2014-2015学年广东省揭阳一中高二(上)第一次月考数学试卷(文科)

揭阳第三中学2014－2015学年度第一学期第一次阶段考试题高二数学（共4页）答卷时间：120分钟，全卷满分150分，不准使用计算器。

命题:陈吉涛一.选择题（每小题5分,共50分;每小题的答案是唯一的,请写入答题卷）1．等差数列}{n a 中,7,351==a a ,9a 等于（ ）A ． 9B ． 10C ．11D ．122．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于20km, 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距（ ）km .A ．20B ．240C ．40D ．202 3. 在ΔABC 中,a=1,b=3, A=30°,则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°4.在公比为整数的等比数列}{n a 中，若,12,64231=+=+a a a a ,则3a 等于（ ）A ． 56B ． 512C ． 524 D ．5485.等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若856S ,30,2则==S a 等于（ ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 346.在ABC ∆中，,4:2:3sin :sin :sin =C B A 那么=B cos ( )A. 87 B. 87- C.32- D. 327.等差数列}{n a 中，,105=a 则73a a +等于（ ）A. 10B. 15C. 20D. 258.已知等差数列}{n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则7a 等于（ ） A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．109.等比数列}{n a 的前n 项和是n S ,且321,2,4a a a 成等差数列，若1a =1,则4S 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 10.已知等比数列{}n a 满足0n a >，1,2,,n =且25252(3)n n a a n -=≥，则当1≥n 时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A ．(21)n n -B ．2(1)n +C ．2nD ．2(1)n -二.填空题（每小题5分,共20分，答案请写入答题卷）11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，则=B sin ＿＿＿＿＿＿＿. 12.在数列}{n a 中，31=a ,=+=+21,12a a a n n 则＿＿＿＿＿＿＿.13.在等差数列}{n a 中，063,293=--x x a a 是方程的两根，则=6a ＿＿＿＿＿＿＿. 14.在ABC ∆中,ABC ,120,30,2∆===︒︒则B A c 的面积为＿＿＿＿＿＿＿. 三.解答题（共80分，答案请写入答题卷） 15.（本小题满分12分） 等比数列{a n }中,若a 1=27, a 9=2431,q<0,求数列{a n }前8项的和S 8.16.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.且有2sin a b A =。

广东省揭阳市惠来一中2014-2015学年高二上学期期末考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，}{0542<--=x x x A ，}0{≥=x x B ，则=⋂B A （ ）A ．}50{<≤x xB ．}05{≤<-x xC ．}5{<x xD ．}5{->x x 2．命题“03,2000<+∈∃x x R x ”的否定是 ( )A. 03,2<+∈∀x x R xB. 03,2≥+∈∀x x R x C. 03,2000≥+∈∃x x R x D. 03,2000<+∉∃x x R x 3．“11a b>”是“0a b <<”的 ( ) 条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．△ABC 中，∠A＝6π，BC ＝1，AB ＝2，则∠C＝ ( )A. π6B. π4C. 3π4D. π4 或 3π45．已知数列}{n a 为等差数列且41581=++a a a ,则[]π)(cos 133a a +的值为 （ ）A ．23B ．23±C ．21-D ．21 6．已知变量x ，y 满足约束条件1251x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=3的最小值为 （ ）A ．-4B ．-5C ．-6D ．-7 7．直线2+=kx y 与圆()4122=-+y x 的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．与k 的取值有关 8．曲线123+-=bx ax y 在点(1,(1))f 处的切线方程为2+-=x y ，则b a 2+= ( ) A ．1-B ．1C ．2D ．39．已知x>0，y>0，且112=+yx ，若x ＋2y －m 2－7m>0恒成立，则实数m 的取值范围 是 ( )． A ．(－8,1) B ．(－1,8)C ．(－∞，－8]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[8，＋∞)10．设'()f x 是函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实根0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．82．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x23．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，79．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=．13．（5分）计算：=．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8考点：并集及其运算．分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．解答：解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．点评：本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．2．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2考点：映射．专题：应用题．分析：按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．解答：解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．点评：本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0考点：全称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．解答：解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选B．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．4．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．分析：解出集合N，结合数轴求交集．解答：解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．点评：考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真考点：复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q 为假命题，p∨q为是假命题．故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于2015届高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．考点：函数的图象与图象变化；奇函数．分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．解答：解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选A．点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b考点：指数函数的单调性与特殊点．分析：根据指数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到答案．解答：解析：∵0＜a＜1，∴0＜1﹣a＜1，y=（1﹣a）x为减函数，又∵0＜b＜1，∴＞b，b＞，∴＜（1﹣a）b，（1﹣a）b＜，∴A、C均错，又∵1＜1+a＜1+b，∴（1+a）a＜（1+b）a＜（1+b）b，∴B错．对于D，（1﹣a）a＞（1﹣a）b，而（1﹣a）b＞（1﹣b）b，∴（1﹣a）a＞（1﹣b）b．故选D点评：本题主要考查指数函数的单调性．属基础题．8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7考点：加密和数字签名的方法．专题：计算题．分析：利用接收方收到密文14，9，23，28及题目提供的加密规则，建立关于a，b，c，d 的方程组，从而可解得解密得到的明文．