2021年广东省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中，是无理数的是()D. √6A. √4B. 3.14C. 3112.5G被认为是物联网、自动驾驶汽车、智慧城市的“结缔组织”，是工业互联网的中坚力量.近年来，我国5G发展取得明显成就，根据中国工信部的数据，截至2020年10月底，全国累计建设开通5G基站达69.5万个，将数据69.5万用科学记数法表示为()A. 695×103B. 69.5×104C. 6.95×105D. 0.695×1063.某种品牌的产品共5件，其中有2件次品，小王从中任取两件，则小王取到都是次品的概率是()A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.64.下列运算中，正确的是()A. x2⋅x3=x6B. (a−1)2=a2−1C. (a+b)(−a−b)=a2−b2D. (−2a2)2=4a45.若|a−1|+(b+2)2=0，则(a+b)2014+a2015的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.一个正三棱柱和一个正四棱柱的底面边长和高都相等，当一只小猫只看到它的一个侧面时，它看到()A. 正三棱柱的区域大B. 正四棱柱的区域大C. 两者的区域一样大D. 无法确定7.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC//BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是()A. ②④⑤⑥B. ①③⑤⑥C. ②③④⑥D.①③④⑤8.√15介于两个相邻整数之间，这两个整数是()A. 2～3B. 3～4C. 4～5D. 5～69. 如图所示，有三种卡片，其中边长为a 的正方形1张，边长为a 、b 的矩形卡片4张，边长为b 的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为( )A. a 2+4ab +4b 2B. 4a 2+8ab +4b 2C. 4a 2+4ab +b 2D. a 2+2ab +b 210. 如图，函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(−1,0)和(m,0)，请思考下列判断，正确的个数是( )①abc <0；②4a +c <b ；③bc =1−1m；④am 2+(2a +b)m +a +b +c <0；⑤|am +a|=√b 2−4acA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知关于x 、y 二元一次方程组{mx −3y =163x −ny =0的解为{x =5y =3，则关于x 、y 二元一次方程组{m(x +1)−3(y −2)=163(x +1)−n(y −n)=0的解是______． 12. 将二次函数y =x 2−4x +a 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y =3有两个交点，则a 的取值范围是______．13. 一个扇形的弧长为5π3cm ，面积256πcm 2，则此扇形的圆心角度数为______．14. 若关于x 的一元二次方程(m +4)x 2+5x +m 2+3m −4=0的常数项为0，则m 的值等于______．15. 已知：a +b +c =0，abc ≠0，则代数式1a 2+b 2−c 2+1b 2+c 2−a 2+1c 2+a 2−b 2=______． 16. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =10，AD =16，∠A =60°，P 为AD 的中点，F 是边AB 上不与点A ，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A′PF ，连接BA′，则△BA′F 周长的最小值为______．17.如图，AB=1，以AB为斜边作直角△ABC，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，EM⊥KH于M，GN⊥KH于N，则图中阴影面积和的最大值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）18.计算：(1)2−1−(−0.5)0−sin30°；(2)(x−2)2−x(x−3)；(3)解方程：3−xx−4+14−x=1；(4)解不等式组：{12x+1<321−5(x+1)≤6．19.为了解某中学300名男生的身高情况，现随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)，估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有______ 人．20.如图.点C、D是以AB为直径的半圆O上的两点，已知AB=10，tan∠ABC=34.∠ABD=45°．(1)求AC的长：(2)求∠DCB的度数；(3)求DC的长．21.如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=k的图象上一点，xAB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D(0,−2)，若S△AOD=4．(1)写出点C的坐标；(2)求反比例函数和一次函数的解析式；(3)当y1<y2时，求x的取值范围．22.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：售价(元/件)100110120130……月销量(件)200180160140……已知月销量是售价的一次函数，该运动服的进价为每件50元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是______元；②月销量是______件；(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？23. 问题情境在综合实践课上，老师让同学们在正方形中进行图形变换探究活动，已知四边形ABCD是正方形，点P是对角线BD上的一个动点．