人教版高中数学选修2-1第一章单元复习教案(基础)

教学设计本章复习教学目标知识与技能了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题间的相互关系，通过数学实例，了解逻辑联接词“或”“且”“非”的含义；理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法通过本章的学习，体会逻辑用语在数学表述和论证及实际生活中的运用，引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握逻辑用语的用法，纠正出现的错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象表示．培养学生由具体到抽象的思维方法，发展理性思维能力．情感、态度与价值观通过本章的学习，提高学生理性分析，逻辑推理的能力；体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一的思想，培养良好的思维品质．重点难点教学重点：(1)理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；(2)理解充分条件，必要条件及充要条件的意义；(3)学会用定义解题，理解数形结合、分类讨论、等价转换等思想方法．教学难点：(1)理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；(2)理解充分条件，必要条件及充要条件的意义；(3)学会用定义解题，理解数形结合、分类讨论及等价变换等思想方法．教学过程形成网络1．本章的知识结构图2．本章基本知识点(1)命题：用语言、符号或式子表达的，可以______叫做命题，其中判断为真的语句叫做______，判断为假的语句叫做______．(2)四种命题的形式及其关系：①四种命题：若原命题为“若p，则q”，则其逆命题为______；否命题是______；逆否命题是______．②四种命题之间的关系：(3)充分条件、必要条件与充要条件：①充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为______，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，______，记作______，并且说______的充分条件，______的必要条件．②充要条件：一般地，如果既有______，又有______，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的______条件．概括地说，如果p q，那么______互为充要条件．(4)逻辑联接词①命题中的______、______、______叫做逻辑联接词．②命题“p∧q、p∨q、p(或q)”真假判断.(5)全称量词与存在量词①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做______．②存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做______．(6)含有一个量词的命题的否定①全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：______.②存在命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：______.提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当地规范学生的表述；通过回忆旧知识，并思考、讨论回答问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利地完成基本知识填空，但在准确性、规范表达上会存在着一定的差距．题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)判断真假的陈述句真命题假命题(2)①若q，则p若p，则q若q，则p(3)①真命题由p可以推出q p q p是q q是p②p q q p充要p与q(4)①或且非(5)①全称量词全称命题②存在量词特称命题(6)①x0∈M，p(x0)②x∈M，p(x)设计意图：全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，虽然题型和方法总结得不到位，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块儿总结一下本章的重点题型和方法．典型示例类型一：命题的关系及真假的判断1写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．思路分析：写成“若p，则q”的形式，再分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后逐一判断真假．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b，是真命题；否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc，是真命题；逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b，是真命题．点评：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件和结论，只有将条件和结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．巩固练习1．对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()A．所给命题为假B．它的逆否命题为真C．它的逆命题为真D．它的否命题为真2．“若x≠a，则x2－(a＋b)x＋ab≠0”的否命题()A．若x≠a，则x2－(a＋b)x＋ab＝0B．若x＝a，则x2－(a＋b)x＋ab≠0C．若x＝a，则x2－(a＋b)x＋ab＝0D ．