全国数学高考二轮复习考点31 直线、平面平行的判定及其性质-2020年高考数学(理)

专题31 直线、平面平行的判定及其性质（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明：·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.·垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面平行的性质定理二、平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理2．平面与平面平行的性质定理3．平行问题的转化关系三、常用结论（熟记）1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．考向一 线面平行的判定与性质线面平行问题的常见类型及解题策略： (1)线面平行的基本问题①判定定理与性质定理中易忽视的条件． ②结合题意构造图形作出判断． ③举反例否定结论或反证法证明． (2)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a b a b a ααα⊄⊂⇒,,∥∥)； ③利用面面平行的性质(a a αβαβ⊂⇒∥,∥)；④利用面面平行的性质(a a a a αβαβαβ⊄⊄⇒∥,,,∥∥). (3)线面平行的探索性问题①对命题条件的探索常采用以下三种方法： a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b B ．b ⊂α，a ∥bC ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cD ．b ⊂α，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b 且AC ＝BD 【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理可知A正确，注意线面平行的判定定理的条件缺一不可．B．b⊂α，a∥b，a可能在a内，错误；C．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，a可能在a内，错误；D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b且AC＝BD，a可能与a相交，错误.故选A．1．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点，则下列命题正确的是A．MN//AP B．MN//BD1C．MN//平面BB1D1D D．MN//平面BDP典例2 如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，12AB BC AD==，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.（1）求证：AP//平面BEF；（2）求证：GH//平面PAD.【解析】（1）如图，连接EC，∵AD//BC ，12BC AD =， ∴BC =AE ，BC//AE ， ∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO//AP ， 又∵FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP//平面BEF .（2）如图，连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH//PD ， 又∵PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ， ∴FH//平面PAD .又∵O 是AC 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH//AD ，∵AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ， ∴OH//平面PAD . 又∵FH ∩OH =H ， ∴平面OHF//平面PAD ， 又∵GH ⊂平面OHF ， ∴GH//平面PAD .2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，点E F ，分别是棱11CC BB ，上的点，点M 是棱AC 上的动点，22EC FB ==，若∥MB 平面AEF ，试判断点M 在何位置.考向二面面平行的判定与性质判定面面平行的常见策略：(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).典例3 如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB//CD//EF，112AD AB CD===，且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点．（1）求证：平面BCF//平面AGE；（2）求平面BCF与平面AGE的距离．【解析】（1）∵AB//CD，12AB CD=，G是CD的中点，∴四边形ABCG为平行四边形，∴BC//AG，又∵AG⊂平面AEG，BC⊄平面AEG，∴BC//平面AEG ，∵直角梯形ABCD 与梯形EFCD 全等，EF//CD//AB ， ∴EF =AB ，∴四边形ABFE 为平行四边形， ∴BF//AE ，又∵AE ⊂平面AEG ，BF ⊄平面AEG ， ∴BF//平面AEG ， ∵BF ∩BC =B ， ∴平面BCF//平面AGE ．（2）设点C 到平面AGE 的距离为d ， 易知AE =EG =AG =√2， 由V C−AGE =V E−ACG ， 得21111sin603232AE d CG AD DE ⨯⨯⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯，即2sin60CG AD DE d AE ⨯⨯==⨯︒， ∵平面BCF//平面AGE ，∴平面BCF 与平面AGE 间的距离为3．3．如图，四边形ABCD 为矩形，A ，E ，B ，F 四点共面，且△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，90BAE AFB ∠=∠=︒.