【数学】2010年高考总复习：3.3 函数的单调性与最值(练习)

考点02函数的单调性与最值1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x=D ．()f x =【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =为R 上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D 【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D 【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值1．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（）A ．11x y<B ．--+<+xyy xe ee eC ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >2．（2021·江苏徐州市·高三其他模拟）已知集合{}260A x x x =--<，(){}2log 21B x x =-<，()RA B = ð（）A ．（－2，3）B ．（2，3）C ．[3，4）D ．(][),23,-∞⋃+∞3．（2021·全国高三其他模拟）已知点()0,1A ，点B 在抛物线2y x =上，则AB 的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．124．（2021·江苏高三专题练习）函数x y a =（0a >，且1a ≠）在[]1,2上最大值与最小值的差为2，则a =（）A ．1-或2B ．2C ．12D ．141．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知1,1m n >>，且ln ln 2m n n m -=-，下列结论正确的是（）①1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②11n n m m +>+；③log 2021log 2021m n >；④11m n n m ->-．A ．①④B ．②③C ．①②D ．②④2．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））已知()1x f x e x =-，设()4log 5a f =，21log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.50.2c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<3．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数()f x 满足()()f x f x -=-，且对任意的[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()2121f x f x x x --()2,12020f >=，则满足不等式()()202021011f x x ->-的x 的取值范围是（）A ．()2021,+∞B ．()2020,+∞C ．()1011,∞+D ．()1010,+∞4．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知2ln ln 2a a =，3ln ln 3b b =，5ln ln 5c c =，且(),,0,a b c e ∈，则（）．A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<5．（2021·安徽宿州市·高三三模（文））已知函数()()2ln f x x x e =++，则（）A ．()()()30log 3log f f f ππ<<-B ．()()()3log log 30f f f ππ-<<C ．()()()3log 0log 3f f f ππ-<<D ．()()()3log 30log f f f ππ<<-6．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n ﹣1，若对于任意的n ∈N *，不等式λ(S n +1)≥6a n ﹣3恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(0，4]B ．[4，+∞)C ．[3，+∞)D ．(3，+∞)7．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x -=.当(]1,0x ∈-时，()()1f x x x =+.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，则实数m 的取值范围是（）A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））若存在正数x 使()1x e x a +<成立，则a 的取值范围是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．（2021·全国高三月考（文））若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值10．（2021·福建三明市·高三其他模拟）已知函数2(1)()86(1)xe e xf x x ax x x ⎧-≥⎪=⎨⎪+-<⎩是定义在R 上的单调递增函数，1()(ln 1)e e g x x a x x e -=++-，当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围是（）A ．[)4,0-B ．[]4,2--C ．[]4,e --D ．[],2e --1．（2016·北京高考真题（文））已知A （2,5），B （4,1）.若点P （x ,y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为A ．−1B ．3C ．7D ．82．（2018·安徽高考真题（文））若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或83．（2017·天津高考真题（文））设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为A ．B ．C ．D ．4．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃5．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减6．（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=7．（2018·天津高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]8．（2019·浙江高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.1．C 【分析】选项A,D 举反例即可判断，选项B ，设x x y e e -=-，由其单调性可判断，选项C.由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，可判断.【详解】解：A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误，B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误.故选：C .2．C 【分析】首先通过不等式求解集合A 和B ，最后再求()R A B ⋂ð即可.【详解】由题意可知，()2,3A =-，()2,4B =，所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð，所以()[)3,4R A B = ð，故选:C ．3．C【分析】设点(),B x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数配方求最值即可求解.【详解】设点(),B x y ，则AB ==2=≥，∴当12y =时，min 2AB =.故选：C.4．B 【分析】根据指数函数知函数总是在1x =和2时，取得两个最值，即得22a a -=，解方程22a a -=和22a a -=即得结果.【详解】根据题意，0a >，且1a ≠，由x y a =的单调性，可知其在[]1,2上是单调递增函数或单调递减函数，总是在1x =和2时，取得两个最值，即22a a -=，即22a a -=或22,a a -=当方程22a a -=成立，即220a a -+=，判别式30∆=-<，该方程无实数解；当方程22a a -=成立，即220a a --=，解得2a =（1a =-舍去），故选：B ．1．A 【分析】由条件可得ln ln m m n n +>+，再由函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，可得出m n >，根据指数函数，对数函数的单调性，不等式的性质，以及函数1+y x x=的单调性判断可得选项.【详解】解：由条件可得ln ln ln m m n n n n n +=++>+，又函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，所以m n >，故111,,log 2021log 2021221mnm n n n m m +⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又1+y x x =在()1,+∞上单调递增，所以m +11n m n >+，即11m n n m->-，所以①④正确．故选：A.2．B 【分析】由已知条件，根据偶函数的性质得到()f x 在()0,∞+上单调递减，()221log log 33f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数对数函数的性质比较4log 5、2log 3、0.50.2的大小关系，注意先和0、1比较大小，4log 5、2log 3的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较．【详解】函数()1x f x e x=-的定义域为{}0x x ≠，因为()11x x f x e e x x--=-=--，故函数()f x 为偶函数，当0x >时，()1xf x e x=-，则该函数在()0,∞+上单调递减，44log 5log 41>=，()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，244 log 3log 9log 5=>，0.5000.20.21<<=，0.54200.2log 5log 3∴<<<，故()()()0.5420.2log 5log 3f f f >>，即c a b >>，即b a c <<，故选：B ．【点睛】方法点睛：利用幂指对函数的性质比较实数或式子的大小，先要考虑分析数或式子的大致范围（常常与0、1比较），来进行比较大小，要借助0、1等常见数的“桥梁”作用．有时候还要考虑化为同底数的幂或者对数进行比较大小．3．A 【分析】()()21212f x f x x x ->-可化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，构造函数()2f x x -，再结合奇偶性可知该函数在R 上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】根据题意可知，()()21212f x f x x x ->-可转化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，所以()2f x x -在[0，+∞)上是增函数，又()()f x f x -=-，所以()2f x x -为奇函数，所以()2f x x -在R 上为增函数，因为()()202021011f x x ->-，(1)2020f =，所以(2020)2(2020)(1)2f x x f --->-，所以20201x ->，解得2021x >，即x 的取值范围是()2021,+∞.