以上都不对 答案：1.B 2.C类型二：充分条件与必要条件的判定 2指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2; q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切； (2)p ：|x|＝x ；q: x 2＋x ≥0；(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l α，m α ，p ：l ∥α；q ：l ∥m ； (4) 设α∈(－π2，π2)，β∈(－π2，π2)；p: α<β；q ：tanα<tanβ.思路分析：利用定义，逐一判断即可． 解：(1)p 是q 的充要条件； (2)p 是q 的充分不必要条件； (3)p 是q 的必要不充分条件； (4)p 是q 的充要条件．点评：注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件正好相反，不要混淆．巩固练习设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B类型三：充要条件的证明3求证：直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件是17a ＋4b ＝11.思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明．解：(必要性)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0， 得交点P(174，114)．∵直线l 过点P ， ∴ a ×174－114＋b ＝0.∴ 17a ＋4b ＝11.(充分性)：设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，∴ b ＝11－17a 4.代入直线l 的方程：ax －y ＋11－17a4＝0， 整理得：a(x －174)－(y －114)＝0.此方程表明，直线恒过两直线y －114＝0，x －174＝0的交点(174，114)，而此点为l 1与l 2的交点． ∴充分性得证． ∴综上所述，命题为真．点评：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“ ”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性．类型四：用“或、且、非”连接简单命题，并判断真假4已知命题p ： x ∈R ，使tanx ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④思路分析：首先判断每个简单命题的真假，然后依照真值表逐个判断每个复合命题的真假．解：命题p ：x ∈R ，使tanx ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}是真命题，由真值表可知，命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∨q ”是真命题， 命题“p ∨q ”是假命题，即四个结论均正确，应选D.点评：本题的关键是判断每个简单命题的真假．巩固练习如果命题“(p 或q)”为假命题，则( ) A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题 答案：C类型五：全称、特称命题的真假及全称、特称命题的否定5写出下列命题的否定，判断它们否定的真假．(1)无论x为何实数，sin2x＋cos2x＝1；(2)不等式x2＋x＋1≤0有实数解．思路分析：否定量词，否定判断词，写出命题的否定，然后判断命题的真假．解：(1)存在x0 为实数，sin2x0＋cos2x0≠1.是假命题．(2) x∈R，都有不等式x2＋x＋1>0成立．是真命题．点评：只否定全称量词和存在量词，或只否定判断词，会因为否定不全面或否定词不准确而致错．巩固练习命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R, 2x>0答案：D拓展实例1用反证法证明：已知x、y∈R，x＋y≥2，则x、y中至少有一个大于1.思路分析：因原命题与逆否命题是等价命题，可以考虑证明它的逆否命题为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．当然也可选用反证法．证明：(法一)若设x<1且y<1，则由不等式同向相加的性质得到：x＋y<2，这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题，∴若x、y∈R，x＋y≥2, 则x、y中至少有一个大于1成立．(法二)假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质得到x＋y<2；与已知x＋y≥2矛盾，∴假设不成立．∴x、y中至少有一个大于1.点评：反证法的理论依据是：欲证“若p，则q”为真，先证“若p，则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立)，所以当“若p，则非q”为假时，“若p，则q”一定为真．2若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件．思路分析：利用“”“”符号分析各命题之间的关系．解：由D C B A ，∴DA ，D 是A 的充分条件．点评：符号“”“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的．变练演编设集合M ＝{x|0<x ≤3}，N ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0}，若“x ∈M ”是“x ∈N ”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围．思路分析：将“x ∈M ”是“x ∈N ”成立的必要不充分条件，转化为集合之间的关系即N M.解：由x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1， ∴N ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}，由于N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋1≤3.