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5向量与矩阵的范数

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第五章--向量范数和矩阵范数

第五章--向量范数和矩阵范数

圆范数。
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解

第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。

若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

向量与方阵的范数

向量与方阵的范数


x2 L xn ) ∈ R n ， n 维向量空间 R n 上常用的向量范数有：
T
2 2 2
（1） ．2-范数： || x || 2 = x1 + x 2 L + x n ； （2） ．1-范数： || x ||1 =| x1 | + | x 2 | + L + | x n | ； （3） ． ∞ 范数： || x ||∞ = max{ xi }；
− A → 0 (k → ∞) 。
练习
⎛ 2 − 4⎞ ⎛ 1 ⎞ 1．设 A = ⎜ ⎟，x = ⎜ ⎟ 。求： x 1 ， x 2 ， x ∞ ， A 1 ， A 2 ， A ∞ 。 ⎜1 − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
2．设 A 是 n × n 矩阵，证明： n −1 A 2 ≤ n
−1 2
1≤i ≤ n
（4） ． p -范数： x
p
=
p
x1 + L + xn
p
p
。
可以证明，它们满足定义 1 中的三条性质。 例1 解：
|| x || 2 = 12 + ( −3) 2 + 0 2 + 2 2 = 14 ；
计算向量 x = (1 − 3 0 2 ) 的 2-范数，1-范数， ∞ 范数和 4-范数。
n
1≤ j ≤ n
（1）1-范数： A 1 = max ∑ aij ；
i =1
（2） ∞ 范数： || A || ∞ = max ∑ aij ；
1≤i ≤ n j =1
n
（3）2-范数： || A || 2 = λ max ， λ max 为 AT A 的最大特征值； （4）Frobenius 范数： || A || F =
向量范数与矩阵范数

向量范数与矩阵范数

(2) 对任意的数 k∈R，有
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1

max

|
5
|

|1|

|
8
|,

第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习

第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习

第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。

若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5.H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. nnkk i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。

若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A HB)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。

向量与矩阵范数习题

向量与矩阵范数习题


2 2
=
M (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
2 2
−
M (λ1α1x1 + λ2α2x2 + · · · + λnαnxn)
2 2
≥
M (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
2 2
−
maxi
|λi
|2
·
M (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)
ν(AB) =
m i=1
n j=1
|
s k=1
αik
βkj
|
≤
m i=1
n j=1
s k=1
|αik||βkj
|
≤
m i=1
nj=1[(
s k=1
|αik|)(
s k=1
|βkj
|)
=
(
m i=1
s k=1
|αik|)(
n j=1
s k=1
|βkj |)
=AB
10
五、证明
1: A ∈ Cnn×n, λ 为其特征值，则：

U H
·
U

√ λ1
√ λ2
λn
记
M =U

√ λ1
√ λ2

... √
U H ，
λn

... √
U H
λn
则有
M = MH , A = M · M = MH · M
于是
A − BH AB = M H M − BH M H M B
对任意 x ∈ Cn，有二次型
向量与矩阵的范数

向量与矩阵的范数


那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB
第五章 向量与矩阵的范数

第五章 向量与矩阵的范数


A
F
= ( ∑∑ aij )
2 i =1 j =1
X
2
= ( ∑ xi )
i =1
n
2 12
= (X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到 不等式可以得到 根据
AX ≤
m 2 2
=
n
∑ ∑
i =1
m
n
2
j =1
a ij x
n
j
≤
2 j
∑
m
i =1
( ∑ a ij x j ) 2
j =1
n
∑ [( ∑
AB = n max
i, j i ,k
∑a
k =1 k, j
n
ik kj
b ≤ n max ∑ aik bkj
i, j k =1
n
≤ n ⋅ n max aik max bkj = n max aik ⋅ n max bkj
i ,k k, j
= A B
因此 的范数。 A 为矩阵 A 的范数。
例3
p
= ( ∑ ai )
p i =1
n
1
p
∑a
i =1
n
i
（2）2－范数 ） －
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 欧氏范数 （3）∞ －范数 α ∞ = lim α ） p →∞ 定理
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明 令
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 维线性空间， 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 α 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 按照某一确定法则对应着一个实数， 范数， 实数称为 α 的范数，记为 α ，并且要求 范数满足下列运算条件： 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 ）非负性： 有且仅有当 α = 0, （2） 齐次性： ） 齐次性： 意数。 意数。
向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数


