2020-2021学年黑龙江省哈三中高一上学期9月阶段性测试数学

哈三中2020-2021学年度上学期高三物第一次验收考试数学试卷(理)第I卷(选择题共60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集(/ = {-1,0,1}，集合力={-1,0},8 = {0,1},则4n8)=A. {0}B. {-1。

C. {-U}D. {0,1}2.已知函数/(»的定义域为[0,2],则/(2x + l)的定义域为A. [0,2]B.卜;,C. [-U]D. [1,5]3.函数/(》)二十=~^的值域为x —2无 + 2A.(0,1]B. (O,；C.(0,1) ° (K)4.己知集合力=卜€2卜2-3工-4«()[,5 = {x|0<ln.v<2},则的非空其子集的个数为A. 3B. 6C. 7D. 85.若/(4 + l) = x-J7,则/(戈)的解析式为A. /(x)=x2-l B /(x) = (x-2)2c. f(x) = X2-3X +1 D, /(x)=-3大 + 26.已知集合4 = {0,1,/}, 8 = {1,0,3。

-2},若N = 8,则々等于A. 1 或2B. -1 或-2C. 2D. 1理科数学试黝第1页(共6页)理科数学试题第2页(共6页)A. (；,2B. [0J)U(L2]C. (g,“U(l,2]D. [0,2]2" +3 r<08 .设函数/、")=《 ' •若/(。

)= 4,则实数。

的值为l-log 2 x 9x>011 1 1 4X 12 8 16 2 89 .如果函数y = /(x)在区间/上是减函数，且函数^ = 丛»在区间/上是增函数，那 么称函数p = /(x)是区间/上的“可变函数”，区间/叫作,,口r 变区间若函数 /(、)= / —4* + 2是区间/上的“可变函数”・则“可变区间”/为A.因2]B.(7,-何和[a,2]C.(0,V2]D. [1,73]10 .高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之・一,享有“数学王广的称号，他和阿 基米德、牛蟆并列为世界大数学家，用其名字命名的“高斯函数.,为：设K £ R ,用卜] 表示不超过x 的最大整数.则)，=卜]称为高斯函数，例如：卜3.5] = -4, [2.1] = 2, 已知函数/(x) = £；-g,则函故了=的值域是全集U 的子集,下列结论中错误的是A ・若尻则/(幻4/^F) B. f ZuA (x)^\-f A (x)三、解答题（本大题共6小题.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步5L ）7.函数/(*) =lg(2x-l) 的定义域是 A. {-1,0} B. {0} C {0,1}D. {1} II.对于全集U 的子集/定义函数〃(x) = ,(xe 』)(xeC r /l) 为/的特征函数，设48为C. /始8 (*) = /,3/(t) D ・ /4us(x) = /,(x) +，r(x)17.（本小题满分10分）已知全集为R.函数/（x） = log4 - 2）的定义域为集合4,集合6 =卜, 7-620}.（1）求力。

哈三中2022—2023学年度上学期高三学年第一次验收考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（共60分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合(){}lg 3,A x y x x N ==-∈，则集合A 的真子集的个数为A ．7B ．8C ．15D ．162．sin 495=A ．1B ．12-CD．23．若幂函数()()226844mm f x m m x -+=-+在()0,+∞上为减函数，则m 的值为A ．1或3B ．1C ．3D ．24．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t hc c T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中c T 是环境温度，h 为常数.现有一个105C 的物体，放在室温15C 的环境中，该物体温度降至75C 大约用时1分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30C ，则m 的值约为（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．2.9B ．3.4C ．3.9D ．4.45.将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数23cos y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的图象，则ϕ的值可以是A ．712πB ．125πC ．12πD ．3π6．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =-7．已知())20222022lnx x f x x -=--，当02x <<π，cos a x =，ln cos b x =，cos e x c =，试比较()()(),,f a f b f c 的大小关系A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<8．已知()()βαβαβαsin sin cos cos 2=++-，其中α，β均为锐角，则()βα-tan 的最大值为A.31 B.32 C.33 D.332(二)多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．02cos <C ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角D.若βαsin sin =，则α与β的终边相同10．下列命题为真命题的是A ．若0a b <<，则22a ab b>>B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b >>，c d >，则ac bd>11．已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是23πC ．ω的取值范围是91344⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．()f x 在区间0,15⎛⎫⎪⎝⎭π上单调递增12．)(x f 是定义在R 上的函数，满足12()(),(1)2xf x f x xe f e'+=-=-，则下列说法错误的是A ．)(x f 在R 上有极大值B ．)(x f 在R 上有极小值C ．)(x f 在R 上既有极大值又有极小值D ．)(x f 在R 上没有极值第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．若sin 2cos 0A A +=，则2sin cos sin 3cos A AA A+=-___________；14．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_________；15．某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟，则1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式为；16．已知函数()21log 0()210x x x f x x ---<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，，，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等实根．则实数a 的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知π0π2<<<<αβ，1cos 43⎛⎫-= ⎪⎝⎭πβ，()3sin 5+=αβ.（1）求sin 2β的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．已知函数2()2(1)2ln ()f x ax a x x a R =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.19．已知函数2()2sin sin cos cos 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的对称中心，并求当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；（2）若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.20．已知函数()11e e xx f x -=+．(1)判断并用定义法证明()f x 在其定义域上的单调性；(2)若()()33920x x x f k f ⋅+-+<对任意1x >恒成立，求实数k 的取值范围．21.哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层．本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：当05x ≤≤时，()34k T x x =+；当5<10x ≤时，()()213023560T x x x =-+；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．设()f x 为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22.已知函数2)1()1ln(2)(+-+=x ax x f 有两个不同的零点1x ，2x .（1）当211-<<-x 时，求证：211)1ln(+->+x x ；（2）求实数a 的取值范围；（3）求证：0122212221<++++x x x x .哈三中2022—2023学年度上学期 高三学年第一次验收考试数学答案13.514.[]4,0 15. ()30sin32(0)12h t t t π=+≥ 16.