安徽省六安市第一中学2017届高三上学期第二次月考文数试题

安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考数学（文）试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知数列是公差为1的等差数列，&为刁的前门项和，若®山「是臼（）17 19A. B. C.10 D. 122 2【答案】B【解析】试题分析：由& 二另得Sa -28d ~1」日|—匚心，解得1 乱19白丄• -d_ , d 丄二I .考点：等差数列•2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】试题分析：该数列为等差数列，且■ Dm. a,, I a :15，即7a r + 21d = 28,332+ 12d = L5 ,解得吕丄==匚两=a L+ 8d = 9.考点：等差数列，数学文化.3. 在等差数列刁中，若a4I a. a；. I a . I a, - 120，则鮎’的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C【解析】由引+ a6 + a8 + a10 + a13= （a4 + a12） + （a6 + a10） + a8= 5a a= 120 ‘解得&3= 24且％+ ai2 = 2a10、则2a10-a12 = a3 = 24 故选c.4. 在AAB匚中，内角.2 E.匸所对的边分别为日）匸，若AAB匚的面积为三，且八—肩• b -匸，则L汕匸等于（）-2 -【答案】C【解析】试题分析：因为二一.吕1出门j.y匚一_!，所以m -I b- （.■ -7H I:（X）!/G，代入上式可得一匸■ 3：，即::i「i匸-/co：?-.；■「，因为二㈡匚一m匚一丄，所以5cos^C 十ScosC + 3 = 0 =*cosC =—害，所以sinC =:，所以t日nC = —£，故选C.考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的基本关系式【方法点晴】本题主要考查了三角的面积公式、余弦定理■.同甬三角函数的基本关系式等知识点的应用，解答中利用三角形的面积公式和余弦定理t可化简条件为absinC = 2abcosC + 2ab ,即sine = 2cosC + 2 ,同时熟练掌握余弦定理的解答问题的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力f属于基础题.5. 已知在色厶E匚中A - ^5 A匚一4上.若色厶E匚的解有且仅有一个，则F；匚满足的条件是（）A. BC = 4B. BC - 4 2C. 4 - E匚•二.2D. 巳匸=4或创二-4 2【答案】D【解析】；已知在ME匚中，代非点匸.2 ,要使3 E匚的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，有两种情况：① AABC 为直角三角形；②AABC为钝角三角形，若AABC为直角三角形，孑匚_匚心，可得2E 2匸，此时BC - - 4 - 4 ;若皿巳匚为钝角三角形，可得吕匸-4 2，综上，巳匸=4或眈-4 2，故选D.6. 在AAE匚中，内角九二;.匸所对的边分别为a.b.c，且满足:—'，则一二；.• ■（）A 11 r 12A. hlB.小11C. D.7【答案】A【解析】试题分析：由题意设：一广，衣〉C），则"二…，寿-也，一…，二由t 1 12? P16f+9F-36F_ 11余弦定理可得■ ■■- J•由正弦定理可得,・A. B. C.2bc2-4k-3k24sin B +sin C sin B +sin C b+c考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理. 7.已知等差数列日 的前ii 项和为& ,若M N P 三点共线, 0N - a, Ovl + a.,0P （直线罔P 不过点0）,则& 等于（ A. 20 B. 10 C. 40 D.15 【答案】B【解析】••• M N 、P 三点共线，0为坐标原点, 且 ON —白| ；丁呵+白」［沖（直线 MF 不过点 0,--a6+ai5=1，…ai+a20=1,本题选择B 选项.中也是常数的是（ A. 3 B. ■:电 C. :: | D. i _ 【答案】C【解析】试题分析:据等差数列的前n 项和公式分别表示出各选项中的结果，结合 试题解析：设等差数列耳的公差为打,则日2 =日1 + d ,日4 =白丄 + 3d r a L5 =日］+ 14d二自2 +玄斗4-古1亍=2白1 + 18d =3 （3+ 6d ）=工占？「迁-^4 + 5：'的值是常数， 耳是常数。

六安一中2018届高三年级第二次月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,∴复数的共轭复数是故选：C点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．2. 若，且，则角的终边位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y轴的非负半轴，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．3. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】A【解析】若对恒成立，则为函数的函数的最值，即2×+φ=kπ+，k∈Z，则φ=kπ+，k∈Z，又f（）＞f（π），sin（π+φ）=﹣sinφ＞sin（2π+φ）=sinφ，sinφ＜0．令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．故选C．4.A. B. -1 C. D. 1【答案】D【解析】，故选：D.5. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C考点：余弦定理。

6. 已知，则A. 9B. 3C. 1D. 2【答案】C【解析】试题分析：,可得，即，又解得，，.故选B.考点：1、向量的模，2、向量的数量积的运算.7. 已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤≤，可解得a∈．故选：D．8. 若，，且，则的值是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】∵，∴，又0＜＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β=，故选：A．点睛：求角问题一般包含三步：第一步明确此角的某个三角函数值，第二步根据条件限制角的范围；第三步求出此角.9. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.10. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若对恒成立，则为函数的函数的最值，即2×+φ=kπ+，k∈Z，则φ=kπ+，k∈Z，又f（）＞f（π），sin（π+φ）=﹣sinφ＞sin（2π+φ）=sinφ，sinφ＜0．令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．故选C．11. 在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设∠PAE=θ，，则：；又；∴；∴；∴的最大值为．故选B．12. 若，实数满足方程组则（）A. 0B.C.D. 1【答案】D【解析】，由②化简得：8y3﹣（1+cos2y）+2y+3=0，整理得：﹣8y3+cos2y﹣2y﹣2=0，即（﹣2y）3+cos（﹣2y）+（﹣2y）﹣2=0，设t=﹣2y，则有t3+cost+t﹣2=0，与方程①对比得：t=x，即x=﹣2y，∴x+2y=0，则cos（x+2y）=1．故选D点睛：解题关键根据两个方程的结构特点，构造新函数借助新函数的性质明确x与y的关系,从而得到的值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，，且的面积为，则__________．【答案】【解析】根据题意，的面积为：，则，在中，由余弦定理有：.14. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于__________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，大正方形的边长为5，小正方形的边长为 1，∴1=5cosα-5sinα，∴cosα-sinα=．由于α为锐角，cos2α+sin2α=1，∴cosα=，sinα=，∴考点：本题考查三角函数的应用点评：用三角函数来表示正方形的边长，列方程求解15. 如图，是边长为4的正方形，动点在以为直径的圆弧上，则的取值范围是__________．【答案】【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，（y≥0），C（2，4），D（﹣2，4）因此设P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]∴=（2﹣2cosα，4﹣2sinα），=（﹣2﹣2cosα，4﹣2sinα），由此可得=（2﹣2cosα）（﹣2﹣2cosα）+（4﹣2sinα）（4﹣2sinα）=4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα化简得=16﹣16sinα∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]∴当α=0或π时，取最大值为16；当α=时，取最小值为0．由此可得的取值范围是[0，16]故答案为：[0，16]点睛：向量有三种表达形式，几何形式，代数形式，符号形式，三种形式对应着处理平面向量问题的三种策略.16. 如图，在平面斜坐标系中，，斜坐标定义：如果（其中，分别是轴，轴的单位向量），则叫做的斜坐标.（1）已知得斜坐标为，则__________．（2）在此坐标系内，已知，动点满足，则的轨迹方程是__________．【答案】 (1). 1 (2).【解析】（1）∵，∴1．........................故答案为：1；y=x三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设的内角所对边的长分别为，且有. （1）求角的大小；（2）若，为的中点，求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．试题解析：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∵为的中点，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 在中，.（1）求的值；（2）若，求在方向上的投影.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据降幂公式，代入化简得到，再根据两角和的余弦公式化简为，（2）根据投影公式在方向上的投影为，所以根据正弦定理求，再求 ,根据余弦定理求，代入即可.试题解析：(1)由，可得，即，∴（2）由正弦定理得，由题意知，∴，∴．由余弦定理得，解得（舍）在方向上的投影：.19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值.（2）若，求的值.【答案】(1) , (2)【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，再根据图象关于直线对称，可得结合，可得（2）再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.20. 已知函数.若的最小正周期为. （1）求的单调递增区间；（2）在中，角的对边分别是满足，求函数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）利用正弦、余弦的二倍角公式以及两角和公式把化简成，通过已知的最小正周期求出，得到的解析式，再通过正弦函数的单调性求出答案；（2）根据正弦定理及，求出，进而求出，得到的范围，把代入根据正弦函数的单调性，求出函数的取值范围.试题解析：(1)f(x)＝sin ωx cos ωx＋cos2ωx－＝sin，∵T＝＝4π，∴ω＝，∴f(x)＝sin，∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．(2)∵(2a－c)cos B＝b cos C，∴2sin A cos B－sin C cos B＝sin B cos C，2sin A cos B＝sin(B＋C)＝sin A，∴cos B＝，∴B＝.∵f(A)＝sin，0＜A＜，∴，∴f(A)∈.21. 如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点，记，且.（1）若，求.（2）求面积的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：﹙1﹚同角三角的基本关系求得的值,再利用两角差的余弦公式求得的值.(2)利用用割补法求的面积,再利用正弦函数的值域,求得它的最值.试题解析：（1）依题意得，所以,因为，且，所以,所以.（2）由三角函数定义，得，从而.,.因为，所以当时，“=”成立，所以面积的最大值为.22. 已知函数.（1）若函数的最大值为6，求常数的值；（2）若函数有两个零点和，求的取值范围，并求和的值；（3）在（1）的条件下，若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2) , (3) 没有零点【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出的范围，由正弦函数的最大值和条件列出方程，求出m的值；（2）由x的范围求出z=的范围，函数在上有两个零点方程在上有两解，再转化为两个函数图象有两个交点，由正弦函数的图象列出不等式，求出m的范围，由正弦函数的图象和对称性求出x1与x2的和；（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出当t≥2时（t﹣1）f（x）的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简，由x的范围、正切函数的性质求出范围，即可判断出函数g（x）的零点个数．试题解析：（1）由题意得，，，∵，∴，则，∴时，，解得；（2）令，∵，∴，函数在上有两个零点方程在上有两解，即函数与在上有两个交点由图象可知，解得由图象可知，∴解得；（3）在（1）的条件下，，且，则，当时，（当且时取等号），，∵，∴，（当时取等号），所以当时，函数有一个零点，当时，恒成立，函数没有零点。