解得0<a ≤2. 所以a 的取值范围为{a|0<a ≤2}．点评：在涉及求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑．提出问题：设集合M ＝{x|0<x ≤3}，N ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0}，若“x ∈M ”是“x ∈N ”成立的______条件，求a 的取值范围．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发现的结果一一列举，熟练充要条件的判断方法．活动结果：(1)充分不必要；a ∈ ； (2)必要；{a|0<a ≤2}； (3)充要；a ∈．设计意图：通过本题产生对充要条件一个认识上的升华，完成对充分条件、必要条件、充要条件的再认识．达标检测1．命题“方程|x|＝1的解是x ＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是( ) A ．使用了逻辑联结词“或” B ．使用了逻辑联结词“且” C ．使用了逻辑联结词“非”D．没有使用逻辑联结词2．已知条件p：k＝3，条件q：直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若a>b, 则2a>2b”的否命题为______．4．命题p：x∈R，f(x)≥m.则命题p的否定p是______．答案：1.A 2.A 3.若a≤b，则2a≤2b 4. x0∈R，f(x0)＜m课堂小结1．知识收获：(1)命题的概念；(2)四种命题的形式及其关系；(3)充分条件、必要条件与充要条件；(4)逻辑联结词；(5)全称量词与存在量词；(6)含有一个量词的命题的否定．2．方法收获：(1)命题的关系及真假的判断；(2)充分条件与必要条件的判定；(3)充要条件的证明；(4)用“或、且、非”连接简单命题，并判断真假；(5)全称特、称命题的真假及全称、特称命题的否定．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业课本复习参考题：A组第5题、第6题．补充练习1．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，为真命题的是()A．若l β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α2．下列命题中不正确的是()A．a，b∈R，a n＝an＋b，有{a n}是等差数列B．a，b∈R，a n＝an2＋bn，使{a n}是等差数列C．a，b，c∈R，S n＝an2＋bn＋c，有{a n}是等差数列D．a，b，c∈R，S n＝an2＋bn＋c，使{a n}是等差数列3．以下判断正确的是()A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题4．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p、q的复合命题“p或q”“p且q”“非q”中，是真命题的有______．答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.p或q设计说明设计思想通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用概念的熟练性．设计意图由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学既要总结题型和方法，又要熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，在加深概念理解的同时，熟练相关概念的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．备课资料1已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－mx ＋2＝0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 的范围．思路分析：化简条件得A ＝{1,2}，由于A 是B 的必要不充分条件，即B A ，只需根据集合B 中含有的元素个数进行分类讨论即可．解：当B ＝ 时，Δ＝m 2－8<0，∴ －22<m<2 2.当B ＝{1}或{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，1－m ＋2＝0或4－2m ＋2＝0，m 无解； 综上所述，m 的取值范围是{m|－22<m<22}．点评：全面地挖掘题中隐藏条件是解题过程中需考虑的一个重要方面，如本题当B ＝{1}或{2}时，不能遗漏Δ＝0；即对于分类讨论要做到不重不漏．2已知a>0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对 x ∈R 恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．思路分析：要判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，首先要先确定构成复合命题的简单命题的真假，即求出此时简单命题成立的条件；其次求出含逻辑联结词的复合命题成立的条件；注意p ∧q 为假且p ∨q 为真，等价于p ，q 中一真一假．解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴a>1.又不等式ax 2－ax ＋1>0对 x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，a>0.即a 2－4a<0.解得0<a<4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p 真q 假，则a ≥4，(2)若q 真p 假，则0<a ≤1.所以a 的取值范围是(0,1]∪[4，＋∞)．点评：本题也可先求出每个命题为真时，相应的a 的取值范围，再根据p ，q 之间的关系确定a 的取值范围．(设计者：赵海彬)。

