高中数学必修二第四章练习题资料

第四章 4.2 4.2.2A 级——基础过关练1．(2022年成都月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3＋a 6＝9,S 6＝21,则数列{a n }的公差是( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2【答案】C 【解析】由已知条件a 3＋a 6＝9,S 6＝21,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝9，6a 1＋6×52d ＝21，解得a 1＝1,d ＝1,∴数列{a n }的公差是1.2．已知一个等差数列的前四项和为21,末四项和为67,前n 项和为286,则项数n 为( )A ．24B ．26C ．27D ．28【答案】B 【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于21＋674＝22,再由前n 项和为286＝n (a 1＋a n )2＝11n ,得n ＝26.3．(2022年哈尔滨六中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2＋a 5＝a 6＋a 3,则S 7＝( )A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】由2＋a 5＝a 6＋a 3,得(a 6－a 5)＋a 3＝2,即d ＋a 3＝2,a 4＝2,则S 7＝7a 4＝7×2＝14.4．(2022年昆明模拟)已知等差数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 1＝1,S 3＝a 2,则a 8＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得3＋3d ＝1＋d ,解得d ＝2或d ＝－1(舍去),所以a 8＝1＋7×2＝15.5．(2022年武汉模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －45且a 1＝4,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7【答案】C 【解析】由a n ＋1＝a n －45,得a n ＋1－a n ＝－45,又∵a 1＝4,∴数列{a n }是首项为4,公差为－45的等差数列,∴S n ＝4n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－25n 2＋225n ,易知对称轴为n ＝112,又∵n ∈N *,∴使得S n 取得最大值的n 的值为5或6.6．(多选)(2021年苏州期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1>0,公差d ≠0,则下列命题正确的是( )A ．若S 5＝S 9,则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9,则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6>S 7,则必有S 7>S 8D ．若S 6>S 7,则必有S 5>S 6【答案】ABC 【解析】若S 5＝S 9,则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ,得a 1＝－13d 2.∵a 1>0,∴d <0.S 14＝14(a 1＋a 14)2＝7(a 1＋a 14)＝7(a 1＋a 1＋13d )＝7(2a 1＋13d )＝0,故A 对；S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝[](n －7)2－49d 2,由二次函数的性质知S 7是S n 中最大的项,故B 对；若S 6>S 7,则a 7＝a 1＋6d <0,∴a 1<－6d ,∵a 1>0,∴d <0,∴a 6＝a 1＋5d <－6d ＋5d ＝－d >0,a 8＝a 7＋d <a 7<0,∴S 5<S 6＝S 5＋a 6,S 7>S 8＝S 7＋a 8,C 对,D 错．7．(2022年洛阳阶段)已知数列{a n },a n ＝2n ＋1,S n 为其前n 项和,则下列函数图象中,点(n ,S n )在图象上的是( )ABCD【答案】C 【解析】因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2,故数列{a n }为等差数列,则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .故选C ．8．已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和．若a 1＋a 9＝18,a 4＝7,则S 10＝________． 【答案】100 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 1＋a 9＝18,a 4＝7,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋8d ＝18，a 1＋3d ＝7，解得d ＝2,a 1＝1,∴S 10＝10＋10×92×2＝100.9．已知等差数列的前三项依次为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110,则a ＝________,k ＝________．【答案】2 10 【解析】设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a .由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2,所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0,解得k ＝10或k ＝－11(舍去),故a ＝2,k ＝10.10．已知等差数列{a n }中,a 3＝2,3a 2＋2a 7＝0,其前n 项和为S n . (1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)求S n ,试问n 为何值时S n 最大？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d , 依题意,a 1＋2d ＝2,5a 1＋15d ＝0, 解得a 1＝6,d ＝－2,∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋8.(2)S n ＝6n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋7n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋494,∴当n ＝3或4时,S n 最大．B 级——能力提升练11．(2022年石家庄模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称,且f (x )在(－1,＋∞)上单调,若数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f (a 50)＝f (a 51),则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．－50D ．0【答案】B 【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝－1对称,又f (x )在(－1,＋∞)上单调,所以f (x )在(－∞,－1)上也单调．又因为f (a 50)＝f (a 51),所以a 50＋a 51＝－2,所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.12．(多选)(2021年南通期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3＝12,S 12>0,a 7<0,则( )A ．a 6>0B ．－247<d <－3C ．S n <0时,n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项【答案】ABCD 【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12,a 1＝12－2d ,S 12＝a 1＋a 122×12＝6(a 6＋a 7)>0,而a 7<0,所以a 6>0,a 1>0,d <0,A 选项正确；由⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝12＋4d <0，a 6＝a 1＋5d ＝12＋3d >0，a 6＋a 7＝2a 1＋11d ＝24＋7d >0，得－247<d <－3,B 选项正确；由于S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7<0,而S 12>0,所以S n <0时,n 的最小值为13,C 选项正确；由上述分析可知,n ∈[]1，6时,a n >0,n ≥7时,a n <0,当n ∈[]1，12时,S n >0,当n ≥13时,S n <0,所以当n ∈[]7，12时,a n <0,S n >0,S na n<0,且当n ∈[]7，12时,||a n 为递增数列,S n 为正数且为递减数列,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项．13．有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项和为________．【答案】1472 【解析】等差数列2,6,10,…,190中,公差d 1＝4.等差数列2,8,14,…,200中,公差d 2＝6.∵4,6的最小公倍数是12,∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d ＝12.∵新数列最大项n ≤190,∴2＋(n －1)×12≤190,解得n ≤503,∴n ＝16.∵新数列中第16项a 16＝2＋(16－1)×12＝182,∴由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列为2,14,26,…,182,各项之和为S 16＝162×(2＋182)＝1472.14．(2022年青岛开学)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n ＝n (n －29),则数列{a n }的通项公式为________；若|a k |＋|a k ＋1|＋|a k ＋2|＋…＋|a k ＋20|＝110,则k 的值是________．【答案】a n ＝n －15 5 【解析】n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n (n －29)2－(n －1)(n －30)2＝n－15；当n ＝1时,a 1＝S 1＝－14,适合a n ＝n －15.综上,数列{a n }的通项公式为a n ＝n －15；当k ≥15时,|a k |＋|a k ＋1|＋|a k ＋2|＋…＋|a k ＋20|≥|a 15|＋|a 16|＋|a 17|＋…＋|a 35|＝0＋1＋2＋…＋20＝20(1＋20)2＝210>110,不适合题意；当k <15时,|a k |＋|a k ＋1|＋|a k ＋2|＋…＋|a k ＋20|＝(15－k )＋(14－k )＋(13－k )＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋(k ＋5)＝(15－k )(16－k )2＋(k ＋5)(k ＋6)2＝k 2－10k ＋135,于是k 2－10k ＋135＝110,整理得k 2－10k ＋25＝0,解得k ＝5.15．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2. (1)求证：{a n }是等差数列； (2)求当S n 最大时n 的值；(3)设b n ＝|a n |,求数列{b n }的前n 项和S ′n . (1)证明：当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝34－2n ,又因为当n ＝1时,a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n , 故{a n }的通项为a n ＝34－2n ,所以a n ＋1－a n ＝34－2(n ＋1)－(34－2n )＝－2. 故数列{a n }是以32为首项,－2为公差的等差数列．(2)解：令a n ≥0,得34－2n ≥0,所以n ≤17,故数列{a n }的前17项大于或等于零． 又因为a 17＝0,故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． (3)解：由(2)知,当n ≤17时,a n ≥0；当n ≥18时,a n ＜0,所以当n ≤17时,S ′n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时,S ′n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n ) ＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S ′n ＝⎩⎪⎨⎪⎧33n －n 2，n ≤17，n 2－33n ＋544，n ≥18.。

