高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期第三次月考文数试卷

2018-2019 学年高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．1．已知会合 M={1，2} ，N={b|b=2a ﹣1，a∈M}，则 M∪N=（）A．{1} B．{1 ，2} C．{1 ，2，3}D．?2．复数（i是虚数单位）的实部是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．3．若 a=20.1， b=log π3，c=log2sin，则（）A．b＞a＞c B． a＞ b＞ c C． c＞ a＞ b D．b＞c＞a4．函数 y=2sin （﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0 ，]B． [，] C ．[，] D ．[，π ]5．已知数列 {an} 为等差数列，且 a1+a7+a13=4π，则 tan （ a2+a12）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量、不共线，，若是，那么（）A．k=1 且与同向B．k=1 且与反向C．k=﹣ 1 且与同向D．k=﹣1 且与反向7．已知对数函数 f （x）=logax 是增函数，则函数 f （ |x|+1 ）的图象大概是（）A．B．C．D．8．函数 f （x）=sin （ωx+φ）（ x∈ R）（ω ＞0，| φ | ＜）的部分图象如图所示，若是，且 f（ x1）=f（x2），则 f（ x1+x2）=（）A．B．C．D．19 ．已知等比数列 {an} 的前n项和为Sn ，且S5=2， S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（）A．54 B．48 C． 32D．1610．设函数 f （x）=cosωx（ω＞0），将 y=f （x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．2C．8D．1211．以下命题中：①在△ ABC中，若 cosA＜cosB，则 A＞B；②若函数 f （ x）的导数为 f' （x）， f （ x0）为 f （x）的极值的充要条件是f' （x0） =0；③函数 y=|tan （2x+ ）| 的最小正周期为；④同素来角坐标系中，函数 f （x）=sinx 的图象与函数 f （ x） =x 的图象仅有三个公共点．其中真命题的个数为（）A．0 B．1C．2D．312．已知函数 f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于 x≥ 0，都有 f（x+2）=f （x），且当 x∈[0 ，2）时， f （ x） =log2 （x+1），则 f （﹣ 2009）+f A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．已知 f （x）为奇函数， g（x）=f（ x）+9，g（﹣ 2）=3，则 f （2）=．14．在△ ABC中，已知，则角B=．15．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为，的．16．已知 f （ x） =x2，g（x）=（）x m，若随意x1∈ [ 1，3] ，存x2∈[0 ， 2] ，在使得 f （x1）≥ g（x2）成立，数m的取范是．三．解答：本大共 5 小，共 70 分．解答写出必要文字明、明程或演算步．17．已知 f （x）=4cosxsin （ x+） 1．（Ⅰ）求 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f （x）在区 [，] 上的最大和最小．18．已知等比数列 {an} 中，．（Ⅰ）求数列 {an} 的通公式；（Ⅱ）求数列 { （ 2n 1）?an} 的前 n 的和 Sn．19．在角△ABC 中，已知角A、 B、 C 所的分 a ， b， c 且，若 c2=a2+b2ab（1）求角 A、B、C 的大小（2）若 c=6，求 b 的．20．等比数列 {an} 的各均正数，且2a1+3a2=1， a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列 {an} 的通公式；（Ⅱ） bn=log3a1+log3a2+ ⋯+log3an ，求数列 {} 的前 n 和．21．已知函数 f （x）= x3 ax2+（a2 1）x+b（a，b∈R）．（1）若 x=1 f （ x）的极点，求 a 的；（2）若 y=f （x）的象在点（ 1，f （ 1））的切方程x+y 3=0，求 f （ x）在区 [ 2，4] 上的最大；（3）当 a≠ 0 ，若 f （x）在区（ 1，1）上不，求 a 的取范．[ 修 4-4 ：坐系与参数方程]22．修 4 4：坐系与参数方程极坐标系中，已知圆心，半径 r=1（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线与圆交于A，B两点，求AB的中点C与点 P（﹣ 1，0）的距离．参照答案与试题剖析：一．选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．1．已知会合 M={1，2} ，N={b|b=2a ﹣1，a∈M}，则 M∪N=（）A．{1} B．{1 ，2} C．{1 ，2，3}D．?【考点】并集及其运算．【剖析】由题设条件先分别求出会合M和 N，再由会合的运算法例求出M∪N．【解答】解：∵会合M={1，2} ， N={b|b=2a﹣ 1， a∈ M}={1，3} ，∴M∪N={1，2，3} ．应选 C．2．复数（i是虚数单位）的实部是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：由=，得复数（ i 是虚数单位）的实部是：．应选： D．3．若 a=20.1 ，b=log π 3， c=log2sin，则（）A．b＞a＞c B． a＞ b＞ c C． c＞ a＞ b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【剖析】与 1， 0 比较，即可比较出大小．【解答】解：∵ a=20.1 ＞1，0＜b=log π 3＜ log ππ=1，0＜ sin＜1，则c=log2sin＜0，∴a＞b＞c，应选 B4．函数 y=2sin （﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）【考点】正弦函数的单一性．【剖析】化简函数 y=2sin （﹣2x），利用正弦函数的图象与性质，求出 y 在x∈[0 ，π] 的增区间即可．【解答】解：∵ y=2sin （﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只需求 y=2sin （ 2x﹣）的减区间，∵y=sinx 的减区间为 [2k π+，2kπ +] ，∴令 2x﹣∈ [2kπ+，2kπ+] ，解得 x∈[k π+，kπ+] ，又 x∈ [0 ，π] ，∴x∈[，] ．应选： C．5．已知数列 {an} 为等差数列，且 a1+a7+a13=4π，则 tan （ a2+a12）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】等差数列的性质；运用引诱公式化简求值；两角和与差的正切函数．【分析】因为 a1+a7+a13=4π，则a7=，所以tan （ a2+a12）=tan2a7=tan，由引诱公式计算可得答案．【解答】解：∵ a1+a7+a13=4π，则 a7=，∴tan （ a2+a12） =tan2a7=tan=﹣，应选 A．6．已知向量、不共线，，若是，那么A．k=1 且与同向B．k=1 且与反向C．k=﹣ 1 且与同向D．k=﹣1 且与反向【考点】平面向量的基本定理及其意义；平行向量与共线向量．【剖析】由题意可得：，（λ为实数），即（k﹣λ） +（1+λ） = ，由对应系数相等可得λ，k 的值，进而可得向量反向．【解答】解：由题意可得：，（λ为实数），即（ k﹣λ） +（1+λ） = ，∵向量、不共线，∴，解得 k=λ=﹣1，故=﹣，即反向应选 D7．已知对数函数 f （x）=logax 是增函数，则函数 f （ |x|+1 ）的图象大概是（）【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化．【剖析】先导出再由函数 f （x）=logax 是增函数知， a＞1．再由对数函数的图象进行判断．【解答】解：由函数 f （x）=logax 是增函数知， a＞1．应选 B．8．函数 f （x）=sin （ωx+φ）（ x∈ R）（ω ＞0，| φ | ＜）的部分图象如图所示，若是，且 f（ x1）=f（x2），则 f（ x1+x2）=（）A．B．C．D．1【考点】由y=Asin （ω x+φ）的部分象确定其剖析式；正弦函数的称性．【剖析】通函数的象求出函数的周期，利用函数的象的特别点求出函数的初相，获取函数的剖析式，利用函数的象与函数的称性求出f （x1+x2）即可．【解答】解：由知， T=2×=π，∴ω =2，因函数的象（），0=sin（+?）∵，所以 ?=，∴，，所以．故 C．9 ．已知等比数列 {an} 的前n和Sn ，且S5=2， S10=6，a16+a17+a18+a19+a20=（）A．54 B．48 C． 32 D．16【考点】等比数列的性．【剖析】依照意和等比数列的片段和性得：S5、S10 S5、S15 S10、S20 S15⋯成首是 2、公比也是 2 等比数列，由等比数列的通公式求出S20 S15的，即可得答案．【解答】解：由意得S5=2，S10=6，S10 S5=4，因等比数列中 S5、S10 S5、S15 S10、S20 S15⋯成等比数列，所以此等比数列的首是 2、公比也是 2，S20 S15=2×8=16，即 a16+a17+a18+a19+a20=16，故： D．10．函数 f （x）=cosωx（ω＞0），将 y=f （x）的象向右平移个位度后，所得的象与原象重合，ω的最小等于（）A．B．2C．8D．12【考点】函数 y=Asin （ω x+φ）的图象变换．【剖析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，简单获取结果．【解答】解： f （ x）的周期 T= ，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以=k?，k∈Z．令k=1，可得ω =8．应选： C．11．以下命题中：①在△ ABC中，若 cosA＜cosB，则 A＞B；②若函数 f （ x）的导数为 f' （x）， f （ x0）为 f （x）的极值的充要条件是f' （x0） =0；③函数 y=|tan （2x+ ）| 的最小正周期为；④同素来角坐标系中，函数 f （x）=sinx 的图象与函数 f （ x） =x 的图象仅有三个公共点．其中真命题的个数为（）A．0 B．1C．2D．3【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】①依照余弦函数在 0 度到 180 度上的单一性即可判断获取答案．②依照导数值为 0，函数不用然取极值，但函数在极值点的导数值必然为 0，能够判断真假；③由函数y=|tan （ω x+）|（ω＞0）的最小正周期为，可判断函数y=|tan （ 2x+）|的最小正周期；④由 x∈（ 0，）时，x＞sinx可判断．【解答】解：对于①：因为在△ABC中，角 A 与角 B 都大于 0 小于 180 度，而余弦函数在区间0 度到 180 度上是减函数，故正确；对于②，若函数 f （x）的导数为 f ′（x）， f （ x0）为 f （x）的极值的必要条件是 f ′（ x0）=0，故②错误；③由函数y=|tan （ω x+）|（ω＞0）的最小正周期为，可判断函数y=|tan （ 2x+）|的最小正周期为，故正确；④，由 x∈（0，）时，x＞sinx ，∴同素来角坐标系中，函数 f （ x）=sinx 的图象与函数 f （x）=x 的图象仅有 1 个公共点，故错．应选： C12．