(]0,1 17.(1)27sin 2cos 2cos 22cos 12449πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫β=−β=β−=β−−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)()cos cos 44π⎛π⎫⎛⎫⎛⎫α+=α+β−β− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()4134cos cos sin sin 44535315ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=α+ββ−+α+ββ−=−⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18.(1)()22ln ,()22222'()2,'()2,(2).(1)(22)(2)'()220'(),(01)(1)0(01)(1)111(0)(1)(f x x x f e e f x f e y x x e e x ax f x xx a f x xa a a a=−=−=−=−=−−+=−==+∞>+∞<−+∞切线方程：，时，单减区间：，，单增区间： ，②当时，单减区间：，，单增区间： ，③当时，单减区间： ，-和 ，，单增区间：-①当)1(0)1110(0,1)()(1)0(01)(1)111(0)(1)()1(0)110a a a aa a a aa =−+∞−<<+∞≥+∞<−+∞=−+∞ ，1④当时,单减区间： ，⑤当时,单减区间：和- ，，单增区间： ，-综上，当时,单减区间：，，单增区间： ，当时，单减区间： ，-和 ，，单增区间：- ，1当时,单减区间： ，- 1-119.(1)())3211(,),().62221(2)()()2),32511(0,)(,).1212f x x k k Zg x f x x x =++−+∈−=−=−++∈，对称中心：，值域：当时，单增区间：πππππππ121212121212121220.(1),,112()()()0,11(1)(1)()(),().x x x x x x x x R x x R x x e e e e f x f x e e e e f x f x f x R ∀∈<−−−−=−=<++++⇒<定义域：，且在上单调递增 11(2)()(),()11(?3)(392)(392)·33921231,3(3,)324()1,'()0,()(3)34.3x xx x x x x x x x x x x xx e e f x f x f x e e f k f f k x k t t g t t g t g t g t k −−−−−===−⇒++<−−+=−+−⇒<−+−><−−=∈+∞=−−>⇒>=⇒≤为奇函数，对任意恒成立令，21(1)()20540=⇒==k kT()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+−≤≤++=1052235721504360082x x x x x x x f(2) 当50≤≤x 时()600860032322088348034334333x x x x +=++−≥−=++ 当且仅当311=x 时等号成立. 当105<<x 时，当7=x 时，()937m in ==f f31120831。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10} 2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab210．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2 11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10}【分析】先求出A∪B，阴影区域表示的集合为∁U（A∪B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，∴A∪B＝{2，4，6}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：∁U（A∪B）＝{8，10}．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题P：∃n∈N，n3＜n为特称命题，则命题的否定为：∀n∈N，n3≥n．故选：D．3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】先利用幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，比较出a，c的大小关系，再利用指数函数y＝0.5x在R上单调递减，比较出a，b的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．解：∵幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且0.5＞0.3，∴0.50.2＞0.30.2，即a＞c，∵指数函数y＝0.5x在R上单调递减，且0.2＞0.1，∴0.50.2＜0.50.1，即a＜b，∴c＜a＜b，故选：C．4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]【分析】根据f（x）的定义域求出f（2x）的定义域即可．解：由题意得：0≤2x≤4，解得：0≤x≤2，故函数f（2x）的定义域是[0，2]，故选：D．5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t【分析】可看出A，B选项中的两个函数的定义域都不相同，不是同一个函数；选项C 的两函数的对应关系不同，不是同一个函数，从而只能选D．解：A．f（x）的定义域为R，g（t）的定义域为{t|t≠0}，定义域不同，不是同一个函数；B．f（x）的定义域为{x|x≤﹣2或x≥2}，g（t）的定义域为{t|t≥2}，定义域不同，不是同一个函数；C.，，对应关系不同，不是同一个函数；D．f（x）＝3x和g（t）＝3t的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选：D．6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]【分析】求解t＝x2+x+1的值域，结合反比例函数的性质可得函数y＝的值域；解：设t＝x2+x+1＝，即t∈[，+∞），函数y＝转化为y＝（），根据反比例函数的性质，可得0＜y．故选：C．7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%【分析】设降价百分率为x%，由题意知125（1﹣x%）3＝27，由此能够求出这种商品平均降价的百分率．解：设降价百分率为x%，∴125（1﹣x%）3＝27，即1﹣x%＝0.6解得x＝40．故选：A．8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]【分析】令t＝x2﹣2x，求出该二次函数的减区间，利用复合函数的单调性即可得到函数y＝的单调递增区间．解：令t＝x2﹣2x，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝1，则函数t＝x2﹣2x在（﹣∞，1]上是减函数，由外层函数y＝是减函数，由复合函数的单调性可得，函数y＝的单调递增区间是（﹣∞，1]．故选：B．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2【分析】由a＞b＞0，通过作差即可判断B，取特殊值即可判断ACD．解：A．取a＝﹣2，b＝1，可知＞不成立，因此A不正确；B．∵a＞b＞0，∴﹣＝＞0，∴＞，因此B正确；C．取a＝b＝1时，ab＝1，因此C不正确；D．取b＝0时，cb2＜ab2不正确，因此D不正确．故选：B．10．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2【分析】根据二次函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．解：由题意得：m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝恒成立，符合题意，m+1≠0时，f（x）的定义域是R，只需，解得：﹣1＜m≤2，综上：m∈[﹣1，2]，故选：C．11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）【分析】由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，即可判断．解：f（x）的图象关于原点对称，g（x）的图象关于y轴对称，由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，故g（x）＝f（﹣|x|），故选：C．12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]【分析】因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求方程解的问题，进而可以求解．解：f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，∴（）2﹣2m•3+m2﹣2＝﹣（3）2+2m•﹣m2+2，∴2m2﹣4＝﹣（3）2﹣（）2+2m（3+）＝﹣（3+）2+2+2m（3+），∴2m2﹣6＝﹣（3+）2+2m（3+），设t＝3+，则t≥2，∴2m2﹣6+t2﹣2mt＝0，即t2﹣2mt+2m2﹣6＝0在t∈[2，+∞）有解，令g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣6，t∈[2，+∞），其对称轴为x＝m，当m≥2时，则△＝4m2﹣4（2m2﹣6）≥0，解得2≤m≤，当m＜2时，f（2）＝4﹣4m+2m2﹣6≤0，解得1﹣≤m＜2，综上所述m的取值范围为[1﹣，6]，故选：A．二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝10．