一、选择题：共12小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，第8~12题有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得3分，有选错的得0分1．如图所示，在穹形支架上，用一根不可伸长的光滑轻绳通过滑轮悬挂一个重力为G的重物，将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢向D点靠近，则绳中拉力大小变化情况是A．先变小后变大B．先变小后不变C．先变大后变小D．先变大后不变2．如图所示，同一竖直面内有上下两条用相同材料做成的水平轨道MN、PQ，两个完全相同的物块A、B放置在两轨道上，A在B的正上方，A、B之间用一根细线相连，在细线中点O施加拉力，使A、B一起向右做匀速直线运动，则拉力的方向是（图中②表示水平方向）A．沿①②③方向都可以B．沿①方向C．沿②方向D．沿③方向3．如图所示，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态，现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定时细线偏离竖直方向到某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。

与稳定在竖直位置时相比，小球的高度A．一定降低B．一定升高C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定4．如图所示，AB 为光滑竖直杆，ACB 为构成直角的光滑L 形直轨道，C 处由一小圆弧连接可使小球顺利转弯（即通过转弯处不损失机械能）。

套在杆上的两个小球自A 点静止释放，分别沿AB 轨道和ACB 轨道运动，如果沿ACB 轨道运动的时间是沿AB 轨道运动时间的1.5倍，则BA 与CA 的夹角为A ．60°B ．53°C ．45°D ．30°5．如图所示，三角形传送带以1m/s 的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2m ，且与水平方向的夹角均为37°。

现有两个小物块A 、B 从传送带顶端都以1m/s 的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带的动摩擦因数都是0.5，210/g m s ，sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列判断不正确的是A ．物块A 先到达传送带底端B ．物块AB 同时到达传送带底端C ．传送带对物块AB 的摩擦力都沿传送带向上传送带对物块AB 的摩擦力都沿传送带向上D ．物块A 下滑过程中相对传送带的位移小于物块B 下滑过程中相对传送带的位移 6．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上放置质量分别为m 和2m 的四个目标，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是m f ，现用平行于斜面的拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块沿斜面以同一加速度向下运动，则拉力F 的最大值是A ．35m f B ．34m f C ．m f D ．32m f 7．质量为m 和M 的两个物体a 、b 用轻绳连接，用一大小不变的拉力F 拉b ，使两物体在图中所示的AB 、BC 、CD 三段足够长轨道上都做匀加速直线运动，物体在三段轨道上运动时力F 都平行于轨道，且a 、b 与三轨道间的动摩擦因数分别为123μμμ、、，设在AB 、BC 、CD 上运动时a 与b 之间的绳子上的拉力分别为123T T T F F F 、、，则它们的大小A ．123T T T F F F <<B ．123T T T F F F >>C ．123T T T F F F ==D ．123T T T F F F <=8．如图所示，A 、B 、C 三个物体重均为100N ，小球P 重40N ，作用在物块B 的水平力F=20N ，整个系统静止，下列说法正确的是A ．物块C 受6个力作用B ．A 和B 之间的摩擦力是20NC ．B 和C 之间的摩擦力是20ND ．C 与桌面间的摩擦力是20N9．如图所示，质量为M ，半径为R 的半球形物体A 放在水平地面上，通过最高点处的钉子用水平轻质细线拉住一质量为m 、半径为r 的光滑球B ，则A ．A 对地面的摩擦力方向向左B ．A 对地面的压力大小为()M m g +C ．B 对A 的压力大小为()mg R r R+ D ．细线对小球的拉力大小为mgrR10．如图所示，倾角为θ的斜面体c 置于水平地面上，小物块b 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏斗a 连接，连接b 的一段细绳与斜面平行，在a 中的沙子缓慢流出的过程中，a 、b 、c 都处于静止状态，则A ．b 对c 的摩擦力一定减小B ．地面对c 的摩擦力先减小后增大C ．b 对c 的摩擦力方向可能平行斜面向上D ．地面对c 的摩擦力方向一定水平向左11．某马戏团演员做滑竿表演，已知竖直滑竿上端固定，下端悬空，滑竿的重力为200N ，在杆的顶部装有一拉力传感器，可以显示杆顶端所受拉力的大小，已知演员在滑竿上做完动作之后，先在杆上静止了0.5s ，然后沿杆下滑，3.5s 末刚好滑到杆底端，并且速度恰好为零，整个过程中演员的v-t 图像与传感器显示的拉力随时间的变化情况如图所示，210/g m s =，则下述说法正确的是A ．演员的体重为600NB ．演员在第1s 内一直处于超重状态C ．滑竿所受的最大拉力为900ND ．滑竿所受的最小拉力为620N12．如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一小物体（物体与弹簧不连接），初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F 作用在物体上，使物体开始向上做匀加速直线运动，拉力F 与物体位移x 的关系如图乙所示，（210/g m s =），则下列结论正确的是A ．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B ．物体的质量为2kgC ．物体的加速度大小为42/m s D ．物体的加速度大小为52/m s 二、实验题13．“为验证力的平行四边形定则”的实验情况如图（a ）所示，其中A 为固定橡皮筋的图钉，O 为橡皮筋与细绳的结点，OB 与OC 为细绳，图（b ）是在白纸上根据实验结果画出的图。

六安一中2018届高三年级第二次月考数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i2.若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．向左平移512π个长度单位 B ．向右平移512π个长度单位 C ．向左平移56π个长度单位 D ．向右平移56π个长度单位 473sin17-=A ．．．15.在ABC ∆中，角A,B,C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C. 12 D ．12-6.已知21a b a b ==-=，则2a b += A ．9 B ．3 C.1 D ．27.已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中,3x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.若sin 2α=()sin βα-=3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+的值是（ ）A ．74π B ．94π C. 54π或74πD ．54π或94π9.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C.3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+ 10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C.()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.在矩形ABCD 中，1AB =，AD =P 为矩形内一点，且AP =(),AP AB AD R λμλμ=+∈，则λ的最大值为（ ）A ．32B C.12.若x ，y 实数满足方程组332cos 2082cos 230x x x y y y ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩则()cos 2x y +=（ ） A ．0 B ．13 C.12D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，A 60,2AB ==，且ABC ∆，则BC = ． 14.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．15. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC PD ⋅的取值范围是 ．16. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，135xOy ∠=，斜坐标定义：如果12OP xe ye =+（其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴的单位向量），则(),x y 叫做P 的斜坐标.（1）已知P 得斜坐标为(，则OP = ．（2）在此坐标系内，已知()()0,2,2,0A B ，动点P 满足AP BP =，则P 的轨迹方程是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设ABC ∆的内角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+.（1）求角A 的大小；（2）若1b c ==2,，D 为BC 的中点，求AD 的长.18. 在ABC ∆中，()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-. （1）求cos A 的值；（2）若5a b ==，求BA 在BC 方向上的投影.19. 已知函数()()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值.（2）若2263a f a ππ⎛⎫⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3cos 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.20. 已知函数())()1cos cos ,02f x x x x x R ωωωω=+-∈>.若()f x 的最小正周期为. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别是a b c ,,满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.21.如图，在直角坐标系XOY 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作X 轴的垂线与射线()0y x ≥交于点Q ，与X 轴交于点M ，记MOP α∠=，且,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若1sin 3α=，求cos POQ ∠.（2）求OPQ ∆面积的最大值.22.已知函数()222cos 02f x x x m x π⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭.（1）若函数()f x 的最大值为6，求常数m 的值；（2）若函数()f x 有两个零点1x 和2x ，求m 的取值范围，并求1x 和2x 的值；（3）在（1）的条件下，若()()())12g x t f x t =-≥，讨论函数()g x 的零点个数.六安一中2018届高三年级第二次月考数学试卷（文科）参考答案一、选择题1-5:CBADC 6-10:CDAAC 11、12：CD二、填空题72515.[]0,16 16.（1）1 （2）y x=三、解答题17.解：（1）∵2sin cos sin cos cos sinB A AC A C=+，∴()2sin cos sinB A A C=+，∵A C Bπ+=-，∴()sin sin0A C B+=>，∴2sin cos sinB A B=，∴1cos2A=，∵()0,Aπ∈，∴3Aπ=；（2）∵1b c==2,，3Aπ=，∴2222cos3a b c bc A=+-=，∴222b a c=+，∴2Bπ=，∵D为BC的中点，∴AD==.18.解：（1）由()()232cos cos sin sin cos25A BB A B B A C---++=-，可得()()()3cos cos sin sin5A B B A B A C---+=-，可得()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-，即()3cos 5A B B -+=-，即()3cos 5A =-；（2）由正弦定理，sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a =， 由题意可知a b >，即A B >，所以4B π=，由余弦定理可知(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1,7c c ==-（舍去），向量BA 在BC 方向上的投影：cosB cosB BA c ==19.解：（1）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，∴2ω=，再根据图象关于直线3x π=对称，可得2,32k k z ππϕπ⨯+=+∈，结合22ππϕ-≤<可得6πϕ=-；（2）∵2263a f a ππ⎛⎫⎫<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin 64a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据062a ππ<-<，∴cos 6a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3cos sin sin sin cos cos sin 2666666a a a a a πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1142==20.解：（1）()21cos cos sin 226f x x x x x πωωωω⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， ∵242T ππω==， ∴14ω=，∴()1sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的单调递增区间为()424,433k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）∵()2cos cos a c B b C -=， ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， ()2sin cos sin sin A B B C A =+=，∴1cos 2B =， ∴3B π=，∵()12sin ,0263f A A A ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， ∴6262A πππ<+<，∴()1,12f A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.21.