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式()()21212f x f x x x ->-化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，从而构造函数()2f x x -，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.4．D 【分析】把已知条件转化为ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，构造函数()ln xf x x =，利用导数判断单调性，即可比较出a 、b 、c 的的大小.【详解】解：∵2ln ln 2a a =，3ln ln 3b b =，5ln ln 5c c =，且(),,0,a b c e ∈，化为：ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =，令()ln x f x x =，()0,x e ∈，()21ln xf x x-'=，可得函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()25lnln 5ln 22ln 55ln 2320521010f c f a --=-==<，且(),0,a c e ∈，∴c a <，同理可得a b <．可得c a b <<，故选：D ．【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.5．A 【分析】由奇偶性定义可知()f x 为偶函数，知()()33log log f f ππ-=，由函数单调性的性质可确定当0x ≥时，()f x 单调递增，根据对数函数单调性可得自变量的大小关系，由此确定函数值的大小关系.【详解】()f x 定义域为R ，()()()()()22ln ln f x x x e x x e f x -=-+-+=++=，()f x ∴为偶函数，()()33log log f f ππ∴-=，当0x ≥时，()()2ln f x x x e =++，2y x = 与()ln y x e =+在[)0,+∞均单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，330log 1log 3log 1log 3log πππππ=<<==< ，()()()30log 3log f f f ππ∴<<，即()()()30log 3log f f f ππ<<-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小关系的问题，解题关键是能够根据对数函数单调性确定自变量的大小关系，进而结合函数的单调性确定函数值的大小.6．C 【分析】通过构建S n ﹣1与S n 关系式求出a n 及S n ，由λ(S n +1)≥6a n ﹣3，得631n n a S λ-≥+，使得λ大于631n n a S -+的最大值即可．【详解】解：∵S n =2a n ﹣1①，∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣1②，①﹣②得a n =2a n ﹣1，12nn a a -=，∴数列{a n }是以2为公比，1为首项的等比数列.a n =2n ﹣1，由S n =2a n ﹣1得S n =2n ﹣1，由λ(S n +1)≥6a n ﹣3，λ(2n ﹣1+1)≥6•2n ﹣1﹣3，3232n nλ⋅-≥，即1312nλ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，当n 趋近于∞取得最大值为3∴3λ≥故选：C.【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．7．B 【分析】根据已知关系式可得()()21f x f x =+，由此可确定(]2,1x ∈--和(]3,2x ∈--时的函数解析式，根据在区间内的函数最小值可知当(]3,2x ∈--时，存在()89f x =-，确定此时x 的值，由此可得m 范围.【详解】由()()12f x f x -=得：()()21f x f x =+；当(]2,1x ∈--时，(]11,0x +∈-，()()()2212264f x x x x x ∴=++=++，此时()min 318229f x f ⎛⎫=-=->- ⎪⎝⎭；当(]3,2x ∈--时，(]21,0x +∈-，()()()2214242024f x f x f x x x ∴=+=+=++，此时()min 58129f x f ⎛⎫=-=-<- ⎪⎝⎭，令28420249x x ++=-，解得：73x =-或83x =-，则当73m ≥-时，()89f x ≥-恒成立，m ∴的取值范围为7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据()()12f x f x -=推导得到()f x 在各个区间内的解析式，由此确定临界值点.8．B 【分析】令y x a =+，1xy e -=，将问题转化为0x ∃>使1y y <，结合函数图象，即可确定a 的取值范围.【详解】由题设，知：0x ∃>使()x x a e -+<成立，令y x a =+，1xy e -=，∴0x >时有1(0,1)xy e-=∈，而(,)y x a a =+∈+∞，∴仅需1a <时，在0x ∃>，使得()1x e x a +<成立.故选：B.【点睛】关键点点睛：令y x a =+，1xy e -=，将问题转化为两个函数在第一象限内存在1y y <，应用数形结合的思想求参数范围.9．A 【分析】取()2f x x =，判断b a -无最小值；由于()()()2222b a a b f a f b f -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故结合题意得2b a -≤，进而得答案.【详解】解：()2f x x =，不妨设0a b <<，则()2f x x =在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，由于函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，所以221b a -=，故1b a a b-=+无最小值；因为()2f a a =，()2f b b =，222a b a b f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于抛物线开口向上，故()()1,1f a t f b t ≤+≤+，2a b f t +⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以()()()22112222b a a b f a f b f t t t -+⎛⎫=+-≤+++-= ⎪⎝⎭，所以2b a -≤，当且仅当22,22k kb a -+==-时取得最大值2.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的图象与最值，解题的关键在于“函数()f x 在[],a b 上的值域为[],1t t +”可以理解为“函数()f x 在[],a b 上的图象夹在两条距离为1的水平线之间”，此外还需要注意到关系式()()()2222b a a b f a f b f -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.10．C 【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，则每一段都为增函数，且1x =的右侧的函数值不小于左侧函数值求得a 的范围，再根据1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，转化为ln 1e x a x x e x -≤--恒成立求解.【详解】令()x e k x e x =-，则()()210x x e k x x '-=≥，所以()k x 在[1,)+∞上递增，因为函数()2(1)86(1)xe e xf x x ax x x ⎧-≥⎪=⎨⎪+-<⎩是定义在R 上的单调递增函数，所以04120a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩，解得42a -≤≤-．又当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，即1(ln 1)xe e e e x a x x e x--≥++-，即ln 1e x a x x e x -≤--，当1x =时，20e -≥，显然成立；当1x >时，化简可得ln ln 111ln ln ln ee xx x x e x x e x ee x e x a xx x-----⋅----≤==．令()1xh x e x =-+，则()1xh x e '=-，当0x >时，()0h x '>，当0x <时，()0h x '<，所以当0x =时，()h x 取得最小值0，所以()10xh x e x =-+>，即1x e x ≥+，所以ln 1ln 11ln ln x x e x x e x x e x x----+--≥=-，当且仅当ln 0x e x -=，即x e =时等号成立，所以a e ≤-．综上可知4a e -≤≤-．故选：C ．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.1．C 【详解】由题意得，线段AB 的方程：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-，24x ≤≤，∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⨯-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7.故选：C.【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．2．D 【详解】试题分析：由题意，①当12a ->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a-<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min()(1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.3．B 【解析】易得，在上单调递减，所以，故，选B ．4．D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.5．A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．6．A 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.7．C 【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.8．max 43a =【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=∙[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a-≤-≤，即2433a≤≤，即a的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.。