【分析】利用分段函数的性质求解．解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2×12+1＝3，f[f（1）]＝f（3）＝2×3+4＝10．故答案为：10．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝4a．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．解：原式＝﹣24÷（﹣6）＝＝4a．故答案为：4a．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为[1，+∞）．．【分析】由题意求出不等式﹣x2+4x﹣3≥0的解集，即可得出实数m的范围．解：∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0成立，可令﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，所以实数m的范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，由此分类讨论即可得出结果．解：作出函数f（x）的图象如图所示，由图可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，且当k＜﹣2时，方程f（t）＝k无实根，当k＝﹣2时，方程f（t）＝k有唯一实根，当﹣2＜k＜0时，方程f（t）＝k有2个实根，当k＝0或k≥1时，方程f（t）＝k有3个实根，当0＜k＜1时，方程f（t）＝k有4个实根，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，此时t∈（﹣2，+∞），故方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根等价于f（t）＝k的实根至少有3个，当k＝0时，f（t）＝k的三个根均大于﹣2，符合题意；当时，f（t）＝k的四个根均大于﹣2，f（|x|﹣2）＝k有8个不同的实数根，不合题意；当时，此时f（|x|﹣2）＝k有7个不同的实数根，不合题意；当时，f（t）＝k只有三个均大于﹣2的不同实根，符合题意．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别化简集合A，B，根据集合的补集和交集即可求出；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，可得B⫋A，即可得到，解得即可．解：（1）由＜0，解得﹣5＜x＜，故A＝（﹣5，），∴∁R A＝（﹣∞，﹣5]∪[，+∞）当a＝4时，x2﹣16x+48＜0，解得4＜x＜12，即B＝（4，12），∴（∁R A）∩B＝[，12），（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，可得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，解得a＜x＜3a，即B＝（a，3a），命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，∴B⫋A，∴，解得0＜a≤，故实数a的取值范围（0，]．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．【分析】（1）根据条件，可得a3+b3﹣a2b﹣ab2≥0，从而证明不等式成立；（2）根据条件，可得＝，然后利用基本不等式，即可求出的最小值．解：（1）证明：∵a＞0，b＞0．∴a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a2﹣b2）（a﹣b）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2．（2）∵a＞0，b＞0，a+b＝3，∴＝＝，当且仅当，即a＝1，b＝2时取等号，∴的最小值为3．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．【分析】（1）根据f（0）＝0，求出b的值，求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．解：（1）函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，则f（0）＝b+1＝0，解得：b＝﹣1，故f（x）＝；（2）任意x1，x2∈（﹣1，1），设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+1＞0，+1＞0，x2﹣x1＞0，且x1，x2∈（﹣1，1），x1x2﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（﹣1，1）上递增．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．【分析】（1）求出f（1）的值，根据函数的单调性求出f（x）的值域即可；（2）根据函数的解析式求出函数的单调性即可；（3）问题转化为（x+2）（ax﹣1）≥0，通过讨论a的范围，求出x的范围即可．解：（1）f（1）＝＝，f（x）＝＝1﹣，x→+∞时，f（x）→1，x→﹣∞时，f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1）；（2）f（x）在R单调递增；（3）由（1）f（1）＝，f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥即f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥f（1），即ax2+（2a﹣1）x﹣2≥0，即（x+2）（ax﹣1）≥0，①a＝0时，﹣（x+2）≥0，解得：x≤﹣2，②a＞0时，∵＞0＞﹣2，解得：x≥或x≤﹣2，③﹣＜x＜0时，＜﹣2，要使（x+2）（ax﹣1）≥0，解得：≤x≤﹣2，④a＝﹣时，（x+2）（ax﹣1）＝﹣（x+2）≤0，解得：x＝﹣2，⑤a＜﹣时，＞﹣2，解得：﹣2≤x≤．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．【分析】（Ⅰ）对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6，化简整理，再由投入资金都不低于25万元，解不等式求得定义域；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230，由配方和二次函数的值域求法，即可得到所求最大值．解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6＝﹣x+6+230，由，解得25≤x≤175，所以函数的定义域为[25，175]；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230＝﹣（t﹣6）2+248，因为x∈[25，175]，所以t∈[5，5]，当t∈[5，6]时函数单调递增，当t∈[6，5]时函数单调递减，所以当t＝6时，即x＝36时，y max＝248，答：当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大．最大总利润为248万元．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．【分析】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，要使存在一个最大的正数T（﹣1），在区间[0，T（﹣1）]上，﹣3≤f（x）≤2恒成立，T（a）只能是﹣x2+4x ＝2较小的根即可；（2）利用二次函数的性质求出函数的最大值，研究二次函数的最值与2的大小关系，分类讨论，可求T（a）的表达式；（3）由（2）中所得的表达式，求其最值即可．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，因为函数f（x）的最大值大于2，要使存在一个最大的正数T（﹣1），当0≤x≤T（﹣1）时，恒有﹣3≤f（x）≤2，所以T（﹣1）只能是﹣x2+4x＝2较小的根2﹣．（2）由a＜0，f（x）＝a（x+）2﹣，当﹣＞2，即﹣2＜a＜0时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝2的较小的根，即T（a）＝；当﹣≤2，即a≤﹣2时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝﹣3的较大的根，即T（a）＝；所以T（a）＝．（2）当﹣2＜a＜0时，T（a）＝＝＜1；当a≤﹣2时，T（a）＝＝≤；所以T（a）的最大值为．。

黑龙江省高一上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。

