2020年高考数学专题复习直线、平面平行的判定及其性质

1 直线、平面平行的判定及其性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

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判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a，

a⊂α，l⊄α，

所以l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，

l⊂β，α∩β＝b，

所以l∥b

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β，

b∥β，a∩b＝P，

a⊂α，b⊂α，

所以α∥β

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

因为α∥β，

α∩γ＝a，

β∩γ＝b，

所以a∥b

3.线、面平行中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )

(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )

(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )

(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2 (2019·金华市东阳二中高三调研)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：

① c∥αc∥β⇒α∥β ② α∥γβ∥γ⇒α∥β

③ c∥αa∥c⇒a∥α ④ a∥γα∥γ⇒a∥α

其中正确的命题是( )

A．①②③ B．①④

C．② D．①③④

解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．

(教材习题改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.

过三棱柱ABC­A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析：各中点连线如图，只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．

答案：6

(教材习题改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 3

答案：平行

线面平行的判定与性质(高频考点)

平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中．主要命题角度有：

(1)线面位置关系的判断；

(2)线面平行的证明；

(3)线面平行性质的应用．

角度一 线面位置关系的判断

设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

【解析】 A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.

【答案】

D

角度二 线面平行的证明

(2019·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.

(1)求证：AB1∥平面BC1D；

(2)若BC＝3，求三棱锥D­BC1C的体积．

【解】 4

(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.

因为四边形BCC1B1是平行四边形．

所以点O为B1C的中点．

因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥AB1.

因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，

所以AB1∥平面BC1D.

(2)在三棱柱ABC­A1B1C1中，

侧棱CC1∥AA1.

又因为AA1⊥平面ABC，

所以侧棱CC1⊥平面ABC，

故CC1为三棱锥C1­BCD的高，A1A＝CC1＝2，

因为S△BCD＝12S△ABC＝1212BC·AB＝32，

所以VD­BCC1＝VC1­BCD＝13CC1·S△BCD

＝13×2×32＝1.

角度三 线面平行性质的应用

如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.

【证明】 在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D，

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG，因为BB1∥CC1，

所以BB1∥FG，而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.

5 证明直线与平面平行的常用方法

(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．

(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(

)

解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.

2.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．

解：

(1)证明：连接BD与AC交于点O，连接EO.

6 因为四边形ABCD为矩形，

所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，

所以EO∥PB.

因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)

PC的中点G即为所求的点．

证明如下：

连接GE、FG，

因为E为PD的中点，

所以GE綊12CD.

又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，

所以FA綊12CD.

所以FA綊GE.

所以四边形AFGE为平行四边形，

所以FG∥AE.又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，

所以FG∥平面AEC.

面面平行的判定与性质

如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG. 7 【证明】 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，

所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．

(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

所以EF∥BC，

因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，

所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

又因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

证明：如图所示，连接HD，A1B，

因为D为BC1的中点，

H为A1C1的中点，

所以HD∥A1B，

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

所以HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：如图所示，