圆周角和圆心角的关系教学设计

圆周角和圆心角的关系教案教案：圆周角和圆心角的关系教学目标：1.理解圆周角和圆心角的定义；2.掌握圆周角和圆心角的关系；3.运用所学知识解决实际问题。

教学准备：1.教材：《数学必修二》；2.教具：投影仪、计算器。

教学过程：Step 1：导入新知1.讲解圆周角和圆心角的概念。

圆周角：圆上的两条弧所对的角叫做圆周角。

圆心角：由圆心射出的两条弧所对的角叫做圆心角。

2.提问学生：“在圆上，两条弧所对的角是否相等？”3.引导学生发现，根据圆周角的定义，圆周角的度数等于弧所对的圆心角的一半。

Step 2：讲解圆周角和圆心角的关系1.通过投影仪展示有关圆周角和圆心角的图形，并示范解题方法。

2.教师讲解定理：“在同一个圆或等圆中，所对圆心角相等的圆周角也相等；所对圆周角相等的圆心角也相等。

”Step 3：练习1.完成教材《数学必修二》的相关习题。

2.制定小组练习题，提高学生之间的合作学习能力。

Step 4：运用1.学生进行一些实际问题的解答，如“一个园丁想在花园中心种一圈花，他决定每两株花之间的夹角是圆心角45°，他一共要种多少株花？”引导学生运用圆周角和圆心角的关系解题。

2.学生自主完成其他实际问题的解答。

Step 5：总结1.归纳总结圆周角和圆心角的关系，明确圆周角等于所对圆心角的一半。

2.提问巩固所学内容。

教学扩展：1.学生之间进行小组竞赛，比赛谁能最快解出题目中的圆周角和圆心角的关系。

2.学生利用计算器综合运用所学知识解决实际问题。

一、情境导入 在下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.故选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上． (1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，则OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明； (2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP＝BP ＋AP .方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠CBE .∵∠E ＝∠E (公共角)，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE ∶AE ＝DE ∶BE ，∴BE 2＝AE ·DE .方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念 2．圆周角定理3．圆周角定理的推论 1.如图，已知圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的度数是( )[来源:] A ．156°B ．78°C ．39°D ．12°2.圆周角是24°，则它所对的弧是( )[来源:Z.xx A ．12° B ．24° C ．36 D ．48°3.如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ）A.1个B.2 个C.3个D.4个4.如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ，若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为（ ） A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为( )A ．mB ．180°－m2C ．90°＋m2D ．m2[来源:学科网]6.如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC⌒ =BD ⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= .7.如图，已知点E 是圆O 上的点，B ，C 是AD ︵的三等分点，∠BOC ＝46°，则∠AED 的度数为________．8.如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CF A =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小ODCB AC· BDO AE OD CBA9.如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC10.如图，在锐角△ABC 中，AB ＞AC ，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DE ，DF.:学科网ZXXK](1)求证：∠EAF ＋∠EDF ＝180°.(2)已知P 是射线DC 上一个动点，当点P 运动到PD ＝BD 时，连接AP ，交⊙O 于点G ，连接DG.设∠EDG ＝∠α，∠APB ＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论(在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆。

圆周角和圆心角的关系【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、教学知识点。

（一）了解圆周角的概念。

（二）理解圆周角定理的证明。

二、能力训练要求。

经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。

三、情感与价值观要求。

通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法。

【教学重点】圆周角概念及圆周角定理。

【教学难点】认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。

【教学方法】指导探索法。

【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。

[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角。

[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心。

[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角。

这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？二、讲授新课。

（一）圆周角的概念。

[师]同学们请观察下面的图（1）。

这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。

[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点。

（通过学生观察，类比得到定义。

）圆周角（angle in a circular segment）定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。

[师]请同学们考虑两个问题：1．顶点在圆上的角是圆周角吗？2．圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？请同学们画图回答上述问题。