(A)(0,1)
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,

所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .



因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .

答案:(- , )


[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函

高考数学专题复习题：单调性与最值一、单项选择题（共9小题）1.下列命题中正确的是（）A.y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减B.y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增C.y=cos x在[−π2,π2]上单调递减D.y=sin x在[−π2,π2]上单调递增2.y=2sin(3x+π3)的值域是（）A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.[-1,1]3.“0<x<π6”是“sin x<12”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数y=sin x与y=cos x，在下列区间内同为单调递增的是（）A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)5.已知函数f(x)=sin(x+π6)在x0处取得最大值，则x0可能是（）A.π6B.π4C.π3D.π26.使cos x=1-m有解的m的取值范围为（）A.m≥0B.0≤m≤2C.-1<m<1D.m<-1或m>17.如果f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，那么ω的值为（）A.2B.23C.43D.328.在△ABC中，角A、B均为锐角，且cos A>sin B，则（）A.cos C>0B.cos C<0C.cos C=0D.cos C≥09.对于函数f(x)={sinx,sinx≥cosx,cosx,sinx<cosx,下列说法中正确的是（）A.该函数的值域是[-1,1]B.当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时,函数取得最大值1C.当且仅当x=2kπ-π2(k∈Z)时,函数取得最小值-1D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时,f(x)<0二、填空题（共3小题）10.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增，则a的取值范围是________.11.若a=sin1，b=ln(sin1)，c=e sin1，则a、b、c三个数中最小的数为________.12.函数y=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(−π6,π3)上单调递增，则ω的取值范围是________.三、解答题（共3小题）13.已知函数f(x)=2cos(3x+π4).（1）求f(x)的单调递增区间;(5分)（2）求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.14.设函数f(x)=√2sin(2x−π4),x∈R.（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.（2）求函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-4,-3]上单调递增，若α,β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sinα)>f(cosβ).。

3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1

(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]