解：（1）因为1sin 3α=，且,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos α=，所以cos cos cos cos sin sin 333POQ πππααα⎛⎫∠=-=+= ⎪⎝⎭（2）由三角函数定义，得()P cos ,sin αα，从而()cos Q αα，所以21cos sin sin cos 2POQ S ααααα∆=-=-，1sin 2sin 2123παα⎛⎫-=+-≤+ ⎪⎝⎭，12=+， 因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当12πα=时，等号成立，所以POQ ∆12+. 22.解：（1）由题意得，()22cos cos21f x x x m x x m ++=+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则12sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2116f x m =⨯++=，解得3m =；（2）令26z x π=+，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666z x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点12,x x ⇔方程2sin 1z m =--在7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，即函数2sin y z =与1222z z π+=1y m =--在7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个交点由图象可知121212m ⨯≤--<⨯，解得32m -<≤-由图象可知，∴122266x x πππ+++=解得123x x π+=；（3）在（1）的条件下，()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且12sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()min 12432f x ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，当2t ≥时，()()13t f x -≥（当2t =且2x π=时取等号），tan 6x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，36x π⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭（当2x π=时取等号），所以当2t =时，函数()()(1g x t f x =-有一个零点2x π=，当2t >时，()()13t f x ->≥函数()()(1g x t f x =-。

2017届安徽六安一中高三上学期月考（二）数学（文）试题一、选择题1．已知复数z 的共轭复数有z ，且满足()()2232z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．613-B ．613C ．1713-D ．1713 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设bi a z +=，则bi a z -=，将z 代入到()()2232z i i +=-中得i b a b a i bi a )23(32)32)((-++=+-，而i i 43)2(2-=-，则233{324a b a b +=-=-，解得1317=b ，故选D ． 【考点】1.共轭复数的概念；2.复数的运算.【易错点晴】本题主要考查的是共轭复数的概念以及复数的运算，属于容易题．注意设复数形式时，设z ，求b ，而不是设z ，因为设z 容易遗忘所要求的问题导致出错．通过化简运算，最后实数部合并，虚数部合并，根据待定系数法可求也b . 2．若点()81a ，在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为（ ）A ．．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，将点()81a ，代入到函数3x y =的图象上，则得到4a =,那么tan6a π=332tan-=π，故选A ． 【考点】三角函数的化简求值.3．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin α的值是（ ）A ．B D 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，通过4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得到54c o s 21s i n 23=+αα，再结合22sin cos 1αα+=，结合03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，可解出sin α=，故选C ． 【考点】1.两角和的正弦函数公式；2.同角三角函数的基本关系式.4．若满足cos sin c a C c A =，的ABC △有两个，则边长a 的取值范围是（ ）A ．(1B ．(1C )2，D ．)2，【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对A c C a s i n co s =的变形,利用正弦定理C c c c A a s i n c o s s i n ==可求得C 4π=,;2sin 2<=A a 再根据ABC △有两个，可得A 有两个，一个为锐角，一个为钝角，故)1,0(sin ∈A ,2=>c a ，综合得)2,2(∈a ，故选D ．【考点】1.正弦定理的应用；2.正弦函数值域的应用.5．设向量a 与b 满足2a = ，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与a b λ-垂直，则λ=（ ）A ．3B ．2 C.1 D ．1- 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，利用向量投影的意义可得2=∙，又因为024)(=-=∙-=-∙λλλ，则2=λ，故选B ．【考点】平面向量数量积的运算.6．设函数()f x 定义为如下数表，且对任意自然数n 均有()1n n x f x +=，若06x =，则2016xA ．1B ．2C ．4D ．5 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，数列{}n a 满足06x =且对任意n 自然数均有1()n n x f x +=，利用表格可得,,4)6()(01===f x f x 2)4()(12===f x f x ,1)2()(23===f x f x ,5)1()(34===f x f x ,6)5()(45===f x f x ，于是得到6n n x x +=，所以6063362016===⨯x x x ，故选C ．【考点】1.数列递推关系式的应用；2.数列的周期性.7．在平面四边形ABCD 中，满足0AB CD +=，()0AB AD AC -= ，则四边形ABCD 是（ ）A ．菱形B ．正方形 C.矩形 D ．梯形 【答案】A【解析】试题分析：由0AB CD +=可知四边形ABCD 为平行四边形，又因为向量的平行四边形法则，得AD AB AC +=,那么0)()(=+∙-,得AB CD =,故四边形ABCD 是菱形 ，故选A ．【考点】1.向量的平行四边形法则；2.向量的数量积运算．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2015201600S S ><，，则前n 项和n S 取最大值时n 的值为（ ）A ．1009B ．1008C ．1007D ．1006 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，2220152)(20151008201512015a a a S ⨯=+⨯=0>，那么数列{}n a 的前1008项均为正数，又因为02016<S ,故从1009项开始为负值，故n 为1008时，n S 取最大值，故选B ．【考点】1.等差数列的前n 项和；2.数列的函数特性.9．在ABC △中，若111tan tan tan A B C，，依次成等差数列，则（ ） A ．a b c ，，依次成等差数列BC ．222a b c ，，依次成等差数列D ．222a b c ，，依次成等比数列 【答案】C【解析】试题分析：先根据等差数列的性质可得，CA B tan 1tan 1tan 2+=,再将切化弦得C C A A B B sin cos sin cos sin cos 2+=,由正弦定理可得，cCa Ab B cos cos cos 2+=，整理可得，C ab A bc B ac cos cos cos 2+=，由射影定理得，2cos 2b B ac =，同理可得，2222b c a =+，故选C ．【考点】1.等差数列的性质；2.正余弦定理的应用.10．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+001A πωω⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点5012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 C.将函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到的函数图象关于y 轴对称D ．函数()f x 的单调递增区间是()713Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】D【解析】试题分析：由函数的图象的顶点坐标求出A =2，由周期441π=T 求出2=ω，由五点法作图求出3πϕ=，可得到函数的解析式)32sin(2)(π+=x x f ，由图象可知，函数的最小正周期π=T ,故A 错误；选项B ，将125π-=x 代入到)(x f 的解析式中，2)2sin(2)125(-=-=-ππf ，所以函数不关于点)0,125(π-对称；选项C 中，函数向左平移6π个单位，则)322sin(2)(π+=x x f 不是偶函数，所以不关于y 轴对称，故错误；选项D ，由题意得，)(22322Z k k x k ∈+≤+≤ππππ,解出即可得到D 正确，综合选D ．【考点】正弦函数的图象.11．已知函数()()sin 1log 012a f x x x a π⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭至少有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0⎛ ⎝⎭B ．1⎫⎪⎪⎝⎭， C.1⎫⎪⎪⎝⎭， D ．0⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，函数1)2sin()(-=x x f π与x y a log =至少有五个交点，结合两个函数的图象可知，底数a 越小，交点个数越多，当刚好有4个交点时，函数x y a log =过函数1)2sin()(-=x x f π的一个最低点)2,7(-，此时对应a 的值最大，将点)2,7(-代入可得77=a ，又因为底数a 越小，交点个数越多，所以770<<a ，故选A ．【考点】1.函数的图象；2.数形结合.【易错点晴】本题主要考查的是三角函数的周期性及对数函数的图象综合问题，是一道综合性较强的试题，易错点一是不能正确作出函数在两个区间内的图象，二是不会应用转化与化归思想将问题转化时交点问题分析，三是将图象交点个数判断错误,根据图象可发现，底数a 越小，交点个数越多，因此可判断出a 的值偏小，这个是易错点，非常关键的地方.12．已知ABC △的三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且2B A =，则cb a-的取值范围是 （ ）A ．()03，B ．()12， C.()23， D ．()13， 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,由A B 2=得，ππ<<<+<A B A 0,0得到320π<<B ,由正弦定理可得 AB Ca b c sin sin sin -=-，又因为BB AC 23-=--=ππ，2sin sin )23sin(sin sin sin B B B A B C --=-π, 而2sin cos 2cos sin )2sin(23sin )23sin(B B B B B B B B +=+==-π,)12cos 2(2sin 2sin sin -=-BB B B ,代入到式子中，得1cos 21cos 2cos 2cos 2sin sin sin 2+=-+=-B B B BA B C ，又因为320π<<B ，故32<-<a b c，所以选C ． 【考点】1.正弦定理的运用；2.二倍角公式的运用. 【思路点晴】本题主要考查的是三角函数的化简和求值，二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于易错中档题，由A B 2=得，ππ<<<+<A B A 0,0得到320π<<B ,由余弦定理得AB Ca b c sin sin sin -=-,再将C 和A 全部用B 表示出来，即可得到关于B 的函数关系式，通过二倍角转化化简可得最终答案,其中求B 的取值范围，二倍角化简是关键，不可出错.二、填空题13．等差数列{}n a 中，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，且945666S a a a =+++，则28a a += ．【答案】22 【解析】试题分析：由题意得，9876543219a a a a a a a a a S ++++++++=4566a a a =+++，则66987321=+++++a a a a a a ，又根据等差数列的性质：738291a a a a a a +=+=+，即可求出2282=+a a .【考点】1.等差数列的性质；2.等差数列的前n 项和.【思路点睛】本题主要考查的是等差数列的性质和等差数列的前n 项和，属于容易题，本题容易想成设等差数列的首项和公差，然后再分别表示出各个量去求解，此方法不是不行，运算量比较大，容易算错导致错误，此题比较简便的方法就是利用)(q p n m a a a a q p n m +=++=+的性质进行整体代换求解.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB CD ∥，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且2136BE BC DF DC ==，，则AE AF 的值为 .【答案】2918【解析】试题分析：由题意得，根据已知条件可得到1=CD ,1120cos 21-=︒⨯⨯=∙，将BC AB ,看成一组基向量，那么32+=,+=127，从而可得出∙=∙+)32()127(+18291825=∙+. 