Ａ的列范数 Ａ的“2”范 数或Ａ的谱
范数
其中 max ( A A)为A A的最大特征值。
T T
第一章 绪论
例2
求矩阵A的各种常用范数
1 2 0 3 A 1 2 1 4 0 1 1
2
n
5
2
2
解:
A 1 max aij 1 j n
i 1
"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维
向量长度概念的一种推广.
数域:数的集合,对加法和乘法封闭.
有理数、实数、复数数域
线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘 法封闭,也称为向量空间。
第一章 绪论
5.4.1 向量范数 ( vector norms )
二维，三维的长度概念：
T 2 2 2 R 中，x R ， x x1 x2，其中x x1 , x2 ； T 3 3 2 2 2 R 中, x R ， x x1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。
② x 也是 x p 的特例
xi ( x1 因为 max 1i n
p
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x
p
x

( p 时),
所以 x 也是 x p的特例
A 4
3.0237
3.6056
A2
AF
数值分析5-5(向量和矩阵的范数)

数值分析5-5(向量和矩阵的范数)


n
1
A F ( xij 2 )2
i , j1
称为Frobennius－范数
举例：
A
1 3
2 4
计算A的各种范数.
解：
n
A


max
1in
j1
aij
max{1 2,3 4} 7
n
A
1

max
1 jn
i 1
|
aij
|

max{1

3,2
x p ( xi p ) p
i 1
称为∞－范数或最大范数 称为1－范数 称为2－范数
称为p－范数
举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数.
解：
n
x 1 | xi | 6
i 1
n
1
x 2 ( xi 2 )2 14
i 1
x

max
1in
xi
3
3. 向量范数的性质
3) x y x y , x, y Rn(三角不等式)
则称‖x‖为向量的范数
2. 常用的向量范数
在 Rn上的向量x =(x1,…,xn)T∈Rn ，三种常 用的范数为：
x


max
1in
xi
n
x 1 | xi |
i 1
n
1
x 2 ( xi 2 )2
i 1
n
1
第五章 解线性方程组的直接法 §5 向量和矩阵的范数
一、向量的范数
二、矩阵的范数 三、小结
一、向量的范数
1. 向量范数的定义
设对任意向量 x∈Rn，按一定的规则有一实 数与之对应，记为‖x‖，若‖x‖满足

向量和矩阵的范数

一、向量的范数定义1 设x=(x1 ,x2,…,x n )n ,y=(y1 ,y2,…,y n )n∈R n (或C n )。

将实数(或复数),称为向量x,y的数量积。

将非负实数或称为向量x的欧氏范数。

对向量x,y的数量积有：1. (αx,y)=α(x,y).α为实数(或(x,αy)=(x,y),α为复数);2. (x,y)=(y,x)[(x,y)=(,)];3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。

对向量x的欧氏范数有：1. ‖x‖2≥0, ‖x‖2 =0当且仅当x=0时成立;2. ‖αx‖2=|α|‖x‖2，任意的α∈R(或α∈C),3. ‖x+y‖2≤‖x‖2 +‖y‖2 (三角不等式)，(5.2)注(5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。

定义2(向量的范数) 如果向量x∈R n (或C n )的某个实值函数N(x)=‖x‖, 满足条件：(1) ‖x‖≥0(‖x‖=0当且仅当x=0)(正定条件)，(2) ‖αx‖=|α|·‖x‖，任意的α∈R(或α∈C),(3) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(三角不等式)，则称N(x)是R n (或C n )上的一个向量范数(或模)。

