用三种方式表示二次函数课件+教案+拓展资源

§2．5 用三种方式表示二次函数课时安排6课时从容说课本节课学习用三种方式表示二次函数，即表格、表达式、图象表示法．其实这三种方式我们都不陌生，在前面的几节课中已经学过．在本节课中不仅要求会用表格、表达式、图象等多种方法表示二次函数，还要使学生体会函数的各种表示方法之间的联系和特点．同时发展有条理地思考和语言表达能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．在教学中，教师要真正起到引导的作用．在教师的引导下，让学生独立完成，然后经过互相交流，总结得出结果，使学生在轻松的环境中完成本节内容的学习．第六课时课题§2．5 用三种方式表示二次函数教学目标(一)教学知识点1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．(二)能力训练要求1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．(三)情感与价值观要求1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．教学重点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．教学难点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．教学方法讨论式学习法．教具准备投影片四张第一张：(记作§2．5 A)第二张：(记作§2．5 B)第三张：(记作§2．5 C)第四张：(记作§2．5 D)教学过程Ⅰ. 创设问题情境，引入新课[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好? Ⅱ．新课讲解 一、试一试投影片；(§2．5 A)长方形的周长为20 cm ，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2．y 随x 变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? (1)用函数表达式表示：y= .[师]请大家互相交流．[生](1)一边长为x cm ，则另一边长为(10-x)cm ，所以面积为：y＝x(10-x)=-x 2+10x (2)表中第二行从左至 右依次填9、8、7、6、5、 4、3、2、1；第三行从左至 右依次填9、16、21、24、25、 24、21、16、9.(3)图象如右图．[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢?[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．[师]大家同意这种说法吗?[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y 是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x 2+10x 的图象，就不是在第一象限作图象了． [师]非常棒． 二、议一议投影片：(§2．5 B)(1)在上述问题中，自变量x 的取值范围是什么? (2)当x 取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y 随x 的变化而变化的情况．[师]自变量x 的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流． [生](1)因为x 是边长，所以x 应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x 的取值范围是0<x<10．(2)当x 取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y ＝-x 2+10x 化成顶点式．当x ＝-ab2时，函数y 有最大值a b ac 442-.∴y=-x 2+10x=-x 2+10x=-(x 2-10x)=-(x 2-10x+25-25)=-(x-5)2+25．∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 可以通过观察图象得知．也可以代入顶点坐标公式中求得． 当x=-)1(210-⨯=5时，y 最大=)1(4100)1(42-⨯-⨯-⨯=25cm 2.当x 由1至5逐渐增大时，y 的值逐渐增大，当x 由5至10逐渐增大时，y 的值逐渐减小。

3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。

示例
例如，选择 x = -1, 0, 1 并计算 y 值，可以绘制出一个关于原点对称的抛物线。
二次函数图像的性质
1
轴对称性
二次函数的图像关于一条垂直线对称，该线称为对称轴。
2
顶点坐标
顶点是抛物线的最高或最低点，它的坐标表示二次函数的垂直平移。
3
开口方向
开口向上的抛物线表示 a 的值大于 0；开口向下的抛物线表示 a 的值小于 0。
应用二次函数的例子
建筑设计
二次函数用于设计创新的、流 线型的建筑结构。
卫星接收器
卫星接收器的抛物形天线聚焦 射入信号，提供稳定的接收。
物理学
二次函数在抛物线运动等物理 学问题中有广泛应用。
结论和总结
1 总结
我们学习了二次函数的定义、属性，以及用标准形式、顶点形式和描点法表示二次函数 的方法。
2 重要性
二次函数在数学和实际生活中都有重要的应用，帮助我们解决问题、做出决策。
3 继续学习
继续探索二次函数的高级概念，如焦点、准线、最小值和最大值等。
用标准形式表示二次函数
标准形式
y = ax^2 + bx + c
含义
标准形式提供了二次函数的 系数 a、b 和 c 的清晰表示。 它可以用于求解方程、描绘 图像等。
示例
例如，y = 2x^2 + 3x - 1 就是一 个二次函数的标准形式。
用顶点形式表示二次函数
1
顶点形式
y = a(x-h)^ 2 + k
含义
2
顶点形式直接给出了二次函数的顶点
坐标 (h, k)，其中 h 表示水平移动，k
表示垂直移动。
3
示例例如，y = 2(源自-1)^2 + 3 就是一个二次函 数的顶点形式。

(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数．
(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1。 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)。
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的 (240)增2通0年大过10而观月2减察日小图；象在可对知称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． 5
2020年10月2日
1
1、圆O的面积S与半径R的关系式为S=πR2
2、每天的平均气温与日期的关系 如图
R
气 10 温
O
6
2
日期
2 4 6 8 101214161820
3、水库的蓄水量与深度的关系 如下
水库深度(米) 5
10 20 30 40 ……
蓄水量(万米3) 30
80 300 550 900 ……
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系；
函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程
和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出
变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
y 65
8
98
5
3
1
X/cm
2020年110月2日2 3 4 5 6
3
y/cm2 9
7
5
3