第四章 数 列 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦， 则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立， 又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+， 则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦， 即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2第2课时 等比数列前n 项和公式的应用一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．1723．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．4004．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．20 2405．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30B ．20C ．10D ．5或406．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2ma m ＋1B ．若S 6S 3＝9，则q ＝2C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2D ．若a 6a 3＝9，则q ＝37．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n－1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 9．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 10．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.11．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为T n ，则T n 的最大值为________． 12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则a n ＝________，S n ＝________. 三、解答题13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．14．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．参考答案一、选择题 1．答案：C解析：由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15.]2．答案：B解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.]解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列， 因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A. 4．答案：C解析：∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0， ∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．答案：A解析：设等差数列的公差为d ，因为a 2，a 4－2，a 6成等比数列，所以(a 4－2)2＝a 2·a 6， 即(a 1＋3d －2)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，即(3d －1)2＝(1＋d )·(1＋5d )，解得d ＝0或d ＝3，因为公差d ≠0，所以d ＝3，所以a m －a n ＝a 1＋(m －1)d －a 1－(n －1)d ＝(m －n )d ＝10d ＝30，故选A.] 6．答案：ABC解析：[∵q ≠1，∴S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝1＋q m.而a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1qm －1＝q m ，∴A 正确；B 中，m ＝3，∴S 6S 3＝q 3＋1＝9，解得q ＝2.故B 正确；C 中，由S 2m S m ＝1＋q m ＝9，得q m ＝8.又a 2ma m ＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，得m ＝3，q ＝2，∴C 正确；D 中，a 6a 3＝q 3＝9，∴q ＝39≠3，∴D 错误，故选ABC.]7．答案：A解析：由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1.]二、填空题解析：由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．又∵S n ＝3n ＋k ， 由等比数列前n 项和的特点S n ＝Aq n －A 知k ＝－1.] 9.答案：2解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.10．答案：2n －1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)， 则S 1＝5－2d ，S 2＝10－3d ，S 4＝20－2d ，因为S 22＝S 1·S 4，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，整理得5d 2－10d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝2， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋2(n －3)＝2n －1.] 11．答案：122解析：设数列{a n }共有2m ＋1项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，S 奇＝a 1＋a 2q ＋…＋a 2m q ＝2＋q (a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝2＋2116q ＝8532， ∴q ＝12，∴T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝232n －n 22，故当n ＝1或2时，T n取最大值，为2.] 12．答案：2n －1 2n ＋1－n －2 解析：因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 三、解答题13．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，故a n ＝3n －1(n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时也满足a n ＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n －2)(3＋n ＋4)2＝3n －n 2－5n ＋112.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3.集合间的基本关系例1 确定整数x 、y ，使得{2,}{7,4}x x y +=.例2 例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合. 例3 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？ 说明 判断两个集合之间的关系时，（1）若能用列举法表示出集合，则可根据各个集合的元素构成情况直接判断；（2）若不能用列举法表示集合，则可以根据（集或真子集的）定义进行判断.空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例4 已知集合{}2|(2)430,A x a x x x =-+-=∈R 有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围，并写出集合A 的子集.说明 一般，若集合含有n 个元素，则共有2n 个子集（21n -个真子集），其中有一个是空集.例5 已知集合{}260P x x x =+-=∣，{10}Q x ax =+=∣.若Q P ⊆，求满足条件时实数a 的所有取值组成的集合.说明 解决此类问题的一般步骤有：第一步，化简集合，即尽可能地将给定的集合化简，这样我们就能搞清楚集合的元素是什么；第二步，根据子集或真子集的定义，分别写出子集或真子集（不要遗忘空集）； 第三步，根据子集或真子集的不同情况分别进行分类讨论.例5 已知集合{}510|<+<=ax x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=221|x x B .（1）若A B ⊆，求a 的取值范围. （2）若B A ⊆，求a 的取值范围.（3）集合A 与集合B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，说明理由.例6 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件学习检测1.用适当的符号填空：{1,}1-________{}2|10,x x x -=∈R ； {0}________{}2|10,x x x +=∈R .2.集合{1,2,3}的子集共有________个.3.写出集合{(2,1),(1,2)}--的所有子集：________________________.4.已知集合{1,3,}{3,4}A m B =-=，.若B A ⊆，则实数m =________.5.已知集合{|12}{|}A x x B x x a =<<=>，，B={x |x >a }.若A ⫋B ，则实数a 的取值范围是_____________.6.满足{}a ⫋{,,}M a b c ⊆的所有集合M 共有_________个.7.已知集合A B A C ⊆⊆，，且{0,1,2,3,4,5}B =，{}0,2,4,6,8C =，则满足条件的所有集合A 共有______.8.已知a 、b ∈R ，集合{1,,}A a b a =+，0,,bB b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若A B =，则b a -的值是（ ） A.1； B.-1； C.2； D.-2.9.已知集合{}2230A y y y =--=∣，{}220B x x ax b =-+=∣（a 、b 均为实数）.若非空集合B A ⊆，则a b +的值是（ ）A.12或-2；B.-2或0；C.2或2或0；D.12或-2或010.若1,1x A A x∈∈-且,则称集合A 为“和谐集”.已知集合1122,1,,0,1,,,2,3,223M ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为11.已知集合{}52|≤<-=x x A ，{}121|-<≤+=m x m x B ，且B A ⊆.求实数m 的取值范围并用集合表示.12.给定集合A 和B ，定义运算“⊗”：{|,,}A B x x m n m A n B ⊗==-∈∈.若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =：（1）写出A B ⊗，并求集合A B ⊗中的所有元素之和；（2）写出集合A B ⊗的所有子集.13.已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5154{Z k k x x N ∈±==,则集合NM ,之间的关系为（ ）A N M ⊆ B M N ⊆ C N M = D N M ≠14、已知集合B A ⊆，},)412({Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____15、设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，A B ⊆求实数a的取值范围。