下面我们给出几种常用的向量范数。

1. 向量的∞-范数(最大范数)：(5.3)2. 向量的1-范数：3. 向量的2-范数：(5.4)4. 向量的p-范数：(5.5)例6 计算向量x=(1,-2,3)T的各种范数。

解：定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=‖x‖为R n上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2,…,x n的连续函数。

证明设其中e i=(0,…,1,0,…,0)T, . 只须证明当x→y时N(x)→N(y)即成。

向量与矩阵范数

(3) 若 A 是对称矩阵，则 ( A) A 2
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x

max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质

范数


向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
14
§6 误差分析
一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会 有误差(观测误差和舍入误差)，即有扰动，从 而使计算结果产生误差。 向量的误差可用向量范数表示：设x 是x的近似 矩阵， x x 、x x / x 分别称为x 的关于
* * * * *
范数 的绝对误差与相对误差。
16
方程组的状态与条件数
x1 x2 2 x1 2 例：方程组 . x1 1.00001x2 2 x2 0 x1 x2 2 x1 1 而方程组 . x1 1.00001x2 2.00001 x2 1 比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
x A1 A( x x ) A1 A ( x x ) x（ 1 A1 A ） A1 A x x
x A
1 1
如果 A充分小，使得 A1 A 1, 则由上式得

A A
A A
1
A
A
1 A
1 A A
1
A
A
上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与 A A1 有关。一般地， A A1 越大，解的扰动也越大。
15
矩阵的误差可用矩阵算子范数表示：设A 是A的 近似矩阵，A A 、A A / A 分别称为A 的关
* * * *
*
于范数 的绝对误差与相对误差。 由于范数等价，用何种向量范数都是合理 的。关键是容易计算。 理论分析，谱范数是非常有效的。但在计算 上行范数和列范数更方便。 比较：向量1-范数--列范数， 向量-范数--行范数。

向量与矩阵的范数

1/35
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一
确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 下面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
计算方法三⑤
15/35
•矩阵范数的性质：
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
——弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数 简称F范数
12/35
几种常用的矩阵范数：
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数
计算方法三⑤
13/35
Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：
(1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数, 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的； 当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。
计算方法三⑤
28/35
>>cond(a,p)
通常使用的条件数有：
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX=λX