【考点】1.利用三角形法则进行向量间的转换；2.平面向量数量积的运算.【方法点睛】本题主要考查的是利用三角形法则进行向量间的转换，平面向量数量积的运算，属于中档题，乍看这么多条件，不知如何运用，平面向量的数量积问题记住一个大的原则，就是一定要找到一组基向量，将其它要求的向量都想办法用这一组向量表示出来，那么这种类型题目就算方法正确，否则是会是思维混乱，往往会出错.针对于本题目而言，选,为一组基向量，将,用,表示出来即可求出.15．已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω= .【答案】143【解析】试题分析：由题意得，)(x f 的图象关于直线4π=x 对称，那么1)34cos()4(-=+=ππωπf ，即)(3108z k k ∈-=ω，再结合ωπππ=<-243T ,得120<<ω，又因为)(3108z k k ∈-=ω，则当1=k ，ω符合题意，即314=ω.【考点】正弦函数的图象综合问题.【方法点睛】本题主要考查的是正弦函数的图象特征，正弦函数的图象的对称性，定义域和值域，属于中档题，利用正弦函数的图象特征可得当4π=x ，)(x f 取得最小值，即1)34cos()4(-=+=ππωπf ，得到)(3108z k k ∈-=ω，是关键，也是难点，考查学生理解与运算能力，再结合243T<-ππ,可求出ω的值. 16．设a b ，为单位向量，若c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，由若c 满足()c a b a b -+=-知，()a b c a b c a b -=-+≥-+，当且仅当c 与a b + 同向且c a b ≥+ 时，取等号，所以c a b a b ≤-++，而有基本不等式知，()()()222222222228a b a ba b a b a a b b a a b b -++≤-++=-++++= ，所以a b a b -++≤ a b a b -=+ 即a b ⊥时取等号，故c的最大值为【考点】1.向量加法的平行四边形法则；2.基本不等式.【方法点睛】本题主要考查的是向量模的运算性质，向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质，属于难题，向量的模的最值运算，一般要化为已知量的关系式，常用的工具2a =≤±，在平行四边形中=+，再结合基本不等式可得当b a ⊥时，22min =+≤取最大值.三、解答题17．已知角α的终边与圆223x y +=交于第一象限的点(P m ，求： （1）tan α的值；（2）22cos sin 124ααπα--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）2；（2）322-．【解析】试题分析：（1）将点P 代入到圆的方程中，可得到m 的值，即可求出αtan 的值；（2）由（1）可知ααcos ,sin 的值，利用二倍角公式及正弦函数的和差公式化简得到最简结果，代入即可. 试题解析：（1）tan α=，（2）22cos sin 1cos sin 2sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin 1tan cos 3cos sin cos sin 1tan cos αααααααααααα---=====-+++ 【考点】1.单位圆上点坐标的含义；2.二倍角公式；3.弦函数的和差公式.18．在等差数列{}n a 中，12378a a a +==，．令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n a n ；（2）)23(2+=n nT n ．【解析】试题分析：（1）因为数列{}n a 是等差数列，故设首项和公差，根据已知可建立方程组，进而求出首项1a 和公差d ，可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得到数列{}n b 的通项公式，求前n 项和n T 时,通过观察，需要裂项求和.试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12378a a a +=⎧⎨=⎩得111728a a d a d ++=⎧⎨+=⎩．解得123a d ==，，∴()23131n a n n =+-=-． （2）∵()()()()111111131323313231311n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪-+-+-+-⎡⎤⎝⎭⎣⎦ ∴1211111111132535833132n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭……()1113232232nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 【考点】1.等差数列的性质；2.裂项法求数列前n 项和.19．已知向量)1cos cos 22a x b x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，，，，，设函数()f x a b = . （1）求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π，范围内的大致图象；（2）若方程()0f x m -=在[]0π，上有两个根α、β，求m 的取值范围及αβ+的值． 【答案】（1）)62sin()(π-=x x f ，表格和图象见解析；（2）)1,21()21,1(-⋃--∈m ，=+βα32π或35π．【解析】试题分析：（1）由题意可得，平面向量数量积的坐标运算可得，)(x f 的关系式，通过两角和差正弦函数公式进行化简即可，利用)(x f 的解析式，进行六点画图的方法填表画图；（2）由（1）中图象的对称性可求出m 的范围以及αβ+的值，因此（1）中化简非常关键,不可出错. 试题解析：（1）()11cos cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ ，…………3分（2）由图可知111122m ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 4212αβπ+=或1012π， ∴23αβπ+=或53π．【考点】1.两角和与差的正弦函数公式的应用；2.平面向量数量积的运算.20．已知a b c ，，分别是ABC △的内角A B C ，，所对的边长，且a c =，满()cos cos cos 0C A A B +-=．（1）求角B 的大小；（2）若点O 是ABC △外一点，24OA OB ==，记AOB α∠=，用含α的三角函数式表示平面四边形OACB 面积并求面积的最大值． 【答案】（1）3π=B ；（2）835),3sin(8max +=-=S S πα．【解析】试题分析：（1）由三角函数的恒等变换可求出B 的值；（2）由题意可求得ABC ∆为等边三角形，利用三角形的面积公式及余弦定理可求得平面四边形OACB 面积关于α的表达式，从而可求出平面四边形OACB 面积的最大值.试题解析：（1）由()cos cos cos 0C A A B +-=可得：()()cos cos cos 0A B A A B -++-=．整理得：cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=，即()sin sin 0A B B -=，∵sin 0A ≠，∴sin 0B B -=，即tan B =0B π<<，∴3B π=．（2）由（1）及题中a c =得ABC △为等边三角形．设AOB α∠=，则由余弦定理得216416cos 2016cos AB αα=+-=-，∴)22016cos ABC S AB αα==-=△，又1sin 4sin 2AOB S OA OB αα== △，∴平面四边形OACB 的面积为：()4sin 8sin 83S πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当232k ππαπ-=+时取等号，又0απ<<即56απ=时S 取得最大值，故max 8S =，即平面四边形OACB 面积的最大值为8+．【考点】1.三角函数的恒等变换；2.余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查的是三角函数中的恒等变换应用，余弦定理的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题，（1）中要求角度B 的值，必然要对已知进行恒等变形，此时有三个量，肯定需要将其中一个量转化成另两个量表示出来，再对另两个量进行变形求解，从而达到消掉另一个量的目的；（2）中思路很明确，通过余弦定理求出AB 的关系式，进而表示出面积，最终得到四边形OACB 的面积表达式，利用三角函数的有界性求出最值,四边形OACB 的面积表达式的求解是关键，也是难点！ 21．已知在东西方向上有M N ，两座小山，山顶各有一个发射塔A B ，，塔顶A B ，的海拔高度分别为100AM =米和200BN =米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30︒，该测量车向北偏西60︒方向行驶了Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，恰好BQA ∠的大小也等于θ，经测量tan 2θ=，求两发射塔顶A B ，之间的距离.【答案】【解析】试题分析：先在AMP Rt ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，︒=∠60QPM ,求得PQ ,因此可推出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，在AMQ Rt ∆中利用勾股定理求出AQ ，BNQ Rt ∆中，利用已知求出BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求出BA .试题解析：在Rt AMP △中，30100APM AM ∠=︒=，，∴PM =QM ，在PQM △中，60QPM ∠=︒，又PQ =PQM △为等边三角形，∴QM =在Rt AMQ △中，由AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ △中，tan 2200BN θ==，，∴cos BQ θ==，，在BQA △中，(22cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+-= ，∴BA =，即两发射塔顶A B ，之间的距离是【考点】1.解三角形的实际应用；2.余弦定理的应用.22．已知函数()2xx f x x x e =+-（其中 2.71828e =…）． （1）求()f x 在()()11f ，处的切线方程；（2）已知函数()()21ln ln 1g x a f x x x x a x ⎡⎤=--+---+⎣⎦，若1x ≥，则()0g x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）10ex ey e --+=；（2）[1)+∞，．【解析】试题分析：（1）求出)(x f 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式可求得切线方程；（2）化简()g x ，求出导函数)('x g ，列表，对a 进行分类讨论，可得到a 的取值范围．试题解析：（1）由题意得()()11'211x x f x x f e e -=+-=，， ∴()f x 在()()11f ，处的切线斜率为()'11f =， ∴()f x 在()()11f ，处的切线方程为11y x e -=-，即10ex ey e --+=．（2）由题意知函数，()()11ln 1g x a x ax a x =-++--+， 所以()()()()2222111111'ax a x ax x a g x a x x x x -++--+=-++==，①若0a ≤，当1x ≥时，()'0g x ≤，所以()g x 在[1)+∞，上是减函数，故()()10g x g ≤=；②若01a <<，则11a >，当11x a <<时，()'0g x <，当1x a >时，()'0g x >，所以()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是 函数，在1a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数；故当11x a <<时，()()10g x g <=； ③若1a ≥，则101a <≤，当1x ≥时，()'0g x ≥，所以()g x 在[1)+∞，上是增函数，所以()()10g x g ≥=； 所以实数a 的取值范围为[1)+∞，．【考点】1.导数的综合运用；2.不等式恒成立问题；3.分类讨论思想.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，几何意义，切线方程，考查了分类讨论的思想方法，推理能力与计算能力，属于综合难题，（1）求切线方程，只需要求出()f x 的导数，利用导数的几何意义即可求解；（2）求a 的范围，利用导数求函数()g x 的极值的步骤：①确定函数()g x 的定义域；②对()g x 求导；③求方程)('x g 的所有实数根；④列表格．对二次项系数为参数时，需要对a 的正负进行分三大类讨论，从而可求出a 的范围，再求并集.。