已知函数 f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于 x≥ 0，都有 f（x+2）=f （x），且当 x∈[0 ，2）时， f （ x） =log2 （x+1），则 f （﹣ 2009）+f A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【剖析】由偶函数的性质及函数的周期性将f（﹣ 2009）+f 时上的函数值表示出来，代入剖析式求出值【解答】解：∵数 f （ x）是（﹣∞， +∞）上的偶函数，且对于x≥0，都有f（x+2） =f （x），∴f（﹣ 2009）+f+f+f （ 0）又当 x∈[0 ，2）时， f （x）=log2 （ x+1），∴f（﹣ 2009）+f+f （0）=log2 （1）+log2 （ 1+1） =1，应选 D．二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．已知 f （x）为奇函数， g（x）=f（x）+9，g（﹣ 2）=3，则 f （2）=6 ．【考点】函数奇偶性的性质．【剖析】将等式中的 x 用 2 代替；利用奇函数的定义及 g（﹣ 2）=3，求出 f （2）的值．【解答】解：∵ g（﹣ 2）=f （﹣ 2）+9∵f（x）为奇函数∴f （﹣ 2） =﹣f （2）∴g（﹣ 2） =﹣f （2）+9∵g（﹣ 2） =3所以 f （2） =6故答案为 614．在△ ABC 中，已知，则角B=．【考点】两角和与差的余弦函数．【剖析】由条件利用同角三角函数的基本关系求出 sinA ，再依照 A﹣B 的范围求出 cos （A﹣B）和 sin （A﹣B）的值，由 cosB=cos[A ﹣（ A﹣B）] ，利用两角和差的余弦公式求得结果．【解答】解：在△ ABC中，∵A∈（ 0，），cosA=，∴ sinA=，又 B＜A＜，∴ 0＜A﹣B＜，∵cos（ A﹣ B）=，∴ sin（A﹣B）=．∴c osB=cos[A﹣（ A﹣B）]=cosAcos （ A﹣ B） +sinAsin （A﹣B）= ．∵B∈（ 0，），∴B= ．故答案为：15．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为，则的值为．【考点】正弦定理．【剖析】依照正弦定理和三角函数的平方关系，即可求出的值．【解答】解：△ ABC中， asinAsinB+bcos2A=a，依照正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA ，可得 sinB （ sin2A+cos2A）=sinA ，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB= sinA ，得 b=a，可得=．故答案为：．16．已知 f （ x） =x2，g（x）=（）x﹣m，若对随意x1∈ [ ﹣1，3] ，总存x2∈[0 ，2] ，在使得 f （x1）≥ g（x2）成立，则实数 m的取值范围是m≥．【考点】三角函数的化简求值．【剖析】对于随意的 x1，总存在 x2 使 f（ x1）≥g（x2）成立，转变为 f （x）min≥ g（ x） min，进而问题得解．【解答】解：对随意 x1∈[ ﹣1，3] ，存在 x2∈[0 ，2] ，使得 f（x1）≥g（ x2）成立，只需 f （x） min≥g（x）min，当 x1∈[ ﹣1，3] 时， f （x）=x2∈[0 ，9] ，即 f （x）min=0；当 x2∈[0 ， 2] 时， g（ x） =（）x﹣m∈[ ﹣m，1﹣m]，∴g（x）min= ﹣m；∴0≥ ﹣ m，解得 m≥ ．故答案为： m≥ ．三．解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知 f （x）=4cosxsin （ x+）﹣ 1．（Ⅰ）求 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f （x）在区间 [ ﹣，] 上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【剖析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式函数的剖析式行化整理后，利用正弦函数的性求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用 x 的范确定 2x+ 的范，而利用正弦函数的性求得函数的最大和最小．【解答】解：（Ⅰ）∵，=4cosx（）1=sin2x+2cos2x 1=sin2x+cos2x=2sin （ 2x+），所以函数的最小正周期π ；（Ⅱ）∵ ≤x≤，∴ ≤ 2x+≤，∴当 2x+ =，即x=，f（x）取最大2，当 2x+ =，即x=，f（x）获取最小1．18．已知等比数列 {an} 中，．（Ⅰ）求数列 {an} 的通公式；（Ⅱ）求数列 { （ 2n 1）?an} 的前 n 的和 Sn．【考点】数列的求和；等比数列的通公式．【剖析】（Ⅰ）利用等比数列的通公式，成立方程，即可求数列 {an} 的通公式；（Ⅱ）利用位相减法，即可求数列的前n 的和．【解答】解：（Ⅰ）∵ a1+a3=10，a4+a6=80，∴，∴ q=2，⋯又，∴ a1=2∴⋯（Ⅱ）①∴②① ②得==2 8+2?2n+1（2n 1）2n+1= 6（2n 3）2n+1∴Sn=（ 2n 3）2n+1+6⋯19．在角△ABC 中，已知角A、 B、 C 所的分 a ， b， c 且，若 c2=a2+b2ab（1）求角 A、B、C 的大小（2）若 c=6，求 b 的．【考点】余弦定理；正弦定理．【剖析】（ 1）利用差角的正切公式，合余弦定理，即可求角A、B、C 的大小；（2）利用正弦定理，可求 b 的．【解答】解：（1）由得，∴又 c2=a2+b2 ab，∴∵0＜C＜π ，∴，∴，又由上解知立解得（2）c=6，由正弦定理得20．等比数列 {an} 的各均正数，且2a1+3a2=1， a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列 {an} 的通公式；（Ⅱ） bn=log3a1+log3a2+ ⋯+log3an ，求数列 {} 的前 n 和．【考点】等比数列的通公式；数列的求和．【剖析】（Ⅰ）出等比数列的公比q，由 a32=9a2a6，利用等比数列的通公式化后获取对于q 的方程，由已知等比数列的各都正数，获取足意q 的，尔后再依照等比数列的通公式化2a1+3a2=1，把求出的 q 的代入即可求出等比数列的首，依照首和求出的公比q 写出数列的通公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an} 的通公式代入bn=log3a1+log3a2+ ⋯+log3an ，利用数的运算性及等差数列的前n 和的公式化后，即可获取bn 的通公式，求出倒数即的通公式，尔后依照数列的通公式列出数列的各，抵消后即可获取数列{} 的前 n 和．【解答】解：（Ⅰ）数列 {an} 的公比 q，由 a32=9a2a6得 a32=9a42，所以 q2= ．由条件可知各均正数，故q=．由 2a1+3a2=1得 2a1+3a1q=1，所以 a1= ．故数列 {an} 的通式 an=．（Ⅱ） bn=++⋯+=（ 1+2+⋯ +n）=，故== 2（）+ +⋯+ = 2[ （1）+（）+⋯+（）]=，所以数列 {} 的前 n 项和为﹣．21．已知函数 f （x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（1）若 x=1 为 f （ x）的极值点，求 a 的值；（2）若 y=f （x）的图象在点（ 1，f （ 1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求 f （ x）在区间 [ ﹣ 2，4] 上的最大值；（3）当 a≠ 0 时，若 f （x）在区间（﹣ 1，1）上不只调，求 a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单一性；函数在某点获取极值的条件．【剖析】（ 1）先求导数，再依照 x=1 是 f（ x）的极值点获取：“f ′（1）=0”，进而求得 a 值；（2）先依照切线方程为 x+y﹣3=0 利用导数的几何意义求出 a 值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．（3）由题意得：函数 f （ x）在区间（﹣ 1，1）不只调，所以函数 f ′（ x）在（﹣ 1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得： f ′（﹣ 1） f ′（1）＜ 0．由此不等式即可求得 a 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（ x） =x2﹣2ax+a2﹣1∵x=1 是 f （x）的极值点，∴f′（ 1） =0，即 a2﹣2a=0，解得 a=0 或 2；（2）∵（ 1，f （ 1））在 x+y﹣3=0 上．∴ f （ 1）=2∵（ 1， 2）在 y=f （x）上，∴又f′（1）=﹣1，∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1∴a2﹣2a+1=0，解得∴由 f ′（ x） =0 可知 x=0 和 x=2 是极值点．∵∴f （x）在区间 [ ﹣2，4] 上的最大值为 8．第 15 页（共 17 页）所以函数 f ′（ x）在（﹣ 1， 1）上存在零点．而 f ′（ x） =0 的两根为 a﹣1，a+1，区间长为 2，∴在区间（﹣ 1， 1）上不可以能有 2 个零点．所以 f ′（﹣ 1）f ′（ 1）＜ 0，∵ a2＞0，∴（ a+2）（ a﹣2）＜ 0，﹣ 2＜a＜2．又∵ a≠ 0，∴ a∈（﹣ 2，0）∪（ 0，2）．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲]22．选修 4﹣4：坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心，半径 r=1（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线与圆交于A，B两点，求AB的中点C与点 P（﹣ 1，0）的距离．【考点】简单曲线的极坐标方程；两点间的距离公式；参数方程化成一般方程．【解答】解：（ 1）由已知极坐标圆心，得直角坐标系下的圆心，半径 1，∴圆的方程为，即，所以极坐标方程为．（2）把直线方程代入圆方程得，设 t1 ，t2 是方程两根，∴．所以．2017年 2月 8日。

)A 为（ 12i -+12i -．设向量,a b 满足：||1,||2a b ==，()0a a b +=，则a 与b 的夹角是（B ．60°C ．90°n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则（ 两点且0OA OB =，则8a ，则1边上的高，给出下列结论：①()0AD AB AC -=；②||2||AB AC AD +≥；③||sin ||ADACAB B AD =其中结论正确的个数是（A ．0B ．．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为，该几何体的体积为()()f x f x '=x ()f x ()g x x =()ln(1)h x x =+，求AB AC 的值．则||||cos==AB AC AB AC A cb ．（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为1(1n ++--ADC 平面ABC ，AC OD O =，平面ACD中，由题意，得ADC平面ABC ACD 的高，且1Sh ==OP OQ<，即为直径的圆的内部，故0，高三上学期第三次月考数学（文科）试卷（普通班）解析1．【分析】由全集I，以及B，求出B的补集，找出B补集与A的交集即可．【解答】解：∵全集I={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，5}，集合B={1，2}，∴∁I B={3，4，5}，则（∁I B）∩A={3，5}．2．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式===﹣1﹣2i，3．【分析】由已知中向量，满足||=1，||=2，且•（+）=2，我们易得到•=1，结合向量夹角公式，求出与的夹角的余弦值，进而求出与的夹角．