操作发现：(1)如图(1)，将射线PA绕点P逆时针旋转90°，交BC于点E，则线段AP和PE之间的数量关系是______(2)如图(2)，在(1)的基础上，兴趣小组的同学们将△ABE沿射线BC平移到△DCF的位置，连接PF，发现PF⊥BP，请你证明这个结论．24. 已知如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC//OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．AC；(1)求证：OD=12(2)求证：MC是⊙O的切线；(3)若OD=9，DM=16，连接PC，求PC的长．25. 如图1，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(2,0)，B(0,2)，与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)点P是抛物线y=−x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；(3)如图2，点P是抛物线y=−x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA.设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的1时，求t的值．3【答案与解析】1.答案：D解析：A.√4=2，是整数，属于有理数；B.3.14是有限小数，属于有理数；C.3是分数，属于有理数；11D.√6是无理数．故选：D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：C解析：解：69.5万=695000=6.95×105．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．本题考查了科学记数法．解题的关键是明确用科学记数法表示一个数的方法：(1)确定a：a是只有一位整数的数；(2)确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值<1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上零)．3.答案：B解析：本题主要考查了树状图法或列表法求概率，根据概率的求法，首先列出表格，表示出全部情况的总数，然后找出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．解：3件正品用A，B，C表示，2件次品用a，b表示，列表如下：由表格知，共有20种等可能的情况，其中小王取到都是次品的情况只有2种，=0.1．所以小王取到都是次品的概率是220故选B．4.答案：D解析：解：A、x2⋅x3=x5，故此选项错误；B、(a−1)2=a2−2a+1，故此选项错误；C、(a+b)(−a−b)=−a2−2ab−b2，故此选项错误；D、(−2a2)2=4a4，故此选项正确；故选：D．分别利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则化简求出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算等知识，正确化简各式是解题关键．5.答案：D解析：解：∵|a−1|+(b+2)2=0，∴a−1=0，b+2=0．∴a=1，b=−2．∴原式=[1+(−2)]2014+12015=1+1=2．故选：D．首先由非负数的性质可求得a、b的值，然后将a、b的值代入所求代数式进行计算即可．本题主要考查的是非负数的性质，由非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．6.答案：D解析：本题主要考察的是视点、视角和盲区，结合实际问题考查的过程中考察了学生的理解能力和空间想象能力．正三棱柱和一个正四棱柱的底面边长和高都相等，但是视距不能确定、棱长不能确定，所以看到的区域大小不能确定．故选：D7.答案：D解析：此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，①成立；②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，②不成立；③∵OC//BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，③成立；④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC//BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，④成立；⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，⑤成立；⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，⑥不成立．故选D．8.答案：B解析：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√15的取值范围是解题关键．直接利用估算无理数的方法得出√15的取值范围即可．解：∵3<√15<4，∴这两个整数是：3～4．故选B．9.答案：A解析：解：由题意，得a2+4ab+4b2故选：A．由边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张，可得拼成的正方形面积为a2+4ab+4b2，根据完全平方式可求正方形边长．本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方式，关键是熟练运用完全平方公式解决问题．10.答案：D解析：解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c>0，>0，∵−b2a∴b>0，∴abc<0，故①正确，∵a<0，∴2a+c<a+c，x=−1时，y=a−b+c=0，则b=a+c，∴2a+c<b，∴4a+c<b，故②正确，∵y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，∴−1×m=ca，am2+bm+c=0，∴amc +bc+1m=0，∴bc =1−1m，故③正确，∵−1+m=−ba，∴−a+am=−b，∴am=a−b，∵am2+(2a+b)m+a+b+c=am2+bm+c+2am+a+b=2a−2b+a+b=3a−b<0，故④正确，∵m+1=|−b+√b2−4ac2a −−b−√b2−4ac2a|，∴m+1=|√b2−4aca|，∴|am+a|=√b2−4ac，故⑤正确，故选：D．