201x版高考数学总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数文
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第四节 二次函数与幂函数课时作业A 组——根底对点练1.幂函数f (x )=k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,22,那么k +α=( ) A.12B .1 C.32 D .2解析:由幂函数的定义知k =1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=22,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α=22,解得α=12,从而k +α=32. 答案:C2.幂函数f (x )=x n ,n ∈{-2,-1,1,3}的图象关于y 轴对称,那么以下选项正确的选项是( )A .f (-2)>f (1)B .f (-2)<f (1)C .f (2)=f (1)D .f (-2)>f (-1) 解析:由于幂函数f (x )=x n 的图象关于y 轴对称,可知f (x )=x n 为偶函数,所以n =-2,即f (x )=x -2,那么有f (-2)=f (2)=14,f (-1)=f (1)=1,所以f (-2)<f (-1),应选B. 答案:B3.假设幂函数y =(m 2-3m +3)·xm 2-m -2的图象不过原点,那么m 的取值是( )A .-1≤m ≤2B .m =1或m =2C .m =2D .m =1 解析:由幂函数性质可知m 2-3m +3=1,∴m =2或m =1.又幂函数图象不过原点,∴m 2-m-2≤0,即-1≤m ≤2,∴m =2或m =1.答案:B4.函数y =ax 2+bx +c ,如果a >b >c ,且a +b +c =0,那么它的图象是( ) 解析:∵a >b >c ,a +b +c =0,∴a >0,c <0,∴y =ax 2+bx +c 的开口向上,且与y 轴的交点(0,c )在负半轴上.选D.答案:D5.设函数f (x )=x 2-x +a (a >0).假设f (m )<0,那么f (m -1)的值为( )A .正数B .负数C .非负数D .正数、负数和零都有可能解析:函数f (x )=x 2-x +a 图象的对称轴为直线x =12,图象开口向上,且f (0)=f (1)=a >0.所以当f (m )<0时,必有0<m <1,而-1<m -1<0,所以f (m -1)>0.答案:A6.函数f (x )=x2-m 是定义在区间[-3-m ,m 2-m ]上的奇函数,那么以下成立的是( ) A .f (m )<f (0)B .f (m )=f (0)C .f (m )>f (0)D .f (m )与f (0)大小不确定解析:因为函数f (x )是奇函数,所以-3-m +m 2-m =0,解得m =3或-1.当m =3时,函数f (x )=x -1,定义域不是[-6,6],不合题意;当m =-1时,函数f (x )=x 3在定义域[-2,2]上单调递增,又m <0,所以f (m )<f (0).答案:A7.函数f (x )=x 2-2x +4在区间[0,m ](m >0)上的最大值为4,最小值为3,那么实数m 的取值范围是( )A .[1,2]B .(0,1]C .(0,2]D .[1,+∞)解析:作出函数的图象如下图,从图中可以看出当1≤m ≤2时,函数f (x )=x 2-2x +4在区间[0,m ](m >0)上的最大值为4,最小值为3.应选A.答案:A8.在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图象可能是( )解析:因为a >0,所以f (x )=x a 在(0,+∞)上为增函数,故A 错.在B 中,由f (x )的图象知a >1,由g (x )的图象知0<a <1,矛盾,故B 错.在C 中,由f (x )的图象知0<a <1,由g (x )的图象知a >1,矛盾,故C 错.在D 中,由f (x )的图象知0<a <1,由g (x )的图象知0<a <1,相符,应选D.答案:D9.假设函数f (x )=x 2-ax -a 在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a 等于( )A .-1B .1C .2D .-2 解析:∵函数f (x )=x 2-ax -a 的图象为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点取得.∵f (0)=-a ,f (2)=4-3a ,。
课下层级训练(八) 二次函数与幂函数[A 级 基础强化训练]1.(2019·新疆乌鲁木齐月考)函数y =x 13的图象是( )B [显然f (-x )=-f (x ),说明函数是奇函数,同时由当0<x <1时,x 13>x ;当x >1时,x 13<x ,知只有B 选项符合.]2.已知幂函数f (x )=(m 2-3m +3)x m +1为偶函数,则m =( ) A .1 B .2 C .1或2D .3A [∵函数f (x )为幂函数,∴m 2-3m +3=1,即m 2-3m +2=0,解得m =1或m =2.当m =1时,幂函数f (x )=x 2为偶函数,满足条件.当m =2时,幂函数f (x )=x 3为奇函数,不满足条件.]3.(2019·贵州凯里月考)函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[-2,+∞)时,f (x )是增函数,当x ∈(-∞,-2]时,f (x )是减函数,则f (1)的值为( )A .-3B .13C .7D .5B [函数f (x )=2x 2-mx +3图象的对称轴为直线x =m 4,由函数f (x )的增减区间可知m4=-2,∴m =-8,即f (x )=2x 2+8x +3,∴f (1)=2+8+3=13.]4.(2019·陕西渭南月考)如果幂函数y =(m 2-3m +3)xm 2-m -2的图象不过原点,则m 取值是( )A .-1≤m ≤2B .m =1或m =2C .m =2D .m =1B [幂函数y =(m 2-3m +3)xm 2-m -2的图象不过原点,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2-m -2≤0,m 2-3m +3=1解得m=1或2,符合题意.]5.(2019·陕西延安月考)已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),且f (x )在[0,2]上是增函数,若f (a )≥f (0),则实数a 的取值范围是( )A .[0,+∞)B .(-∞,0]C .[0,4]D .(-∞,0]∪[4,+∞)C [由f (2+x )=f (2-x )可知,函数f (x )图象的对称轴为x =2+x +2-x2=2,又函数f (x )在[0,2]上单调递增,所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.]6.(2019·浙江绍兴月考)如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的x 都有f (x +1)=f (-x ),那么( )A .f (-2)<f (0)<f (2)B .f (0)<f (-2)<f (2)C .f (2)<f (0)<f (-2)D .f (0)<f (2)<f (-2)D [由f (1+x )=f (-x )知f (x )的图象关于直线x =12对称,又抛物线f (x )开口向上,∴f (0)<f (2)<f (-2).]7.