[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）两边在圆内的部分是圆的两条弦。

（二）补充练习1判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是。

（三）研究圆周角和圆心角的关系。

[师]在图（1）中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC。

圆周角和圆心角的关系教案教案目标：1. 理解和描述圆周角和圆心角的概念；2. 掌握圆周角和圆心角之间的关系；3. 能够解决与圆周角和圆心角相关的问题。

教学步骤：I. 引入（约5分钟）- 利用生活中的例子引起学生对圆周角和圆心角的注意，例如车轮、钟表等。

- 引导学生思考圆周角和圆心角的定义和特点。

II. 讲解圆周角和圆心角的概念（约10分钟）- 通过示意图解释圆周角和圆心角的定义，并介绍角度的度量单位。

- 强调圆周角是指相邻两条弧所对应的角，圆心角是指以圆心为顶点的角。

III. 圆周角和圆心角的关系（约15分钟）- 阐述圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角的度数是圆心角的二倍。

- 使用具体案例和图形进行说明，让学生理解这一关系。

IV. 解决问题（约15分钟）- 给学生一些练习题，让他们应用所学的知识解决问题。

- 引导学生逐步解决问题，并给予必要的提示和指导。

- 鼓励学生主动思考和讨论，提高解决问题的能力。

V. 总结（约5分钟）- 和学生一起总结本节课所学的内容，检查是否达到了教学目标。

- 强调圆周角和圆心角之间的关系对圆的几何性质的重要性。

VI. 拓展活动（约10分钟）- 给学生一些拓展问题，让他们运用所学的知识进行探究和进一步思考。

- 鼓励学生在小组内互相讨论和合作，提出自己的观点和解决方法。

VII. 课堂作业（约5分钟）- 布置一些课后作业，包括练习题和思考题，巩固和拓展所学的内容。

- 强调作业的重要性，并鼓励学生按时完成和提交。

备注：以上教案的时间安排仅供参考，请根据实际情况做适当调整。

（教案完）。

圆周角和圆心角的关系教学设计目标(一 )教学设计知识点1．掌握圆周角定理几个推论的内容．2．会娴熟运用推论解决问题．(二 )能力训练要求1．培育学生察看、剖析及理解问题的能力．2．在学生自主研究推论的过程中，经历猜想、推理、考证等环节，获取正确的学习方式．(三 )感情与价值观要求培育学生的研究精神和解决问题的能力．教学设计要点圆周角定理的几个推论的应用．教学设计难点理解几个推论的“题设”和“结论”．教学设计方法指导研究法．教具准备投电影三张第一张：引例 (记作§ 3．3．2A)第二张：例题 (记作§ 3．3．2B)第三张：做一做 (记作§ 3．3．2C)教学设计过程Ⅰ．创建问题情境，引入新课[师 ]请同学们回想一下我们前几节课学习了哪些和圆相关系的角？它们之间有什么关系？[生 ]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．[师 ]我们在剖析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？[生 ]分类议论、化归、转变思想方法．[师 ]同学们请看下边这个问题：(出示投电影§ 3．3．2A)已知弦 AB 和 CD 交于⊙ O 内一点 P，以下列图．求证： PA·PB＝ PC· PD．[师生共析 ]要证PA·PB＝PC·PD，可证PA PC．由此考虑证明 PA、PC PD PB为边的三角形与以 PD、PB 为边的三角形相像．因为图中没有这两个三角形，所以考虑作协助线 AC 和 BD．要证△ PAC∽△ PDB．由已知条件可得∠ APC 与∠DPB 相等．如能再找到一对角相等．如∠ A＝∠ D 或∠ C＝∠ B．即可证得所求结论．怎样找寻∠ A＝∠ D 或∠ C＝∠ B．要想解决这个问题，我们需先进行下边的学习．Ⅱ．讲解新课[师 ]请同学们画一个圆，以A、C 为端点的弧所对的圆周角有多少个？(起码画三个 )它们的大小有什么关系？你是怎样获取的？[生 ] AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是经过分量获取的．[师 ]大家想想，我们可否用考证的方法获取上图中的∠ABC＝∠ ADC ＝∠AEC？(同学们相互沟通、议论)[生 ]由图能够看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(AC)所对的圆周角，依据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC 的一半，所以这几个圆周角相等．[师 ]经过方才同学的学习，我们上边提出的问题∠A＝∠D或∠C＝∠B找到答案了吗？[生 ]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．因为它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠ A＝∠ D 或∠ C＝∠ B．[师 ]假如我们把上边的同弧改成等弧，结论同样吗？[生 ]同样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半．这样，我们即可获取等弧所对的圆周角相等．[师 ]经过我们方才的商讨，我们能够获取一个推论．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．[师 ]若将上边推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们相互议一议．[生 ]以下列图，结论不行立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的状况下是不相等的．注意： (1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不可以改为“同弦或等弦”．[师 ]接下来我们看下边的问题：以下列图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，仍是钝角？你是怎样判断的？ (同学们相互沟通、议论 )[生 ]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分红了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠ BOC＝180°，所以∠ BAC＝∠ 90°．[师 ]反过来，在下列图中，假如圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心 O 吗？为何？[生 ]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以圆心角∠ BOC＝180°，即 BOC 是一条线段，也就是 BC 是⊙ O 的一条直径．