）1.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝( )．A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,4}【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义求解即可．【详解】∵，∴．故选B．【点睛】本题考查集合交集的运算，根据定义直接求解即可，属于简单题．2.下列等式成立的是( )．A. log2(8－4)＝log2 8－log2 4B. ＝C. log2 23＝3log2 2D. log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．【详解】根据对数的运算性质逐个进行判断可得，选项A,B,D都不符合对数的运算性质，选项C符合．所以C正确．故选C．【点睛】解答本题时容易出现错误，解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式，属于基础题．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因的定义域相同,且解析式也相同,故应选A．考点：函数相等的定义．4.已知函数，则f(－1)的值是( )．A. －2B. －1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式进行求解可得结果．【详解】由题意得．故选D．【点睛】已知分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所在的范围，然后代入解析式后求解即可得到结果．5.终边在直线y=x上的角α的集合是( )．A. {α|α=k•360°+45°，k∈Z}B. {α|α=k•360°+225°，k∈Z}C. {α|α=k•180°+45°，k∈Z}D. {α|α=k•180°-45°，k∈Z}【答案】C【解析】【分析】终边在直线上的角有两类，即终边分别在第一、三象限内，然后根据终边相同的角的表示方法得到两类角的集合，再求并集后可得所求．【详解】由题意得终边在直线上的角的集合为．故选C．【点睛】解答本题时注意两点：（1）终边与角相同的角连同角在内，可以构成一个集合；（2）由于角的终边为射线，所以终边在一条直线上的角应包括两类．6.关于幂函数的叙述正确的是（）A. 在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数B. 在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数C. 在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数D. 在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和单调性分别对给出的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以排除A,C．又由幂函数的性质可得函数在定义域内单调递增，所以排除D．故选B．【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是熟知函数的相关性质，并结合选项作出正确的判断，属于简单题．7.下面四个函数：①②③④.其中值域为的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R，②的值域，③的值域为考点：函数的值域8.已知函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )．A. (-2,2)B. (-2,1)C. (-3,1)D. (-3,2)【答案】B【解析】【分析】令得到定点的横坐标，进而可得定点的纵坐标，于是可得到定点的坐标．【详解】令，解得，此时，所以函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过点．故选B．【点睛】解有关对数型函数的图象过定点的问题时，常抓住对数函数的图象过定点这一性质，通过对照进行求解，即对数型函数，若有，则函数图象恒过定点．9.设a＝，b＝，c＝，则（）A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c【答案】D【解析】试题分析：因为函数是减函数，所以，幂函数在单调递增，所以，故选择D考点：指数函数、幂函数的性质10.函数f(x)= 的零点所在的大致区间是( )．A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理对每个区间进行验证后可得结论．【详解】∵，∴，∴，∴函数的零点所在的大致区间是(2,3)．故选B．【点睛】用零点存在性定理能判断函数零点的存在性，但不能判断函数具体有几个零点；并非函数的所有零点都能用这种方法来判断存在性，如果函数在零点两侧的函数值同号，则不能用零点存在性定理判断函数零点的存在性了．11.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是( )．A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据二次函数的对称轴首先排除B,D，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．详解：根据指数函数可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B,D，C选项中，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查二次函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种根据解析式找图像的问题，一般是先分别求出两个函数中同一参数的范围，再看是否相同，如果不一致，就是错误的.12.已知偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得函数在上为减函数，从而由可得，解绝对值不等式可得所求的范围．【详解】∵偶函数在上为增函数，∴函数在上为减函数．∵，∴，两边平方整理得，解得，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】偶函数具有性质：，利用这一性质可将偶函数的问题转化到同一单调区间上进行研究．另外，根据偶函数的单调性和对称性，可将函数值的大小问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．第Ⅱ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分。

2020-2021学年黑龙江省某校高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1. 已知集合A＝{y|y＝x2−1, x∈Z}，B＝{y|y＝sin3x, x∈R}，则A∩B＝（）A.{−1, 0, 1}B.[−1, 0]C.[−1, 1]D.{−1, 0}2. 设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝不是纯虚数“是“a≠1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 在递减等比数列{a n}中，S n是其前n项和，若a2+a4＝5，a1⋅a5＝4，则S7＝（）A. B. C. D.4. 已知向量＝(4sinα, 1−cosα)，＝(1, −2)，若＝−2，则＝（）A.1B.−1C.D.5. 要得到函数f(x)=√2cos2x的图象，只需将函数g(x)=sin(2x+π4)−cos(2x+π4)的图象（）A.向左平移3π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向右平移π4个单位长度6. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且3a m−1−2a m2+3a m+1＝4，S2m−1＝4038，则m＝（）A.1000B.1010C.1020D.10307. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的1，3，6，10…，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1，4，9，16，…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.189B.1225C.1024D.13788. 边长为12的正三角形ABC中，E为BC中点，F在线段AC上且AF＝，若AE与BF交于M，则＝（）A.−12B.−27C.-D.9. 若3cos2α＝2sin（+α)，α∈（），则sin2α的值为（）A.-B.-C.-D.10. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝−f(x)，当0<x<1时，f(x)＝2x−10)＝（）1，则f(log2A. B.8 C. D.11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2，且△ABC的面积为b2，则角B＝（）A. B. C.或 D.或12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0, n>0)，则+n的最小值为（）A. B.1 C.2 D.2二、填空题（每题5分，共20分）已知两个单位向量、的夹角为120∘，向量＝3−2，则||＝________．在各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则的值是________．若复数z满足z＝0，则复数|z−3−3i|的最大值与最小值的乘积为________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角B＝且4a sin A+4c sin C＝ac sin B+4b sin B，则△ABC的面积的最大值为________．三、解答题（共70分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n ＝2+(−1)n a n ，n ∈N ∗，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=√105（1）求cos (α−β)的值；（2）若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−513，求sin α的值．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且5S 5=S 10，a 4=2a 6+20． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+...+b n a n=12n −1，n ∈N ∗，证明：b n ≤58．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2＝1−cos A cos B +sin A cos B ． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且R(sin A +sin C)＝1，求b 的取值范围．已知函数f(x)＝ln x −(a ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)既有极大值，又有极小值，记x 1，x 2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点，求证：f （）<；（3）设m 为整数，且对于任意的正整数n ，有(1+）(1+）…(1+）<m ，求m 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