解答：解：设明文为a，b，c，d，∴4d=28，2c+3d=23，2b+c=9，a+2b=14，∴d=7，c=1，b=4，a=6，则解密得明文为6，4，1，7．故选B．点评：本题主要考查了加密和数字签名的方法，同时考查实际应用能力等数学基本能力，要加强新的信息与创新题，是个基础题．9．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先求出函数f（x）=2x2﹣mx+3对应抛物线的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．解答：解：函数f（x）=2x2﹣mx+3，∴其对称轴为：x=又∵函数在上单调递增∴≤﹣2，∴m≤﹣8．故选C．点评：本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数．解答：解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象根据函数图象可知，图象交点的个数为5个∴方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为5个故选D．点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=﹣5．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件可得函数是周期为4的周期函数，然后利用函数的周期性即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=，∴f（x）≠0，且f（x+4）=f（x+2+2）=，即函数的周期为4．∵f（1）=﹣5，∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5．故答案为：﹣5；点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数周期性的应用．13．（5分）计算：=12．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：规律型．分析：利用有理数指数幂的性质进行运算．解答：解：=．故答案为：12．点评：本题主要考查有理数指数幂的化简和求值，比较基础．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．解答：解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据绝对值的性质和不等式的解法分别解出集合A，B，再根据交集和并集、补集的定义进行求解；解答：解：∵U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，∴A={x||x﹣3|＜2}={x|1＜x＜5}，∴A∩B={x|1＜x＜2或4＜x＜5}，∵A∪B=R，∴C U（A∪B）=∅；点评：此题主要考查不等式的解法，以及集合交、并、补的运算法则，是一道基础题；16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=，x∈R，能求出f（x）+f（）=+=1．（2）由f（x）+f（）=1，能求出f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=，x∈R，∴f（x）+f（）=+=1．（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）==．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化，可得函数的解析式，利用真数大于0，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据定义域，确定指数的范围，再利用指数函数的单调性，可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．∴lg（lgy）=lg∴lgy=3x（3﹣x）∴y=103x（3﹣x）∵，∴0＜x＜3，即函数的定义域为（0，3）；（Ⅱ）令t=3x（3﹣x）=﹣3∵x∈（0，3），∴t∈（0，]∴10t∈∴函数的值域为．点评：本题考查对数的运算法则，考查函数的解析式与值域，正确运用对数的运算法则是关键．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，设x＜0得到f（﹣x）=﹣f（x），进而的f（x）的解析式，求得m的值．（2）根据（1）中的解析式，可画出f（x）的图象，根据图象可知要使f（x）在上单调递增，则需a﹣2＞﹣1且a﹣2≤1，进而求得a的范围．解答：解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2．（2）要使f（x）在上单调递增，结合f（x）的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题．分析：（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；（Ⅱ）∵在定义域上恒成立而﹣2x2∈（﹣2，0）∴a≤﹣2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2﹣a；由（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2﹣a；当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．点评：求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为点评：本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。

广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，22．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）A．2B．3C．4D．53．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8D．2+log355．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9B．11 C．13 D．156．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=x3﹣x2﹣x的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2C．4D．﹣210．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）. 11．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．12．（5分）已知，，，则与夹角的度数为．13．（5分）若x、y∈R+，x+4y=20，则xy的最大值为．14．（5分）函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）已知f（x）=ax3+bx+c图象过点，且在x=1处的切线方程是y=﹣3x﹣1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．（1）求椭圆C的方程；（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（2）若对任意的a∈，不等式f（x）≤1对任意x∈，恒成立，求实数m的取值范围．广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．∴首项a1和公差d的值分别为1，4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．2．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）A．2B．3C．4D．5考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线y2=4x的准线方程，利用P到焦点F的距离等于P到准线的距离，即可求得结论．解答：解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3．故选：B．点评：本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h 即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8D．2+log35考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．解答：解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．D．考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“”，．故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：作图题；导数的概念及应用．分析：先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．解答：解：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增，故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．故选：C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8．（5分）函数y=x3﹣x2﹣x的单调递增区间为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可．