[师 ]经过方才大家的沟通，我们又获取了圆周角定理的又一个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用特别宽泛，一般地，假如题目的已知条件中有直径时，常常作出直径上的圆周角——直角；假如需要直角或证明垂直时，常常作出直径即可解决问题．[师 ]为了进一步熟习推论，我们看下边的例题．(出示投电影§ 3．3．2B)[例 ]如图示，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延伸 BD 到 C，使 AC＝AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为何？[师生共析 ]因为AB是⊙O的直径，故连结AD．由推论直径所对的圆周角是直角，即可得 AD⊥ BC，又因为△ ABC 中， AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得 BD＝ CD．下边哪位同学能表达一下原因？[生 ]BD＝CD．原因是：连结 AD．∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB＝90°，即 AD⊥ BC．又∵ AC＝ AB，∴BD＝CD．[师 ]经过我们学习圆周角定理及推论，大家相互沟通，议论一下，我们研究上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．[生 ]在得出本节的结论过程中，我们用到了胸怀与证明的方法．比方说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转变的方法．比方说在研究圆周角定理过程中，定理的证明应分三种状况，在这三种状况中，第一种状况是特别状况，是证明的基础，其余两种状况都能够转变为第一种状况来解决．再比方说，学习圆周角定义时，可由前方学习到的圆心角类比得出圆周角的观点Ⅲ． P107随堂练习1．为何有些电影院的坐位摆列(横排 )呈圆弧形？说一说这类设计的合理性．答：有些电影院的坐位摆列呈圆弧形，这样设计的原因是尽量保证同排的观众视角相等．2．以下列图，哪个角与∠ BAC 相等？答：∠BDC＝∠ BAC．3．以下列图，⊙ O 的直径 AB＝ 10cm，C 为⊙ O 上的一点，∠ ABC＝ 30°，求AC 的长．解：∵AB 为⊙ O 的直径．∴∠ ACB＝90°．又∵∠ ABC＝ 30°，∴AC＝1AB＝1×10＝ 5(cm)．224．小明想用直角尺检查某些工件能否恰巧为半圆形．依据下列图，你能判断哪个是半圆形？为何？答：图(2)是半圆形、原因是： 90°的圆周角所对的弦是直径．Ⅳ．下边我们一同来看一个问题：做一做 (出示投电影§ 3． 3． 2C)船在航行过程中，船长经常经过测定角度来确立能否会碰到暗礁．以下列图，A、B 表示灯塔，暗礁散布在经过A、B 两点的一个圆形地区内， C 表示一个危险临界点，∠ ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能防止触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个地区？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个地区？为什么？剖析：这是一个有实质背景的问题．由题意可知：“危险角”∠ACB 实质上就是圆周角．船 P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙ O 外，P 有可能在⊙ O 内，当∠α＞∠ C 时，船位于暗礁地区内；当∠α＜∠ C 时，船位于暗礁地区外，我们可采纳反证法进行论证．解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠ C 时，船位于暗礁地区内 (即⊙ O 内)．原因是：连结 BE，假定船在⊙ O 上，则有∠α＝∠ C，这与∠α＞∠ C 矛盾，所以船不行能在⊙ O 上；假定船在⊙ O 外，则有∠α＜∠ AEB，即∠α＜∠ C，这与∠α＞∠ C 矛盾，所以船不行能在⊙ O 外．所以，船只好位于⊙ O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁地区外(即⊙O 外)．原因是：假定船在⊙ O 上，则有∠α＝∠ C，这与∠α＜∠ C 矛盾，所以船不行能在∠ O 上；假定船在⊙ O 内，则有∠α＞∠ AEB，即∠α＞∠ C．这与∠ α＜∠C 矛盾，所以船不行能在⊙ O 内，所以，船只好位于⊙ O 外．注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假定数题的结论不行立；(2)从这个假定出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)由矛盾判断假定不正确，进而一定数题的结论正确．Ⅴ．课时小结本节课我们学习了圆周角定理的 2 个推论，联合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，依据弦及其所对的圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转变，而圆周角定理成立了圆心角与圆周角之间的关系，所以，最后实现了圆中的角(圆心角和圆周角 )．线段 (弦、弦心距 )、弧等量与量之间相等关系的相互转变，进而为研究圆的性质供给了有力的工具和方法．Ⅵ．课后作业课本 P108习题3．5Ⅶ．活动与研究1．以下列图， BC 为⊙ O 的直径， AD⊥BC 于 D，P 是AC上一动点，连结 PB 分别交 AD、 AC 于点 E、 F．(1)当PA AB 时，求证：AE＝EB；(2)当点 P 在什么地点时， AF＝ EF．证明你的结论．[过程 ](1)连结AB，证AE＝EB．需证∠ABE＝∠BAE．(2)执果索因寻条件：要AF＝EF，即要∠ A＝∠ AEF，而∠ AEF＝∠ BED，而要∠ A＝∠ BED，只要∠ B＝∠ C，进而转变为PC AB ．[结果 ](1)证明：延伸AD交⊙O于点M，连结AB、BM．∵BC 为⊙ O 的直径， AD⊥BC 于 D．∴AB BM．∴∠ BAD＝∠ BMD ．又∵AB AP，∴∠ ABP＝∠ BMD．∴∠ BAD＝∠ ABP．∴AE＝BE．(2)当PC AB 时，AF＝EF．证明：∵PC AB，∴∠ PBC＝∠ ACB．而∠ AEF＝∠ BED＝90°－∠ PBC，∠EAF＝90°－∠ ACB，∴∠ AEF＝∠ EAF．∴AF＝EF．板书设计§3．3．2圆周角和圆心角的关系(二)一、推论一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．二、推论二：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．三、例题四、随堂练习五、做一做 (反证法 )六、课时小结七、课后作业。