疱丁巧解牛知识·巧学1.“且”（1）定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”.（2）“p且q”的真假的判断方法是：知识拓展①有些命题在字面上不含有“且”，要注意把握关键词的含义.②知二求一，含义是已知其中两个命题的真假，便可求得另一个命题的真假.③同真亦真，有假亦假.2.“或”（1）定义：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.（1）定义：对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”.（2）“非p”的真假判断方法是：②有些命题在字面上不含有“非”，要注意把握关键词的含义.③已知p、q的真假时,常用下列表格判断p且q、p或q、非p的真假.问题·探究问题1 如何判断一个命题是简单命题还是复合命题？若是复合命题,应如何判断它的真假？探究:判断一个语句是否为命题的关键在于能否判断其真假,一个命题是简单命题还是复合命题,不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”,如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”,此命题字面上无“且”,但可写成“等腰三角形的顶角平分线既是底面上的中线又是底边上的高线”,所以它是复合命题.又如“5≥5”虽字面上无“或”,但它也是复合命题.判断复合命题的真假,可按下面步骤进行:（1）确定复合命题的形式；（2）判断其中简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假.问题2 如何从集合中的“并集”“交集”“补集”的角度理解“或”“且”“非”的含义？探究:（1）对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念.A∪B={x|x∈A,或x∈B}中的“或”,它是指x∈A或x∈B中至少有一个是成⒌模杭磝∈A且x∉B；也可以x∈B且x∉A;也可以x∈A且x∈B.逻辑联结词“或”的含义与“并集”中“或”的含义是一致的，它们都不同于生活中“或”的含义，生活中的“或”的含义表示“不兼有”，而在数学中“或”的含义则表示“可兼有但不必须兼有”.由“或”联结两个命题p、q构成的复合命题“p或q”，在“p真q假”“p假q真”“p 真q真”时，都真.（2）对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念.A∩B={x|x∈A,且x∈B}中的“且”，它是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思：即ｘ既属于集合Ａ又属于集合Ｂ.由“且”联结两个命题p、q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，“p且q”真.（3）对“非”的理解，可联想到集合中“补集”的概念.“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”，当p真时，则“非p”假，当p假时，则“非p”真.典题·热题例1 分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题:（1）李明是老师,赵山也是老师；（2）1是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员；（4）这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且政治上有错误.思路分析：根据上述复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，“或”“且”“非”进行命题结构的判断.解：（1）这个命题是“p∧q”的形式,其中p:李明是老师,q:赵山是老师.（2）这个命题是“p∨q”的形式,其中p∶1是合数,q∶1是质数.（3）这个命题是“p∧q”的形式,其中p:他是运动员,q:他是教练员.（4）这个命题是“p∧q”的形式,其中p:这些文学作品艺术上有缺点,q:这些文学作品政治上有错误.方法归纳正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键.应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式.例2 指出下列命题的真假:（1）命题:“不等式|x+2|≤0没有实数解”；（2）命题:“-1是偶数或奇数”；（3）命题:“2属于集合Q,也属于集合R”；（4）命题:“A（A∪B）”.思路分析：先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单命题的真假，然后再根据真值表判断复合命题的真假.解：（1）此命题是“⌝p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.因为x=-2是该不等式的一个解,所以命题p为真命题,即⌝p为假命题,所以原命题为假命题.（2）此命题是“p或q”的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以“p∨q”为真命题,故原命题为真命题.（3）此命题为“p∧q”的形式,其中p:2∈Q,q:2∈R.因命题p为假命题,命题q为真命题,所以,命题“p∧q”为假命题,故原命题为假命题.（4）此命题为“⌝p”的形式,其中p:A⊆（A∪B）.因为p为真命题,所以“⌝p”为假命题,故原命题为假命题.方法归纳为了正确判断复合命题的真假,首先要确定复合命题的构成形式,然后指出其中简单命题的真假,再根据真值表判断这个复合命题的真假.例3 已知p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负根；q:方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.思路分析：该题是方程与命题的综合题，涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系，一元二次不等式与不等式组，集合的补集，p 或q ，p 且q 两类复合命题的真假的判断.