【解答】解：∵||=1，||=2，∴（）2=1，又∵•（+）=（）2+•=1+•=0∴•=﹣1∴cos＜，＞==﹣∴＜，＞=120°4．【分析】A．若m∥α，m∥β，则α∥β，可由面面平行的条件判断；B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n⊂α；C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β，可由面面垂直的判断定理作出判断；D．m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面．【解答】解：A．若m∥α，m∥β，则α∥β；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故不正确；B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n⊂α，故不正确；C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，因为m∥β，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，正确；D．m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故不正确．5．【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，6．【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，7．【分析】由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10++），由基本不等式求最值可得．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，∴q2a5=qa5+2a5，即q2﹣q﹣2=0，解得公比q=2，或q=﹣1（舍去）又∵a m，a n满足=8a1，∴a m a n=64a12，∴q m+n﹣2a12=64a12，∴q m+n﹣2=64，∴m+n﹣2=6，即m+n=8，∴+=（+）（m+n）=（10++）≥（10+2）=2当且仅当=即m=2且n=6时取等号，8．【分析】由题意作出其平面区域，求出目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，a+4b=8，则由2≤=4得，ab≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．9．【分析】①利用向量垂直与数量积的关系即可判断出；②利用向量的平行四边形法则、中线长和高的关系即可得出；③利用数量积的定义、直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：①∵AD是BC边上的高，∴•（﹣）==0，因此正确；②取线段BC的中点M，则，．∴=2≥，因此正确；③===．因此正确．综上可知：①②③正确．10．【分析】先根据函数的最小正周期为π求出ω的值，再由平移后得到y=为偶函数可知，即可确定答案．【解答】解：由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D11．【分析】设双曲线方程为﹣=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a．b．c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1，a＞b＞0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）12．【分析】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察[﹣5，1]上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【解答】解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．13．【分析】令分母不为0，被开方数大于等于0，真数大于0，得到不等式组，求出x的范围写出区间形式．【解答】解：要使函数有意义，需满足，即解得1＜x＜1+e14．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由直线倾斜角求出斜率，写出直线方程，和抛物线方程联立求得M的坐标，再由抛物线焦半径公式得答案．【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得F（1，0），∵直线FM的倾斜角为60°，∴，则直线FM的方程为y=，联立，即3x2﹣10x+3=0，解得（舍）或x2=3．∴|FM|=3+1=4．15．【分析】几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为4，高都为2，把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体为圆柱挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，∴几何体的体积V1=π×22×2﹣×π×22×2=．16．【分析】分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=﹣sinx，由题意得：α=1，ln（β+1）=，cosγ=﹣sinγ，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；则||||cos AB AC AB AC A cb ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22n S n n =+，可得S n ==，利用“裂项求和”即可得出．1(1n ++--ADC平面ABC，ACOD O =，平面ACD中，由题意，得ADC 平面ABC ACD 的高，且1Sh ==OP OQ<，即为直径的圆的内部，故0当(e )x ∈+∞，时()0g x >，即2(2)ln x e x ->-，∴2e 2e x x >﹣﹣． 综上所述，当e)[2a ∈，时，2e 2e a a <﹣﹣； 当e a =时，2e 2e a a =﹣﹣；当(e )a ∈+∞，时，2e 2e a a >﹣﹣。

宁大附中2021-2021学年第一学期第三次月考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高三数学〔文〕试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1、{}02A x x =<<，{}ln(1)B x y x ==-，那么AB 等于A ．〔-∞，1〕B ．〔-∞，2〕C ．〔0，2〕D ．〔1，2〕2、i 是虚数单位，复数A ．2i -B ．2i +C ．2-D ．2 3、在以下函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．tan 2y x = 4、命题:p x ∃∈R ，2lg(1)x x ->+，命题1:()q f x x=是偶函数，那么以下结论中正确的选项是A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．p q ∧⌝是真命题D ．p q ∨⌝是假命题 5、假设3cos()45πα-=，那么sin2α= A ．725B ．15C ．15-D ．725-6、如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，那么(5)'(5)f f +=A ．2B ．1C ．12D ．0 =i-257、ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．假设存在实数m 使得AB AC m AM +=成立，那么m =A ．2B ．3C ．4D ．58、函数221,0()log ,0x x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，假设((0))3f f a =，那么a =A ．12 B ．12- C ．1- D ．1 9、根据表格中的数据，可以断定方程2--x e x =0的一个根所在的区间为x 1-0 1 2 3 x e1 2x +12345A ．〔1-，0〕B ．〔0，1〕C ．〔1，2〕D ．〔2，3〕 10、函数()2sin()23f x x ππ=+，那么(1)(2)(2016)f f f +++的值是A ．1B ．13-．3．011、如图，从气球A 上测得正前方的河流在B ，C 处的俯角分别为 30,75，此时气球距地面的高度是60米，那么河流的宽度BC 等于 A ．31)m B. m )12(180- C. 120(31)m D. m )13(30+12、在集合D 上都有意义的两个函数)()(x g x f 和，假如对任意D x ∈，都有,1)()(≤-x g x f 那么称)()(x g x f 和在集合D 上是缘分函数，集合D 称为缘分区域．假设23)(2++=x x x f 与32)(+=x x g 在区间[]b a ,上是缘分函数，那么缘分区域D 是A ．[2,1][1,2]--B ．[2,1][0,1]--C ．[2,0][1,2]- D ．[1,0][1,2]-二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、平面向量a ，b 满足()3b a b ⋅+=，且1a =，2b =，那么向量a 与b 的夹角________．14、x x x f cos 2sin )(+=函数，那么)(x f 的值域为________． 15、关于函数()4sin(2)3f x x π=+〔x ∈R 〕有以下命题，其中正确的选项是________．①()y f x =的表达式可改写为4cos(2)6y x π=-；②()y f x =的图象关于点〔6π-，0〕对称； ③()y f x =的最小正周期为2π； ④()y f x =的图象的一条对称轴为6x π=-．16、M m 、分别是函数()3f x ax bx =-+x sin +1的最大值、最小值，那么M m += .三、解答题〔解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期第三次统考（期中）高三文数第I 卷（选择题）一、单选题选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合{}()(){}2|4,|310M x x N x x x =<=-+< ,则集合M N ⋂（ ） A ． {}|2x x <- B ． }3|{>x xC ． {}|12x x -<<D ． {}|23x x <<2．“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时,x x x f -=22)(， 则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．74. 已知函数q px x x f ++=2)(与函数(())y f f x =有一个相同的零点，则p 与q ( )A.均为正值B.均为负值 C ．一正一负 D.至少有一个等于0 5．在平行四边形ABCD 中，=，2,==,则=BE （ ） A ．31-B ．32-C ． 34- D ． 31+6．若角α满足sin 2cos 0αα+=，则tan2α=（ ） A ． 43-B ． 34C ． 34-D ． 437．函数x x y 2sin 2cos -=的一条对称轴方程为（ ）A ．4π=x B ． 8π=x C ．8π-=xD ．4π-=x8．将函数)0)(4sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移ωπ4个单位长度，得到函数 ()x g y =的图象，若()x g y =在)4,6(ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ． 2 B ． 4C ．3D ． 69．在ABC ∆中，已知3,1|,|||==-=+AC AB ，N M ,分别为BC 的三等 分点，则=⋅( )A ．910 B ． 