六安一中2018届高三年级第二次月考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意，，所以．故选B．考点：集合的运算．对数函数与指数函数的性质．2. “若，则，都有成立”的逆否命题是（）A. ，有成立，则B. ，有成立，则C. ，有成立，则D. ，有成立，则【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有成立”的逆否命题是“有成立，则”.本题选择D选项.3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A．考点：函数的定义域．4. 设函数，则（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】试题分析：由题意得,,因为根据对数函数的单调性知:,,故选C.考点：1、分段函数的解析式；2、对数与指数的性质.5. 已知：幂函数在上单调递增；则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题幂函数在上单调递增，则，又，故是的充分不必要条件，选A.6. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D..................7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（）A. 2021年B. 2020年C. 2019年D. 2018年【答案】C【解析】设第年开始超过万元，则，化为，，取，因此开始超过万元的年份是年，故选C.8. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出函数的图象，如图：由关于的方程有三个不同的实数解，可知函数与函数有三个不同的交点，由图象易知，实数的取值范围是，故选D.9. 已知，现有下列命题：①；②；③若，且，则有，其中的所有正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】,,即①正确；，故②正确；又因为在上递增，所以总有成立，故③正确，故选D.10. 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（）A. 0B. 6C. 12D. 24【答案】B【解析】函数满足，即为，可得关于点对称，函数，即的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，为交点，即有也为交点，为交点，即有也为交点，…则有，故选B.11. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看做同一个“伙伴点组”）.已知函数，有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称，可作出函数，关于原点对称的函数的图象，使它与函数交点个数为即可，设切点为的导函数为，可得，解得，可得函数，过点的切线斜率为，结合图象可知时有两个交点，故选D.【方法点睛】本题考查导数的几何意义、函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“伙伴点组”达到考查导数的几何意义、函数的图象与性质的目的.12. 已知函数，若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设，，，故，令，，易知在上是增函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选D.【方法点睛】本题主要考查对数、指数的运算，利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 计算：__________．【答案】26【解析】因为，故答案为.14. 已知函数在单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意,若f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则在[2,+∞)上是减函数，∴u=x2−ax+3a在[2,+∞)上为增函数,且在[2,+∞)上恒大于0.∴得到：.解得：−4<a⩽4，则实数a的取值范围为(−4,4]故答案为：(−4,4].15. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为__________．【答案】10【解析】由，得，要判断函数的零点个数，则根据是定义在上的偶函数，只需判断当时，的个数即可，当时，，当时，时，；当时，时，；当时，时，，作出函数在上的图象，由图象可知有个根，则根据偶函数的对称性可知在定义域上共有个根，即函数的零点个数为个，故答案为.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题；命题：函数有两个零点，且一个零点比大，一个零点比小，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】【解析】试题分析：由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：令，则在上是增函数故当时，最小值为，故若为真，则.若为真命题，则，解得.若为真命题，为假命题，则，一真一假，（1）若真假，则实数满足即；（2）若假真，则实数满足即.综上所述，实数的取值范围为.18. 已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.（1）求函数的解析式；（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.【答案】（1）（2）当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.解：（1）∵对任意实数恒有：①，用替换①式中的有：②，①×②—②得：，当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，∴在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，∴在上为单调增函数.证明：设任意且，则，∵，，（1）当时，则，∴∴在上是减函数.（2）当时，则，∴∴在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.【解析】试题分析：（1）①，用替换①式中的有：②，由①②消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.试题解析：（1）∵对任意实数恒有：①，用替换①式中的有：②，①×②—②得：，（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，∴在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，∴在上为单调增函数.证明：设任意且，则，∵，，①当时，则，∴∴在上是减函数.②当时，则，∴∴在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.19. 已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，得，解得；（2）由在上单调递减.可得函数在区间上的最大值与最小值分别为，等价于，对任意成立，只需令函数在区间的最小值不小于零，解不等式即可.试题解析：（1）由，得，解得.（2）当时，，所以在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为.即，对任意成立.因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得，故的取值范围为.【方法点晴】本题主要考查函数的单调性、简单的指数方程以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法③ 求得的取值范围的.20. 设函数.（1）解方程：；（2）令，求的值.（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）1008（3）试题解析：（1）.（2）.因为所以（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，，又因为是实数集上的奇函数，所以，,又因为在实数集上单调递增，所以,即对任意的都成立，即对任意的都成立，.21. 已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若函数的图像与直线没有交点，求的取值范围；（3）若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在得最小值为0.解：（1）∵，即对于任意恒成立.∴∴∴（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.∵任取，且，则，∴∴，∴在上是单调减函数.∵，∴∴的取值范围是（3）由题意，令，∵开口向上，对称轴，当，即，当，即，（舍去）当，即，（舍去）∴存在得最小值为0.【解析】试题分析：（1）若函数是偶函数，则恒成立，化简可得，从而可求得的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，方程无解，则函数的图象与直线无交点，则不属于函数值域，从而可得结果；（3）函数，令，则，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得的值. 试题解析：（1）∵，即对于任意恒成立.∴∴∴（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.∵任取，且，则，∴∴，∴在上是单调减函数.∵，∴∴的取值范围是（3）由题意，令，∵开口向上，对称轴，当，即，当，即，（舍去）当，即，（舍去）∴存在得最小值为0.22. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）解：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得，（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以得取值范围是. （3）原方程可化为令，则，有两个不同的实数解，其中，或.记，则① 或②解不等组①，得，而不等式组②无实数解，所以实数的取值范围是.【解析】试题分析：（1）由函数，在区间上是增函数，故，由此解得的值；（2）不等式化为，故有，求出的最小值，从而求得的取值范围；（3）方程，令，原方程等价于，构造函数，通过数形结合与等价转化的思想可求得的范围.试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得，（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以得取值范围是.（3）原方程可化为令，则，有两个不同的实数解，其中，或.记，则① 或②解不等组①，得，而不等式组②无实数解，所以实数的取值范围是.。

六安一中2017～2018年度高二年级第一学期第二次阶段检测数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. a|c|>b|c|【答案】C【解析】A．取a=1，b=﹣2，则不成立；B．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；C．∵a＞b，c2+1＞0，∴，成立．D．取c=0时，a|c|＞b|c|不成立．．故选：C．2. 已知“，”的否定是( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，则“，”的否定是，.本题选择C选项.3. 不等式的解集为（）A. [-1,+B. [-1,0)C. ( -,-1]D. (-,-1](0 ,+【答案】B【解析】利用排除法：当时，，不合题意，排除AD选项，........................本题选择B选项.4. 下列说法正确的是( )A. ，y R，若x+y0，则x且yB. a R，“”是“a>1”的必要不充分条件C. 命题“a R，使得”的否定是“R，都有”D. “若，则a<b”的逆命题为真命题【答案】B【解析】∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1的逆否命题为：∀x，y∈R，若x=1或y=﹣1，则x+y=0，为假命题，故A错误；a∈R，“”⇔“a＜0，或a＞1”是“a＞1”的必要不充分条件，故B正确；命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3≥0”，故C错误；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，故D错误；故选：B5. 在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若内角ABC依次成等差数列，且不等式的解集为{x|a<x<c}，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式的解集为{x|a<x<c}，则：△ABC中，内角ABC依次成等差数列，则，结合面积公式有：.本题选择B选项.6. 若变量 (x,y)为区域 ,则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，最大值为：.本题选择C选项.7. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积问题，意思是两个等高的几何体，如在同高处的截面积恒相等，则体积相等，设A，B为两个等高的几何体，p：A,B的体积相等，q：A,B在同高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q是-p的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.8. 已知椭圆的焦距为，则m的值为( )A. B. C. 或 D. 或 2【答案】D【解析】椭圆的标准方程为：，分类讨论：若椭圆的焦点位于轴上，则：，若椭圆的焦点位于轴上，则：，综上可得：m的值为或 2.本题选择D选项.9. 在各项均为正数的等比数列{}中，若，数列{}的前n项积为，若，则m的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意有：，则：，结合题意可得：，等比数列中各项均不为零，据此可得：，即数列是的常数列，则：，求解指数方程可得：.本题选择B选项.10. 已知，，则m,n的大小关系是( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】，则：，即，由二次函数的性质可得，当时，，则，据此可得：.本题选择A选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11. 已知一元二次方程的两个实数根为x1，x2，且0<x1<1，x2>1则的取值范围是（）A. (-1,-]B. (-2, -]C. (-2, -]D. (-2, -)【答案】B【解析】由题意结合二次方程根的分布理论，满足题意时应有：，绘制不等式表示的平面区域如图所示，其中，目标函数的几何意义为可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，且，注意到可行域不包括边界区域，结合目标函数的几何意义可得：的取值范围是.本题选择B选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．12. 若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵关于x的不等式3−|x−a|>x2至少有一个负数解，∴关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解，作函数y=3−x2与y=|x−a|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解可化为：在y轴左侧,函数y=|x−a|的图象有在函数y=3−x2的图象的下方的部分，当y=|x−a|过点(0,3)，即a=3时，是临界值，当y=|x−a|在y轴左侧与y=3−x2的图象相切，即y′=−2x=1,即过点,即时，是临界值，结合图象可知，实数a的取值范围是.本题选择D选项.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 命题：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题是 ______.【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0【解析】“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是：若a≠0且b≠0，则ab≠014. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 ______.【答案】【解析】整理所给的方程即：，方程表示焦点在y轴上的椭圆，则：，求解关于实数的不等式可得：.15. 设命题p：“已知函数对，f(x)恒成立”，命题q：“关于x的不等式有实数解”，若-p且q为真命题，则实数m的取值范围为 ______.【答案】(-3,-2][2,3)【解析】若命题真：，解得；若命题真：，解得；∵且为真，则假真，∴，解得，或；∴实数m的取值范围为.16. 若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是______.【答案】8【解析】由题意可得：当且仅当时等号成立。

