陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)

2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库第1部分名校考研真题第9章数项级数一、判断题1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（）[东南大学研]【答案】错查看答案【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有．2．若，且对任意的n，有，则收敛．（）[重庆大学研]【答案】错查看答案【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n 必须足够大，才可以成立．二、解答题1．设收敛，证明：[华东师范大学研]证明：记级数的前n项和S n．则对上式两边取极限，从而即2．证明下列级数收敛．[东北师范大学研]证明：（1）方法一所以所以收敛。

方法二由于所以而收敛，从而收敛．（2）由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即收敛。

3．证明：[浙江大学研]证明：因为且单调减，所以反复利用分部积分法，又所以将②代入①得4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研]解：（1）若p、q>1，则绝对收敛。

（因为，例如p>q，则为优级数）；（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；（3）当p、q>0，原级数与级数同时敛散，若p>1，0＜q ≤1或q>1，0＜p≤1时级数一敛一散，故原级数发散．若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数发散，从而原级数发散．同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有又，所以，从而由Cauchy收敛准则知级数也收敛．若与都发散，不一定发散．反例：．6．设，证明：收敛．[浙江大学2006研]证明：因为令，则易知，所以因为，而收敛，所以收敛．7．设，举例说明存在（从而级数收敛），但，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]解：级数．由于故，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又，所以由根式判别法知收敛．8．判断级数的敛散性．[青岛科技大学研]解：令，则故由Raabe判别法知收敛．9．设f（x）在[1，+∞）上单调，证明：若广义积分收敛，则级数也收敛．[北京化工大学研]证明：不妨设f（x）在[1，+∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，+∞）上非负，若存在，使得．由于当时，，又发散，故由比较判别法知发散，矛盾，所以f（x）在[1，+∞）上非负．因为f（x）在[1，+∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有依次相加可得由于收敛，于是对任意正整数m，有即非负级数部分和有界，故收敛．10．设是严格递减的正数列，且，证明：级数收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]证明：因为是严格递减的正数列，所以即是严格递减的数列．又由极限的性质知故由Leibniz判别法知收敛．11．讨论级数的收敛性．[厦门大学研]解：利用带Peano余项的Taylor公式（当x→0时），有于是．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．12．，证明：存在，并求之．[上海大学研]证明：令，则从而因为，所以故有14．判断级数的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）（2）相对收敛性：（A-D判别法）①；②。

第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例：，很明显但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有不唯一．二、填空题（1）函数的定义域是______，它是______区域；（2）函数的定义域是______；（3）函数的定义域是______；（4）二元函数的定义域是______；（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]【答案】（1）（2）（3）椭圆与抛物线所围的区域；（4）（5）三、解答题1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在上连续，所以，又，从而，即，故F是闭集．2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解：方法一由于令，有所以方法二由于，，所以，故有3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当时恒有．特别当时，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]令显然W、V为开集．5．设试讨论下面三种极限：[南京工学院研]解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限都不存在．6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．（1）试比较的大小并证明之；（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]解：（1），有上式对于任意的x都成立，则由y的任意性可知（2）若，使下面证明上面条件为充分条件显然8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有对使故对时，即上的一致连续函数．9．[暨南大学2013研] 解：设，则。

教材和参考书教材：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。