(2019·北京丰台月考)已知幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,18,则函数的解析式f (x )=__________.x -3 [设幂函数为f (x )=x α,因为图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2,18,∴f (2)=18=2-3,从而α=-3函数的解析式f (x )=x -3.]8.当0<x <1时,函数f (x )=x 1.1,g (x )=x 0.9,h (x )=x -2的大小关系是__________.h (x )>g (x )>f (x ) [如图所示为函数f (x ),g (x ),h (x )在(0,1)上的图象,由此可知,h (x )>g (x )>f (x ).]9.已知函数f (x )=x 2+2ax +2,x ∈[-5,5]. (1)当a =-1时,求函数f (x )的最大值和最小值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当a =-1时,f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[-5,5], 所以当x =1时,f (x )取得最小值1; 当x =-5时,f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )=(x +a )2+2-a 2的图象的对称轴为直线x =-a , 因为y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a ≤-5或-a ≥5,即a ≤-5或a ≥5. 故实数a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).10.(2019·四川成都诊断)已知函数f (x )=x 2+ax +3-a ,若x ∈[-2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围.解 f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +a 22-a24-a +3,令f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ).(1)当-a2<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在.(2)当-2≤-a2≤2,即-4≤a ≤4时,g (a )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=-a 24-a +3≥0, ∴-6≤a ≤2.又-4≤a ≤4,∴-4≤a ≤2.(3)当-a2>2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥0,∴a ≥-7.又a <-4,∴-7≤a <-4.综上可知,a 的取值范围为[-7,2].[B 级 能力提升训练]11.(2019·山西晋中月考)f (x )=ax 2+ax -1在R 上满足f (x )<0恒成立,则a 的取值范围是( )A .a ≤0B .a <-4C .-4<a <0D .-4<a ≤0D [(1)当a =0时,得到-1<0,显然不等式的解集为R ;(2)当a <0时,二次函数y =ax 2+ax -1开口向下,由不等式的解集为R ,得到二次函数与x 轴没有交点即Δ=a 2+4a <0,即a (a +4)<0,解得-4<a <0;(3)当a >0时,二次函数y =ax 2+ax -1开口向上,函数值y 不恒小于零,故解集为R 不可能.综上,a 的取值范围为(-4,0].]12.(2019·安徽合肥教学质量检测)函数f (x )=-x 2+3x +a ,g (x )=2x -x 2,若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-e ,+∞)B .[-ln 2,+∞)C .[-2,+∞)D .⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,0C [如图所示,在同一坐标系中画出y =x 2+1,y =2x ,y =x 2+32的图象,由图象可知,在[0,1]上,x 2+1≤2x <x 2+32恒成立,即1≤2x -x 2<32,当且仅当x =0或x=1时等号成立,∴1≤g (x )<32,∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒-1+3+a ≥0⇒a ≥-2,即实数a 的取值范围是[-2,+∞).]13.(2019·贵州遵义月考)若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是__________.(0,1] [由f (x )=-x 2+2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ,+∞),∴a ≤1. ∵y =1x +1在(-1,+∞)上为减函数, ∴由g (x )=ax +1在[1,2]上是减函数可得a >0,故0<a ≤1.]14.(2019·江西宜春月考)设函数f (x )=-2x 2+4x 在区间[m ,n ]上的值域是[-6,2],则m +n 的取值的范围是__________.[0,4] [令f (x )=-6解得x =-1或x =3,令f (x )=2得x =1.又f (x )在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,∴当m =-1,n =1时,m +n 取得最小值0,当m =1,n =3时,m +n 取得最大值4.]15.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (-1)=0,求f (x )的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f (x )>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-b 2a=-1,f -=a -b +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2.所以f (x )=x 2+2x +1,由f (x )=(x +1)2知,函数f (x )的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].(2)由题意知,x 2+2x +1>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立,即k <x 2+x +1在区间[-3,-1]上恒成立,令g (x )=x 2+x +1,x ∈[-3,-1],由g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34知g (x )在区间[-3,-1]上是减函数,则g (x )min =g (-1)=1,所以k <1,即k 的取值范围是(-∞,1).。