2017届安徽省六安市第一中学高三上学期第一次月考（开学）数学（理）试题数学(理科)试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U R =，{|A x y ==，2{|}B y y x ==-，则()U A C B = （ ） A ．∅ B ．R C ．{0} D ．{|0}x x > 2.在复平面内，复数121iz i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）A ．2y x = B ．sin y x x =- C ．xy e -= D．y = 4.已知21()n x x+的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．405.下图是一个算法的流程图，则最后输出的S 值为（ ） A ．-1 B ．-4 C ．-9 D ．76.已知实数x ，y 满足360,24,23120,x y y x x y --≤⎧⎪≤+⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．-6B ．-4C ．25-D ．07.对于非零向量a ，b ，下列四个条件中使||||a ba b =成立的充分不必要条件是（ ）A ．a b =-B ．//a bC ．3a b =D ．//a b 且||||a b =8.已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则4S =（ ） A ．29 B ．30 C ．31 D ．339.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ） A ．10π B ．6π C ．9π D ．94π10.高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A B C D E 、、、、五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A B 、入住同一标间的概率为（ ） A ．110 B ．15 C ．310 D ．2511. 1F ，2F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF F = ，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B 1+CD 12.若函数()cos sin f x x ax x =+，(,)22x ππ∈-存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(,1)-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知m R ∈，向量1a m = （，），(2,6)b =- ，且a b ⊥ ，则||a b -= ________.14.数列{}n a 中，19a =且2*1()n n a a n N +=∈，则数列的通项公式n a =__________.15.过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则||||FB FA =________. 16.已知函数243,1,()ln , 1.x x x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩，若|()|f x a ax +≥，则a 的取值范围是__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）ABC ∆中，锐角A 满足()1f A =，b =，3c =，求a 的值.18. （本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）完成下面的2×2列联表，并回答是否可以在犯错误概率不超过0．1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．22()(()()()n ad bc K a b c d b d -=+++，其中)n a b c d =+++19. （本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD EFQH -材料切割成三棱锥H ACF -．（Ⅰ）若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：//MG 平面ACF ；（Ⅱ）已知原长方体材料中，2AB =，3AD =，1DH =，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH 所在直线与平面ACF 所成的角θ，再根据公式sin h AH θ= 求三棱锥H ACF -的高h ．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l （不经过椭圆上顶点A ）与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且0AP AQ =，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-. （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2）若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1212()x x x x <<且21ln 2x x ->，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能作所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.（1）求证：2BE AD =；（2）当1AC =，2EC =时，求AD 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，曲线C的方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为)6π，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 10ρθρθ++=.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 距离的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|1|||()f x x x a a R =-+-∈. （1）若3a =，求不等式()4f x ≥的解集；（2）对1x R ∀∈，有1()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.六安一中2017届高三第一次月考数学（理科）参考答案一、选择题1．D 2 B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B 11.A 12.C 二、填空题13.23n15. 3 16. [2,0]- 三、解答题17.（Ⅰ）2()2sin cos 2cos 1sin 2cos 2)4f x x x x x x x π=-+=-=-，………………（2分）所以()f x 的最小正周期为π.又∵A 是锐角，∴244A ππ-=∴，4A π=，…………（8分）由余弦定理得22923cos54a π=+-=，∴a =．…………（12分）18.（1）解：由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表…………（2分）22200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．………………（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5． 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==．X 的分布列为：………………（10分）由于2(5,)5X B ，则2525EX =⨯=；2265(1)555DX =⨯⨯-=．……………………（12分） 19.（Ⅰ）∵HM MA =，HN NC =，HK KF =，∴//MK AF ，//MN AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//MK 平面ACF ，同理可证//MN 平面ACF ， ∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK MN M = ，∴平面//MNK 平面ACF ，又MG ⊆面MNK ，∴//MG 面ACF .………………（6分） （Ⅱ）分别以DA ，DC ，DH 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则有(3,0,0)A ，(0,2,0)C ，(3,2,1)F ，(0,0,1)H ，………………（7分）(3,2,0)AC =- ，(0,2,1)AF = ，(3,0,1)AH =- ，设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有32020n AC x y n AF y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，解得232x y z y⎧=⎪⎨⎪=-⎩，令3y =，则(2,3,6)n =- ，…………（9分）∴sin ||||||AH n AH n θ===11分） ∴三棱锥H ACF -的高为12sin 7AH θ== .……………………（12分） 20.（1）2213x y +=…………（5分）（2）由0AP AQ =知AP AQ ⊥，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故不妨设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11(0)y x k k=-+≠， 将1y kx =+代入椭圆C 的方程2213x y +=，并整理得22(13)60k x kx ++=，…………（7分）解得0x =（舍去）或2613k x k =-+，因此P 的坐标为2266(,1)1313k kk k --+++，即222613(,)1313k k k k --++. 将上式中的k 换成1k-，得22263(,)33k k Q k k -++，………………（9分）直线l 的方程为22222222231363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k ----++=-++++++， 化简得直线l 的方程为21142k y x k -=-，所以直线l 过定点1(0,)2-.………………（12分） 21.解：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，可得1x e=， ∴①10t e <<时，函数()f x 在1(,)t e 上单调递减，在1(,2)t e+上单调递增，∴函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值为11()f e e=-， ②当1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，∴min ()()ln f x f t t t ==， ∴min11,0()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩；………………（6分）（Ⅱ）2()()ln 2y f x g x x x x ax =+=-+-，则'ln 21y x x a =-++， 题意即为'ln 210y x x a =-++=有两个不同的实根1x ，2x 12(0)x x <<， 即ln 21a x x =-+-有两个不同的实根1x ，2x 12(0)x x <<，等价于直线y a =与函数()ln 21G x x x =-+-的图象上有两个不同的交点………………（7分）∵1'()2G x x =-+，∴()G x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增， 画出函数图象的大致形状（如上图），由图象知，当min 1()()ln 22a G x G >==时，1x ，2x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大；而当21ln 2x x -=时，由题意1122ln 210ln 210x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩，两式相减可得1122ln2()2ln 2x x x x =-=-. ∴214x x =，代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时2ln 2ln 2ln()133a =--，故实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--；………………(12分) 22.证明：（1）连接DE ，因为四边形ACED 是圆内接四边形，所以BDE BCA ∠=∠，所以DBE CBA ∆∆ ，即有BE DEBA CA=，又2AB AC =，所以2BE DE =，又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =…………（5分）（2）解：由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得：BD BA BE BC = ，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -=+ ，所以有(2)22(22)t t t -⨯=+，解得：12t =，所以12AD =…………………（10分） 23.解：（1）点P的直角坐标为，由2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去ϕ得，22(4x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(4x y ++=.………………（5分）（2）曲线C的参数方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的普通方程为4310x y ++=，设(2cos ,2sin )Q ϕϕ+则3(cos ,sin )2M ϕϕ+，那么点M 到直线l 的距离为|4cos 3sin 7||5sin()7|2555d ϕϕϕα++++==≥所以点M 到直线l 的最小距离为25.…………………………（10分） 24.（1）因为3a =，所以有|1||3|4x x -+-≥.当1x ≤时，有424x -≥，所以0x ≤. 当13x <<时，有24≥.当3x ≥时，有244x -≥，所以4x ≥.综上所述，原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或.……………………（5分） （2）由题意可得min ()2f x ≥又()|1||||1|f x x x a a =-+-≥-，所以有|1|2a -≥，即a 的取值范围3a ≥或1a ≤-.………………（10分）。