哈三中2022—2023学年度上学期高三阶段性测试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上．2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}1)1(log |,21|2<-=<<-=x x B x x A ，则=B A A ．{}21|<<-x x B ．{}|02x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|12x x <<2．已知向量=a (,2)m ，=b (2,1)，若()+⊥a b b ，则m =A ．8-B ．7-C ．72-D ．43．已知5s 6in 3)(πα+=，则)sin(256απ+=A ．725-B ．725C ．35D ．24254．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为A ．172B ．183C ．191D ．2115．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 中点，过1,,A D E 的截面α与平面11AA B B 的交线为l ，则异面直线l 与1B C 所成角的余弦值为A．10B．5C．5D．56．若函数12log ()4,20()(01)1,2x x x f x a a a x -+-≤<⎧⎪=>≠⎨⎪-<-⎩且的值域是[3,)+∞，则实数a 的取值范围是A ．1(0,2B ．1[,1)2C ．(1,2]D ．[2,)+∞7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若i sin1s n ,2A Cb a A b +==，则ABC ∆面积的最大值为A ．2B ．4C ．6D ．128．已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2()f x f x +=-，(23)f x -为偶函数，若(0)0f =，1()123nk f k ==∑，则n 的值为A ．117B ．118C ．122D ．123（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．已知n m ,是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是A ．若n m n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥B ．若γβγα⊥⊥，，则βα//C ．若,m αβα⊥⊥，则//m βD ．若γβα，，两两相交，则交线互相平行10．已知函数2c s )2(o 1f x x x ωω+=-的最小正周期为π，则下列说法正确的是A ．3x π=-为()f x 的极小值点B ．()f x 的图象关于(,0)2π-中心对称C ．()f x 在[,]ππ-上有且仅有5个零点D ．lg ()y f x =的定义域为,3{}x k Z x k k πππ<<+∈11．如图，在平行四边形ABCD 中，︒=∠==60,2,1A AD AB ,F E ,分别为AD AB ,的中点，沿EF 将AEF ∆折起到A EF '∆的位置（A '不在平面ABCD 上），在折起过程中，下列说法不正确的是A ．若M 是D A '的中点，则//BM 平面EF A 'B ．存在某位置，使CA BD '⊥C ．当二面角B EF A --'为直二面角时，三棱锥BDE A -'外接球的表面积为72πD ．直线C A '和平面ABCD 所成的角的最大值为6π12．已知函数()ln f x x ax =-，则下列说法正确的是A ．若()0f x ≤恒成立，则1a ≥B ．当0a <时，()y f x =的零点只有1个FME'A DCB AC ．若函数()y f x =有两个不同的零点12,x x ，则212x x e>D ．当1a =时，若不等式2ln ()xme m f x +≥恒成立，则正数m 的取值范围是1[,)e+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++=．14．已知0,0a b >>，且2a b ab +=，则1912a b +--的最小值是．15．在ABC ∆中，13,34A C D AB A AE ==，BE 与DC 交于点F ，若AF AB AC λμ=+，则λμ+的值为．16．在三棱锥P ABC -中，二面角,P AB C P AC B P BC A------和的大小都为3π，5AB =，12BC =，13AC =，则三棱锥P ABC -的外接球与内切球的表面积的比值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin tan b A c C =．（1）求222a b c +；（2）求角C 的最大值．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是梯形，//,90CD AB ABC ∠=︒，4=AB ，2==CD BC ，侧面⊥P AD 底面ABCD ，2==PD P A ，E 为P A 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求直线BD 和平面PBC 所成角的正弦值．DCBAEP19．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =+，11n n n n a d c c ++=，求数列{}n d 的前n 项和n S ．20．（本题满分12分）如图，经过村庄A 有两条夹角为60︒的公路AB ，AC ，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N （异于村庄A ），要求1PM PN MN ===（单位：km ）．（1）当30AMN ∠=︒时，求线段AP 的长度；（2）设AMN θ∠=，当θ取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）PNM CBA21．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB C ∆为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =．（1）求证：11AB A C ⊥；（2）线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．22．（本题满分12分）已知函数()e 1xf x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；E 1C 1B 1A CBA（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）()0,x ∀∈+∞，关于x 的不等式12ln 2x e x tx x x -+≥+恒成立，求正实数t 的取值范围．哈三中2022—2023学年度上学期高三学年期中考试数学试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案DCBCAABCBCDACDABDBC二、填空题：13.1614.15.7916.1394三、解答题：17.（1）222222222cos ,,2a b ab C c a b c c c+=+-==（2）222222144co 2s 2a b c a b ab a C a b ab b +-=≥==+max (0,),,33C C C πππ≤=∈18.（1）取PB 中点F ，连接CF EF ,，因为E 为P A 中点，所以EF AB EF ,//又AB CD AB CD 21,//=，所以CD EF CD EF =,//，所以CDEF 为平行四边形，所以DE //又PBC CF PBC DE 平面平面⊂⊄,所以PBCDE 平面//（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴建立空间直角坐标系，则0DB = ），平面PBC 的法向量(1,1,3)=--n ，所以BD 和平面PBC 所成角的正弦值为111119.（1）由23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，可得()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即324410a a a =⎧⎨+=⎩，即4410q q +=，解得2q =或12q =，又因为1q >，所以2q =，又由3121a a q==，所以1112n n n a a q --==，因为数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，当1n =时，111122a b =⨯=，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式，所以1(1)2n n n a b n -=+⋅，所以11(1)212n n n n b n --+⋅==+.（2）112,n n n n c a b n -=+=++11111n n n n n n a d c c c c +++==-，111111322n nn S c c n +=-=-++.20.（1）30,602,3,31AMN MAN MN AM ∠=︒∠=︒==22271,90,,33PM AMP AP AM PM AP =∠=︒=+==（2）2,,)23sinsin()33MN AM AMN AM πθππθ∆==--在中在PAM ∆中，222422sin )21(n()cos )3333(AP πππθθθ--⨯-+=+54sin(2)336πθ=+-当262θππ-=，3πθ=时，max AP =∴当3πθ=时，工厂生产的噪音对居民的影响最小21.