圆周角和圆心角的关系教学设计一情况，采取的策略是在学生独立思考的基础上，让学生观察、思考、动手操作获得解决问题的方法三、教学目标根据课程标准要求，结合学生现有认知水平和本节课教学内容确定以下目标（1）知识与技能：掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。

体会用类比的方法探索新知，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。

并能熟练地应用”圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算（2）过程与方法：经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法（3）情感态度与价值观让学生在主动探索、合作交流的过程，获得成功的愉悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志四、教学环境"□简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境□网络多媒体环境教学环境口移动学习□其他五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术在哪些教学环节如何使用这些技术使用这些技术的预期效果是）200字1•在导入环节中应用PPT展示。

以足球场上的实例入手，展示PPT课件，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义。

通过直观、形象的课件激发学生的学习兴趣。

2•在探索圆周角定理的过程中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强学生的参与程度，以提高学习的积极性。

3•在习题设计过程中，通过利用ppt课件、实物投影、白板等多媒体展示，进一步让学生巩固对圆周角定理的理解。

六、教学流程设计（可加行）教学环节教师活动学生活动1•圆心角的定义2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系信息技术支持（资源、方法、手段等）复习上节内容为本节做铺垫创设情境课件展示，让学生观察思考：球在如图中的点D、E的位置射门，成功的难易相同吗让学生自由发挥，相互交流以学生熟悉的足球射门游戏为背景（PPT 展示），在实物场景中，抽象出几何图形以境生问，以问激趣，导入新课新知学习1•圆周角的定义的学习问题1:将圆心角顶点向上移，直至与O O相交于点C观察得到的/ ACB有什么特征（课件展示）（师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点）问题2:请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角哪些不是，为什么观察并指出圆周角的特征，加深对圆周角概念的理解进一步巩固圆周角的两个特征。

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。

通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。

教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。

但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。

此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。

2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。

3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。

2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。

通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。

圆周角和圆心角的关系（第1课时）教学目标：（一）知识与技能 1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.2．会熟练运用定理解决问题.（二）过程与方法经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。

（三）情感态度价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法教学重点：理解圆周角定义，掌握圆周角定理并会熟练运用定理解决问题. 教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性教学设计第一环节知识回顾活动内容：Array1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?如图：∠AOB弧AB的度数3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.第二环节探究新知1活动内容：（1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.活动目的：本环节的设置，需要学生类比圆心角的定义，采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.第三环节 定义的应用 活动内容：（1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角 解：圆心角有∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 圆周角有∠BAC 、∠ABC 、∠ACB活动目的：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.BOC A.B OC AO BC顶点在圆心.C .A OB圆心角圆周角第四环节 探究新知2 活动内容：（一）问题提出：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?教师提示：类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.（二）做一做：如图,∠AOB =80°，（1）请你画出几个 所对的圆周角，这教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB =2∠ACB（三）议一议:改变圆心角∠A0B 的度数，上述结论还成立吗？成立AB ⌒CC（四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 符号语言： （五）证明定理：已知：如图，∠ACB 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角，求证：分析：1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.∵∠AOB 是△ACO 的外角∴∠AOB =∠C +∠A∵OA=OC ∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点C 作直径CD .由1可得:3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?12ACB AOB∠=∠AB ⌒AB ⌒12ACB AOB∠=∠12ACB AOB∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠12ACB AOB∠=∠即C●OACB老师提示:能否也转化为1的情况?过点C 作直径CD.由1可得:活动目的：本活动环节，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理.第五环节 方法小结 活动内容：化归化归DD思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用.第六环节定理的应用 活动内容：问题回顾：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=∠-∠12ACB AOB∠=∠即连接AO 、CO ,由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.活动目的：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理. 第七环节 课堂小结活动内容：(一) 这节课主要学习了两个知识点： 1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结. 五、教学设计反思111,,222ABC AOC ADC AOC AEC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠ABC ADC AEC∴∠=∠=∠。