六安一中2017届高三年级第九次月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是（ ）A ．{}|2x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|1x x ≥-D ．R2.下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．MB AD BM +- B ．()()MB AD BC CM +++ C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+3.设i 是虚数单位，若复数512ia i+-（a R ∈）是纯虚数，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．24.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．235.已知以抛物线22(0)x py p =>的顶点和焦点之间的距离为直径的圆的面积为4π，过点(1,0)-的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（ ）A ．1BC ．1或4D ．46.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x 为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.2D ．47.已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有（ ） A ．最小值20B ．最小值2000C ．最大值20D ．最大值2008.()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为（ ）A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈） B ．,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）C ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈） D ．5,66k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）9.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（ ）A ．6?k <B ．7?k <C ．6?k >D ．7?k >10.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()f x f x -=-，当(0,2]x ∈时，()ln f x x ax =-（12a >），当[2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为3，则a 的值等于（ ） A ．2eB ．eC ．2D ．111.面积为2的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则VS的值是（ ） A ．2B ．1CD12.已知函数()sin cos f x x x x =-在(0,2)x π∈的一个零点为a ,则(0,2)x π∀∈,下列不等式恒成立的是( ) A ．sin sin x ax a≥ B ．sin sin a x a x ≥ C ．322a ππ≤≤ D ．cos cos a a x x -≥- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+,则数列{}n a 的通项公式为 ． 14.过点(1,2)P -且与曲线2342y x x =-+在点(1,1)M 处的切线平行的直线方程是 ．15.设实数x ,y 满足20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则22y x xy ω-=的取值范围为 ．16.过双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左焦点(,0)F c -(0c >),作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ,若1()2OE OF OP =+,且0OE EF ⋅=,则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知锐角ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos sin 3a b C B =+． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求y ac =的最大值．18.如图，AB 是圆O 的直径，矩形DCBE 垂直于圆O 所在的平面，4AB =，2BE =．（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（Ⅱ）当三棱锥C ADE -体积最大时，求三棱锥C ADE -的高. 19.某厂最近十年生产总量逐年上升，如表是部分统计数据：（Ⅰ）利用所给数据求年生产总量与年份之间的回归直线方程y bx a =+； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该厂2018年生产总量．（回归直线的方程：y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ay bx =-）20.已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，22(526)AF F B =+，且2OF （其中O 为坐标原点）的中点坐标为6． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于P ，Q 两点，已知点7(,0)3M -，求证：MP MQ ⋅是定值.21.已知函数()ln f x x =，2()()(21)g x f x mx m x =+-+.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y g x =在2x =处的切线方程； （Ⅱ）当0m >时，讨论函数()g x 的单调性；（Ⅲ）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，其中12x x <，求证：2111k x x <<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的极坐标为)6π，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 2sin 10ρθρθ++=距离的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x a =-++，a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在0x 满足00()|2|3f x x +-<，求实数a 的取值范围．六安一中2017届高三年级第九次月考数学试卷（文科）答案 一、选择题1-5:AADAC 6-10:BBCDA 11、12：BA二、填空题13.15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ 14.240x y -+= 15.83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1三、解答题17.解：（Ⅰ）∵cos sin 3a b C c B =+，∴sin sin cos sin A B C C B =，∴sin()sin cos sin B C B C C B +=，∴cos sin sin B C C B =，∵sin 0C ≠，∴tan B = 又B 为三角形内角，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得：22222cos3a c ac π=+-222a c ac ac ac =+-≥-，即4ac ≤，∴y ac =的最大值为4．18.（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以BC AC ⊥， 因为矩形DCBE 垂直于O 所在的平面， 所以CD ⊥平面ABC ，CD BC ⊥， 又CDAC C =，所以BC ⊥平面ACD ，因为四边形DCBE 为矩形，所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ， 又DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知11113323C ADE E ACD ACD V V S DE AC CD DE AC BC --∆==⋅=⨯⨯⋅⋅=⋅221()6AC BC ≤+21863AB ==，当且仅当AC BC ==时等号成立，此时AD ==，12ADE S AD DE ∆=⋅⋅=设三棱锥C ADE -的高为h ，则1833C ADE ADE V S h -∆=⋅⋅=，所以3h =． 19.解：（Ⅰ）由所给数据可知，年生产总量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如表：对预处理后的数据，容易算得：0x =， 3.2y =，2222(4)(21)(2)(11)2194292606.5422440b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯===+++，a y bx =- 3.2=，由上述计算结果，知所求回归直线方程为263 6.5(2012) 3.2y x -=-+，即6.5(2012)266.2y x =-+．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归直线方程，可预测2018年生产总量为： 6.5(20182012)266.2 6.56266.2305.2-+=⨯+=（万吨）． 20.解：（Ⅰ）∵2OF的中点坐标为6，∴2(3F，则3c =， ∵22(526)AF F B =+，∴(5)a c a c +=+-，解得a = ∴222105533b ac =-=-=， ∴椭圆的标准方程为221553x y +=. （Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将(1)y k x =+代入221553x y +=，得2222(13)6350k x k x k +++-=， 则248200k ∆=+>，2122613k x x k +=-+，21223513k x x k -=+，∴112277(,)(,)33MP MQ x y x y ⋅=+⋅+121277()()33x x y y =+++2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2222222357649(1)()()133139k k k k k k k -=+⋅++-++++2222(31)(5)49139k k kk -++=+++22494599k k =--++=， ∴MP MQ ⋅为定值.21.解：（Ⅰ）当1m =时，2()ln 3g x x x x =+-（0x >），则1'()23g x x x=+-（0x >），3'(2)2g =. 又(2)ln 22g =-，所以切线方程为，即35ln 22y x =-+.（Ⅱ）(21)(1)'()mx x g x x --=，令'()0g x =，得112x m=，21x =.①当112m <，即12m >时，令'()0g x >，得102x m <<或1x >；令'()0g x <，得112x m<<， 所以当12m >时，()g x 单调增区间为1(0,)2m 和(1,)+∞；单调减区间为1(,1)2m . ②当112m >，即102m <<时，令'()0g x >，得01x <<或12x m>， 所以当102m <<，()g x 单调增区间为(0,1)和1(,)2m +∞；单调减区间为1(1,)2m. ③当112m =，即12m =时，2(1)'()0x g x x-=>， 易知()g x 单调增区间为(0,)+∞ . （Ⅲ）根据题意，21212121ln ln y y x x k x x x x --==--.（以下用分析法证明） 要证2111k x x <<，只要证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 只要证21221211ln x x x x xx x x --<<， 令21(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1(1)t t t t -<<->，令1()ln 1u t t t =+-，则211'()0u t t t=->，所以()u t 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0u t u >=，即1ln 1(1)t t t>->，同理可证：ln 1t t <-，综上，11ln 1(1)t t t t-<<->，即2111k x x <<得证． 22.解：（Ⅰ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得点P的直角坐标为，由2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩得22(4x y +=，所以C的直角坐标方程为22(4x y +=． （Ⅱ）直线l 的普通方程为210x y ++=，由参数方程，设(2cos ,2sin )Q αα，则3(cos ,sin )2M αα+， 那么点M 到直线l 的距离35|cos 2sin 1|)|d αααϕ+++++==51≥=-（1tan 2ϕ=）．所以点M 到直线l1-． 23.解：（Ⅰ）当1a =时，()|2||21|5f x x x =-++≥，当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，∴2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，∴解集为空集； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，∴43x ≤-．故原不等式的解集为4|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （Ⅱ）()|2|2|2||2|f x x x x a +-=-++|24||2|x x a =-++|2(24)||4|x a x a ≥+--=+，∵原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<，即|4|3a +<， ∴71a -<<-．。