（1）连接1A B ，1111,AA B B AB A B∴⊥ 菱形11,,BC BC AC B C AB B B=== 1ABC B BC ∴∆≅∆，190B CB ACB ∴∠=∠=︒11,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥= ，111,AC AB C B C AB C ⊂⊂平面平面1BC AB C∴⊥平面111,AB AB C AB BC⊂∴⊥ 平面又111111,,,AB A B A B BC B A B A BC BC A BC⊥=⊂⊂ 平面平面DzxE1C 1B 1A CBA11AB A BC ∴⊥平面，又1111,A C A BC AB A C⊂∴⊥ 平面（2）取AC 中点D ，连接1B D11,,BC AB C BC ABC AB C ABC⊥⊂∴⊥ 平面平面平面平面又11111,,,AB C B D AC B D AB C AB C ABC AC∆⊥⊂= 在等边中平面平面平面1B D ABC ∴⊥平面，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,2,0),(0,0,(3,2,0),(0,2,0)A B B C -，设11,[0,1],(3,22,)CE CC BB E λλλλλ==∈--则，设平面1AB E 的法向量1(,,)n x y z =，11(0,2,(3,2(1),))AB EB λλλ==--，11110AB n EB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则1,3)n λλ=-- ，显然，平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =，121cos ,4n n <>=14=，解得1222(),55CE CC λ=-∴= 或舍22.（1）'()x f x e a =-，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增（2）当0a ≤时，(0)0f =，()f x 在R 上单调递增，()f x 有一个零点0当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，,(),,()x f x x f x →-∞→+∞→+∞→+∞时时，(ln )ln 10,1f a a a a a ∴=--=∴=，综上，01a a ≤=或（3）1ln 1ln 2ln ln 13x x x e t x x x x e x---≥+--=---+，0x ∀>恒成立，令ln 10m x x =--≥，则ln 3mt m e ≥-+，0m ∀≥恒成立，令()3mg m m e =-+，'()1m g m e =-，()g m 在(0,)+∞上单调递减，()(0)2g m g ∴≤=，ln 2t ∴≥，2t e ≥。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分，每个小题只有一个选项是正确的.）1．（5分）集合A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若B⊆C⊆A，则满足条件的集合C的个数是（）A．8B．7C．4D．32．（5分）复数z＝i6+（1+i）2的虚部是（）A．1B．2C．i D．2i3．（5分）已知，，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．（5分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n＝，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．12D．226．（5分）函数y＝f（x）在P（1，f（1））处的切线如图所示（1）+f′（1）＝（）A．0B．C．D．﹣7．（5分）已知m，n为不同直线，α，β为不同平面，n⊥α；②m⊥n；③m∥β，α⊥β，α∥β，其中能使m⊥α成立的充分条件有（）A．①②B．①③C．①④D．③④8．（5分）设数列{a n}为正项数列，数列{a n}满足a1＝2，na n+12﹣2a n+1a n﹣（n+2）a n2＝0，若[x]表示不超过x的最大整数，（例如[1.6]＝1，[﹣1.6]＝﹣2）则＝（）A．2018B．2019C．2020D．20219．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）设O为△ABC的重心，且，则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD＝30°2+4BD2＝6，若将△ABD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC外接球的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．8π12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f[f（x）（）A．4B．7C．8D．9二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）实数x，y满足，则z＝2y﹣3x的最小值为．14．（5分）数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，则a n＝．15．（5分）函数f（x）＝x x3﹣x2+ax﹣5在区间[﹣1，2]上不单调，则实数a的范围为．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+（a+8）x+a2+a﹣12，且f（a2﹣4）＝f（2a﹣8），设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝f（n），则的最小值为．三、解答题（本大题共70分）[选修4-4：坐标系与参数方程]17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a cosθ（a＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，设点M（0，﹣1）2，求实数a的值．18．（12分）设函数f（x）＝，其中向量＝（4cos x，1），＝（sin（x﹣）（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝（A）的值域．19．（12分）如图所示，在三棱柱BCD﹣B1C1D1与四棱锥A﹣BB1D1D的组合体中，已知BB1⊥平面BCD，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BB1＝1．（Ⅰ）设O是线段BD的中点，求证：C1O∥平面AB1D1；（Ⅱ）求直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．20．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，AE＝BE，△P AD 为正三角形（1）求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，每个小题只有一个选项是正确的.）1．（5分）集合A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若B⊆C⊆A，则满足条件的集合C的个数是（）A．8B．7C．4D．3【分析】化简A，B，再利用B⊆C⊆A，即可求出满足条件的集合C的个数．【解答】解：A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣7≤0}＝{1，6，3，4}2﹣3x+2＝5}＝{1，2}，又B⊆C⊆A，所以满足条件的集合C为{3，2}，2，4}，2，4}，8，3，4}，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系及应用，解答的关键是理解B⊆C⊆A，比较基础．2．（5分）复数z＝i6+（1+i）2的虚部是（）A．1B．2C．i D．2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可算出结果．【解答】解：复数z＝i6+（1+i）5＝（i2）3+3+2i+i2＝（﹣8）3+1+6i﹣1＝﹣1+8i，所以复数z的虚部为2，故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知，，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】由二倍角公式求出sinα，cosα的值，则看判断角α所在的象限．【解答】解：∵，，∴＝，＞0，∴角α是第一象限角．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．4．（5分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据算出△MBC中MB＝MC，△MBC是等腰三角形．而，得到＝﹣2，代入第一个等式可得•＝0，从而得到BC ⊥AM．再根据△MBC是等腰三角形，得到AM是BC的垂直平分线，可得AB＝AC，而且M不是△ABC的重心，可得△ABC是等腰三角形且不是等边三角形，得到本题答案．【解答】解：∵∴，可得||由此可得△MBC中MB＝MC，△MBC是等腰三角形又∵，可得∴结合，得•＝8由此可得BC所在直线与AM所在直线互相垂直，∵AM与等腰△BMC的底边中线ME在一条直线上，∴AM是BC的垂直平分线，可得AB＝AC又∵，∴△ABC不是等边三角形故选：B．【点评】本题给出三角形中的向量式，叫我们判断三角形的形状，着重考查了平面向量的数量积计算性质和向量加减法的定义等知识，属于中档题．5．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n＝，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．12D．