4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．34．lg 2516－2lg59＋lg3281等于( )A．lg 2 B．lg 3C．lg 4 D．lg 55．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－16．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a27．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－49．已知3a＝2,3b＝15，则2a －b ＝________.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.知识点三 换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD ．a b 12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13B．3C．－13D．－313．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．515．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.17．计算：(1)log89×log2732；(2)log927；(3)log21125×log3132×log513.18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．62．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 253. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 34．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－25．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10 6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．188．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab1011．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.14．方程log2x＋1log x＋12＝1的解是x＝________.15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.16．设f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．四、解答题17．求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57；(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．18．已知log a(x2＋4)＋log a(y2＋1)＝log a5＋log a(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8yx的值．19．设0<a<1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，若当y＝24时，log a y取得最小值，求a的值．20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a答案 C解析由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga m M n＝＝nm log a M，＝nm log a M，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．答案③解析lg (3＋22)－lg (3－22)＝lg 3＋223－22＝lg (3＋22)2>0，故①错误．∵lg (10＋99)≠0，lg (10－99)≠0.∴lg (10＋99)×lg (10－99)≠0，故②错误．∵＝＝－1，∴③正确．∵lg alg b≠lg (a－b)，故④错误．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.4．lg2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4 D ．lg 5答案 A解析 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.5．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 6．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．a D ．a2答案 A解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lgx －lg y )＝3a .7．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 答案 D解析 原式＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4答案 C解析 原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.9．已知3a ＝2,3b ＝15，则2a －b ＝________.答案 log 320解析 ∵3a＝2,3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b＝2log 32＋log 35＝log 320.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.解 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫500×85－lg 6412＋50(lg 10)2＝lg 8008＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(4)原式＝lg 32－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3×32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝－32.知识点三 换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A．a＋b B．a－bC．ab D．a b答案 C解析log27＝log23×log37＝ab.12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于( )A.13B．3C．－13D．－3答案 A解析由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝3lg 2.5，y＝log0.251000＝3lg 0.25，∴1x－1y＝lg 2.53－lg 0.253＝13.13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a答案 C解析log512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a＋b1－a，故选C. 14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析∵log a x＝1log x a＝2，∴log x a＝12.同理log x b＝13，log x c＝16.∴log abc x ＝1log xabc＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.15．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 答案 4解析 由换底公式，得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)， 即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1. 又⎩⎨⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.16．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.17．计算： (1)log 89×log 2732； (2)log 927； (3)log 21125×log 3132×log 513. 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15. 18．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值． 解 解法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a＋b2－a.易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错分析错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎨⎧x>0，y>0，x－2y>0.从而误认为xy＝4或xy＝1，得出log4xy＝1或0的错误答案．答案 1正解由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得xy＝4或xy＝1，又x>0，y>0，x－2y>0，∴xy≠1，∴log4xy＝1.易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4易错分析本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解log29×log34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案 A解析log225×log522＝lg 25lg 2×＝2lg 5lg 2×32lg 2lg 5＝3.2．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 25答案 D解析由换底公式，得原式＝－lg 3lg 5×lg 6lg 3×lg xlg 6＝2，∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝1 25 .3. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 3答案 C解析原式＝＝log310＝1lg 3.选C.4．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2 答案 B解析∵log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10答案 C解析∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－－42＝2＝lg ab，∴ab＝100.故选C.6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq答案 C解析∵log83＝lg 3lg 8＝lg 33lg 2＝p，∴lg 3＝3p lg 2.∵log35＝lg 5lg 3＝q，∴lg5＝q lg 3＝3pq lg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3，∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.8．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 答案 A解析∵2x＝3，∴x＝log23.又log483＝y，∴x＋2y＝log23＋2log483＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2⎝⎛⎭⎪⎫32log22－12log23＝log23＋3－log23＝3.故选A.二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)答案BD解析对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg nm＝1nlg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab10答案CD解析当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln yC．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y答案CD解析因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx答案BD解析根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D 正确．三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.答案 4 2解析∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋3y 2＝2＝2.14．方程log 2x ＋1logx ＋12＝1的解是x ＝________.答案 1解析 原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1， 即log 2[x (x ＋1)]＝1，∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎨⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即x >0，∴x ＝1.15．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.答案135解析 方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根． 由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg 135， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg 135， 即αβ＝135. 