2016-2017学年安徽省六安市寿县一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．已知z=（i为虚数单位），则复数z=（）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i3．sin18°•sin78°﹣c os162°•cos78°等于（）A．B．C．D．4．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=2，则a=（）A．2 B．C．3 D．6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=156，a2+a4+a6=147，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19 B．20 C．21 D．227．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θ B．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π10．对于使不等式f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做函数f（x）的上确界．若a，b∈R+，a+b=1，则的上确界为（）A．B．C．D．﹣411．直线x=t分别与函数f（x）=e x+1的图象及g（x）=2x﹣1的图象相交于点A 和点B，则|AB|的最小值为（）A．2 B．3 C．4﹣2ln2 D．3﹣2ln212．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式≤1的解集是．14．已知正方形ABCD边长为1，，则=．15．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）△ABC中，锐角A满足f（A）=1，b=，c=3，求a的值．=2a n﹣n+1，n∈N*．18．设数列{a n}满足a1=2，a n+1（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a为常数且a≠0）．20．某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x．（1）当a=时，证明：f（x）在定义域上为减函数；（2）若a∈R，讨论函数f（x）的零点情况．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2016-2017学年安徽省六安市寿县一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．已知z=（i为虚数单位），则复数z=（）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：z==．故选：C．3．sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案．【解答】解：sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°=sin18°•cos12°+cos18°•sin12°=sin30°=，故选：D．4．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．5．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=2，则a=（）A．2 B．C．3 D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2=22+（a+2）2﹣2×2×（a+2）×，解得a=2，故选：A．6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=156，a2+a4+a6=147，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意求出首项与公差，写出通项公式，再求前n项和取得最大值时n的值．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得：a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=156，即a1+2d=52，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=147，即a1+3d=49，②由①②联立得a1=58，d=﹣3，∴通项公式为a n=58﹣3（n﹣1）=61﹣3n，n∈N*；当n≤20时，a n＞0，n＞20时，a n＜0，∴当n=20时，S n达到最大值．故选：B．7．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】简单线性规划．【分析】首先由约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：已知得到可行域如图：z==1+2×的几何意义是表示区域内的点与原点连接直线的斜率的2倍加上1，由图可知，直线OA 的斜率最小，所以z=的最小值为1+2×=2；故选C．8．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，相加可得答案．【解答】解：三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A9．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θ B．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1，=﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos （π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．10．对于使不等式f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做函数f（x）的上确界．若a，b∈R+，a+b=1，则的上确界为（）A．B．C．D．﹣4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可知，当a，b∈R+，a+b=1时，求出的最大值即可，利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：则=﹣（=﹣（）=﹣（）≤﹣．（当且仅当a：b=时取到等号）故选：A．11．直线x=t分别与函数f（x）=e x+1的图象及g（x）=2x﹣1的图象相交于点A 和点B，则|AB|的最小值为（）A．2 B．3 C．4﹣2ln2 D．3﹣2ln2【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设函数y=f（x）﹣g（x），利用导数y′判定函数的单调性与最小值，即可求出|AB|的最小值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=e x+1﹣（2x﹣1），则y′=e x﹣2，由y′＞0，得x＞ln2，由y′＜0，得x＜ln2，∴当x=ln2时，y=f（x）﹣g（x）e x+1﹣（2x﹣1）取得最小值，为e ln2+1﹣（2ln2﹣1）=4﹣2ln2；∴|AB|的最小值为4﹣2ln2．故选：C．12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的值，根据f（x）的函数图象判断根的个数．【解答】解：∵f2（x）﹣5（f（x）+4=0，∴f（x）=4或f（x）=1．做出f（x）的函数图象如下：由图象可知方程f（x）=4有3个根，方程f（x）=4有4个根，∴方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根共有7个．故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式≤1的解集是（﹣∞，2）∪[3，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】首先通过移项通分将不等式等价转化为整式不等式，然后求整式不等式的解集．【解答】解：原式等价于即所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）；14．已知正方形ABCD边长为1，，则=2．【考点】向量的模．【分析】由题意可得=0，＜，＞=＜，＞=135°，||=||=1，||=，根据=，利用两个向量的数量积的定义运算求得结果．【解答】解：由题意可得，＜，＞=135°=＜，＞，即=0，＜，＞=＜，＞=135°．再由||=||=1，||=可得====2，故答案为2．15．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= 50．【考点】等比数列的性质．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为a≤．【考点】函数恒成立问题；对勾函数．【分析】分离参数，再求右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，a＜．令t=e x+3（t＞3），则=t+﹣3，∵t＞3，∴t+＞3+，∴t+﹣3＞，∴a≤．故答案为：a≤．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）△ABC中，锐角A满足f（A）=1，b=，c=3，求a的值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出揭露．（2）由f（A）=sin（2A﹣）=1，求得sin（2A﹣）的值，可得A的值，再利用余弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f（x）的最小正周期为π．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）△ABC中，锐角A满足f（A）=sin（2A﹣）=1，∴sin（2A﹣）=，又∵A是锐角，∴，∴．∵b=，c=3，由余弦定理得，∴．18．设数列{a n}满足a1=2，a n=2a n﹣n+1，n∈N*．+1（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．﹣（n+1）=2a n﹣n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），利用等比【分析】（1）由已知得a n+1数列的通项公式即可得出．（2）b n===，利用“裂项求和”即可得出．﹣（n+1）=2a n﹣n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），【解答】（1）证明：由已知得a n+1即，∴数列{a n﹣n}为等比数列，公比为2，首项为a1﹣1=1，∴，∴．（2）解：b n===，∴S n=++…+=1﹣=．19．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a为常数且a≠0）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0可化为a（x﹣）（x﹣1）＞0；讨论（1）a ＜0和（2）a＞0时，求出对应不等式的解集．【解答】解：不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0可化为a（x﹣）（x﹣1）＞0；（1）a＜0时，不等式化为（x﹣）（x﹣1）＜0，且＜1；所以不等式的解集为；（2）a＞0时，不等式化为（x﹣）（x﹣1）＞0；若0＜a＜1，则，不等式的解集为；若a=1，则=1，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；若a＞1，则，不等式的解集为．20．某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P （x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），利用导数，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x．（1）当a=时，证明：f（x）在定义域上为减函数；（2）若a∈R，讨论函数f（x）的零点情况．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）将a的值代入f（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为方程xlnx﹣ax2﹣x=0的根情况，由x＞0，得到方程可化为，令，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，令g（x）=lnx﹣x，则，当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）max=g（1）=﹣1，即g（x）=lnx﹣x＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在定义域上为减函数．（2）f（x）=xlnx﹣ax2﹣x的零点情况，即方程xlnx﹣ax2﹣x=0的根情况，因为x＞0，所以方程可化为，令，则，令h′（x）=0，可得x=e2，当0＜x＜e2时，h′（x）＞0，当x＞e2时，h′（x）＜0，所以，且当x→0时，f（x）→﹣∞；当x＞e2时，h（x）＞0，所以h（x）的图象大致如图示：，当a＞时，方程a=没有根，当a=或a≤0时，方程有一个根，当时，方程有两个根，所以当时，函数f（x）无零点，当或a≤0时，函数f（x）有一个零点，当时，函数f（x）有两个零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角，则：△BDE∽△BCA．则：，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，由于：BE=2AD，设AD=t，则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t解得：t=，即AD的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，再化为极坐标方程是ρ=4cosθ．﹣﹣﹣﹣（2）∵直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0，由求得，或，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），所以弦长为=2．﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．2017年1月20日。