①利用图象信息即可判断；②根据x=−1时，y=0得到b=a+c，由a<0得到2a+c<a+c，即2a+c<b，即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c=0的根，结合两根之积−m=ca，即可判断；④根据两根之和−1+m=−ba，可得ma=a−b，可得am2+(2a+b)m+a+b+c=am2+ bm+c+2am+a+b=2a−2b+a+b=3a−b<0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab <0)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,c)；△决定抛物线与x 轴交点个数：△=b 2−4ac >0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2−4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2−4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点．11.答案：{x =4y =5解析：解：当X =x +1，Y =y −2时，方程组可转化为{mX −3Y =163X −nY =0， 由于关于x 、y 二元一次方程组{mx −3y =163x −ny =0的解为{x =5y =3， ∴关于X 、Y 的方程组{mX −3Y =163X −nY =0的解{X =5Y =3． ∴x +1=5，y −2=3．∴x =4，y =5．∴关于x 、y 二元一次方程组{m(x +1)−3(y −2)=163(x +1)−n(y −n)=0的解是{x =4y =5. 故答案为：{x =4y =5． 观察两个方程组的系数等特点，发现当当X =x +1，Y =y −2时，两个方程组完全一样，所以它们的解也相同，从而求出x 、y 的值．本题考查了二元一次方程组的解，观察两个方程组，找到规律运用换元法是解决本题的关键． 12.答案：a <6解析：解：∵y =(x −2)2+a −4，∴抛物线y =x 2−4x +a 的顶点坐标为(2,a −4)，把点(2,a −4)向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得对应点的坐标为(1,a −3)， ∴平移后的抛物线解析式为y =(x −1)2+a −3，即y =x 2−2x +a −2，∵抛物线y =x 2−2x +a −2与直线y =3有两个交点，∴方程x 2−2x +a −2=3有两个实数解，整理得x 2−2x +a −5=0，∵△=(−2)2−4(a −5)>0，∴a <6．故答案为a <6．先利用配方法得到抛物线y=x2−4x+a的顶点坐标为(2,a−4)，再利用点平移的坐标变换规律得到点(2,a−4)平移后所得对应点的坐标为(1,a−3)，利用顶点式得到平移后的抛物线解析式为y= (x−1)2+a−3，即y=x2−2x+a−2，然后利用方程x2−2x+a−2=3有两个实数解，则△= (−2)2−4(a−5)>0，从而解不等式即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．13.答案：60°解析：此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．利用扇形面积公式S=12Rl求出R的值，再利用扇形面积公式S=nπ×R2360计算即可得到圆心角度数．解：∵一个扇形的弧长是5π3cm，面积256cm2，∴S=12Rl，即256π=12×R×5π3，解得：R=5，∴S=256π=nπ×52360，解得：n=60°，故答案是：60°．14.答案：1解析：解：∵关于x的一元二次方程(m+4)x2+5x+m2+3m−4=0的常数项为0，∴m+4≠0且m2+3m−4=0，解得m=1或m=−4(舍)，故答案为：1．根据一元二次方程的常数项为0得出m的值，再由二次项系数不能为0得出答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，根据常数项为0进而求出m的值是解题关键．15.答案：0解析：解：∵a+b+c=0，即c=−(a+b)，a=−(b+c)，c=−(a+b)∴原式=1a2+b2−(a+b)2+1b2+c2−(b+c)2+1c2+a2−(c+a)2=−12ab−12bc−12ac=−c+a+b2abc=0由已知a+b+c=0，得到c=−(a+b)，a=−(b+c)，c=−(a+b)，代入所求式子中，利用完全平方公式化简，通分并利用同分母分式的加法法则计算，将a+b+c=0代入即可求出值．此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．16.答案：2√21+2解析：解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵PA=8，AH=5，∴PH=8−5=3，∵BH=5√3，∴PB=√PH2+BH2=√32+(5√3)2=2√21，由翻折可知：PA=PA′=8，FA=FA′，∴△BFA′的周长=FA′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′，∴当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，∵BA′≥PB−PA′，∴BA′≥2√21−8，∴BA′的最小值为2√21−8，∴△BFA′的周长的最小值为10+2√21−8=2√21+2．故答案为：2√21+2．△BFA′的周长=FA′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′，推出当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，由此即可解决问题．