若p 或q 为真,p 且q 为假，说明一真一假.可列不等式组求解.解：若方程x 2+mx+1=0有两个不等的负根,则⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m解得m>2,即p:m>2.若方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实根,则Δ=16（m-2）2-16=16（m 2-4m+3）<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因p 或q 为真,所以p 、q 至少有一个为真.又p 且q 为假,所以p 、q 至少有一个为假.因此,p 、q 两命题应一真一假,即p 为真,q 为假,或p 为假,q 为真. 所以⎩⎨⎧≥≤>3m 1m 2,m 或或⎩⎨⎧<<≤.31,2m m解得m≥3或1<m≤2.方法归纳 由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假.反过来,由复合命题的真假也应能准确判定构成此复合命题的简单命题的真假情况,简单命题的真假也应由真值表来判断.如“p 且q”为假,应包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”这三种情况.例4 已知a>0,a≠1,设P:函数y=log a （x+1）在x ∈（0,+∞）内单调递减；Q:曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴交于不同的两点.如果P 和Q 有且只有一个正确,求a 的取值范围. 思路分析：本题是函数与命题的综合题，涉及到函数的单调性和一元二次函数对应的方程的根的问题，P 和Q 有且只有一个正确，应分两种情况讨论分析. 解：当0<a<1时,函数y=log a （x+1）在（0,+∞）内单调递减；当a>1时,y=log a （x+1）在（0,+∞）内不是单调递减.曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴交于两点等价于（2a-3）2-4>0,即21<a 或25>a . （1）若P 正确,且Q 不正确,即函数y=log a （x+1）在（0,+∞）内单调递减,曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴不交于两点,因此a ∈（0,1）∩（［21,1）∪（1,25］）,即a ∈［21,1）. （2）若P 不正确,且Q 正确,即函数y=log a （x+1）在（0,+∞）内不是单调递减,曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴交于两点,因此a ∈（1,+∞）∩（（0,21）∪（25,+∞））,即a ∈（25,+∞）. 综上,a 的取值范围为［21,1）∪（25,+∞）. 例5 已知c>0,设P:函数y=c x 在R 上单调递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R .如果P 和Q有且仅有一个正确,求c 的取值范围.思路分析：本题是函数与命题的综合题，涉及到函数的单调性和绝对值不等式的解法，P 和Q 有且只有一个正确，应分两种情况讨论分析. 解：函数y=c x 在R 上单调递减⇔0<c<1.不等式x+|x-2c|>1的解集为R ⇔函数y=x+|x-2c|在R 上恒大于1. 因为x+|x-2c|=⎩⎨⎧<≥-,2,2,2,22c x c c x c x所以函数y=x+|x-2c|在R 上的最小值为2c. 所以不等式x+|x-2c|>1的解集为R ⇔2c>1⇔c>21. 若P 正确,且Q 不正确,则0<c≤21；若P 不正确,且Q 正确,则c≥1.所以c 的取值范围为（0, 21］∪［1,+∞）.。

学科人教版高中数学选修2-1编写组责任人序号知识模块教案标题编写人1人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案1（ 基础）小榄校区（关潮辉）2人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案1（ 提高）小榄校区（关潮辉）7人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案2（ 基础）小榄校区（温艺铭）8人教版 选修2-1第一章 常用逻辑语 同步复习教案2（ 提高）小榄校区（温艺铭）9人教版 选修2-1第一章单元复习教案（基础）小榄校区（泰龙、马俊）10人教版 选修2-1第一章单元复习教案（提高）小榄校区（泰龙、马俊）11第一章单元测试卷（基础）小榄校区（泰龙、马俊）12第一章单元测试卷（提高）小榄校区（泰龙、马俊）13人教版 选修2-1 第二章 2.1曲线与方程 同步教案（基础）石岐（基础）贺丽春起湾（提高）郑狄苗14人教版 选修2-1 第二章 2.1曲线与方程同步教案（提高）石岐（基础）贺丽春起湾（提高）郑狄苗15人教版 选修2-1 第二章 2.1椭圆同步教案（基础）石岐（基础）何善庆起湾（提高）郑狄苗16人教版 选修2-1 第二章 2.1椭圆同步教案（提高）石岐（基础）何善庆起湾（提高）郑狄苗17人教版 选修2-1 第二章 2.2双曲线同步教案（基础）石岐（基础）刘冬有起湾（提高）郑狄苗18人教版 选修2-1 第二章 2.2双曲线同步教案（提高）石岐（基础）刘冬有起湾（提高）郑狄苗19人教版 选修2-1 第二章 2.3抛物线同步教案（基础）石岐（基础）肖爱 起湾（提高）郑狄苗20人教版 选修2-1 第二章 2.3抛物线同步教案（提高）石岐（基础）肖爱 起湾（提高）郑狄苗星火教育高中标准教案目录第一章常用逻辑用语单元复习单元测试卷第二章圆锥曲线与方程刘冬有。