（1）求证：平面∥BCE 平面ADF ；（2）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，1AF =，2BC =，求三棱锥A CEF -的体积．1．已知m,n 为两条不重合直线，α,β为两个不重合平面，下列条件中，α//β的充分条件是 A ．m//n,m ⊂α,n ⊂β B ．m//n,m ⊥α,n ⊥β C ．m ⊥n,m//α,n//βD ．m ⊥n,m ⊥α,n ⊥β2．平面α与平面β平行的条件可以是 A ．α内的一条直线与β平行 B ．α内的两条直线与β平行C ．α内的无数条直线与β平行D ．α内的两条相交直线分别与β平行 3．下列命题中，错误的是A ．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．平行于同一个平面的两个平面平行C ．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D ．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面4．如图所示,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱AA 1和BB 1的中点,过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G ,H ,则HG 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面5．设α，β表示两个不同的平面，m 表示一条直线，则下列命题正确的是 A ．若∥m α，∥αβ，则∥m β B ．若∥m α，∥m β，则∥αβC ．若m α⊂，∥αβ，则∥m βD ．若m α⊂，∥m β，则∥αβ6．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E ，F ，则四边形D 1EBF 的形状是 A ．矩形 B ．菱形 C ．平行四边形D ．正方形7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111，，，A B BB CC C D 的中点，则必有A ．1∥BD GHB ．∥BD EFC ．平面∥EFGH 平面ABCDD ．平面∥EFGH 平面11A BCD8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，平面α∥平面1BC E （平面α是图中的阴影平面），若平面αI 平面111AA B B A F =，则AF 的长为A ．1B ．1.5C ．2D ．39．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是棱A 1B 1,B 1C 1的中点,O 是AC 与BD 的交点,平面OEF 与平面BCC 1B 1相交于m ,平面OD 1E 与平面BCC 1B 1相交于n ,则直线m,n 的夹角为 A ．π2 B ．π6C ．π3D ．010．如图所示，在三棱台111ABC A B C -中，点D 在11A B 上，且1AA BD ∥，点M 是111△A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面BDM ∥平面1A C ，则动点M 的轨迹是A ．平面B ．直线C ．线段，但只含1个端点D ．圆11．下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中,l m 为直线，,αβ为平面），则此条件是__________.①____∥∥l m m α⎫⎪⎬⎪⎭∥l α⇒；②____∥m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭∥l α⇒；③____l m m α⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭∥l α⇒.12．如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中，E ,F ,G ,H 分别为CC',C'D',D'D ,CD 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 内运动,则M 满足 时,有MN //平面B'BDD'．13．下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在的棱的中点,能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 ．14．如图,已知空间四边形ABCD ,E ,F ,G ,H 分别是其四边上的点且共面,AC ∥平面EFGH ,AC =m ,BD =n ,当EFGH是菱形时,AEEB= .15．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1AA ，AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1∥C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为__________．16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________.17．如图,四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，,,M N G 分别是,,AB AD EF 的中点.(1)求证: BE ∥平面DMF ; (2)求证:平面BDE ∥平面MNG .18．如图所示,斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点D ,D 1分别为AC ,A 1C 1上的点.(1)当1111A D D C 等于何值时,BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,求ADDC的值.19．如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD的垂线，垂足分别为E ，F ，已知1DE =，3AE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面∥ADE 平面BCF ，得到图2.（1）证明：BE ∥平面ACD ； （2）求三棱锥C AED -的体积.20．