高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

一、基础知识

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理❶ 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

∵l∥a，a⊂α，

l⊄α，∴l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可.

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理❷ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

∵a∥β，

b∥β，

a∩b＝P，a⊂α，

b⊂α，

∴α∥β

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.

二、常用结论

平面与平面平行的三个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．

(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

考点一 直线与平面平行的判定与性质

考法(一) 直线与平面平行的判定

[典例] 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.

[证明] 如图，连接A1C.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．

又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．

因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.

又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C.

考法(二) 线面平行性质定理的应用

[典例] (2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.

求证：FG∥平面AA1B1B.

[证明] 在四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D.

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

[题组训练]

1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．

2．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC. 求证：BM∥平面PAD.

证明：法一：如图，过点M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.

∵PM＝2MC，∴MN＝23CD.

又AB＝23CD，且AB∥CD，

∴AB綊MN，

∴四边形ABMN为平行四边形，

∴BM∥AN.

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM∥平面PAD.

法二：如图，过点M作MN∥PD交CD于点N，连接BN.

∵PM＝2MC，∴DN＝2NC，

又AB∥CD，AB＝23CD，

∴AB綊DN，

∴四边形ABND为平行四边形，

∴BN∥AD.

∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN＝N，

AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D，

∴平面MBN∥平面PAD.

∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD.

3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.

求证：PA∥GH.

证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，∴PA∥MO.

又MO ⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，

∴PA∥平面BMD.

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

PA⊂平面PAHG，

∴PA∥GH. 考点二 平面与平面平行的判定与性质

[典例] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

[证明] (1)∵GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

[变透练清]

1.变结论在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：如图所示，连接A1C，AC1，

设交点为M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.

∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形， ∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1，

又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，

则AE必过DF与GN的交点O.

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN.

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG.

又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，

所以平面BDE∥平面MNG.

[课时跟踪检测]

A级

1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为( )

A．平行 B．相交

C．直线b在平面α内 D．平行或直线b在平面α内

解析：选D 依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．

2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中

( )

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

解析：选A 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )

A．平行 B．相交

C．在平面内 D．不能确定

解析：选A 如图，由AEEB＝CFFB得AC∥EF.

又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，

所以AC∥平面DEF.

4．(2019·重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D 对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.

5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；

对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，

∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，

∴A1D1∥平面EFGH(水面)．

∴③是正确的；

对于④，∵水是定量的(定体积V)，

∴S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.

∴BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.

6.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，

则PCPA＝CDAB，∴AB＝PA×CDPC＝5×12＝52.

答案：52

7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．

解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，