920 C ． 98 D ．38 10．已知函数xxx f -=1ln )(.若)(0)()(b a b f a f <=+，则22b a +的取值范围是（ ）A ．)1,21(B ． )1,21[C ． ]1,21(D ． ]1,21[11. 已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，则函数)4(x f y -=π是（ ）A ． 偶函数且它的图象关于点），（0π对称 B ． 偶函数且它的图象关于点），（023π对称 C ． 奇函数且它的图象关于点），（023π对称 D ． 奇函数且它的图象关于点），（0π对称 12．已知函数()ex af x x -=+， ()()ln 24ea xg x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ． ln21-B ． ln21--C ． ln2-D ． ln2第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．命题“2,40x R x x ∀∈-+>”的否定是. 14.．函数R x x f x ∈=-，|1|)31()(的单调递增区间为. 15．已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，xx x f 4)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)( 恒成立，则n m -的最小值是____________．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =， 16BD =， 90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为____________． 三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上）17．（本题满分10分）已知R a ∈，函数52)(2+-=ax x x f .（1）若不等式0)(>x f 对任意0>x 恒成立，求实数a 的最值范围； （2）若1>a ，且函数)(x f 的定义域和值域均为],1[a ，求实数a 的值.18．（本题满分12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,的对边，41cos ,2==A b a . （1）求B sin 的值；（2）若ABC ∆的面积为15，求c 的值. 19．（本题满分12分）已知函数3cos 22sin 3)(2++=x x x f（1）当)2,0(π∈x 时，求函数)(x f 的值域；（2）若528)(=x f ，且)125,6(ππ∈x ，求122cos(π-x ）的值．20．(本小题满分12分)已知函数x axxx f ln 1)(+-=（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数axx f x g -=)()(在区间)2,1(上不单调，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为23，长轴的一个顶点为A ，短轴的一个顶点为B ，O 为坐标原点，且5=∆OAB S . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线m x y l +=:与椭圆C 交于Q P ,两点，且直线l 不经过点)1,4(M .记直线MQ MP ,的斜率分别为21,k k ，试探究21k k +是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）已知函数)(ln )(2R a x ax x x f ∈++=. （1）讨论函数)(x f 在]2,1[上的单调性； （2）令函数 718.2),()(21=-++=-e x f a x ex g x 是自然对数的底数，若函数)(x g 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.舒城中学度高三年级统考四文科数学（满分：150分 考试时间：120分钟 ）第I 卷（选择题）一、单选题选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合{}()(){}2|4,|310M x x N x x x =<=-+< ,则集合M N ⋂（ ） A ． {}|2x x <- B ． }3|{>x x C ． {}|12x x -<< D ． {}|23x x << 2．“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时,x x x f -=22)(， 则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．74.已知函数q px x x f ++=2)(与函数(())y f f x =有一个相同的零点，则p 与q ( )A.均为正值B.均为负值 C ．一正一负D.至少有一个等于05．在平行四边形ABCD 中，=，2,==,则=（ ） A ．31-B ．32-C ． 34-D ． 31+ 6．若角α满足sin 2cos 0αα+=，则tan2α=（ ） A ． 43-B ． 34C ． 34- D ． 437．函数x x y 2sin 2cos -=的一条对称轴方程为（ ）A ．4π=x B ． 8π=x C ．8π-=x D ．4π-=x8．将函数)0)(4sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移ωπ4个单位长度，得到函数 ()x g y =的图象，若()x g y =在)4,6(ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ． 2B ． 4C ．3 D ． 69．在ABC ∆中，已知3,1|,|||==-=+AC AB AC AB AC AB ，N M ,分别为BC 的三等 分点，则=⋅AN AM ( )A ．910B ． 920C ． 98D ．38 10．已知函数xxx f -=1ln )(.若)(0)()(b a b f a f <=+，则22b a +的取值范围是（ ）A ．)1,21(B ． )1,21[C ． ]1,21(D ． ]1,21[11.已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，则函数)4(x f y -=π是（ ）A ． 偶函数且它的图象关于点），（0π对称B ． 偶函数且它的图象关于点），（023π对称 C ． 奇函数且它的图象关于点），（023π对称 D ． 奇函数且它的图象关于点），（0π对称 12．已知函数()ex af x x -=+，()()ln 24ea xg x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ． ln21- B ． ln21-- C ． ln2- D ． ln2第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上） 13．命题“2,40x R x x ∀∈-+>”的否定是. 14.函数R x x f x ∈=-，|1|)31()(的单调递增区间为. 15．已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，xx x f 4)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)( 恒成立，则n m -的最小值是________．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为__________． 三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上）17．（本题满分10分）已知R a ∈，函数52)(2+-=ax x x f .（1）若不等式0)(>x f 对任意0>x 恒成立，求实数a 的最值范围； （2）若1>a ，且函数)(x f 的定义域和值域均为],1[a ，求实数a 的值.18．（本题满分12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,的对边，41cos ,2==A b a . （1）求B sin 的值；（2）若ABC ∆的面积为15，求c 的值. 19．（本题满分12分）已知函数3cos 22sin 3)(2++=x x x f（1）当)2,0(π∈x 时，求函数)(x f 的值域；（2）若528)(=x f ，且)125,6(ππ∈x ，求122cos(π-x ）的值．20．(本小题满分12分)已知函数x axxx f ln 1)(+-=（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数axx f x g -=)()(在区间)2,1(上不单调，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为23，长轴的一个顶点为A ，短轴的一个顶点为B ，O 为坐标原点，且5=∆OAB S . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线m x y l +=:与椭圆C 交于Q P ,两点，且直线l 不经过点)1,4(M .记直线MQ MP ,的斜率分别为21,k k ，试探究21k k +是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）已知函数)(ln )(2R a x ax x x f ∈++=.（1）讨论函数)(x f 在]2,1[上的单调性； （2）令函数 718.2),()(21=-++=-e x f a x ex g x 是自然对数的底数，若函数)(x g 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.文科数学统考四参考答案1．C2．C 3．D 4． D 5．C6．D 7．C8．A 9．B10．A11．B12．B13．2000,40x R x x ∃∈-+≤14．)1,∞-（15．116．2717．（1）)5(，-∞错误！未找到引用源。

2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期第三次月考数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数123,2Z i Z i =+=-，则12z z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,则A B = （ ）A ．}{0x x >B ．}{1x x >C ．}{011x x x <<>或D ．∅3.已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如右图所示，则这个几何体的体积是 （） A ．8πB ．7πC ．2πD ．74π4.设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列四个命题：①若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a ，β⊥a ，则βα⊥；③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥.其中正确命题的个数为 （ ）A.1B.2C.3D.45.下列命题错误的是 （ ）A ．命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0则022≠+y x ”B ．若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x pC ．ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件4正视图 1 侧视图3俯视图 第（3）题图D ．若向量,a b 满足0a b ⋅>，则a 与b的夹角为锐角 6.=- 40cos 40sin 5sin 5cos 22 （ ） A ．1 B ．21 C ．2 D ．1- 7.