参考答案：5、练习、深化判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．（1） 是 （2）是 （3）不是 （4）是 （5）是7、练习、深化（1）p: 整数a 能被２整除 q ：a 是偶数 真（2）p ：四边行是菱形 q ：它的对角线互相垂直平分 真（3）p ：a ＞0，b ＞0 q ：a+b ＞0 真（4）p ：a ＞0，b ＞0 q ：a+b ＜0 假（5）p ：垂直于同一条直线的两个平面 q ：这两个平面平行真10、练习、深化（1）若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等假 （2）若将一个负数立方，则立方后也为负数真 （3）若两个角是对顶角，则这两个角相等真课堂练习一答案：一、选择题C B B二、填空题4 ②④5 a ≤0三、解答题6． [解析] ∵p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6x 2－x >－6x ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3x ∈Rx ∈Z故x 的取值为－1,0,1,2.7、 [解析] (1)若ac>bc ，则a>b.(2)若m>14，则mx2－x ＋1＝0无实根(3)若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0(4)若x2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8、解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，方程有解x ＝－1b .当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题，∴应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2.即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.6、例题（1）逆命题：若一个三角形两个角相等，则这个三角形的两条边相等。

高中数学（选修2－1）教案孔德友庐江县第三中学1.1命题及其关系第一课时1.1.1 命题一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合三、教学过程（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？（二）、探析新课1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

新课标人教Ａ版高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1、1命题及其关系１.1.１命题(一)教学目标1、知识与技能:理解命题得概念与命题得构成,能判断给定陈述句就是否为命题,能判断命题得真假；能把命题改写成“若p,则q”得形式;２、过程与方法：多让学生举命题得例子,培养她们得辨析能力；以及培养她们得分析问题与解决问题得能力;3、情感、态度与价值观：通过学生得参与,激发学生学习数学得兴趣。

（二）教学重点与难点重点:命题得概念、命题得构成难点:分清命题得条件、结论与判断命题得真假教具准备：与教材内容相关得资料。

教学设想：通过学生得参与，激发学生学习数学得兴趣。

(三)教学过程学生探究过程:１.复习回顾初中已学过命题得知识,请同学们回顾:什么叫做命题?２.思考、分析下列语句得表述形式有什么特点？您能判断她们得真假吗？(1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点．(2）2+4＝7.(3）垂直于同一条直线得两个平面平行.(４)若x2＝1,则ｘ=1.(５)两个全等三角形得面积相等．(６)3能被２整除.3.讨论、判断学生通过讨论,总结：所有句子得表述都就是陈述句得形式,每句话都判断什么事情。

其中(1）(3)（5)得判断为真,(２）(４)（6)得判断为假。

教师得引导分析:所谓判断,就就是肯定一个事物就是什么或不就是什么,不能含混不清。

４．抽象、归纳定义：一般地,我们把用语言、符号或式子表达得，可以判断真假得陈述句叫做命题．命题得定义得要点:能判断真假得陈述句．在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题得例子. 教师再与学生共同从命题得定义，判断学生所举例子就是否就是命题,从“判断”得角度来加深对命题这一概念得理解. 5．练习、深化判断下列语句就是否为命题？(1)空集就是任何集合得子集. （２)若整数a就是素数，则就是a奇数.（３)指数函数就是增函数吗? (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行．(5）=-2. (6)ｘ＞１5．让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结：判断一个语句就是不就是命题,关键瞧两点:第一就是“陈述句”,第二就是“可以判断真假”,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不就是命题.解略。

x A x∈使得 ( ).p且q”为真假q真，则它的( B ) 必要不充分条件D ）既不充分也不必要条件所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是答案：题型一：四种命题之间的关系例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）. (A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题. 题型二：充分、必要条件题型例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充分条件; q 是p 不必要条件. 变式练习：“1a =”是“,21ax x x+≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件 例3 221:212;:210(0)3x p q x x m m --≤-≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围.【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的关系,利用集合的理论方法将问题解决.