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波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
分离变量法在求解波动方程中的应用作者：王平心来源：《科技视界》2021年第34期【全文】拆分变量法又称傅里叶级数法，它就是解数学物理方程定解问题的最为常用和最基本的方法之一。
该方法的基本思想就是将略偏微分方程的定求解问题转变为常微分方程的定求解问题。
将方程中所含各个变量的项拆分开去，从而将原方程拆毁分为多个更直观的只不含一个自变量的常微分方程。
它能解相当多的定求解问题，特别就是对一些常用区域上混合问题和边值问题，都可以用拆分变量法打声解。
本文将探讨拆分变量法在解波动方程中的应用领域。
【关键词】拆分变量法;波动方程;解0开场白自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。
他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：我们表示它为波动方程，因为它叙述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。
△中，变量的个数则表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，通常都就是三维的。
但是为了研究便利，我们先探讨一维的波动。
分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法，这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题，经过变量分离，转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，这是一种很常用的方法。
它通常用来求解有限区域（区间）上的边值问题或初边值问题。
利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。
最后将这些通解“组装起来”。
分离变量法又称fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
1变量分离法的基本步骤第一步：边界条件齐次化。
如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的，那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数，作变换u=v+w，代入关于u的混合问题，导出新的未知函数v的混合问题，这时v所满足的边界条件就是齐次的了。
当方程中的非齐次项与初始条件都与t无关时，可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。
为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。
分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。
这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。
下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。
对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。
基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题的解)0(≥τ，则⎰=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。
数学与物理方程——波动方程的分析波动方程的分析摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。
解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。
在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。
关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言波动方程也可叫做波方程。
它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。
(2)波动方程等号两边分别是未知量y 对变量t 和对变量x 的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。
之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。
(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。
如果1u 和2u 都是波动方程的解，即以下两式成立2122212xu atu ∂∂=∂∂ （1）2222222xu atu ∂∂=∂∂ （2）将以上两式相加，得()()221222212xu u atu u ∂+∂=∂+∂（3）这表示，21u u +也是波动方程的解。
21u u +表示两列波的叠加。
所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。
(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。
在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。
波动方程是物理学中的关键方程之一，解决这个问题是很重要的，但是有时候这个方程很难以理解。
在这篇文章中，我们将探讨一些直观的求解波动方程的方法。
一、分离变量法：这是求解波动方程的最常用方法之一。
分离变量意味着将变量分开，然后解决方程。
这种方法需要一定的数学知识，但是只要理解了它的原理，就可以轻松地应用它来解决波动方程。
二、超定平衡法：这种方法是通过将波特征的变化定义为超定平衡来解决波动方程的。
这种方法比较复杂，但是如果正确地应用它，就可以得到很精确的解决方案。
