第5章电容电感电路分析基础

其电荷q取决于同一时刻电压u， u 关系可用u-q平面上一条曲线确 定，则称此二端元件为电容元件。
++ ++ +q - - - - -q
a) 符号 b)电容的库伏特性 (c d) 线性电容及库伏特性
3.定义式：
C qu
q(t) Cu(t)
系数C为常数，称线性电容
单位：F, F, pF
i
u ++ ++ +q - - - - -q
....
)
1 2
Li2( t
)
0
说明：电感是无源元件，能量储藏在磁场中；
电感电流反映了电感的储能状态，是状态变量。
§5 9 电路的对偶性
电路的对偶量：
电压u 电流i 电荷q 磁链 电阻R 电导G 电感L 电容C 网孔电流im 节点电压un 电压源us 电流源is 短路 开路 串联 并联 KCL KVL .....
电路的对偶性：
ic
(t
)
C
duc (t) dt
uc
(t
)
uc
(t0
)
1 C
t
t0 ic ( )d
Wc
(t)
1 2
Cuc2
(t)
q(t) Cuc (t)
....
uL
(t)
L
diL (t) dt
iL
(t)
iL
(t0 )
1 L
t
t0 uL ( )d
WL
(t)
1 2
LiL2
(t)
(t) LiL (t)
t 0
uc
(t
t)
uc
(t)
1 C
lim
t 0
t t
i(
t
)d
uc
(t)
1 C
lim i(t)
t 0
t
uc
(t)
2、电容电压的记忆性：
u(t)取决于i(t)从到t的积分，电容电压 与电流过去历史有关。
3、有隔直作用。 电容元件在直流电路中：
du 0 i 0 C 相当于开路 ! dt
§5 4 电容的储能
1 2 3 4 t(s)
u( 2 ) 1V u( 3 ) 1 V 2
例2 已知:u(0)=0和i(t)，C=1F，求 u(t)并画波形。
i(A)1
0 123 1
解：分段求积分：
3-4：u(
t
)
u(
3
)
t
3
(
4
)d
4 t(s)
1 t 2 4t 8 2
u(4) 0
u(V)
以上分析看出电容具有
1、电容的功率：
i(t) C + u(t) _
p(t) u(t)i(t) u(t)C du dt
意义：P＞0 吸收；P＜0 产生
2 、电容的能量：
从初始时刻t0到任意时刻t 时间内得到的能量为
W (t0 ,t)
t
p( )d C
t0
t u( ) du d
t0
d
C
u(t)
udu
u(t0 )
第二部分
动态电路分析
第五章 电容元件与电感元件
动态电路：含有电容、电感元件的电路。 本章主要内容：
1、电容、电感元件定义及伏安关系 2、电容、电感元件性质 3、电容、电感元件的储能 4、电路的对偶性
§5 1 电容元件
1.电容器：聚集电荷、存储电场能量的元件。
2.定义： 若一个二端元件在任一时刻，
-1～0 0～2 2～3
-1～0 0～2 2～3
§5 8 电感储能
1、电感的功率：
i(t) L
p(t) = u(t) i(t)——瞬时功率
+ u(t) _
P＞0 吸收 P＜0 产生
2 、电感的能量：
W ( t1 ,t2 )
t2 p( )d
t1
1 2
Li2( t2
)
1 2
Li2( t1
)
任一时刻储能： WL ( t
1.电感器（电感线圈）：储存磁场能的部件。
i
总磁通称磁链：ψ(t)=Nφ
N圈
是磁链与电流相约束的部件。
2. 定义： 一个两端元件，在任意时刻t，其电流i(t)和磁
通链 之(t间) 的关系可以用 一i 条曲线来确定，则 此两端元件称电感元件。
若任一时刻电流与磁通链符合右手螺旋法则，
且： ψ(t) Li( t )
a) 符号 b)电容的库伏特性 (c d) 线性电容及库伏特性
§5 2 电容的伏安关系
i(t) C + u(t) _
电容电流等于电容电荷的变化率
i(t) dq d(Cu) C du i(t)-u(t)关系
dt dt
dt
含义 1、电容的伏安关系是微积分关系；
2. i(t)取决于u(t)在此时刻的变化率； 规律：电压变化 电荷变化 产生电流
3. 若u和i参考方向不一致， i(t) C du dt
电压的积分形式：
u(t) 1
t
i( )d
u(t)- i(t)关系
C
1
u(t) u(t0 ) C
t
i( )d
t0
含义
1、u(t)取决于i(t)从到t的积分，
电容电压与电流过去历史有关，
说明电容电压有记忆性。
2、或者说u(t)取决于初始值u(t0)和 t0到t的电压增量。
i(t) L
解： u(t) L di(t)
dt
+ u(t) _
0.5 2 (10)e10t 10e10t
例2：已知 L=1H，求 u(t)
i(A)
t+1
1
解： i(t) = 1
-t+3
-1 0 1 2 3 t(s)
u(V) 1
u(t)
L
di(t) dt
=
1V 0 -1V
-1 0 1 2 3 t(s)
1 2
C[u 2 (t)
u 2 (t0 )]
若电容的初始储能为零，即u(t0)=0， 则任意时刻储存在电容中的能量为：
说明
WC(
t
)
1 2
C
u2(
t
)
0
1）电容的储能取决于该时刻电容电压， 与电流无关。电容电压反映了电容的 储能状态，也叫做状态变量。
2）电容只是储能元件，而没有耗散能量。
§5 5 电感元件
其中L为常数，则该元件称线性非时变电感元件，
简称电感。
ψ
i(t)ψ(t) + u(t)_
o
i
电感的韦安特性
§5 6 电感的伏安关系
规律：电流变化 磁链变化 感应电压
i(t) ψ(t) + u(t) _
u( t ) dψ d( Li ) L di
dt dt
dt
电流的积分形式：
i(t) 1 t u( )d (t)
L
L
i(t)
i(t0
)
1 L
t
u( )d
t0
初始值 电流增量
§5 7 电感电流的连续性质和记忆性质
电感元件特点： 1、电感电流的连续性质:
电压为有限值时，电流是时间的 连续函数；也叫做电感电流不能跃变；
2、电感是记忆元件； 3、对直流相当于短路。
例1：已知 i(t) 2e10tA，L=0.5H, 求 u(t)
例2 已知:u(0)=0和i(t)，C=1F，求 u(t)并画波形。
i(A)1
0 1
u(V)
1 0.5
0
解：分段求积分：
1 23
4
0-1：u( t(s)
t
)
u(
0
)
1 C
t
0
i(
)d
0 td 1 t 2
0
2
u(1) 1 V
2
1-3：u(
t
)
u( 1 )
t
1
(
2
)d
1 t 2 2t 1 2
1
两个基本的性质：
0.5
(1)电容电压的连续性；
0 1 2 3 4 t(s) (2)电容电压的记忆性。
应用
图(a)所示峰值检波器电路，就是利用电容的 记忆性，使输出电压波形保持输入电压uin(t)波形 中的峰值。
峰值检波器输入输出波形
§5 3 电容电压的连续性质和记忆性质 电容元件特点： 1、电容电压的连续性质
电流为有限值时，电压是时间的连续 函数，即：
uc (t ) uc (t )
也叫做电容电压不能跃变；
证明如下：
要证明
uc
(t)
uc
(t0
)
1 C
t t0
i(
)d
是连续的，
必须证明：lim t 0
uc
(t
t
)
uc
(t
)
而：
uc
(t
t)
uc
(t)
1 C
t t
i(
t
)d
且：i( ) M
所以：
lim