解答：解：∵y=x3﹣x2﹣x，∴y′=3x2﹣2x﹣1，令y′≥0即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）≥0解得：x≤﹣或x≥1故函数单调递增区间为，故选：A．点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．9．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2C．4D．﹣2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a，b的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值．解答：解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x，即，∴，则=x2+a+b=，∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为，设a=，则=，若cosx≥0，则≤2，若cosx＜0，则≤2，综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键，利用换元法求函数的最值，综合性较强．10．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）. 11．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．12．（5分）已知，，，则与夹角的度数为120°．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由，得•（+）=0，求出•的值，从而得出与夹角的余弦值，求出夹角的度数．解答：解：∵，，，∴•（+）=0，∴+•=0，即1+1×2cosθ=0，∴cosθ=﹣，又∵θ∈，∴θ=120°，即与夹角为120°；故答案为：120°．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题．13．（5分）若x、y∈R+，x+4y=20，则xy的最大值为25．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵x、y∈R+，x+4y=20，∴20，解得xy≤25，当且仅当x=4y=10，即x=10，y=时取等号．因此xy的最大值为25．故答案为25．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．14．（5分）函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是y=﹣3x﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解答：解：∵f（x）=x3+3x2﹣1，∴f'（x）=3x2+6x，在x=﹣1处的切线斜率k=3•（﹣1）2+6•（﹣1）=﹣3，又∵f（﹣1）=（﹣1）3+3•（﹣1）2﹣1=1，切点为（﹣1，1），∴切线方程为y﹣1=（﹣3）（x+1）化简得y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；（2）若p是q的必要不充分条件⇔解答：解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是⇔，1＜a＜2∴实数a的取值范围是（1，2）．点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）已知f（x）=ax3+bx+c图象过点，且在x=1处的切线方程是y=﹣3x﹣1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）首先由图象过点求出c的值，代入函数解析式后求导数，由在x=1处的切线方程是y=﹣3x﹣1得到f'（1）=3a（1）2+b=﹣3，切点在f（x）上得到关于a，b的另一方程，联立方程组求得a，b的值，则函数解析式可求；（2）利用导数求函数（﹣3，3）上的极值，和端点值比较后得最值．解答：解：（1）由，∴f（x）=ax3+bx﹣．则f'（x）=3ax2+b，∴f'（1）=3a（1）2+b，∴3a+b=﹣3，又∵切点为（1，﹣4），∴，联立可得．∴；（2）由⇒f'（x）=x2﹣4，令f'（x）=0⇒x2﹣4=0⇒x=±2，令f'（x）＞0⇒x2﹣4＞0⇒x＜﹣2或x＞2，令f'（x）＜0⇒x2﹣4＜0⇒﹣2＜x＜2，x ﹣3 （﹣3，﹣2）﹣2 （﹣2，2） 2 （2，3） 3f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗ 5 ↘↗由上表知，在区间上，当x=﹣2时，y max=f（﹣2）=5，当x=2时，．点评：本题考查了利用导数求函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程．是有一定难度题目．18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）方法一：由题意可得解得a1，a2，a3．利用{a n}为等比数列，可得，解得k，可得S n．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出．方法二：当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．由于数列{a n}是等比数列，可得q=，解得k，即可得到a n．（2）将k及a n+1，代入，得，再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）方法一由题意可得，∴，又∵{a n}为等比数列，∴，即36=18（3+k），解得k=﹣1，∴．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，，显然，n=1时也适合，∴．方法二当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，．∵数列{a n}是等比数列，∴，即，解得k=﹣1，∴．（2）将k=﹣1及，代入，得，∴①②①﹣②得：=，∴．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、求通项公式的方法，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．（1）求椭圆C的方程；（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），利用短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；（2）确定点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，可得l的方程，再分类讨论，即可求出结论．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），…（1分）依题意得，b=4，，又a2=b2+c2，…（3分）∴a=5，b=4，c=3，…（4分）所以椭圆C的方程为．…（5分）（2）依题意得，，直线OP的方程为y=x，…（6分）因为S△OPQ=4，点Q到直线OP的距离为，…（7分）所以点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，…（8分）设l：y=x+m，则解得m=±4，…（10分）当m=4时，由，消元得41x2+200x＜0，即，x∈Z，∴x=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个，…（13分）当m=﹣4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（2）若对任意的a∈，不等式f（x）≤1对任意x∈，恒成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=1时，函数有三个互不相同的零点，转化为x3+x2﹣x+m=0即m=﹣x3﹣x2+x 有三个互不相等的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，利用导数可得g（x）的极值，借助图象可得m的范围；（2）要使得f（x）≤1对任意x∈恒成立，可转化为max≤1，利用导数可求得max，然后分离参数m后可转化为求关于a的函数最值问题解决；解答：解：（1）当a=1时，．∵函数有三个互不相同的零点，∴x3+x2﹣x+m=0即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相等的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g'（x）=﹣3x2﹣2x+1=﹣（3x﹣1）（x+1）．令g'（x）＞0，解得；令g'（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和上均为减函数，在上为增函数，∴极小值=g（﹣1）=﹣1，极大值=g（）=，∴m的取值范围是．（2）∵，且a＞0，∴当x＜﹣a或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和，单调递减区间为．当a∈时，，﹣a≤﹣3．又x∈，∴f（x）的最大值为f（﹣1）和f（2）中的较大者．∵f（﹣1）﹣f（2）=3a2﹣3a﹣9＞0，∴．要使得f（x）≤1对任意x∈恒成立，即max≤1，亦即﹣1+a+a2+m≤1，即当a∈时，m≤﹣a2﹣a+2恒成立．∵﹣a2﹣a+2在a∈上的最小值为﹣40，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣40]．点评：本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．。