三、观察物理实验：物理实验可以非常直观地帮助我们理解波动方程。
通过观察实验，我们可以确定方程的一些基本要素，如波长、频率等等。
四、数值方法：数值方法是一种较为常见的解决波动方程的方法，它可以通过计算机程序来求解方程。
这种方法需要一些计算机科学和数学方面的知识，但是它可以帮助我们得到非常精确的解决方案。
五、借助解析法解决实际问题：在实际问题中，我们经常会遇到一些非常复杂的波动问题。
通过运用解析法，我们可以采用一些简单的模型来解决这些问题，这些模型可以帮助我们获得更准确和实际的结果。
总之，求解波动方程需要一定的数学和物理学知识，但是只要我们了解了基本的原理，就可以使用这些方法来得到我们需要的结果。
当然，在实际问题中，我们可能需要结合多种方法来获得最好的结果。
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的种基本决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振上其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：一阶非齐次的常微分方程：)dy ()(),P x y Q x dx+=它的通解为()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫解为二阶非齐次的常微分方程：y ′′′()()()P x y Q x y f x ++=它的通解为f f 21112212()y y y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中个线性12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和12,0.y y W =≠′′并且12,y y 常系数齐次的常微分方程：常系数齐次的常微分方程0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：r x r x12.y Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:()特征方程有两个等实根1().r xy A Bx e =+(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+第一节有界弦的自由振动222(0,0u u a x l t ⎧∂∂=∈>22,(,),(,0)(),(,0)(),[0,]t t x u x x u x x x l ϕψ⎪∂∂⎪⎪==∈⎨(0,)(,)0,0u t u l t t ⎪==≥⎪⎪⎩物解释一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移物理解释：根长为的弦两端固定给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.•求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =XT X T把分离形式的解代入方程可得2a ′′′′=即2()()T t X x X ′′′′=()()a T t x 以及(0)()()()0X T t X l T t ==上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为.λ−⎧从而有()()0X x X x λ′′+=⎨X (x ):(0)()0X X l ==⎩T )固有值问2()()0T t a t λ′′+=T (t ):题第二步：求固有值和固有函数的三种情况讨论固有值问题X (x )，以及T (t )的表达式(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：<其通解为情形()0λ(),X x Be λλ−−=+其解为代入边界条件可得0,A B +=A B −−−0A B ==0l l Ae Be λλ+=只有零解只有零解。
情形(B)0λ=其通解为(),X x A Bx =+0A B ==代入边界条件可得只有零解。
情形（C ）其通解为0λ>()cos sin ,X x A B λλ=+由边界条件X (0) = 0推出0,A =,()sin 0X l B l λ==知道再由0,B ≠为了使sin 0.l λ=必须于是有(123), (1,2,3,).l k k λπ==L 22()k πλ固有值2, (123).k k ,,,l λ===L k ()sin , (1,2,)k k X x B x k l π==L 固有函数22,(k πλ===L 代入另一个方程可得2, (123)k k ,,,l λ把代入另个方程可得2220, (1,2,3,k T a T k π′′+==L 其通解为2,(,,,)lT (t )的表达式()cos sin , (1,2,)k k k k a k aT t C t D t k l lππ=+=L 由此，就得到方程满足边界条件的变量分离的非零特解=(,)()()cos sin sin k k kk k u x t X x T t k a k a k a t b t x πππ⎛⎞=+⎜⎟C , D , k k k k k k l l l a B b B ⎝⎠==(1,,)2k =L为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件。
般来讲前面求的特解定满足初始条件第三步：利用初始条件求得定解问题的解一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。
,u x t 为此，我们把所有特解叠加起来，并使之满足初始条件，即取()k 1(,)()()k k k u x t X x T t ∞==⎛∑1 cos sin sink k k k a k a k a t b t x l l l πππ∞=⎞=+⎜⎟⎝⎠∑使得,0) sink π∞==1()(,0)s k k x u x a x l ϕ=∑ ,0)k k a b k ππ∞==1()(,0) sint k x u x x l l ψ=∑其中2l k π⎛⎞=0()sin k a x x dxl l ϕ⎜⎟⎝⎠∫2l k d π⎛⎞0()sin .k b x x dx k a l ψπ=⎜⎟⎝⎠∫注意，k k a b lπ()x ψ,k a (),x ϕ分别是在[0, l ]区间上正弦展开的Fourier 级数的系数。
