）]；b2=2*pi/a*[0，1/sin（sita*pi/180）]；fr=pi*R*R/abs（a1（1）*a2（2）-a1（2）*a2（1））；②定义倒易空间中对称点的坐标。
Point（1，：）=[0，0]；Point（2，：）=pi/a*[1，（1-cos（sita））/sin（sita）]；Point（3，：）=pi/a*[1-（1-cos （sita））/sin（sita）*1/tan（sita），1/sin（sita）]；Point（4，：）=pi/a*[0，1/sin（sita）]；Point（5，：）=pi/a*[（1-cos（sita））/sin（sita）*1/tan（sita）-1，1/sin（sita）]；Point（6，：）=[0，0]；③产生一个20×20的矩阵，确定平面波的波数NPW，定义倒格矢G。
DimForG=20+1；NPW=DimForG*DimForG；gtemp=-10：10；gtemp1=repmat（gtemp，DimForG，1）；Gx=b1（1）*gtemp1+b2（1）*gtemp1'；Gy=b1（2）*gtemp1+b2（2）*gtemp1'；Gx=Gx（：）'；Gy=Gy（：）'；Gx_m=repmat（Gx，NPW，1）；Gx_n=Gx_m'；Gy_m=repmat（Gy，NPW，1）；Gy_n=Gy_m'；G=sqrt（（Gx_m-Gx_n）.*（Gx_m-Gx_n）+（Gy_m-Gy_n）.*（Gy_m-Gy_n））；④确定κ（r）=1/ε（r）的傅里叶展开系数。
ek0=fr/ea+（1-fr）/eb；ekc=（1/ea-1/eb）*fr*2；GR=G*R；na=find（GR==0）；GR（na）=1；ek=ekc*besselj（1，GR）./GR；ek（na）=ek0；2.仿真计算光子晶体TM模式能带曲线。
①定义倒易空间波矢路径。
用Keach代表波矢路径上的取值密度，Ktype为对称点的数目，第一布里渊区内沿波矢路径Γ→T→N→M→Γ的仿真程序为：Ktype=5；Keach=6；x=[]；y=[]；for n=1：Ktype x1=linspace（Point（n，1），Point（n+1，1），Keach+1）；y1=linspace （Point（n，2），Point（n+1，2），Keach+1）；x=[x，x1（1：Keach）]；y=[y，y1（1：Keach）]；end②求解本征值方程。
eigval=[]；for m=1：Ktype*Keachkx=x（m）；ky=y（m）；KGmn=sqrt（（kx-Gx_m）.^2+（ky-Gy_m）.^2）.*sqrt（（kx-Gx_n）.^2+（ky-Gy_n）.^2）；H=KGmn.*ek；eigvalue=sort（eig（H））；eigval=[eigval，eigvalue（1：20）]；endeigval=[eigval，eigval（：，1）]；eigval=real（sqrt（eigval）*a*0.5/pi）；③绘制二维能带曲线。
for m=1：KtypeD（m）=sqrt（（Point（m+1，1）-Point（m，1））^2+（Point（m+1，2）-Point（m，2））^2）；xtemp（m，：）=linspace（0，D（m），Keach+1）；endx=xtemp（1，1：Keach）；Dtotal=0；for m=2：KtypeDtotal=Dtotal+D（m-1）；x=[x，xtemp（m，1：Keach）+Dtotal]；endx=[x，xtemp（Ktype，Keach+1）+Dtotal]；x=x/max（x）；plot（x，eigval）；修饰过后的二维菱形晶格光子晶体TM偏振模式能带曲线如图2所示。
四、本征值函数的三维可视化仿真绘制三维等频面，关键是建立波矢平面（kx，ky）内二维点阵的坐标，再求解出每个点对应特征值，仿真步骤和MATLAB程序为：1.定义波矢（kx，ky）平面内点阵的坐标Keach=36；x=linspace（Point（1，1），Point（2，1），Keach+1）；y=linspace（Point（1，2），Point（4，2），Keach+1）；x1=[-x（Keach+1：-1：2），x（1：Keach+1）]；y1=[-y（Keach+1：-1：2），y（1：Keach+1）]；2.求解本征值方程。