以模型kx ce y =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设y z ln =，其变换后得到线性回归方程 43.0+=x z ，则=c （ ）A ．0．3B ．3.0eC ． 4D ．4e8.若函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=f ，则0)()(<--x x f x f 的解集为( )A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),2()0,2(+∞⋃-9.在圆224420x y x y +---=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ）A ．52B ．102C ．152D ．20210.用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．112++k kD ．132++k k 11.直线1,2,0x x y ===与曲线1(1)y x x =+围成图形的面积为 （ ） A ．ln 2 B ．4ln 3C ．ln 3D ．ln3ln2- 12.如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且1111++---=-n n n n n n a a a a a a (n ≥2)，则这个数列的第 10项等于 （ ）A ．1021B ．921C ．101D ．51第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分） 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）13.66(1)(1)x x +-展开式中6x 的系数为. 14.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且35cos ,cos ,3513A B b ===，则c ＝________. 15.已知1F 、2F 是椭圆22221(2)4x y m m m +=>-的左、右焦点，点P 在椭圆上，若1223PF PF m ⋅=，则该椭圆离心率的取值范围为．16.已知函数2|lg |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，若函数1)(3)]([22++=x mf x f y 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11111,1()22n n n a a a n N *++==++∈ （Ⅰ）求证：数列1{}2n na +成等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项的和.n S18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求()2A f 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图1，平行四边形ABCD 中，2,2,45AB BC BAD ==∠=︒，O 为CD 中点，将BOC ∆沿OB 边翻折，折成直二面角A BO C --，E 为AC 中点，（Ⅰ）求证：//DE 平面BOC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面BCD 所成夹角的正弦值.O x y13π512π20.（本小题满分12分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(0,6)P ，且它的离心率21=e ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数1()ln()()x a f x a R x x+=-+∈ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性（Ⅱ）若函数()y h x =与函数()y f x =的图像关于原点对称且(1)0.h =就函数()y h x = 分别求解下面两问： ①问是否存在过点(1,1)-的直线与函数()y h x =的图象相切？ 若存在，有多少条？若不存在，说明理由. ②求证：对于任意正整数n ，均有1111ln 23!n e n n ++++≥（e 为自然对数的底数） 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答。

高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={1, 2, 3, 4}，B={y|y=3x−2, x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1, 3}D.{1, 4}2.设复数z=−1−i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则|z⋅z|=()A.1B.2C.2D.103.下面命题中假命题是（）A.∀x∈R，3x>0B.∃α，β∈R，使sin(α+β)=sinα+sinβC.命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”D.∃m∈R，使f(x)=mx m2+2m是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增4.已知|a→|=2，|b→|=3，|a→+b→|=19，则|a→−b→|等于（）A.13B.15C.17D.75.若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=−1，则a6=()A.5B.6C.7D.86.如图，已知AP→=43AB→,用OA→,OB→表示OP→,则OP→等于（）A.1 3OA→−43OB→B.13OA→+43OB→C.−13OA→+43OB→D.−13OA→−43OB→7.把函数y=sin(5x−π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为（）A.y=sin(10x−3π4)B.y=sin(10x−7π2)C.y=sin(10x−3π2)D.y=sin(10x−7π4)8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》222布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A.12 B.815C.1631D.16299.函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.10.已知非零向量AB →，AC →满足(AB→|AB |+AC→|AC |)⋅BC →=0，且AB→|AB |⋅AC→|AC |=12，则△ABC 的形状是（ ） A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形11.已知函数f (x )= (3−a )x −3,x ≤7a x−6,x >7，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N )，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A.[94, 3) B.(94, 3)C.(2, 3)D.(1, 3)12.已知函f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )−2x ]=3，若则f (3)的值是（ ） A.3 B.7 C.9 D.12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a →=(1, 2)，b →=(0, 1)，c →=(k , −2)，若(a →+2b →)⊥c →，则k =________．14.已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则数列{a n }的通项公式为________．15.[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg100]=________．16.若函数f (x )定义域为R ，且图象关于原点对称．当x >0时，f (x )=x 3−2．则函数f (x +2)的所有零点之和为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35, 45)，记∠COA=α．(1)求1+sin2α1+cos2α的值；(2)求cos∠COB的值．18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=24，S11=0(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设b n=S nn，求数列{b n}前n项和T n的最大值．19.“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关．”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响，从而不顾及交通安全．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：”的人中抽取45 人，求n的值；( II)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1，2，…，200；将女生的300人编号为201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选取2人，求这两人均是女生的概率．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→．(1)求角B的大小；(2)若a+c=8，求AC边上中线长的最小值．21.已知函数f(x)=x2−2x+a ln x(a∈R)．(1)当a=2时，求函数f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．[选修：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10．曲线 c 1: x =3cos αy =2sin α（α为参数）．(1)求曲线c 1的普通方程；(2)若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值． 答案1. 【答案】D【解析】把A 中元素代入y =3x −2中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：把x =1，2，3，4分别代入y =3x −2得：y =1，4，7，10，即B ={1, 4, 7, 10}， ∵A ={1, 2, 3, 4}， ∴A ∩B ={1, 4}， 故选：D ． 2. 【答案】C【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：∵z =−1−i （i 为虚数单位），∴z =−1+i ， 则|z ⋅z |=|(−1)2+12|=2．故选：C ． 3. 【答案】C【解析】A ，根据指数函数y =3x 在R 上值域 判定； B ，取α=0，β=π2，sin(α+β)=sin α+sin β成立；C ，“>”的否定是”≤“；D ，f (x )=mx m 2+2m =x 3是幂函数，m =1．【解答】解：对于A ，指数函数y =3x 在R 上值域为(0, +∞)，故正确； 对于B ，例如α=0，β=π2，sin(α+β)=sin α+sin β成立，故正确；对于C ，命题“∃x ∈R ，x 2+1>3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ，故错；对于D ，m =1时，f (x )=mx m 2+2m =x 3是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增，故正确． 故选：C 4. 