22【分析】根据已知规律和递归式，推导出a4的值即可．【解答】解：根据题意，a2＝2a2﹣1＝1；a5＝2a2+5＝4；a4＝2a3﹣1＝3；即解下4个圆环最少移动7次；故选：A．【点评】本题比较新颖，考查学生对于递归式的掌握和理解，属基础题．6．（5分）函数y＝f（x）在P（1，f（1））处的切线如图所示（1）+f′（1）＝（）A．0B．C．D．﹣【分析】由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到f′（1），进一步求得f（1），则答案可求．【解答】解：∵切线过点（2，0）与（4，∴f′（1）＝，则切线方程为y＝，取x＝1，∴f（1）+f′（1）＝．故选：A．【点评】本题考查导数及其几何意义，训练了由直线上的两点求直线的方程，是基础题．7．（5分）已知m，n为不同直线，α，β为不同平面，n⊥α；②m⊥n；③m∥β，α⊥β，α∥β，其中能使m⊥α成立的充分条件有（）A．①②B．①③C．①④D．③④【分析】本题考查的知识点是直线与平面垂直关系的判定及必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们结合线面垂直的判定方法，及题目中所给的条件，对四个选项逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：①中，m∥n，易得m⊥α；②中，m⊥n，则m与α可能平行也可能相交；③中，m∥β，则m与α可能平行也可能相交也可能线在面内；④中，m⊥β，由面面平行的性质，故④正确；故能使m⊥α成立的充分条件有①④故选：C．【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行的判定及性质．8．（5分）设数列{a n}为正项数列，数列{a n}满足a1＝2，na n+12﹣2a n+1a n﹣（n+2）a n2＝0，若[x]表示不超过x的最大整数，（例如[1.6]＝1，[﹣1.6]＝﹣2）则＝（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】首先利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．【解答】解：数列{a n}满足a1＝2，，整理得[na n+1﹣（n+2）a n]（a n+a n+2）＝0，由于数列为正项数列，所以na n+1＝（n+4）a n，整理得，，…，，各式相乘得到，所以a n＝n（n+4）．则，＝1所以＝4+2018＝2020．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法在数列的通项公式的求法中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由＝可求得ω，再由ω+φ＝π可求得φ，从而可得到f（x）＝sin（ωx+φ）的解析式，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可得到答案．【解答】解：∵＝，∴T＝π＝（ω＞0），∴ω＝2；又×2+φ＝π，∴φ＝．∴f（x）＝sin（8x+），∴f（x﹣）＝sin[7（x﹣]＝sin2x，∴为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点向右平移．故选：D．【点评】本题考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象求其解析式与函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，求得函数f（x）＝sin（ωx+φ）的解析式是关键，属于中档题．10．（5分）设O为△ABC的重心，且，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据OA⊥OB，结合向量的数量积、正余弦定理可推出5c2＝a2+b2，然后将结论切化弦，进而结合正余弦定理，化成a，b，c的表达式，再将条件代入即可．【解答】解：设三角形ABC的三边为a，b，c，三角为A，B，C．因为O为△ABC的重心，且，故，即，故，即b2﹣6c2﹣bc×cos A＝0，即，所以a2+b3＝5c2．而＝＝＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查正余弦定理以及向量在解三角形中的应用，同时考查化归思想以及学生的运算能力．属于中档题．11．（5分）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD＝30°2+4BD2＝6，若将△ABD沿BD 折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC外接球的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．8π【分析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由R2＝r2+（）2，求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：因为将△ABD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，AB⊥BD，AB⊆面ABD，∴AB⊥面ABD，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r2＝r2+（）2，在△BCD中，由题意知2r＝＝，所以R5＝BD2+＝，而AB2+3BD2＝6，所以R5＝，所以外接球的表面积S＝3πR2＝6π，故选：C．【点评】考查三棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的表面积公式，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f[f（x）（）A．4B．7C．8D．9【分析】先令f（x）＝1，可解得或x＝﹣1，再令g（x）＝0，则或f（x）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，观察图象即可得出结论．【解答】解：令f（x）＝1，解得，则令g（x）＝0，可得，作出函数f（x）的图象如下图所示，由图象可知，有6个零点，，f（x）＝﹣6有1个零点，故函数g（x）有7个零点．故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，整体思想的运用，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）实数x，y满足，则z＝2y﹣3x的最小值为﹣3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2y﹣3x得y＝x+，平移直线y＝x+x+，直线y＝x+，此时z最小，由，解得A（2，则z＝2y﹣3x取得最小值为：﹣2，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14．（5分）数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，则a n＝．【分析】数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，知n＝1时，，解得a1＝12．n≥2时，a1+a2+…+a n+＝3（n+1）+1，两式相减得＝3，由此能求出a n＝．【解答】解：∵数列{a n}满足a8+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，①∴n＝6时，，解得a2＝12．n≥2时，a1+a2+…+a n+＝3（n+1）+1，②②﹣①，得＝3，∴a n+1＝5n+2，∴．n＝1时，3n+3＝9≠a1．∴a n＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意a1的准确求解．15．（5分）函数f（x）＝x3﹣x2+ax﹣5在区间[﹣1，2]上不单调，则实数a的范围为（﹣3，1）．【分析】求导函数，先考虑其反面，再求结论的补集即可得到结论．【解答】解：求导函数可得：f′（x）＝x2﹣2x+a＝（x﹣3）2+a﹣1，如果函数f（x）＝x3﹣x3+ax﹣5在区间[﹣1，6]上单调∴a≥1或a≤﹣3于是满足条件的实数a的范围为（﹣4，1）故答案为：（﹣3，3）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+（a+8）x+a2+a﹣12，且f（a2﹣4）＝f（2a﹣8），设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝f（n），则的最小值为．【分析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得a2﹣4＝6a﹣8或a2﹣4+2a﹣8＝7×（﹣），解得a＝5或a＝﹣4，当a＝﹣1时，f（x）＝x2+7x﹣12，数列{a n}不是等差数列；当a＝﹣4时，f（x）＝x5+4x，S n＝f（n）＝n2+7n，∴a1＝5，a4＝7，a n＝5+（6﹣5）（n﹣1）＝6n+3，∴＝＝•＝•[（n+1）+（2+8，当且仅当n+1＝即n＝，∵n为正数，故当n＝7时原式取最小值．【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及基本不等式和不等式的性质，属中档题．三、解答题（本大题共70分）[选修4-4：坐标系与参数方程]17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a cosθ（a＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，设点M（0，﹣1）2，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为：﹣y﹣1＝0，由ρ＝2a cosθ得ρ2＝2aρcosθ，得x2+y2＝2ax，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2ax＝0（Ⅱ）利用参数t的几何意义可得．