矩阵与向量相乘的范数

矩阵与向量相乘的范数矩阵与向量相乘的范数是线性代数中的重要概念。

在矩阵与向量的乘法中，范数指的是向量的大小或量级。

范数的概念被广泛应用于机器学习、优化等领域。

一、向量的范数在介绍矩阵与向量相乘的范数之前，我们需要先了解向量的范数。

向量的范数表示向量的大小或长度，常用的向量范数有L1范数、L2范数和L∞范数。

1. L1范数：L1范数是向量中各个元素的绝对值之和。

表示为：||x||1= ∑|xi|。

2. L2范数：L2范数是向量中各个元素的平方和的平方根。

表示为：||x||2=√(∑xi^2)。

3. L∞范数：L∞范数是向量中绝对值最大的元素。

表示为：||x||∞=max|xi|。

以上三种范数是最常用的向量范数，它们的应用场景不同。

二、矩阵与向量相乘的范数矩阵与向量相乘的范数同样有L1范数、L2范数和L∞范数等几种常用的范数。

下面我们来详细了解一下这些范数。

1. L1范数对于一个矩阵A与一个向量x相乘，其L1范数表示为||Ax||1=∑|Ai·x|，其中|·|表示求绝对值。

L1范数的应用很广泛，比如用于稀疏矩阵的正则化、Lasso回归等。

2. L2范数对于一个矩阵A与一个向量x相乘，其L2范数表示为||Ax||2=√(∑(Ai·x)^2)，其中|·|表示求绝对值。

可以看到，L2范数是矩阵与向量之间内积的平方根。

L2范数常常被用在最小二乘问题中。

3. L∞范数对于一个矩阵A与一个向量x相乘，其L∞范数表示为||Ax||∞= max|Ai·x|。

L∞范数表示的是矩阵与向量之间内积的最大值，也称为Chebyshev范数或无穷范数。

在矩阵论中，L∞范数通常用于矩阵的幂级数。

三、总结本文主要介绍了矩阵与向量相乘的范数，分别介绍了L1范数、L2范数和L∞范数。

这些范数广泛应用于机器学习、优化等领域。

了解这些范数的应用场景，有助于我们更好地理解矩阵与向量相乘的结果。

范数及条件数


(i 1, 2,L , n) 称
i
(A) max i 为A的谱半径。 1in
定理：(A) A , A 为 A 的任意矩阵范数
( Ax x x , Ax A x x A x A (A) A )
例：设A = (aij)nn，||A||为其算子 范数，如果||A|| < 1,则 I – A可逆，
x 1
x 1
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1
x 1
x 1
A B.
矩阵的范数性质（续1）
4，对任意n维非零向量x,
有 Ax A 即 Ax A x . x
故有 AB max ( AB)x max A(Bx)
x 1
x 1
max A Bx max A B x
1
A 为矩阵的谱范数或欧几里德范数。 2
推论 设A为对称矩阵,则 || A ||2 | max( A) |,
又若A非奇异, 则
||
A1
||2
||
1 m in
(
A)
||。
对称矩阵范数
证明：由AT A知
|| A ||22 max( AT A) max( A2 ) | max( A) |2 所以有 || A ||2 | max( A) |
因为AT
A
2 1
2 2
4
2
1 8
4
10
10
17
由 | I AT A | 8
10 0
10 17
解得1 23.466, 2 1.534，故 || A ||2 23.466 4.844。
1
|| A ||F [22 (1)2 (2)2 42 ]2 5
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种范数，则总存在正数 d1 , d2 使得
d1
A
A d2
A,
A C mn
诱导范数
定 数义 ，： 如设果对X于任是何向矩量阵范A数与，向A量
是矩阵范
X 都有
AX A X
则称矩阵范数 的。
A 与向量范数
X 是相容
例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范
数是相容的.
证明 : 因为
d1
b
a
d2
,
b
V
定理：有限维线性空间 V 上的任意两个向
量范数都是等价的。
利用向量范数可以去构造新的范数。
例 ：设 g b是 Cm 上的向量范数，且
ACmn , rank( A) n ，则由
A , Cn
a
b
所定义的 g a是 Cn 上的向量范数。
例 ： 设 V 数域 F 上的 n 维线性空间，
a (k) 21
1
r k (r
1),
那么
a (k) 22
k2 k2
k k
1 lim A(k) A 3
0
k
1 1
定理： 矩阵序列{A(k )} 收敛于 A 的充分必
要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k) A 为任意一种矩阵范数。
证明：取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
（1）如果 A 1 2 L n ，那么
n
A 2 F
2 i2
i 1
n
（2） A 2 TR( AH A) F
i ( AH A)
i 1
（3）对于任何 m 阶酉矩阵 U 与 n 阶酉矩阵
V 都有等式
A UA AH
F
F
F
AV UAV
F
F
关于矩阵范数的等价性定理。
定理：设 A , A 是矩阵 A 的任意两
mn
1 22
A ( F
aij )
i1 j1
n
X ( 2
xi 2 ) 12 ( X H X )1 2
i 1
根据Hoider不等式可以得到
2
mn
mn
AX 2 2
aij x j ( aij x j )2
i1 j1
i1 j1
m n
2n
2
[( aij )( x j )]
i1 j1
j 1
第五章 向量与矩阵的范数
定义： 设V 是实数域 R（或复数域 C ）上 的 n 维线性空间，对于V 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个
实数称为 的范数，记为 ，并且要求
范数满足下列运算条件：
（1）非负性：当 0, 0 只 有且仅有当 0, 0
（2） 齐次性： k k , k 为任
bkj
A B
因此 A 为矩阵 A 的范数。
例 3 ：对于任意 A Cmn，定义
m n
21
A ( F
aij ) 2
i1 j1
可以证明 A 也是矩阵 A 的范数。我们称此 范数为矩阵 A 的Frobenious范数。
证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。
利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。
于是有
n
x(
p
yi p ) 1 p
i 1
另一方面 n
1 yi p n
i 1
n
1
1
1 ( yi p ) p n p
i 1
故
n
lim(
p i1
yi p ) 1 p
1
由此可知
lim
p
p
x
max
1in
ai
定 上义 定：义设的两种a向, 量范 数b ，是如n果维存线在性两空个间与V 无关的正数 d1 , d2 使得
A(k ) A
lim k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
即
lim
k
aij
(
k
)
aij
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
故有
lim
k
A(k )
A
A 1 0 0 或 A 0 1 0
i 0 0
0 0 1
分别计算这两个矩阵的 A ， A ， A
和A 。
1
2
F
例 2 ：证明：对于任何矩阵 A Cmn 都有
AH AT A
1
1
AH AT A
2
2
2
AH A A 2
2
2
A 2 A A
2
1
如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？
定理：设 A 是矩阵范数，则存在向量范数 X 使得 *
引理（Minkowski不等式）：设
a1,a2,L ,an T , b1,b2,L ,bn T Cn
则
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
bi p ) 1 p
i 1
i 1
i 1
其中实数 p 1 。
几种常用的范数
定义：设向量 a1, a2,L , an T ，对任
AX A X *
证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范
数 X X H ，容易验证此定义满足向
量范数的三个性质*，且
AX AX H A X H
*
*
*
A X *
例：已知矩阵范数
mn
A A *
aij
i1 j1
求与之相容的一个向量范数。
解：取 0 1 L 0 T 。设 X x1 x2 L xn T
意的数 p 1 ，称
n
( p
ai p ) 1 p
为向量
的
i 1
p 范数。
常用的 p 范数：
n
（1）1－范数
1
ai
i 1
（2）2－范数
n
( 2
ai
2
)
1 2
( H )1 2
i 1
也称为欧氏范数。
（3）
－范数 lim
p
p
定理：
max 1in
ai
证明：令