16．设f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，现把满足乘积f (1)f (2)…f (n )为整数的n 称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．答案 9解析 f (n )＝log n ＋1(n ＋2)＝lg n ＋2lgn ＋1，∴f (1)f (2)…f (n )＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lgn ＋2lgn ＋1＝lg n ＋2lg 2＝log 2(n∵n ∈(1,2020)，∴n ＋2∈(3,2022)， ∵210＝1024,211＝2048，∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.四、解答题17．求值：(1)lg 5＋lg 20；(2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝12＋14＋13＋16＝54. 18．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx的值．解 原等式可化为log a [(x 2＋4)(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)． 整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0， 配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0， ∴⎩⎨⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12. ∴log 8y x ＝log 812＝－13.19．设0<a <1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若当y ＝24时，log a y 取得最小值，求a 的值．解 由已知条件，得log a x ＋3log x a －log x y ＝log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log ax －322＋34. 当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.此时y ＝24，所以有log a 24＝34， 故所以a ＝14.20．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y.解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.。

章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。

第四章数列4.1数列的概念基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点D.数列的项数一定是无限的2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,13,132,133,…B.sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13,…C.-1,-12,-13,-14,…D.1,2,3,4,…,30题组二数列的通项公式及其应用3.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+(−1) +12,n∈N*,则该数列的前4项依次为(深度解析)A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,12,0D.2,0,2,04.数列{a n}的通项公式为a n=3 +1, 为奇数,2 -2, 为偶数,则a2a3=()A.70B.28C.20D.85.(2020山东菏泽高二上期中)已知数列1,3,5,7,…,2 -1,若35是这个数列的第n项,则n=()A.20B.21C.22D.236.(2020河南郑州八校高二上期中)已知函数f(x)=(3- ) -3, ≤7,-6,x>7,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是(易错)C.(2,3)D.(1,3)7.(多选)下列四个命题中,正确的有()A.k项为1+1B.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n=2n-1D.数列{a n}的通项公式为a n= +1,n∈N*,则数列{a n}是递增数列8.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…;(2)12,34,78,1516,3132,…;(3)-1,85,-157,249,…;(4)5,55,555,5555,….9.已知a n=9 (n+1)10 (n∈N*),则数列{a n}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.10.在数列{a n}中,a n=n2-kn(n∈N*),且{a n}为单调递增数列,求实数k的取值范围.题组三数列的递推公式及其应用11.已知a n+1-a n-3=0,n∈N*,则数列{a n}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定12.若数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1,则a4=()A.7B.13C.40D.12113.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=1+ 1− ,则a2021的值为()A.2B.-3C.-12D.1314.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是()A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥215.数列{a n}中,若a n+1= 2 +1(n∈N*),a1=1,则a n=.16.已知数列{a n}中,a1a2…a n=n2(n∈N*),则a9=.题组四数列的前n项和公式及其应用17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-n(n∈N*),则a5=()A.6B.8C.12D.20∈N*),S n=10,则n等18.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n于()A.90B.119C.120D.12119.已知数列{a n}的前n项和为S n,求数列{a n}的通项公式.(1)S n=2n-1,n∈N*;(2)S n=2n2+n+3,n∈N*.易错20.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=An2+Bn+C,A≠0.(1)当A=2,C=0,且a2=-10时,求数列{a n}的通项公式;(2)设{a n}的各项均为负实数,当a1=-36,a3=-9时,求实数A的取值范围.能力提升练题组一数列的通项公式及其应用1.(2020天津静海一中高二上期中,)设a n=1 +1+1 +2+1 +3+…+12 (n∈N*),那么a n+1-a n等于()A.12 +1B.12 +2C.12 +1+12 +2D.12 +1-12 +22.(2020山东滨州高二上期中,)数列2,0,2,0,…的通项公式可以是()A.a n=2( =2 +1, ∈N*)0( =2 , ∈N*)B.a n=2sin∈N*)C.a n=(-1)n+1(n∈N*)D.a n=cos nπ+1(n∈N*)3.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二上期中,)已知数列{a n}的通项公式为a n= 2+130(n∈N*),且数列{a n}从第n项起单调递减,则n的最小值为()A.11B.12C.13D.不存在4.(2020山东滕州一中高二上阶段检测,)已知数列{a n}的通项公式为a n=2020−22021−2 ,且存在正整数T,S,使得a T≤a n≤a S对任意的n∈N*恒成立,则T+S=()A.15B.17C.19D.215.(多选)()若数列{a n}满足:对任意正整数n,{a n+1-a n}为递减数列,则称数列{a n}为“差递减数列”.给出下列数列{a n}(n∈N*),其中是“差递减数列”的有()A.a n=3nB.a n=n2+1C.a n=D.a n=ln +1题组二数列的递推公式及其应用6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知数列{a n}满足a n+1=2 ,0≤ <12,2 -1,12≤ <1,若a1=67,则a2020的值为()A.37B.47C.57D.677.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列{a n}对任意的n∈N*都有a n+1< + +22,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是()A.数列{a n+1-a n}为单调递减数列,且a5>1B.数列{a n+1-a n}为单调递增数列,且a5>1C.数列{a n+1-a n}为单调递减数列,且a5<1D.数列{a n+1-a n}为单调递增数列,且a5<18.()在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln1+∈N*),则a n=.9.(2020湖南娄底高二上期中,)若数列{a n}满足(n-1)a n=(n+1)a n-1(n≥2,n∈N*),且a1=1,则a100=.10.(2020黑龙江牡丹江一中高二上期末,)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图,则第13行中实心圆点的个数是.题组三数列的前n项和公式及其应用11.(2020山东淄博一中高二上期中,)若数列{an}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2)(n∈N*),则S10=()A.15B.12C.-12D.-1512.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知S n为数列{a n}的前n 项和,若a1=52,且a n+1(2-a n)=2(n∈N*),则S21=.13.(2020广东中山高二上期末统考,)若数列{an}满足a n+a n+1= +1- -1(n∈N*),其前n项和为S n,且S99=311,则a100=.14.()设数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)a n=2n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)n项和为S n,求证:S n<23.答案全解全析基础过关练1.C A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.2.C数列1,13,132,133,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13,…是无穷数列,但它不是递增数列;数列-1,-12,-13,-14,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.故选C.3.A解法一:由a n=1+(−1) +12,n∈N*,n分别取1,2,3,4,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.解法二:因为当n∈N*且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N*且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{a n}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.方法技巧当一个数列中的项的系数出现“+”“-”相间时,应先把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示.4.C由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.5.D由题意得,2 -1=35,即2n-1=45,解得n=23,故选D.6.C根据题意,得a n=f(n)=(3- ) -3, ≤7, ∈N*,a n-6,n>7,n∈N*,要使{a n}是递增数列,需满足3− >0, >1,(3- )×7-3< 8−6,解得2<a<3.故选C.易错警示分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列{a n }递增需满足a 7<a 8,而函数f(x)递增则需满足7(3-a)-3≤a 7-6,二者有较大的区别.7.ABD 对于A,k 项为1+1,A 正确;对于B,令n 2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B 正确;对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{b n },则其通项公式为b n =2n (n ∈N *),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n =b n +1=2n +1(n ∈N *),C 错误;对于D,a n = +1=1-1 +1,则a n+1-a n =1 +1-1 +2=1( +1)( +2)>0,因此数列{a n }是递增数列,D 正确.