本题考查翻折变换，平行四边形的性质，两点之间线段最短等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17.答案：54解析：解：作CO⊥AB交AB于点O，延长AB交EM于点P，交GN于点Q，由题意可得，AC=EA，BC=GB，∠EPA=∠AOC=90°，∠COB=∠BQG，∵∠EAP+∠CAO=90°，∠EAP+∠AEP=90°，∴∠CAO=∠AEP，在△EAP和△ACO中，{∠AEP=∠CAO ∠EPA=∠AOC AE=CA，∴△EAP≌△ACO(AAS)，∴AP=CO，同理可知，△COB≌△BQG，CO=BQ，∴阴影部分的面积=矩形APMK的面积+矩形BQNH的面积+△ABC的面积，∴阴影部分的面积是：AK⋅AP+BH⋅BQ+AB⋅OC2=1×AP+1×BQ+1×CO2=52CO，∴当CO取得最大值时，图中阴影面积和取得最大值，∵当△ACB是等腰直角三角形时，CO取得最大值，∴CO的最大值是12，∴图中阴影面积和的最大值是52×12=54，故答案为：54．根据题意，作出合适的辅助线，然后即可表示出阴影部分的面积，然后即可计算出图中阴影面积和的最大值．本题考查勾股定理、三角形、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.答案：解：(1)原式=12−1−12=−1；(2)原式=x 2−4x +4−x 2+3x=−x +4；(3)方程两边都乘以x −4得：3−x −1=x −4，解得：x =3，检验：当x =3时，x −4≠0，所以x =3是原方程的解，即原方程的解是x =3；(4){12x +1<32①1−5(x +1)≤6②∵解不等式①得：x <1，解不等式②得：x ≥−2，∴不等式组的解集是−2≤x <1．解析：(1)先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可；(2)先算乘法，再合并同类项即可；(3)先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；(4)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．19.答案：72解析：解：由频数分布直方图可知，样本容量为：6+10+16+12+6=50，身高在169.5cm ～174.5cm 之间的频数是12，12÷50=0.24，∴身高在169.5cm ～174.5cm 之间的频率为：0.24，300×0.24=72，故答案为：72．根据频数分布直方图去计算出样本容量，找出身高在169.5cm ～174.5cm 之间的频数，得到该组的频率，求出身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20.答案：解：(1)∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=ACBC =34，∴可以假设AC=3k，BC=4k，则有25k2=100，∴k=2或−2(舍弃)，∴AC=6，BC=8．(2)连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠DAB=45°，∴∠DCB=∠DAB=45°．(3)过点B作BT⊥CD交CD的延长线于T．∵BC=8，∠TCB=∠TBC=45°，∴TC=TB=4√2，∵∠ABD=∠CBT=45°，∴∠ABC=∠DBT，∵∠ACB=∠T=90°，∴△ABC∽△DBT，∴ACDT =BCBT，∴6DT =84√2，∴DT=3√2，∴CD=CT−DT=√2．解析：(1)解直角三角形求出AC即可．(2)连接AD，证明△ABD是等腰直角三角形即可解决问题．(3)过点B作BT⊥CD交CD的延长线于T.解直角三角形求出CT，利用相似三角形的性质求出DT即可解决问题．本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 21.答案：解：(1)设点C 的坐标为(m,0)，∵C 是OB 的中点，∴OC =BC ．在△COD 和△CBA 中，{∠DCO =∠ACBOC =BC ∠DOC =∠ABC =90°，∴△COD≌△CBA(ASA)，∴OD =BA ．∵点D(0,−2)，∴点A 的坐标为(2m,2)．∴S △AOD =S △ABC +S △DOC =2S △DOC =2×12OC ⋅OD =2m =4，∴m =2，∴点C 的坐标为(2,0)．(2)∵m =2，∴点A 的坐标为(4,2)．∵点A 在反比例函数y 1=k x 的图象上，∴k =4×2=8，∴反比例函数的解析式为y 1=8x ；将C(2,0)、D(0,−2)代入y 2=ax +b 中，{0=2a +b −2=b，解得：{a =1b =−2， ∴一次函数的解析式为y =x −2．(3)联立两函数解析式成方程组，{y =8x y =x −2，解得：{x =−2y =−4或{x =4y =2， ∴两函数图象的另一个交点为(−2,−4)．观察函数图象可知：当−2<x <0 或x >4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当y 1<y 2时，x 的取值范围为−2<x <0 或x >4．解析：(1)设点C 的坐标为(m,0)，通过证△COD≌△CBA 可得出点A 的坐标为(2m,2)，根据三角形的面积公式结合S △AOD =4即可求出m 值，由此即可得出点C 的坐标；(2)由m 的值可得出点A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再根据点C 、D 的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；(3)联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可求出两函数图象的另一交点坐标，根据函数图象的上下位置关系即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据S △AOD =4找出关于m 的一元一次方程；(2)根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；(3)联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的另一交点坐标．22.