如图，P 是ΔABC 所在平面外一点，A ′,B ′,C ′分别是ΔPBC,ΔPCA,ΔPAB 的重心.（1）求证：平面A′B′C′//平面ABC；（2）求ΔA′B′C′与ΔABC的面积比.21．如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EF//AB,现将四边形ABCD沿EF折起,使BE⊥EC.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP//平面ABEF?若存在,求出AP的值;若不存在,PD 说明理由;(2)求三棱锥A−CDF的体积的最大值,并求出此时点F到平面ACD的距离.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2．（2019年高考北京卷理数）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．3．（2016新课标全国Ⅱ理科）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）4．（2019年高考全国Ⅰ卷理节选）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；5．（2019年高考江苏节选）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；6．（2018江苏节选）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：11AB A B C 平面∥．7．(2017新课标全国Ⅱ理科节选)如图，四棱锥P −ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE∥平面P AB.8．（2017北京理科节选）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD，AB=4．（1）求证：M为PB的中点.1．【答案】C【解析】取B 1C 1中点E ，连接ME,NE ，B 1D 1，BD ，由三角形中位线定理可得ME//B 1D 1，∴ME//平面BB 1D 1D ， 由四边形BB 1EN 为平行四边形得NE//BB 1， ∴NE//平面BB 1D 1D ，∴平面MNE//平面BB 1D 1D ， 又MN ⊂平面MNE ，∴MN//平面BB 1D 1D ， 故选C ．2．【解析】过F B M ，，作平面FBMN 交AE 于N ，连接MN NF ，. 因为三棱柱111ABC A B C -，所以1BF AA ∥，又BF ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以BF ∥平面11AAC C ，又BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN I 平面11AAC C MN =， 所以BF MN ∥.又MB P 平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN I 平面AEF FN =， 所以MB FN ∥，所以四边形BFNM 是平行四边形， 所以1MN BF ==.又EC FB ∥，22EC FB ==， 所以MN EC ∥，112MN EC ==， 故MN 是△ACE 的中位线，所以当M 是AC 的中点时，∥MB 平面AEF .3．【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∥BC AD ， 又BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，∴∥BC 平面ADF .∵△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，且90BAE AFB ∠=∠=︒， ∴45BAF ABE ∠=∠=︒，∴∥AF BE ， 又BE ⊄平面ADF ，AF ⊂平面ADF ， ∴∥BE 平面ADF ，∵∥BC 平面ADF ，∥BE 平面ADF ，BC BE B =I ， ∴平面∥BCE 平面ADF .（2）∵ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ， 平面ABCD I 平面AEBF AB =， ∴BC ⊥平面AEBF ，在△AEF 中，∵1AF =，∴AE =∴111sin1351222△AEF S AF AE =⋅⋅︒=⨯=. ∴13△三棱锥三棱锥AEF A CEF C AEF V V S BC --==⋅1112323=⨯⨯=. 【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法．①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． ②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值．1．【答案】B【解析】当m//n 时，若m ⊥α，可得n ⊥α， 又n ⊥β，可知α//β. 故选B. 2．【答案】D【解析】若两个平面α,β相交,设交线是l ,则有α内的直线m 与l 平行,得到m 与平面β平行,从而可得A 是不正确的;而B 中两条直线可能是平行于交线l 的直线,所以也不能判定α与β平行;C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线l 的直线,因此也不能判定α与β平行.由平面与平面平行的判定定理可得D 项是正确的. 3．【答案】C【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面． 4．【答案】A【解析】∵E ,F 分别是AA 1,BB 1的中点,∴EF //AB ． 又AB ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,∴AB //平面EFGH . 又AB ⊂平面ABCD ,平面ABCD ∩平面EFGH =GH ,∴AB //GH . 5．【答案】C【解析】若∥m α，∥αβ，则∥m β或m β⊂，A 不正确； 若∥m α，∥m β，则∥αβ，或αβ、相交，B 不正确； 若m α⊂，∥αβ，可得m 、β没有公共点，即∥m β，C 正确； 若m α⊂，∥m β，则∥αβ或αβ、相交，D 不正确. 故选C ． 6．