故选ABD.8.解析(1)易知该数列是首项从4开始的偶数,所以该数列的一个通项公式为a n =2n+2,n ∈N *.(2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的通项公式可写为a n =2 -12 ,n ∈N *.(3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n .又第1项可改写成分数-33,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为a n =(-1)n · ( +2)2 +1,n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以变为59×9,59×99,59×999,59×9999,即59×(10-1),59×(100-1),59×(1000-1),59×(10000-1),即59×(10-1),59×(102-1),59×(103-1),59×(104-1),所以它的一个通项公式为a n=59×(10n-1),n∈N*.9.解析解法一:由a n=9 (n+1)10 (n∈N*)得,a n+1-a n=9 +1(n+2)10 +1-9 (n+1)10 =9 (8-n)10 +1,n∈N*.当n<8时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n,即{a n}在n<8时单调递增;当n=8时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n,得a8=a9;当n>8时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n,即{a n}在n>8时单调递减.所以数列{a n}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=99108.解法二:设a n为最大项,则 ≥ -1,≥ +1(n≥2,n∈N*),≥9 -1·n10 -1,≥9 +1(n+2)10 +1,解得8≤n≤9.又因为n∈N*,所以n=8或n=9,故{a n}的最大项为a8=a9=99108.10.解析由a n=n2-kn,得a n+1=(n+1)2-k(n+1),所以a n+1-a n=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.因为{a n}为单调递增数列,所以a n+1-a n>0,即2n+1-k>0(n∈N*)恒成立,即k<2n+1(n∈N*)恒成立,所以k<3,所以k的取值范围为(-∞,3).11.A∵a n+1-a n=3>0,n∈N*,∴a n+1>a n,即该数列中的每一项均小于它的后一项,因此数列{a n}是递增数列,故选A.12.C由题意得,a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.故选C.13.A∵a1=2,∴a2=1+21−2=-3,从而a3=1+(−3)1−(−3)=-12,a4=13,a5=1+131−13=2=a1.∴{a n}是以4为周期的数列,又2021=505×4+1,∴a2021=a1=2,故选A.14.B由题中图形知,a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,故选B.15.答案12 -1解析由已知得,a2=13,a3=15,a4=17,a5=19,……,以此类推,可得a n=12 -1(n∈N*).16.答案8164解析由题意得,a1a2…a8=82,①a1a2…a9=92,②②÷①得,a9=9282=8164.17.B由S n=n2-n得,S5=52-5=20,S4=42-4=12,∴a5=S5-S4=20-12=8.故选B.18.C∵a n+ +1= +1- ,∴S n=(2-1)+(3-2)+…+( +1- )= +1-1=10,∴n+1=121,∴n=120.19.解析(1)∵S n=2n-1(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.经检验,当n=1时,符合上式,∴a n=2n-1(n∈N*).(2)∵S n=2n2+n+3(n∈N*),∴当n=1时,a1=S1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.经检验,当n=1时,不符合上式,∴a n=6( =1),4 -1( ≥2, ∈N*).易错警示由数列{a n}的前n项和S n求通项公式时,要注意验证当n=1时的情况.若a1=S1适合a n(n≥2,n∈N*)的表达式,则通项公式可以合并,否则就写成分段的形式.20.解析(1)由题意得,当A=2,C=0时,S n=2n2+Bn.则当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+B(n-1)]=4n+(B-2).又a2=-10,∴a2=8+(B-2)=-10,∴B=-16,∴a n=4n-18(n≥2,n∈N*),当n=1时,可得a1=S1=2×12+(-16)×1=-14.经检验,当n=1时,符合a n=4n-18,∴a n=4n-18,n∈N*.(2)由题意得,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2An+(B-A),∴a3=6A+(B-A)=5A+B=-9.∴B=-5A-9,∴a n=2An+(B-A)=2An-6A-9(n≥2,n∈N*),若{a n}的各项均为负实数,则A<0,∴a n=2An-6A-9在n≥2时单调递减,又∵a1=-36<0,∴只需a2<0即可,即a2=4A-6A-9<0,∴A>-92.故实数A的取值范围为-92<A<0.能力提升练1.D∵a n=1 +1+1 +2+1 +3+…+12 ,∴a n+1=1 +2+1 +3+…+12 +12 +1+12 +2,∴a n+1-a n=12 +1+12 +2-1 +1=12 +1-12 +2.2.B选项A中,n取不到1,其通项公式中不含a1,A错误;选项B中,当n是奇数时,a n=2×1=2,当n是偶数时,a n=2×0=0,B正确;选项C中,a1=0≠2,C错误;选项D中,a1=cosπ+1=0≠2,D错误.故选B.3.A∵a n= 2+130,∴a n+1= +1( +1)2+130,∴a n+1-a n= +12+2n+131- 2+130=- 2-n+130( 2+2n+131)( 2+130).由数列{a n}从第n项起单调递减可得a n+1-a n<0,即-n2-n+130<0,n∈N*.即n2+n-130>0,解得n<-1-5212或n>521-12,又n∈N*,∴n>521-12.∵22<521<23,∴10.5<521-12<11,∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,即从第11项起,{a n}单调递减,∴n的最小值为11,故选A.4.D依题意得,a n=2020−22021−2 =1-12021−2 =1+12 -2021,∴当n≥11(n∈N*)时,2n≥211=2048,数列{a n}递减,且a n>1,∴(a n)max=a11,当n≤10(n∈N*)时,2n≤210=1024,数列{a n}递减,且a n<1,∴(a n)min=a10,∴a10≤a n≤a11,∴T+S=21,故选D.5.CD选项A,由a n=3n,得a n+1-a n=3,则{a n+1-a n}为常数列,不满足“差递减数列”的定义;选项B,由a n=n2+1,得a n+1-a n=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{a n+1-a n}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;选项C,由a n= ,得a n+1-a n= +1- =显然{a n+1-a n}为递减数列,满足“差递减数列”的定义;选项D,由a n=ln +1,得a n+1-a n=ln +1 +2-ln +1=ln( +1)2 ( +2)=ln1+随着n的增大,此值变小,所以{a n+1-a n}为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.6.D依题意得,a2=2a1-1=2×67-1=57,a3=2a2-1=2×57-1=37,a4=2a3=2×37=67=a1,∴数列{a n}是以3为周期的周期数列.∵2020=3×673+1,∴a2020=a1=67.故选D.7.D∵数列{a n}对任意n∈N*都有a n+1< + +22,∴a n+2-a n+1>a n+1-a n,∴{a n+1-a n}为单调递增数列.∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9.∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.8.答案2+ln n解析由a n+1=a n+ln1+得a n+1-a n=ln +1 =ln(n+1)-ln n,∴a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[ln n-ln(n-1)]=2+ln n(n∈N*).9.答案5050解析由(n-1)a n=(n+1)a n-1,得 -1= +1 -1(n≥2,n∈N*),则a100=a1· 2 1· 3 2·…· 100 99=1×31×42×…×10199=5050.10.答案144解析不妨构造数列{a n}表示第n行实心圆点的个数,由题图可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和.易知a1=0,a2=1,且n≥3时,a n=a n-1+a n-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.11.A依题意得,a2n=6n-2,a2n-1=-6n+5,∴a2n-1+a2n=3,即a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=a9+a10=3,∴S10=a1+a2+…+a10=3×5=15,故选A.12.答案83解析由a n+1(2-a n)=2,得a n+1=22− ,又a 1=52,所以a 2=22− 1=-4,a 3=22− 2=13,a 4=22− 3=65,a 5=22− 4=52=a 1,所以数列{a n }是周期为4的数列,因为21=4×5+1,所以a 21=a 1=52,所以S 21=5(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 21-4+13+5+52=83.13.答案10-311解析∵a n +a n+1= +1- -1(n ∈N *),∴a 1+a 2=2-0,a 3+a 4=4-2,a 5+a 6=6-4,……a 99+a 100=100-98,∴S 100=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 99+a 100=(2-0)+(4-2)+(6-4)+…+(100-98)=100-0=10,又S 99=311,∴a 100=S 100-S 99=10-311.14.解析(1)由数列{a n }满足a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)a n =2n(n ∈N *),①得当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)a n-1=2(n-1),②①-②得(2n-1)a n =2(n ≥2,n ∈N *),即a n =22 -1(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,a 1=2,满足上式,所以a n =22 -1,n ∈N *.(2)证明:设c n = 2 +3,由(1)可知,c n =22 -12 +3=2(2 -1)(2 +3)=12∴S n=c1+c2+…+c n=121−55-9…2 -3-2 +1= 1212 +12 +3=23-14 +2-14 +6=23-2 +2(2 +1)(2 +3),∵n∈N*,∴S n<23.。