【答案】D【解析】|a →+b →|2=a →2+b →2+2a →⋅b →，整体求解2⋅a →⋅b →=6，运用|a →−b →|2=a →2+b →2−2a →⋅b →，得出|a →−b →|【解答】解：∵a →|=2，|b →|=3，|a →+b →|= 19，∴2⋅a →⋅b →=6，∵|a →−b →|2=a →2+b →2−2a →⋅b →=4+9−6=7，∴|a →−b →|= 7，故选：D ． 5. 【答案】C【解析】由S 7=21求得a 4=3，结合a 2=−1求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由S 7=7a 4=21，得a 4=3， 又a 2=−1， ∴d =a 4−a 24−2=3−(−1)2=2，∴a 6=a 4+2d =3+2×2=7． 故选：C ． 6. 【答案】C【解析】将向量AP →转化成OP →−OA →，向量AB →转化成OB →−OA →，然后化简整理即可求出所求． 【解答】解：∵AP →=43AB →∴OP →−OA →=43(OB →−OA →)化简整理得OP →=−13OA →+43OB →故选C ． 7. 【答案】D【解析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin(10x −7π4)的图象．【解答】解：将函数y =sin(5x −π2)的图象向右平移π4个单位，得到函数为y =sin[5(x −π4)−π2]=sin(5x −7π4)，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，可得到函数y =sin(10x −7π4)的图象，故选D ． 8. 【答案】D【解析】利用等差数列的前n 项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m 则由题意知30×5+30×29d =390，解得d =1629．故选：D ． 9. 【答案】D【解析】分x >0与x <0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x >0时，|x |=x ，此时y =a x (0<a <1)； 当x <0时，|x |=−x ，此时y =−a x (0<a <1)， 则函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是：，故选：D ． 10. 【答案】D【解析】先根据(AB→|AB |+AC→|AC |)⋅BC →=0判断出∠A 的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【解答】解：∵(AB →|AB |+AC →|AC |)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与BC 垂直， ∴AB =AC ，∵cos A =AB→|AB |⋅AC→|AC |=12， ∴∠A =π3，∴∠B =∠C =∠A =π3，∴三角形为等边三角形． 故选：D ． 11. 【答案】C【解析】根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得 3−a >0a >1(3−a )×7−3<a 8−6；解可得答案． 【解答】解：根据题意，a n =f (n )= (3−a )n −3,n ≤7a n−6,n >7；要使{a n }是递增数列，必有 3−a >0a >1(3−a )×7−3<a 8−6；解可得，2<a<3；故选：C．12. 【答案】C【解析】由已知函数的关系式可先求出f(1)，然后结合函数的单调性可求f(x)，进而可求【解答】解：令f(x)−2x=t可得f(x)=t+2x∴f(t)=t+2t由函数的性质可知，函数f(t)在R上单调递增∵f(1)=1+2=3∵f[f(x)−2x]=3=f(1)∴f(x)=1+2x∴f(3)=9故选C13. 【答案】8【解析】由题意可得(a→+2b→)⋅c→=0．求得(a→+2b→)=(1, 4)，可得(1, 4)⋅(k, −2)=0，即k−8=0，由此求得k的值．【解答】解：∵已知a→=(1, 2)，b→=(0, 1)，c→=(k, −2)，且(a→+2b→)⊥c→，则(a→+2b→)⋅c→=0．再由(a→+2b→)=(1, 4)可得(1, 4)⋅(k, −2)=0，即k−8=0，k=8，故答案为8．14. 【答案】a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)【解析】当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由a n=S n−S n−1求解．【解答】解：由S n=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，a n=S n−S n−1=3+2n−3−2n−1=2n−1．所以a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)．故答案为a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)．15. 【答案】92【解析】由于[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=...+[lg99]=1，[lg100]=2．即可得出．【解答】解：∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=...+[lg99]=1，[lg100]=2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg100]=90×1+2=92．故答案为：92．16. 【答案】−6【解析】由奇函数的定义可求x<0是的函数解析式，进而可求函数f(x+2)的零点【解答】解：由题意可得函数为奇函数即f(−x)=−f(x)∵x>0，f(x)=x3−2设x<0则−x>0则f(−x(x)=−x3−2∴f(x)=x3+2由奇函数的性质可得，f(0)=0而f(x)=0的零点之和为0，且把f(x)的图象向左平移2个单位可得函数f(x+2)的图象∴函数f(x+2)的所有零点之和为−6故答案为：−617. 【答案】解：(1)∵A的坐标为(35, 45 )，∴根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cos2α=4918；; (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60∘，∵∠COA=α，∴cos∠COB=cos(α+60∘)=cosαcos60∘−sinαsin60∘=35×12−45×32=3−4310．【解析】(1)由A的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；; (2)由三角形AOB为等边三角形，得到∠AOB=60∘，表示出∠COB，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)∵A的坐标为(35, 45 )，∴根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cosα=4918；; (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60∘，∵∠COA=α，∴cos∠COB=cos(α+60∘)=cosαcos60∘−sinαsin60∘=35×12−45×32=3−4310．18. 【答案】解：(1)依题意有a1+2d=2411a1+11×102d=0，解之得a1=40d=−8，∴S n=(40+48−8n)n2=−4n2+44n．; (2)∵S n=−4n2+44n∴b n=S nn=44−4n，∴b n+1−b n=−4∴{b n}为等差数列，∴T n=12(40+44−4n)n=(42−2n)n=−2n2+42n=−2(n−212)2+4412故当n=10或n=11时，T n最大，且T n的最大值为220．【解析】(1)分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a3=24，S11=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出S n；; (2)求出数列{b n}前n项和公式得到T n是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出T n的最大值即可．【解答】解：(1)依题意有a1+2d=2411a1+11×102d=0，解之得a1=40d=−8，∴S n=(40+48−8n)n2=−4n2+44n．; (2)∵S n=−4n2+44n∴b n=S nn=44−4n，∴b n+1−b n=−4∴{b n}为等差数列，∴T n=12(40+44−4n)n=(42−2n)n=−2n2+42n=−2(n−212)2+4412故当n=10或n=11时，T n最大，且T n的最大值为220．19. 【答案】解：(I)由题意得，45800+100=n800+450+200+100+150+300，解得n=100．…(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：(AB1)，(AB2)，(AB3)，(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有6个．…这两人均是女生的基本事件为(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有3个．…故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为P=36=12．…【解析】(I)由题意利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出n的值．(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475，其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率．【解答】解：(I)由题意得，45800+100=n800+450+200+100+150+300，解得n=100．…(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：(AB1)，(AB2)，(AB3)，(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有6个．…这两人均是女生的基本事件为(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有3个．…故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为P=36=12．…20. 【答案】解：(I)∵向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→，∴c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，由正弦定理可得：c(a−c)−(a+b)(a−b)=0，化为a2+c2−b2=ac，∴cos B=a2+c2−b2ac =12，∵B∈(0, π)，∴B=π．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac≥64−(a+c2)2=48，当a=c时取到”=”．∴BE≥23．∴AC边上中线长的最小值为23．【解析】(I)由m→ // n→，可得c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：(I)∵向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→，∴c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，由正弦定理可得：c(a−c)−(a+b)(a−b)=0，化为a2+c2−b2=ac，∴cos B=a2+c2−b2ac =12，∵B∈(0, π)，∴B=π3．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac≥64−(a+c2)2=48，当a=c时取到”=”．