max
1in
ai
，则
yi ai x , i 1, 2,L , n
都收敛，则称矩阵序列{A(k )} 收敛。
进一步，如果
那么
lim
k
aij
(
k
)
aij
lim
k
A(k )
A
[aij ]
我们称矩阵 A 为矩阵序列 {A(k )} 的极限。
例 ：如果设 A(k ) aij(k ) C22 ，其中
a (k) 11
k 1, 3k
a (k) 12
rk (0
r
1)
mn p
mn p
AB
aikbkj
aik bkj
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
mn
p
p
[( aik )( bkj )]
i1 j1 k 1
k 1
mp
np
( aik )( bkj )
i1 k 1
j1 k 1
A B
例 2 ：设矩阵 A Cnn ，证明：
A
n max i, j
aij
是矩阵范数。
应的一个实数，且满足
（1）非负性：当 A 0, A 0 只有 且仅有当 A 0, A 0
（2） 齐次性： kA k A , k 为任
意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两个同种形
状矩阵 A, B 都有
AB A B
（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以
相乘的矩阵 A, B ，都有
AB A B
设 ACml , B Cln ，则
mn l
2
mn l
AB 2 F
aikbkj
( aik bkj )2
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
m
n
l
[(
l
aik 2 )(
2
bkj )]
i1 j1 k 1
k 1
m
(
l
n
aik 2 )(
l
2
bkj )
i1 k 1
j1 k 1
A 2B 2
2
定理：设 A Cmn ，则
m
（1）
A 1
max( j i1
aij
),
j 1, 2,L , n
我们称此范数为矩阵A 的列和范数。
（2）
A
2
max( j
j
(
AH
A))
1 2
,
j ( AH A)
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。
n
（3）
A
max( i
j 1
证。现在考虑矩阵范数的相容性。
设 B 0 ，那么
ABX
A(BX )
AB max
max(
i
X 0
X
X 0 BX
A(BX )
BX
max
max
BX 0 BX
X 0 X
AX
BX
max
max
X 0 X
X 0 X
A B
i
i