【答案】C【解析】长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1D 1D 与平面BB 1C 1C 平行，又经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E,F ，根据面面平行的性质定理，得D 1E//FB ，同理可证D 1F//EB ，所以四边形D 1EBF 为平行四边形，故选C ． 7．【答案】D【解析】选项A ，由中位线定理可知：1∥GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B ，由中位线定理可知：1∥EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C ，由中位线定理可知：1∥EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D ，由三角形中位线定理可知：111,∥∥EF A B EH A D ，所以有∥EF 平面11A BCD ，∥EH 平面11A BCD ，而EF EH E =I ，因此平面∥EFGH 平面11A BCD ，故本题选D ．8．【答案】A【解析】因为平面α∥平面1BC E ，平面αI 平面111AA B B A F =，平面1BC E I 平面11AA B B BE =，所以1∥A F BE .又1∥A E BF ，所以四边形1A EBF 是平行四边形，所以12A E BF ==，所以1AF =. 9．【答案】D【解析】如图所示，∵E ，F 分别是棱A 1B 1,B 1C 1的中点,∴EF ∥AC ，则平面OEF 即平面EFCA 与平面BCC 1B 1相交于CF ,即直线m ；由CF ∥OE ，可得CF ∥平面OD 1E ，故平面OD 1E 与平面BCC 1B 1相交于n 时，必有n ∥CF ，即m //n ,则直线m,n 的夹角为0.10．【答案】C【解析】过D 作DN ∥A 1C 1，交B 1C 1于N ，连结BN ，∵在三棱台A 1B 1C 1﹣ABC 中，点D 在A 1B 1上，且AA 1∥BD ，AA 1∩A 1C 1＝A 1，BD ∩DN ＝D ，∴平面BDN ∥平面A 1C ， ∵点M 是111△A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面BDM ∥平面A 1C ，∴M 的轨迹是线段DN ，且M 与D 不重合，∴动点M 的轨迹是线段，但只含1个端点． 故选C ．11．【答案】l α⊄【解析】①∥l m ，∥∥m l αα⇒或l α⊂，由∥l l αα⊂⇒/； ②l α⊂/，m α⊂，∥∥l m l α⇒；③l m ⊥，∥m l αα⊥⇒或l α⊂，由∥l l αα⊂⇒⇒/． 故答案为l α⊂/．12．【答案】M 在线段FH 上移动【解析】当M 在线段FH 上移动时,有MH //DD'.而HN //BD ,∴平面MNH //平面B'BDD'. 又MN ⊂平面MNH ,∴MN //平面B'BDD'. 13．【答案】①④【解析】对于①,该正方体的对角面∥平面MNP,得出AB ∥平面MNP ; 对于②,直线AB 与平面MNP 不平行; 对于③,直线AB 与平面MNP 不平行;对于④,直线AB 与平面MNP 内的直线NP 平行. 14．【答案】mn【解析】∵AC ∥平面EFGH ,AC ⊂平面ABC ,平面ABC ∩平面EFGH =EF , ∴AC ∥EF . ∴EB EFAB AC=.① 由四边形EFGH 是菱形知EH ∥FG ,EH ⊄平面BCD ,FG ⊂平面BCD , ∴EH ∥平面BCD ．而EH ⊂平面ABD ,平面ABD ∩平面BCD =BD ,∴EH ∥BD ,∴AE EHAB BD =.② 由①②得AE EH ACEB BD EF⨯=⨯.又EF =EH ,AC =m ,BD =n ,所以AE mEB n=.15．【解析】如图所示，取11A B 的中点H ，1B B 的中点G ，连接GH ，1C H ，1C G ，,EG HF ．可得：四边形11EGC D 是平行四边形，11∥C G D E ∴. 同理可得：1∥C H CF ．111C H C G C =Q I ，∴平面1∥C GH 平面1CD E ，M Q 点是正方形11ABB A 内的动点，1∥C M 平面1CD E ，∴点M 在线段GH 上，M ∴点的轨迹长度GH ===16．【答案】92【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面1MCD I 平面111DCC D CD =，所以平面1MCD I 平面11ABB A MN =，且1∥MN CD ，所以N 为AB 的中点（如图），所以该截面为等腰梯形1MNCD .因为正方体的棱长为2，所以MN ，CD 1=，MD 1所以等腰梯形MNCD 1的高MH =所以截面面积为19222⨯⨯=.17．【解析】(1)连接AE ,则AE 必过DF 与GN 的交点O ,连接MO ,则MO 为ABE △的中位线, 所以BE MO ∥,又BE ⊄平面,DMF MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为,N G 分别为平行四边形ADEF 的边,AD EF 的中点, 所以DE GN ∥,又DE ⊄平面,MNG GN ⊂平面MNG , 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点,所以MN 为ABD △的中位线,所以BD MN ∥, 又BD ⊄平面,MNG MN ⊂平面MNG , 所以BD ∥平面MNG ,又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线, 所以平面BDE ∥平面MNG .【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.（1）应用判定定理证明线面平行的步骤：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤:第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．18．【解析】(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时1111A DD C=1.连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,∴点O为A1B的中点.