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心：(a ，b )，半径：r一般 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 半径：12D 2＋E 2－4F2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点，这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用． 同时，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法， 凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对问 题的影响，以便确定是否分类讨论．同时要有丰富 的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真 研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正 把握好问题．[典例] (2011·江苏高考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由题意知A ≠∅，则m 2≤m 2，即m ≤0或m ≥12.因为A ∩B ≠∅，则有：(1)当2m ＋1<2，即m <12时，圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离为d 1＝|2－2m －1|2≤|m |，化简得2m 2－4m ＋1≤0，解得1－22≤m ≤1＋22，所以1－22≤m ≤12； (2)当2m ≤2≤2m ＋1，即12≤m ≤1时，A ∩B ≠∅恒成立；(3)当2m >2，即m >1时，圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m 的距离为d 2＝|2－2m |2≤|m |，化简得m 2－4m ＋2≤0， 解得2－2≤m ≤2＋2， 所以1<m ≤2＋ 2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2＋2. [答案] ⎣⎡⎦⎤12，2＋2 [题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根． 故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255， 所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[知识能否忆起]一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r二、圆与圆的位置关系(⊙O 1、⊙O 2半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量化 d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝5，0＜d ＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k 2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．直线与圆的位置关系的判断典题导入[例1](2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则() A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能[自主解答]将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P(3,0)在圆内．故过点P的直线l定与圆C相交．[答案] A本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心(2,0)，r＝2.＝32＞2.又圆心到直线的距离为d＝62∴l与C相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.直线与圆的位置关系的综合典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k 2≤1，解得－33≤k ≤ 33.圆与圆的位置关系典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2， 解得k 2＝4，即k ＝±2.又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝ x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13， 又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3. 设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③ 因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)， 所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y。

第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。

必修二第四章训练卷圆与方程（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ） A ．±2B ．±2C ．±22D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ）A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ）A ．2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ）A ．－3或3B ．3C ．－2或2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝012．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是（ ） A ．[－22，22]B ．(－22，22) C ．[－2,2]D ．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标是__________________.14．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．2018-2019学年必修二第四章训练卷圆与方程（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】将圆方程化为标准方程得()221(2)5x y ++-=，∴圆心坐标为()1,2-． 故选B ． 2．【答案】B【解析】圆O 1(1,0)，r 1＝1，圆O 2(0,2)，r 2＝2，|O 1O 2|＝()()221002-+-＝5＜1＋2，且5＞2－1，故两圆相交．故选B ． 3．【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵切线的方程是y ＝－(x －a )，即x ＋y －a ＝0，∴|a |2＝2，a ＝±2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由空间两点间的距离公式得()()()22221324x -+-+-＝26，解得x ＝6或x ＝－2，故选D ． 6．【答案】C【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， 所以直线恒过定点(－1,2)，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，故选C ．7．【答案】B【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2，故选B ．8．【答案】A【解析】方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝2312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝12， ∴1k 2＋1＝12，解得k ＝±3． 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，∴k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－3，故选A ．9．【答案】B【解析】|PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4，故选B ． 10．【答案】B【解析】△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线x ＝1上，设圆心 D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |()213b +-⇒b ＝223，所以圆心到原点的距离d 222213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝213，故选B ． 11．【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A ．12．【答案】C【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为32，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】(0，－76，0)【解析】设点P (0，b,0)， 则()()()22210230b -+-+-＝()()()22220140b -+--+-，解得b ＝－76．14．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 1.又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0． 15．【答案】22【解析】点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l 垂直于过点A (1，2)和圆心M (2,0)的直线．∴k ＝－1k AM ＝－2－10－2＝22．16．【答案】(x －1)2＋y 2＝2. 【解析】由题意得：半径等于|m ＋1|m 2＋1＝()2211m m ++＝2211mm ++≤2， 所以所求圆为(x －1)2－y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】x 2＋(y －1)2＝10． 【解析】∵AB 的中点是(1,3)，k AB ＝4－2－1－3＝－12，∴AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0，得y ＝1，即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝()22141+-＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10． 18．【答案】64a ． 【解析】以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |222324242a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝64a .19．【答案】（1）见解析；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 【解析】（1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程，所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．（2）解：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， 因为|PQ |＝23，所以|CM |＝4－3＝1，则由|CM |＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43，所以直线l ：4x －3y ＋4＝0，故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0．20．【答案】见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21．【答案】（1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1．【解析】（1）由题意可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1，则圆C 的圆心为(3,1) 3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.（2）由()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－a x 1x 2＝a 2－2a ＋12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.22．【答案】（1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．【解析】（1）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.（2）因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125，所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．。