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为：﹣y﹣1＝3，由ρ＝2a cosθ得ρ2＝2aρcosθ，得x2+y2＝8ax，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax＝0（Ⅱ）将代入x2+y2﹣3ax＝0得t2+（﹣1+t）2﹣at＝7，即t2﹣（+a）t+3＝0+a）7﹣4＞0，设A，B对应的参数为t4，t2，则t1+t7＝+a，t1t7＝1，∴|MA||MB|＝|t1t6|＝1，∴|AB|＝1，∴|AB|2＝（t1﹣t2）3＝（t1+t2）2﹣4t1t6＝（+a）2﹣4＝1，∵a＞0，∴a＝﹣，∴a＝﹣．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18．（12分）设函数f（x）＝，其中向量＝（4cos x，1），＝（sin（x﹣）（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝（A）的值域．【分析】（1）直接利用平面向量的数量积的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用向量的数量积和三角函数的关系式及函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：（1）向量＝（4cos x，＝（sin（x﹣）．所以：函数f（x）＝＝＝＝2，令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）在△ABC中，角A，B，b，c，且＝，所以，所以cos B＝，由于7＜B＜π，所以B＝．由于A+B+C＝π，故A+C＝，故，则，所以，故函数f（A）的值域为（0，7]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，向量的数量积，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（12分）如图所示，在三棱柱BCD﹣B1C1D1与四棱锥A﹣BB1D1D的组合体中，已知BB1⊥平面BCD，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BB1＝1．（Ⅰ）设O是线段BD的中点，求证：C1O∥平面AB1D1；（Ⅱ）求直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取B1D1的中点E，连接C1E，OA，AE，推导出C1EAO为平行四边形，从而C1O∥EA，由此能证明C1O∥平面AB1D1．（Ⅱ）法一：过点C作平面AB1D1的垂线，垂足为G，连接B1G，则∠CB1G就是直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角．连接EO，推导出B1D1⊥平面AEO，从而平面AEO ⊥平面AB1D1，作OH⊥AE，垂足为H，则OH⊥平面AB1D1．推导出点C到平面AB1D1的距离为，由此能求出直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．法二：以O为坐标原点，OA，OB，OE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取B1D1的中点E，连接C3E，OA，推导出C1E＝OA且C1E∥OA，所以C6EAO为平行四边形，所以C1O∥EA，所以C1O∥平面AB5D1．解：（Ⅱ）解法一：过点C作平面AB1D3的垂线，垂足为G1G，则∠CB1G就是直线B5C与平面AB1D1所成角的平面角．又CG是点O到平面AB7D1的距离的2倍，连接EO，由B8D1⊥EC1，B5D1⊥EO，知B1D6⊥平面AEO，所以平面AEO⊥平面AB1D1，在△AEO中，作OH⊥AE，即OH⊥平面AB5D1．由题可得AO＝，B8C＝，AE＝2，在Rt△AEO中，OH＝＝，所以点C到平面AB1D7的距离为，所以sin∠CB1G＝．解法二：以O为坐标原点，OA，OE所在的直线分别为x，y，如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，得A（，0，4），B1（0，2，1），D1（8，﹣1，C（﹣，4，所以＝（﹣，7，＝（7，2，＝（﹣，﹣1）．设平面AB1D的一个法向量为＝（x，y，则，得令x＝5，有y＝0，所以，2，）．记α为直线B1C与平面AB3D1所成角的平面角，则sinα＝＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【分析】（1）6S n＝+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n ﹣a n﹣1﹣3）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a1＝+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n＝+7a n+2，n∈N*．n≥2时，7a n＝6S n﹣6S n﹣6＝+3a n+8﹣（+2）n+a n﹣4）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝3，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a4＝+5a1+2，且a4＜2，解得a1＝8．∴数列{a n}是等差数列，首项为1．∴a n＝1+7（n﹣1）＝3n﹣4．（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣8）n（3n﹣2）8．∴b2n﹣1+b3n＝﹣（6n﹣5）7+（6n﹣2）6＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．∴数列{b n}的前8n项的和T2n＝36（1+6+……+n）﹣21n＝﹣21n＝18n7﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，AE＝BE，△P AD 为正三角形（1）求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设O是AD中点，△P AD为正三角形，则PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，推导出OE⊥AD，以O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出二面角P﹣EC﹣D的余弦值．（2）设，根据＝，求出λ即可判断M的位置．【解答】解：（1）设O是AD中点，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，PO⊥平面ABCD，又AD＝AE＝2，∴△ADE为正三角形，以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，如图，则P（0，4，），E（0，，C（﹣2，，设平面PEC法向量为＝（x，y，＝（﹣2，，﹣），，，﹣），则，取y＝8，得，1，1），平面EDC的法向量＝（6，0，cos＜，＞＝＝，∴二面角P﹣EC﹣D的余弦值为．（2）设，则，＝，，所以＝＝＝，所以或，所以存在点M为线段PC的三等分点．【点评】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a﹣可得h（x）min＝h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）＝．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥7等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a﹣．则当a≤2时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，所以当x3＞1时，h（x0）＜h（1）＝3，矛盾．因为当0＜x＜时h′（x）＜6时h′（x）＞0，所以h（x）min＝h（），又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，所以＝1；另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥6等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，所以解得a＝7；（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣4﹣lnx，令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，则t′（x）＝2﹣，令t′（x）＝0，解得x＝，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣7＜0）＝，所以t（x）在（6，，所以t（x）＝8有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x7，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x2，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x7，且2x0﹣5﹣lnx0＝0，所以f（x7）＝﹣x3﹣x0lnx0＝﹣x0+6x0﹣2＝x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x8﹣）max＝﹣+＝；由f′（）＜0可知x2＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x7，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）＝；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x7，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．。