∵D1为A1C1的中点,O为A1B的中点,∴OD1∥BC1,∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.∴当1111A DD C=1时,BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,∴11111A D A OD C OB.又平面AB 1D 1∩平面ACC 1A 1=AD 1,平面BDC 1∩平面ACC 1A 1=DC 1, ∴AD 1∥DC 1, ∴AD =D 1C 1,DC =A 1D 1,∴11111D C AD OBCD A D A O===1. 19．【解析】（1）设AF BE O =I ，取AC 中点M ，连接OM ，∵四边形ABFE 为正方形，∴O 为AF 中点， ∵M 为AC 中点，∴12∥OM CF 且12OM CF =， ∵平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE I 平面ABFE AE =，DE AE ⊥，DE ⊂平面ADE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又∵平面∥ADE 平面BCF ，∴平面BCF ⊥平面ABFE ， 又CF BF ⊥，则CF ⊥平面ABFE ， 又∵1DE =，2FC =，∴11,22∥DE CF DE CF =， ∴∥OM DE ，且OM DE =，∴四边形DEOM 为平行四边形，∴∥DM OE ， ∵DM ⊂平面ADC ，BE ⊄平面ADC ， ∴∥BE 平面ADC .（2）∵∥CF DE ，DE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，∴∥CF 平面ADE ， ∴点C 到平面ADE 的距离等于点F 到平面ADE 的距离， ∴113313322C AED F AED V V --==⨯⨯⨯⨯=. 20．【解析】（1）连接PA ′、PC ′，并延长分别交BC 、AB 于点M ，N ，连接MN .∵A ′、C ′分别是ΔPBC 、ΔP AB 的重心， ∴PA ′=23PM ，PC ′=23PN ， ∴A ′C ′∥MN .∵A ′C ′⊄平面ABC ，MN ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面AB C ． 同理，A ′B ′∥平面ABC ．∵A ′C ′∩A ′B ′=A ′，且A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC ．（2）由（1）知A ′C ′=23MN ，A ′C ′∥MN . ∵MN =12AC ，MN ∥AC ， ∴A ′C ′=13AC ，A ′C ′∥AC .同理可得：A ′B ′=13AB ，A ′B ′∥AB ，B ′C ′=13BC ，B ′C ′∥BC ，则ΔA ′B ′C ′∼ΔABC .故ΔA ′B ′C ′与ΔABC 的面积之比为19△△A B C ABC S S '''=.21．【解析】(1)线段AD 上存在一点P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时32AP PD =. 理由如下: 当32AP PD =时,35AP AD =, 过点P 作MP FD ∥交AF 于点M ,连接EM , 则有MP FD =AP AD =35, ∵1BE =,∴5FD =, 故3MP =,又3,EC MP FD EC =∥∥, 故有MP EC ∥,故四边形PMEC 为平行四边形, ∴CP ME ∥,又∴CP ⊄平面,ABEF ME ⊂平面ABEF , ∴CP ∥平面ABEF . (2)设BE x =,∴AF =(04),x x FD <≤=6x -, 故A CDF V -=()112632x x ⨯⨯⨯-=()2163x x -+, ∴当3x =时,A CDF V -有最大值,且最大值为3, 此时1,EC AF ==3,3,FD DC ==,在ACD △中,由余弦定理得cos ADC ∠=2222AD DC AC AD DC+-⋅=12, ∴sin ADC ∠=ADC S △=1sin 2DC DA ADC ⋅⋅⋅∠=,设点F 到平面ADC 的距离为h , 由于A CDF F ACD V V --=,即3=13ADC h S ⋅⋅△, ∴h即点F 到平面ADC1．【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件. 故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误． 2．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.3．【答案】②③④【解析】对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为,m α⊥所以,m c ⊥所以m n ⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的命题有②③④.【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系.4．【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ， 故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．5．【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.6．【解析】在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．7．【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，12EF AD =， 由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC ∥AD ， 又12BC AD =， 所以EF BC ∥，即四边形BCEF 是平行四边形，所以CE ∥BF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB ．8．【解析】（1）如图，设,AC BD 交点为E ，连接ME .，因为PD∥平面MAC，平面MAC I平面PDB ME ∥.所以PD ME因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.。