人教版高中数学选择性必修第二册第四章数列复习提升易混易错练易错点1忽略数列与一般函数的区别1.()已知函数f(x)= -56,4−x+4,x<6,数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且数列{a n}是单调递增数列,则实数a的取值范围是.2.()在数列{a n}中,a n=n2+λn,n∈N*.若{a n}是递增数列,求λ的取值范围.易错点2误用数列的有关性质3.(2019黑龙江大庆中学高二月考,)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=30,S6=100,则S9的值为()A.260B.130C.170D.210易错点3由S n求a n时,忽略n=1的情况4.(2020福建福州一中高三上期末,)数列{a n}满足a1=1,其前n项和为S n,且S n=2a n(n≥2,n∈N*),则{a n}的通项公式为.5.()已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证;(2)求数列{a n}的通项公式.6.()在数列{a n}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+na n= +12·a n+1(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.易错点4应用等比数列的求和公式时忽略q=1的情况7.()已知在等比数列{a n}中,a1=2,S3=6,则a3=.8.()在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为q的等比数列,求数列{b n}的前n 项和S n.9.()求和:S n= ++ 2++…+ +(x≠0).思想方法练一、函数思想在数列中的应用1.()等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1>0,S9=S16,则当n=时,S n最大.2.()已知首项为32的等比数列{a n}不是递减数列,其前n项和为S n(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=S n-1 (n∈N*),求数列{T n}中最大项的值与最小项的值.二、方程思想在数列中的应用3.()在等差数列{a n}中,前n项和为S n,S10=90,a5=8,则a4=()A.16B.12C.8D.64.(2020河北唐山高三上期末,)已知{a n}是公差不为0的等差数列,且前3项的和为9.{b n}是等比数列,且b1=a2,b2=a5,b3=a11.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和T n.三、分类讨论思想在数列中的应用5.()已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n项和S n.6.()已知等差数列{a n}的首项为6,公差为d,且a1,a3+2,2a4成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的值.四、转化与化归思想在数列中的应用7.(2020天津耀华中学高二上期末,)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n=2n+1+m(m∈R).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=1(2 +1)log2( +1),求数列{b n}的前n项和T n.8.(2019辽宁六校协作体高二上期中,)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=a n·log2(a n+1)+n(n∈N*),求{b n}的前n项和K n.答案全解全析易混易错练1.答案,8解析由题意知,a n=a n-56,n∈N*,4−n+4,n<6,n∈N*.∵{a n}是单调递增数列,∴当n≥6时,a>1,当n<6时,4- 2>0,且a5<a6,即 >1,4−2> ,5< 6,解得487<a<8.易错警示本题中数列{a n}为单调递增数列需满足a5<a6,而函数f(x)递增需满足a6-5≥4−二者不同,解题时需注意.2.解析由{a n}是递增数列得,a n<a n+1,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),整理得λ>-(2n+1),n∈N*,解得λ>-3.∴λ的取值范围是(-3,+∞).3.D由题意可得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,故2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2×(100-30)=30+S9-100,解得S9=210.故选D.易错警示在等差数列中,S n,S2n-S n,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等差数列,而不是S n,S2n,S3n,S4n,…成等差数列.4.答案a n=1, =12n-2,n≥2,n∈N*解析当n=2时,S2=2a2,得a2=a1=1,又当n≥2时,S n=2a n,∴S n+1=2a n+1,∴S n+1-S n=2a n+1-2a n,即a n+1=2a n(n≥2),经检验a2=a1≠2a1,不符合上式,∴{a n}从第二项起构成以a2=1为首项,q=2为公比的等比数列,∴当n≥2时,a n=a2·q n-2=2n-2.∴a n=1, =1,2n-2,n≥2,n∈N*.易错警示已知S n求a n的解题过程通常分为四步:第一步,令n=1,得a1;第二步,令n≥2,得a n;第三步,在第二步求得的a n的表达式中取n=1,判断其值是否等于a1;第四步,写出数列的通项公式.其中第三步尤为关键,解题时一定要检验n=1时是否符合n≥2时求得的a n的表达式,否则易导致第四步中数列的通项公式求解错误.5.解析(1)证明:当n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以1 -1 -1=2,又1 1=1 1=2,2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得1 =2n,所以S n=12 .当n≥2时,a n=S n-S n-1=12 -12( -1)=-12 ( -1).当n=1时,a1=1,不符合a n=-12 ( -1).故a n,n≥2,n∈N*.6.解析由a1+2a2+3a3+…+na n= +12a n+1,得当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1= 2a n,两式作差得na n= +12a n+1- 2a n,即(n+1)a n+1=3na n(n≥2),故数列{na n}从第二项起构成公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,na n=2·3n-2.所以a n=2·3 -2 (n≥2).经检验,当n=1时,a1=1不符合上式,所以a n=1,·3n-2,n≥2,n∈N*.7.答案2或8解析设等比数列{a n}的公比为q,当q=1时,S3=3a1=6,符合题意,此时a3=a1=2.当q≠1时,由S3= 1(1- 3)1− =2(1− 3)1− =6,解得q=-2,此时a3=a1·q2=8.综上可知,a3=2或a3=8.8.解析(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则由题意可得2 1+7d=−23,2 1+9d=−29,解得 1=−1,=−3,所以a n=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2.(2)由题意得a n+b n=q n-1,所以b n=3n-2+q n-1.当q=1时,b n=3n-1,则S n= (2+3 -1)2= (3 +1)2.当q≠1时,S n=b1+b2+…+b n=[1+4+…+(3n-2)]+(1+q+…+q n-1)= (1+3 -2)2+1− 1−= (3 -1)2+1− .综上,S n,q=1,1− 1− ,q≠1.9.解析由题知x≠0,①当x≠±1时,S n= ++ 2++…+ += 2+2+ 4 …+x2n+2+1 2=(x2+x4+…+x2n+1 4+…+= 2(1- 2 )1− 2+ -2(1- -2 )1− -2+2n=( 2 -1)( 2 +2+1)2 ( 2-1)+2n.②当x=±1时,S n=4n.综上,S n+2n,x≠±1且x≠ .思想方法练1.答案12或13解析设等差数列{a n}的公差为d,由等差数列前n项和公式,得S9=9a1+9×82d=9a1+36d,S16=16a1+16×152d=16a1+120d.又因为S9=S16,所以9a1+36d=16a1+120d,即d=-112a1,又a1>0,所以d<0.由此可知,数列{a n}是单调递减数列,点(n,S n)在开口向下的抛物线上.又S9=S16,所以点(9,S9)与点(16,S16)关于直线x=252对称,所以当n=12或n=13时,S n最大.2.解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2= 5 3=14.又{a n}不是递减数列,且a1=32>0,所以q=-12,故等比数列{a n}的通项公式为a n=32×=(-1)n-1·32 .(2)由(1)得,S n=1-=1+12 ,n为奇数,1−12 .设(x∈R),由指数函数的性质可知为单调递减函数.所以当n为奇数时,S n随n的增大而减小,所以1<S n≤S1=32,故0<S n-1 ≤S1-1 1=32-23=56.当n为偶数时,S n随n的增大而增大,所以34=S2≤S n<1,故0>S n-1 ≥S2-1 2=3-43=-712.综上,-712≤S n-1 ≤56,且S n-1 ≠0(n∈N*),所以数列{T n}中最大项的值为56,最小项的值为-712.3.D设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则1 1+1 ×92d=9 ,1+4d=8,解得 1= , =2,∴a4=a1+3d=0+3×2=6.4.解析(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),则a1+a2+a3=3a1+3d=9,则a1+d=3.①因为{b n}是等比数列,且b1=a2,b2=a5,b3=a11,所以(a1+d)(a1+10d)=(a1+4d)2,化简得a1d=2d2,因为d≠0,所以a1=2d.②由①②解得,a1=2,d=1,故a n=a1+(n-1)d=n+1,n∈N*.(2)由(1)得b1=a2=3,b2=a5=6,设等比数列{b n}的公比为q,则q= 2 1=2,故b n=3×2n-1,则T n= 1(1- )1− =3−3×2 1−2=3×2n-3.5.解析当n为偶数时,令n=2k(k∈N*),则S n=S2k=-1+4-7+10-…+(-1)n·(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]=3k=3 2;当n为奇数时,令n=2k+1(k∈N*).则S n=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=-3 +12.∴S n,n∈N*, 为奇数,N*, 为偶数.6.解析(1)∵a1=6,公差为d,∴a3=6+2d,a4=6+3d.又∵a1,a3+2,2a4成等比数列,∴a1·2a4=(a3+2)2,即6×2×(6+3d)=(6+2d+2)2,解得d=-1或d=2.当d=-1时,a n=a1+(n-1)d=7-n;当d=2时,a n=a1+(n-1)d=2n+4.∴{a n}的通项公式为a n=7-n或a n=2n+4.(2)由d<0及(1)可知,d=-1,此时a n=7-n.当n≤7时,a n≥0,则|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a n= ( 1+ )2=- 22+13 2.当n>7时,a n<0,则|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a7-(a8+a9+…+a n)=21-( -7)(-1+7- )2= 22-13 2+42.∴|a1|+|a2|+…+|a n|≤7,n∈N*,>7,n∈N*.7.解析(1)由2S n=2n+1+m(m∈R)得,当n≥2时,2S n-1=2n+m(m∈R),两式相减得,2S n-2S n-1=2a n=2n,即a n=2n-1(n≥2),a2=2.又a1=S1=2+ 2,a2=2a1,所以2=2×2+解得m=-2,所以a1=1,符合a n=2n-1,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)可知,log2(a n a n+1)=log2(2n-12n)=2n-1,∴b n=1(2 +1)(2 -1)=12∴T n=b1+b2+…+b n=121−1115+…+12 -1-=121−= 2 +1.8.解析(1)由S n+n=2a n(n∈N*)得,当n≥2时,S n-1+(n-1)=2a n-1,两式相减得,a n+1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-1+1,所以a n+1=2(a n-1+1)(n≥2),又当n=1时,a1+1=2a1,所以a1=1,所以a1+1=2,所以数列{a n+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n+1=2n,所以a n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知b n=(2n-1)log22n+n=n×2n,则K n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①2K n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②①-②,得-K n=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1−2 )1−2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,所以K n=(n-1)2n+1+2.。