下面来证明, 当初始数据满足一定条件时，级数解(,)cos sin sin (4.12)k k k a k a k u x t a t b t x πππ∞⎛⎞=+⎜⎟∑,就是波动方程混合问题的解.1k l l l =⎝⎠引理1: 设函数f (x )在区间[0, l ]有直到m 阶的连续导数,m +1阶导数分段连续, 且当p 为偶数时, ()()(0)()0.p p ffl ==若把f (x )展开成正弦级数()sink k f x a x π∞1k l =∑则级数是收敛的.|| mk ka ∞∑1k =证明：由假设知[0Fourier (1))m +, 在区间[0,l ]上展开成Fourier 级数,当m 为奇数时, 展开式为() f x (k ∞(1)1)1()sinm m kk fx ax lπ++==∑其中(1)(1)02()sin l m m kk afx x dx π++⎛⎞=⎜⎟∫()()22)sin )cos llm m l l k k k x x fx x dx πππ⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−00()()f l ll ll⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫2(1)(1)22llm m k k k k f x x ππππ−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎥00()cos ()sin x fx dxl l l l l l =−−⎜⎜⎟⎜⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=∫L 1111222(1)()sin (1);m m m m lk k k k f x x dx a l l l l πππ++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∫当m 为偶数时, 展开式为(1)(1)(1)0()cos ,m m m ak fx ax π+∞+++12kk l=∑同样可推得11(1)2(1),0,1,2.m m m kk k aa k l π+++⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠L B l 2l d ∞⎧根据Bessel 不等式得(1)2(1)201|||()|,m m k k a f x dx m l ++=∞≤⎪⎪⎨∑∫为奇数(1)2(1)2(1)200112|||||()|,2l m m m k k a a f x dx m l +++=⎪+≤⎪⎩∑∫为偶数所以无论m 为奇数还是偶数都有(1)2||,m a∞+<∞∑1kk =即222m ∞+∑1||.k k ka =<∞利用Cauchy 不等式得12222||1||()(||),mm m k k k a ka kk a ∞∞∞∞++≤≤+<∞∑∑∑∑1111k k k k k k====m∞∑所以级数收敛.1||k k ka =) x 定理2：[0,l 上, 二次连续可微且三阶导()ϕ设在区间[,],函数次连续可微且阶导数分段连续，函数连续可微且二阶分段连续,在端点处满足相容性条件()x ψ(0)()(0)()(0)()0,l l l ϕϕϕϕψψ′′′′======则级数(4.12)定义的函数u (x ,t )有二阶连续导数，且是波动方程定解问题的解.证明：由引理1知，级数收敛,2211||,||k k k k ka kb ∞∞==∑∑则级数(412)逐项微分二次后所得的级数也是致(4.12)关于x 和t 逐项微分二次后所得的级数也是一致收敛, 而且分别收敛到u (x ,t )的相应导数，级数(4.12)定义的有二阶连续导数且是波动方程定解问题的解函数u (x ,t )有二阶连续导数，且是波动方程定解问题的解.n = 4•ol物理意义：驻波(,)cos sin sin an an n u x t a t b t x πππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+n n n l l ln π⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞()sin sin n n n N x t l ωϕ=+⎜⎟⎝⎠其中22ta ,arctan nn n nN a b b ϕ=+=振幅sin n N x ⎜⎟l除两个端点外，弦在某些点始终保持静止的，这样的点称为节点。
点称为节点包含节点的振动波驻波解u(x,t)是由一系列不同频率，不同位相，不同是由系列不同频率不同位相不同振幅的驻波叠加而成的。
分离变量法的解题步骤 第一步令u ( x, t ) = X ( x )T (t ) 适合方程和边界条件，从而定出 X ( x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及T (t )适合的常微分方程。
求解该常微分方程齐次边值问题， 求出全部固有值和固有函数，并求 出相应的 T(t) 的表达式。
的表达式第二步 第三步固有 值问 题将所有变量分离形式的特解叠加起来，并 将所有变量分离形式的特解叠加起来 并 利用初始条件定出所有待定系数。