解: 由22210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或. {}112210,:2103x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A ⊆于是：012110m m m >⎧⎪-≥-≤⎨⎪+≤⎩解得0<m 3为所求. 【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来. 题型三：复合命题真假的判断例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；q ：方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围. 【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m 的取值范围.解：240,:2;0m p m m ⎧∆=->>⎨>⎩解得 ()()22:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，2,2,3121 3.13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复合命题的真假判断.变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数()f x =()73xa --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.题型四：全称命题、特称命题例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (2) A B AB ⊄⇔=∅(3) A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得其中真命题的序号为(4).【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题. 解: {}{}{}1231241112A B A B A B AB ==⊄∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,所以(1),(2)是假命题; {}{}1241A B A B B A ==⊄⊆若，，，，满足但,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).(A) ()n 90sin ααα︒-=有一个使si (B) sin 2x x π=存在实数，使(C) (),sin 180sin ααα︒-=对一切 (D) sin15sin 60cos 45cos60sin 45︒︒︒︒︒=- 题型五：综合应用例6 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且2244b βα<<+<是且b 的充要条件.【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件，244b α<+<且b 是结论，由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x 轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。

1.2 充分条件与必要条件课标解读1.掌握充分条件、必要条件、充分必要条件的意义.2.充要条件是揭示命题的条件和结论因果关系的重要数学概念,因此在学习充分条件、必要条件和充要条件的同时,应注意与命题的四种形式相结合.3.会判断命题p成立与命题q成立的关系,并能用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件来表达命题p与命题q的关系.4.证明命题p成立是命题q成立的充要条件时,要明确充分性、必要性的证明中,谁是条件谁为应推证的结论.5.会求某些简单问题成立的充要条件.学会思考1.怎样从集合的角度来看待充要条件?2.设计如下四个电路图,条件A：“开关A闭合”，条件B：“灯泡B亮”,问A是B的什么条件?3.日常生活中许多元件有着控制的功能,如,洗衣机中就存在着一些元件,使洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”就会停机,即通过一些元件的控制使当两个条件至少有一个满足时,就会停机,相应的电路叫或门电路.又如,电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启,相应的电路,就叫与门电路.再如,电键开则灯亮,电键关则灯灭,相应的电路,就叫非门电路.现有器材:干电池一节,小灯泡一个,电键、导线若干,请同学们自行设计“或门电路”“与门电路”“非门电路”各一个(用元件的物理符号表示，作出电路图即可)，并简单说明理由.答案：1.从集合A与集合B之间的关系上看:(1)若A⊆B,则A是B的充分条件;(2)若A⊆B,则A是B的必要条件;(3)若A⊆B且B⊇A,即A=B,则A是B的充要条件;(4)若A B且B A,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件;(5)若A⊆B且B A,则A是B的充分不必要条件;(6)若A⊇B且A B,则A是B的必要不充分条件.2.图①中开关A闭合则灯泡B亮,反之,灯泡B亮不一定有开关A闭合,所以A⇒B.但BA,于是A是B的充分不必要条件.图②中,A⇔B,A是B的充要条件.图③中,A B但B⇒A,A是B的必要不充分条件.图④中,条件A的有无对条件B没有影响,所以A是B的既不充分也不必要条件.3.或门电路:与门电路:非门电路:自学导引1.一般地,“若p 则q ”为真命题，即由p ⇒q 就说p 是q 的_________(sufficient condition),q 是p 的_________(necessary condition).2.若p ⇒q 且q ⇒p ,则p ⇔q 就说p 是q 的_________,简称充要条件.那么q 也是p 的_________.答案：1.充分条件 必要条件2.