第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。

4.2.2 对数运算法则必备知识基础练1.若ab >0，给出下列四个等式：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ；④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③2．对a >0，且a ≠1(M >0，N >0)，下列说法正确的是() A ．log a M ·log a N ＝log a (M ＋N )B.log a Mlog a N ＝log a (M －N )C ．log a m M n ＝log am M nD ．log a M ＝log (－2)Mlog (－2)a3.若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( )A ．3a B.32aC ．a D.a 24．计算下列各式的值：(1)log 345－log 35；(2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.5.log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．26．计算：(log 43＋log 83)log 32＝________.7．设3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y ＝________.8．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么log 512＝________.关键能力综合练一、选择题1．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．42．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －13．化简：log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( ) A ．5 B ．4C ．－5D ．－44．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．ab D.a b5．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10C ．20D ．1006．(探究题)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( ) A ．3 B ．8C ．4D ．log 48二、填空题7．若a ＝log 23，b ＝log 32，则a ·b ＝________，lg a ＋lg b ＝________.8．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________.9．(易错题)设lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 4x y的值为________． 三、解答题10．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z .学科素养升级练1．(多选题)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2ln x ＋ln y ＝2ln x ＋2ln yB ．2ln(x ＋y )＝2ln x ·2ln yC ．2ln x ·ln y ＝(2ln x )ln yD ．2ln(xy )＝2ln x ·2ln y2．方程lg(4x ＋2)＝lg 2x ＋lg 3的解是________．3．(学科素养—数学建模)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？(3)某运动会开幕式(在某场馆举行)上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了90分贝，试求此时场馆内的声压是多少？4.2.2对数运算法则必备知识基础练1．解析：①②当a<0，b<0时不成立，④当ab＝1时，log ab10无意义，∴选D.答案：D2．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，log a mM n＝log a Mnm＝nm log a M，log am Mn＝nm log a M，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.答案：C3．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.答案：A4．解析：(1)原式＝log3455＝log39＝log332＝2.(2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(3)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.5．解析：方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log89log23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23.方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即log89log23＝log29log28log23＝2log233log23＝23.答案：A6．解析：原式＝⎝⎛⎭⎫1log34＋1log38log32＝⎝⎛⎭⎫12log32＋13log32log32＝12＋13＝56.答案：567．解析：由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 答案：18．解析：log 512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b 1－a. 答案：2a ＋b 1－a关键能力综合练1．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D2．解析：log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.答案：A3．解析：原式＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5. 答案：C4．解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .答案：C5．解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10. 又∵m >0，∴m ＝10，选A.答案：A6．解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.又log 483＝y ， ∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43) ＝log 23＋2⎝⎛⎭⎫32log 22－12log 23＝log 23＋3－log 23＝3.故选A. 答案：A7．解析：∵a ＝log 23，b ＝log 32，则a ·b ＝lg 3lg 2·lg 2lg 3＝1， lg a ＋lg b ＝lg ab ＝lg 1＝0.答案：1 08．解析：因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝222log 3＋222log 3－＝222log 3＋222log 3－＝9＋19＝829. 答案：8299．解析：由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，得lg(xy )＝lg(x －2y )2，因此xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，得x y ＝4或x y＝1，又∵x >0，y >0，x －2y >0，∴x y≠1， ∴log 4x y＝1. 答案：1易错分析：错误的根本原因是将对数式lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )转化为代数式xy ＝(x －2y )2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，x －2y >0.从而误认为x y ＝4或x y ＝1，得出log 4x y＝1或0的错误答案．10．解析：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z . (3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . (4)lg x y 2z ＝lg x －lg(y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 学科素养升级练1．解析：根据指数与对数的运算性质可得2ln x ·ln y ＝(2ln x )ln y,2ln(xy )＝2ln x ＋ln y ＝2ln x ·2ln y ，可知：C ，D 正确，而A ，B 都不正确．答案：CD2．解析：原方程可化为lg(4x ＋2)＝lg(2x ×3)，从而可得4x ＋2＝2x ×3，令t ＝2x ，则方程可化为t 2＋2＝3t ，即t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1或t ＝2，即2x ＝1或2x ＝2，所以x ＝0或x ＝1.经检验，x ＝0与x ＝1都是原方程的解．答案：x ＝0或x ＝13．解析：(1)由已知得y ＝20lg P P 0(其中P 0＝2×10－5帕)． (2)当P ＝0.002帕时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为噪音无害区，声音环境优良．(3)由题意，得90＝20lg P P 0， 则P P 0＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)，即此时场馆内的声压约是0.63帕．。

4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A.61B ．25C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B.29C ．5D ．2 63．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 ( )A.534B.532C.532D.1324．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足 ( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝45．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________． 6．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．8. 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形10．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.191411．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．三、探究与拓展13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．答案1．C 2.B 3.B 4．B 5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－47．解 设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC ||PB |＝|PC |所以⎩⎨⎧(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝－2， 所以点P 的坐标是(0,1，－2)． 8．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD | ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9．A 10．C 11．(0，－1,0)12．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)， D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN | ＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.13．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51， 当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。