∴BE≥23．∴AC边上中线长的最小值为23．21. 【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+2ln x，f′(x)=2x−2+2x，则f(1)=−1，f′(1)=2，所以切线方程为y+1=2(x−1)，即为y=2x−3．; (2)f′(x)=2x−2+ax =2x2−2x+ax(x>0)，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，①当△=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当△=4−8a>0且a>0，即0<a≤12时，由2x2−2x+a=0，得x1,2=1±1−2a2，由f′(x)>0，得0<x<1−1−2a2或x>1+1−2a2；由f′(x)<0，得1−1−2a2<x<1+1−2a2．综上，当a≥12时，f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当0<a<12时，f(x)的单调递增区间是(0,1−1−2a2)，(1+1−2a2,+∞)；单调递减区间是(1−1−2a2,1+1−2a2)．; (3)函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a<1，由f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，则x1+x2=1，x1=1−1−2a2，x2=1+1−2a2，由0<a<12，可得0<x1<12，12<x2<1，f(x1)x2=x12−2x1+a ln x1x2=x12−2x1+(2x1−2x12)ln x1x2=x12−2x1+(2x1−2x12)ln x11−x1=1−x1+1x1−1+2x1ln x1，令ℎ(x)=1−x+1x−1+2x ln x(0<x<12)，ℎ′(x)=−1−1(x−1)2+2ln x，由0<x<12，则−1<x−1<−12，14<(x−1)2<1，−4<−1(x−1)<−1，又2ln x<0，则ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0, 12)递减，即有ℎ(x)>ℎ(12)=−32−ln2，即f(x)x>−32−ln2，即有实数m的取值范围为(−∞, −32−ln2]．【解析】(1)求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；; (2)求出f(x)的导数，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，对判别式讨论，即当a≥12时，当0<a≤12时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；; (3)函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a<12，不等式f(x1)≥mx2恒成立即为f(x1) x2≥m，求得f(x1)x2=1−x1+1x1−1+2x1ln x1，令ℎ(x)=1−x+1x−1+2x ln x(0<x<12)，求出导数，判断单调性，即可得到ℎ(x)的范围，即可求得m的范围．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+2ln x，f′(x)=2x−2+2x，则f(1)=−1，f′(1)=2，所以切线方程为y+1=2(x−1)，即为y=2x−3．; (2)f′(x)=2x−2+ax =2x2−2x+ax(x>0)，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，①当△=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当△=4−8a>0且a>0，即0<a≤12时，由2x2−2x+a=0，得x1,2=1±1−2a2，由f′(x)>0，得0<x<1−1−2a2或x>1+1−2a2；由f′(x)<0，得1−1−2a2<x<1+1−2a2．综上，当a≥12时，f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当0<a<12时，f(x)的单调递增区间是(0,1−1−2a2)，(1+1−2a2,+∞)；单调递减区间是(1− 1−2a 2,1+ 1−2a2)．; (3)函数f (x )在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a <12，由f ′(x )=0，得2x 2−2x +a =0，则x 1+x 2=1，x 1=1− 1−2a2，x 2=1+ 1−2a2， 由0<a <12，可得0<x 1<12，12<x 2<1，f (x 1)x 2=x 12−2x 1+a ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 11−x 1=1−x 1+1x 1−1+2x 1ln x 1，令ℎ(x )=1−x +1x−1+2x ln x (0<x <12)，ℎ′(x )=−1−1(x−1)+2ln x ， 由0<x <12，则−1<x −1<−12，14<(x −1)2<1，−4<−1(x−1)2<−1， 又2ln x <0，则ℎ′(x )<0，即ℎ(x )在(0, 12)递减， 即有ℎ(x )>ℎ(12)=−32−ln2，即f (x )x >−32−ln2，即有实数m 的取值范围为(−∞, −32−ln2]．22. 【答案】解：(1)∵ x =3cos αy =2sin α，∴cos α=x 3，sin α=y 2，∴曲线C 1的普通方程是：x 29+y 24=1．; (2)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0．点M 到曲线C 的距离为d = 5=5α−φ)−10|，(cos φ=35,sin φ=45)．∴α−φ=0时，d min = 5，此时M (95,85)．【解析】(1)用x ，y 表示出cos α，sin α利用cos 2α+sin 2α=1消参数得到曲线C 1的普通方程； (2)先求出曲线C 的普通方程，使用参数坐标求出点M 到曲线C 的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．;【解答】解：(1)∵ x =3cos αy =2sin α，∴cos α=x 3，sin α=y 2，∴曲线C 1的普通方程是：x 29+y 24=1．; (2)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0． 点M 到曲线C 的距离为d =5=5α−φ)−10|，(cos φ=35,sin φ=45)．∴α−φ=0时，d min = 5，此时M (95,85)．。

六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。

2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题（时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡．．．．．．上）1.复数的化简结果是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，把分子和分母进行乘法运算,整理出最简结果即可. 【详解】复数，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合,,则=( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出集合，然后直接求解详解：故选点睛：本题是一道基础的题型，考查的是学生对于集合的交集运算应用的熟练程度，对于本题而言，利用集合交集的运算性质即可解答3.过曲线上点处的切线的斜率是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数,从而得到在处的切线的斜率.【详解】，，，曲线在点处的切线斜率为4，故选D.【点睛】本题主要考查导数几何意义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.4.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量( )A. (-7,-4)B. (7,4)C. (-1,4)D. (1,4)【答案】A【解析】分析：由两点A(0,1)，B(3,2)的坐标求得，再求得详解：因为点A(0,1)，B(3,2)，所以。

因为向量，所以故选A。

点睛：一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。

本题考查向量的减法运算及学生的运算能力及转化能力。

5.各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )A. 33B. 45C. 84D. 189【答案】C【解析】试题解析：a1＋a2＋a3= a1（1+q+q2）=21,解得q=2或q=-3（舍）a3＋a4＋a5= a1（q2+ q3+ q4）=3×（4+8+16）=84考点：本题考查等比数列点评：解决本题的关键是基本量法解题 6.已知||＝5，||＝4，，则与的夹角为 ( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】直接代入向量的夹角余弦公式计算夹角的余弦，从而可得结果. 【详解】因为||5，||，，所以，因为，，故选B.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7.已知定义在R 上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 ( )A. f(b)>f(c)>f(d)B. f(b)>f(a)>f(e)C. f(c)>f(b)>f(a)D. f(c)>f(e)>f(d)【答案】C【解析】【分析】根据导函数的图象可判断导数的符号,进而可判断函数的单调性，由单调性即可得到结果. 【详解】由导函数的大致图象知，当时，单调递增，又，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及导函数的图象与原函数单调性之间的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.设P是所在平面内的一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】移项得.故选B视频9.设定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝12，且f(2014)＝2，则f(0)等于( )A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】由得，两式相除可得为周期函数，周期为4，由此利用，能求出.【详解】定义在上的函数满足，且，，两式相除可得为周期函数，周期为4，，，故选C.【点睛】本题主要考查函数的周期性的定义与应用，属于中档题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)；（2）；（3） .10.在中，，，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数基本关系可得，利用三角形内角和定理、诱导公式以及两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】在中，，所以，因为，所以，故的值为，故选B.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．11.已知，，，则下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性与指数函数的单调性判断出，，的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的单调性可得，;;由指数函数的单调性可得，,所以，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.12.