充分必要条件 充要条件典例启示知识点1 判定p 是q 的什么条件【例1】 在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.(1)A :|p |≥2,p ∈R,B :方程x 2+px +p +3=0有实根;(2)A :圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,B :c 2=(a 2+b 2)r 2.解:(1)当|p |≥2时,例如p =3,则方程x 2+3x +6=0无实根,而方程x 2+px +p +3=0有实根,必有p ≤-2或p ≥6,可推出|p |≥2,故A 是B 的必要不充分条件.(2)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,圆心到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即22||b a c r +=,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则r b a c =+22||成立,说明x 2+y 2=r 2的圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,故A 是B 的充分必要条件.启示:对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整地理解充分、必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.【例2】 若p :A B ⊆S,q :(B )(A ),则p 是q 的什么条件?解:利用集合的图示法,由图知AB ⊆S(B )(A ),(B )(A )⇒A B ⊆S. 所以p 是q 的充要条件.启示:本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的思想方法(图示法).【例3】 判断p :x ≠2或y ≠3是q :x +y ≠5的什么条件?解:此题直接判断比较困难,我们可看它的等价命题,其逆否命题是:⌝q :x +y =5,⌝p :x =2且y =3,则不难看出,⌝p ⇒⌝q ,即原命题的否命题成立,则与它等价的逆命题成立,即q ⇒p ,故p 是q 成立的必要不充分条件.启示:命题不易直接判断时可转换命题的形式,利用命题的等价性加以判定.知识点2充要条件的求解与证明【例4】 求关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件.解:(1)a =0时适合.(2)当a ≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a <0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=∆〈-〉.044,02,01a a a 解得0<a ≤1. 综上知,若方程至少有一个负的实根,则a ≤1;反之,若a ≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.启示:①a =0的情况不要忽视;②若令f (x )=ax 2+2x +1,由于f (0)=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形.【例5】 设x 、y ∈R ,求证:|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明:充分性:若xy =0,那么,①x =0,y ≠0;②x ≠0,y =0;③x =0,y =0,于是|x +y |=|x |+|y |.如果xy >0,即x >0,y >0或x <0,y <0;当x >0,y >0时,|x +y |=x +y =|x |+|y |;当x <0,y <0时,|x +y |=-(x +y )=-x + (-y )=|x |+|y |.总之,当xy ≥0时,有|x +y |=|x |+|y |.必要性:由|x +y |=|x |+|y |及x 、y ∈R ,得(x +y )2=(|x |+|y |)2,即x 2+2xy +y 2=x 2+2|xy |+y 2.|xy |=xy .∴xy ≥0.启示:充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.【例6】 已知p :|1-31-x |≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解:由p :|1-31-x |≤2-2≤x ≤10. 由q 可得(x -1)2≤m 2(m >0),所以1-m ≤x ≤1+m .所以⌝p :x >10或x <-2,⌝q :x >1+m 或x <1-m .因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,所以⌝q ⇒⌝p .故只需满足⎩⎨⎧-≤-≥+.21,101m m 所以m ≥9.启示:解决这类问题时,一是直接求解;二是转化为等价命题求解,即⌝p是⌝q的必要不充分条件等价于q是p的充分不必要条件.随堂训练1.设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是…()A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3解析：∵x>2⇒x>1,但x>1x>2.答案：A3.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A B⇔C D.答案：A4.x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x2+(y-2)2=0⇒x=0且y-2=0⇒x(y-2)=0,但当x(y-2)=0时x2+(y-2)2=0,如x=0，y=3.答案：B5.x≥0是x2≤x的_________条件.解析：x≥0x2≤x,而x2≤x⇒x≥x2≥0.∴x≥0是x2≤x的必要不充分条件.答案：必要不充分6.从“⇒”“”与“⇔”中选出适当的符号填空(U为全集，A、B为U的子集)：(1)A＝B__________A⊆B；(2)A⊆B__________ B ⊆A.答案：⇒⇔。