答案：x −50 −2x +400解析：解：(1)请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(x −50)元；②解：(1)设月销量y 与x 的关系式为y =kx +b ，由题意得，{100k +b =200110k +b =180， 解得{k =−2b =400． 则y =−2x +400；故答案为：x −50，−2x +400；(2)由题意得，y =(x −60)(−2x +400)=−2x 2+520x −24000=−2(x −130)2+9800，故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．(1)先表示出单件的利润，然后运用待定系数法求出月销量；(2)根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．23.答案：(1)PA =PE ，理由：如图1，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥AB 于H ，则四边形BGPH是正方形，∴PH=PG，∠HPG=90°，∵∠APE=90°，∴∠APH+∠HPB=∠HPB+∠EPG，∴∠APH=∠EPG，在△APH与△EPG中，∴△APH≌△EPG(ASA)，∴PA=PE；故答案为：PA=PE；(2)如图2，连接PC，过P作PG⊥BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，在△ADP与△CDP中，∴△ADP≌△CDP，(SAS)∴AP=CP，∵PA=PE，∴PE=PC，又∵PG⊥BC，∴EG=CG，∵BE=CF，∴BG=FG，∴PB=PF，∵∠DBC=45°，∴∠BPF=90°，∴PF⊥PB．解析：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)过点P作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；(2)连接PC ，过P 作PG ⊥BC 于G ，根据正方形的性质得到AD =CD ，根据全等三角形的性质得到AP =CP ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．24.答案：解：(1)∵AC//OM ，∴△BOD ～△BAC ， ∴OD AC =OB AB =12．∴OD =12AC ；(2)连接OC ，∵AC//OM ，∴∠OAC =∠BOM ，∠ACO =∠COM ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠ACO∴∠BOM =∠COM ，在△OCM 与△OBM 中，{OC =OB∠BOM =∠COM OM =OM，∴△OCM≌△OBM(SAS)；又∵MB 是⊙O 的切线，∴∠OCM =∠OBM =90°，∴MC 是⊙O 的切线；(3)∵∠OCD +∠MCD =∠CMD +∠MCD =90°，∴∠OCD =∠CMD ，∵∠OCM =∠CDO =∠CDM =90°，∴△CDO∽△MDC ，∴CD 2=OD ⋅DM =9×16，解得：CD =12，∴BC =2CD =24，∴CO =√CD 2+OD 2=√122+92=15，∴AB=30，∴PA=PB=15√2；过点A作AH⊥PC于点H，AC=9，则AC=18，∵OD=12AC=9√2，PH=√PA2−AH2=12√2，∴AH=CH=√22∴PC=PH+CH=9√2+12√2=21√2．解析：(1)先证明△BOD～△BAC，然后依据相似三角形的性质进行证明即可；(2)连接OC，由切线的性质得到∠OBM=90°，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质，证明∠BOM=∠COM，然后利用SAS证明△OCM≌△OBM，由全等三角形的性质可得到∠OCM=∠OBM= 90°；(3)根据圆周角定理和平行线的性质得到∠ACB=∠APB=90°，根据垂径定理得到∠OCD=∠CMD，过点A作AH⊥PC于点H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．本题为圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.答案：解：(1)将点A和点B的坐标代入y=−x2+bx+c得：{−4+2b+c=0c=2，解得：b=1，c=2．∴抛物线的解析式为y=−x2+x+2．令y=0，则0=−x2+x+2，解得：x=2或x=−1．∴点C的坐标为(−1,0)．(2)设点P的坐标为(t,−t2+t+2)，则PE=t，PD=−t2+t+2，∴四边形ODPE的周长=2(−t2+t+2+t)=−2(t−1)2+6，∴当P点坐标为(1,2)时，∴四边形ODPE周长最大值为6．(3)∵A(2,0)，B(0,2)，∴AB的解析式为y=−x+2．∵P点的横坐标为t，∴P点纵坐标为−t2+t+2．又∵PN⊥x轴，∴M点的坐标为(t,−t+2)，∴PM=−t2+t+2−(−t+2)=−t2+2t．∴S△ABP=S△PMB+S△PMA=12PM⋅ON+12PM⋅AN=12PM⋅OA=−t2+2t．又∵S△ABC=12AC⋅OB=12×3×2=3，∴−t2+2t=3×13，解得：t1=t2=1．∴当t=1时，△ABP的面积等于△ABC的面积的13．解析：(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程可求得点C的坐标；(2)设点P的坐标为(t,−t2+t+2)，用含t的式子表示出PE、PD的长度，然后可得到四边形ODPE 的周长与t的函数关系式，最后利用配方法可求得点P的横坐标，以及四边形ODPE周长的最大值；(3)先求得直线AB的解析式，设P点的坐标为(t,−t2+t+2)，则点M的坐标为(t,−t+2)，由S△ABP= S△PMB+S△PMA可得到△ABP的面积与t的函数关系式，然后，再根据，△ABP的面积等于△ABC的面积的13列方程求解即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了代入系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值、三角形的面积公式、解一元二次方程，得到PM的长度与点M的横坐标之间的关系是解题的关键．。