21附：kπ sin x,L 是[0, l]上的正交函数列 sin x, l l ⎧l , m=n ⎪ l mπ nπ ⎪2 ∫0 sin l x sin l xdx = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩0 m≠nπ2π sin x,LL lkπ 2 π 1,cos l x, cos x,LLcos l lπx,L是[0, [0 l]上的正交函数列⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 d =⎨ ∫0 cos l x cos l xdx l m=n=0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n22• 其它边界条件的混合问题2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u ( t≥0 , t ) = u x (l , t ) = 0, , x (0, ⎪ ⎪ ⎩两端自由的边界条件⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(0) = X ′(l ) = 0⎛ nπ ⎞ λn = ⎜ ⎟ , ⎝ l ⎠ ⎛ nπ X n ( x) = Bn cos ⎜ ⎝ l n = 0,1, 2,3,L ⎞ x⎟, ⎠2322 ⎧ ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, 0 t≥0 x (0 t ) = u (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎩左端点自由 右端点固定的边界条件 左端点自由、右端点固定的边界条件⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(0) = X (l ) = 0⎡ ( n + )π ⎤ λn = ⎢ ⎥ , l ⎣ ⎦ ⎡(n + 1 2 )π X n ( x) = cos ⎢ l ⎣ n = 0,1, 2,3,L1 2 2⎤ x⎥ , ⎦242 ⎧ ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, (0 t ) = u x (l , t ) = 0, 0 t≥0 ⎪ ⎪ ⎩左端点固定 右端点自由的边界条件 左端点固定、右端点自由的边界条件⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X (0) = X ′(l ) = 0⎡ ( n + )π ⎤ λn = ⎢ ⎥ , l ⎣ ⎦ ⎡(n + 1 2 )π X n ( x) = sin ⎢ l ⎣ n = 0,1, 2,3,L1 2 2⎤ x⎥ , ⎦25第二节 有限长杆上的热传导2 ⎧ ∂u ∂ u 2 x ∈ (0, (0 l ), ) t>0 ⎪ ∂t = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ x ∈ [0, l ] ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t ≥ 0 x ⎪ ⎪ ⎩物理解释：一根长为 根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热， 左端保持零度，给定杆内的初始的温度分 布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的 温度分布26• 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解u ( x, t ) = X ( x)T (t ) ⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 X(x)： ⎨ ⎩ X (0) = X ′(l ) = 02 T(t)： T ′(t ) + a λT (t ) = 0固有值问题27第二步：求固有值和固有函数 第二步 求固有值和固有函数 X(x)，以 以 及 T(t)的表达式⎡ ( n + )π ⎤ λn = ⎢ ⎥ , l ⎣ ⎦ ⎡(n + 1 2 )π X n ( x) = Bn sin i ⎢ l ⎣ n = 0,1, 012 2,3, 3L1 2 2固有值和 固有函数⎤ x⎥ , ⎦2 2 ⎛ a 2 (n + 1 ⎞ 2) π Tn (t ) = An exp ⎜ − t⎟ 2 l ⎝ ⎠ n = 0,1, 2,3,LT(t)的表达式28第三步：利用初始条件求得定解问题的解2 2 1 ⎛ a 2 (n + 1 ⎞ + ) π ( n ⎛ 2 2 )π u ( x, t ) = ∑ an exp ⎜ − t ⎟ sin ⎜ 2 l l n =0 ⎝ ⎠ ⎝ ∞⎞ x ⎟ , an = An Bn . ⎠利用初始条件得2 l ⎛ (n + 1 2 )π an = ∫ ϕ ( x) sin ⎜ l 0 l ⎝⎞ x ⎟ dx ⎠29第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难2 ⎧ ∂u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ x ∈ [0, l ] ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ⎪u (l , t ) + u (l , t ) = u (0, (0 t ) = 0, 0 t≥0 ⎪ x ⎪ ⎩⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(l ) + X (l ) = X (0) = 0tan β nl = − β n X n ( x) = sin i βn x30•求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =XT 把分离形式的解代入方程和边界条件可得2a X T′′′=即2()()T t X x X ′′′=()()a T t x 以及(0)()(()())()0X T t X l X l T t ′=+=上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为.λ−⎧从而有()()0X x X x λ′′+=⎨′X (x ):(0)()()0X X l X l =+=⎩T )2()()0T t a t λ′+=T (t ):固有值问题第二步：求固有值和固有函数的三种情况讨论固有值问题X (x )，以及T (t )的表达式(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：<其通解为情形()λ(),X x Beλλ−−=+其解为代入边界条件可得0,A B +=0llllλλλλ−−−−−−0,AeBeA eB eλλ++−−−=只有零解0A B ==只有零解。