已知函数f(x)＝,若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)【答案】C【解析】作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则则abc=c∈（10，12）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分,在答题卡．．．对应题号给出横线上填上正确结果）13.已知，则___________【答案】【解析】【分析】由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值.【详解】，且为第二象限角，，则，故答案为.【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.14.已知等差数列中，，，那么为_______【答案】14【解析】【分析】由，，可求出，从而利用等差数列的通项公式可得结果.【详解】因为，，所以即解得，可得故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量运算，意在考查对基础知识的理解与应用，属于简单题.15.设向量＝(m,1)，＝(1，m)，如果与共线且方向相反，则m的值为______【答案】-1【解析】【分析】由可设，则，从而可得的值.【详解】向量与共线且方向相反，由共线向量定理可设，即，解得，由于，，故答案为.【点睛】本题主要考查向量共线的性质以及反向向量的定义，意在考查对基本概念与基本性质掌握的熟练程度，属于简单题.16.已知集合A、B与集合A@B的对应关系如下表：若A＝{－2009,0,2018}，B＝{－2009,0,2019}，试根据图表中的规律写出A@B＝________.【答案】【解析】【分析】由表格中数据发现规律：集合是中的元素再去掉中的元素组成的，求出与，从而可得结果.【详解】由题意可知，集合是中的元素再去掉中的元素组成的，已知，则，则，故答案为.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，集合的交集与并集的定义以及新定义问题，属于难题. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. B.C. D.3.已知，，且，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.4.已知定义在上的函数是偶函数，对，都有，当时，的值为（）A. B. C. D.5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.6.已知、均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（）7.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A.B.C.D.8.若角的终边在直线上，则的值为（）A. B. C. D.9.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.10.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.12.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13.函数且恒过定点，则的坐标为________．14.设函数，若，则的取值范围是________．15.函数的定义域是________．16.设奇函数的定义域为，且周期为，若，，则实数的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数的定义域为，函数的值域为．求；若且，求的取值范围．18.已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求函数的解析式；求函数在区间上的单调递增区间．19.设函数．若曲线在点（）处与直线相切，求，的值；求函数的单调区间与极值点．20.已知函数，在与时都取得极值．求：求、的值若对，有恒成立，求的取值范围．21.已知为实数，求导数；若是函数的极值点，求在区间上的最大值和最小值；若在区间和上都是单调递增的，求实数的取值范围．22.已知，求函数的单调区间；求函数在上的最小值；对一切的，恒成立，求实数的取值范围．答案1. 【答案】B【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：，则，故选：2. 【答案】D【解析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是，对于，；是奇函数；对于，；是偶函数；对于，，是偶函数；对于，，；所以是非奇非偶的函数；故选：．3. 【答案】B【解析】不妨设，，代入各个选项进行检验可得、、都不正确，只有正确，从而得到结论．【解答】解：令，，代入各个选项进行检验可得、、都不正确，只有正确，故选．4. 【答案】A【解析】由是偶函数，且，可得是以为周期的函数；利用计算出的值．【解答】解：∵ 是上的偶函数，∴ ；又对都有，∴ （）（），；∴ ，∴ ，∴ 是以为周期的函数；当时，；故选：．5. 【答案】C【解析】根据函数的解析式，我们根据定义在上的奇函数图象必要原点可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．【解答】解：当时，故函数图象过原点，可排除又∵故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有满足要求故选6. 【答案】C【解析】设，利用，，即可得出结论．【解答】解：设，则∵ ，，∴ 的零点在区间，故选：．7. 【答案】D【解析】根据题意结合图象求出的解集与的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当时，函数是增函数，所以的解集为，，当时，函数是减函数，所以的解集为．所以不等式即与不等式的解集相等．由题意可得：不等式等价于不等式，所以原不等式的解集为，故选．8. 【答案】B【解析】依题意，，将所求的关系式中的“弦”化“切”即可求得答案．【解答】解：∵角的终边在直线上，∴ ，∴，故选：．9. 【答案】B【解析】函数解析式提取变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于轴对称，即可求出的最小值．【解答】解：，∴图象向左平移个单位长度得到，∵所得的图象关于轴对称，∴，则的最小值为．故选10. 【答案】D【解析】先求，根据题意可知在上恒成立，可设，所以讨论的取值，从而判断是否在上恒成立：时，容易求出，显然满足；时，需要满足，这样求出的范围，和前面求出的范围求并集即可．【解答】解：；由已知条件知时，恒成立；设，则在上恒成立；∴ 若，即，满足在上恒成立；若，即，或，则需：；解得；∴ 或；∴综上得；∴实数的取值范围是．故选．11. 【答案】B【解析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵ ，而，∴函数的零点所在区间是，故选．12. 【答案】D【解析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数的图象，和函数的图象，由导数求切线斜率可得的斜率，进而数形结合可得的范围．【解答】解：由题意可作出函数的图象，和函数的图象，由图象可知：函数的图象为过原点的直线，当直线介于和轴之间符合题意，直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率介于与之间即可，即故选：13. 【答案】【解析】由对数的性质可得结论．【解答】解：由对数的性质可得，故当即时，，∴已知函数的图象恒过定点故答案为：．14. 【答案】【解析】将变量按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当时，，则，当时，则，故的取值范围是，故答案为：．15. 【答案】【解析】求使根式有意义和对数式有意义的的取值范围，然后取交集即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：，所以原函数的定义域为．故答案为．16. 【答案】【解析】关键函数是奇函数，结合，分析可得，又由周期为，则，联立可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，由为奇函数，可得，又由，则，则，又由周期为，则，则有，解可得；故答案为．17. 【答案】解：由题意得：，，; 由知：又当即时满足当即时要使则解得综上【解析】根据根式有意义的条件及害幂函数的性质可得集合，，再进行集合的运算即可; 先根据集合，结合，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数的取值范围．【解答】解：由题意得：，，; 由知：又当即时满足当即时要使则解得综上18. 【答案】解：解：由题意可得：，，，∴，∴，∴ ，由，∴．∴函数的解析式为：．; ∵由，可解得的单调递增区间是：，，又∵ ，∴解得函数在区间上的单调递增区间为：和．【解析】根据图象求出，，求出，图象经过，求出，然后求的解析式．;由，可解得的单调递增区间是：，，又，即可得解函数在区间上的单调递增区间．【解答】解：解：由题意可得：，，，∴，∴，∴ ，由，∴．∴函数的解析式为：．; ∵由，可解得的单调递增区间是：，，又∵ ，∴解得函数在区间上的单调递增区间为：和．19. 【答案】解：，∵曲线在点（）处与直线相切，∴ ; ∵ ，当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点．【解析】已知函数的解析式，把点（）代入，再根据在点（）处与直线相切，求出，的值；由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；;【解答】解：，∵曲线在点（）处与直线相切，∴ ; ∵ ，当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点．20. 【答案】解：，令，得：，; 由知，令得或，所以在，上递增；上递减，又，∴ 的最大值为；要使恒成立，只需，解得或．【解析】根据所给的函数在两个点取得极值，写出函数的导函数，则导函数在这两个点的值等于，得到关于，的方程组，解方程组即可．; 要求一个恒成立问题，只要函数的最大值小于代数式即可，的最大值为；要使恒成立，只需，解不等式．【解答】解：，令，得：，; 由知，令得或，所以在，上递增；上递减，又，∴ 的最大值为；要使恒成立，只需，解得或．21. 【答案】解： ∵ ，∴ ．; ∵ 是函数的极值点，∴由，得，解得．∴，．由，得或．又，，，，∴ 在区间上的最大值为，最小值为，; ∵ 的图象是开口向上且过点的抛物线．由已知，得，∴ ，∴ 的取值范围为．【解析】根据导数的公式即可求导数；; 若是函数的极值点，得到，解得的值，即可求在区间上的最大值和最小值；; 根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解： ∵ ，∴ ．; ∵ 是函数的极值点，∴由，得，解得．∴，．由，得或．又，，，，∴ 在区间上的最大值为，最小值为，; ∵ 的图象是开口向上且过点的抛物线．由已知，得，∴ ，∴ 的取值范围为．22. 【答案】解：令解得∴ 的单调递减区间为令解得∴ 的单调递增区间为；; 当时，无解当，即时，∴；当，即时，在上单调递增，∴∴ ；; 由题意：即∵∴设，则令，得（舍）当时，；当时，∴当时，取得最大值，∴故实数的取值范围【解析】求出，令小于求出的范围即为函数的减区间，令大于求出的范围即为函数的增区间；; 当时无解，当即时，根据函数的增减性得到的最小值为，当即时，函数为增函数，得到的最小值为；; 求出，把和代入中，根据大于解出，然后令，求出的最大值，大于等于的最大值，方法是先求出时的值，利用函数的定义域和的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出的取值范围．【解答】解：令解得∴ 的单调递减区间为令解得∴ 的单调递增区间为；; 当时，无解当，即时，∴；当，即时，在上单调递增，∴∴ ；; 由题意：即∵∴设，则令，得（舍）当时，；当时，∴当时，取得最大值，∴故实数的取值范围。