(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理

word 课时分层作业 四函数及其表示

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.下列所给图象是函数图象的个数为 ( )

A.1B.2C.3D.4

【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象. 2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为 ( )

A.(1,+∞)B.[1,+∞)

C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)

【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).

3.给出下列命题: ①函数是其定义域到值域的映射;

②f(x)=+是一个函数;

③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;

④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.

其中正确的有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】选A.由函数的定义知①正确.

因为满足f(x)=+的x不存在,

所以②不正确. word 又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.

又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.

4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 ( )

A.-3B.-1C.1D.3

【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.

【一题多解】本题还可以采用如下解法:

方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.

方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.

【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )

A.-2B.2C.3D.-3

【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,

解得b=1;

f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.

故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.

【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法

(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.

(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.

(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.

(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.

5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )

A.f(x)=x2-12x+18 word B.f(x)=x2-4x+6

C.f(x)=6x+9

D.f(x)=2x+3

【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.

6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是 ( )

【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.

7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:

[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )

A.2017B.

C.1008D.2016

【解析】选B.=,=,…,=,=0, 所以原式=++…+=.

【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.

【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有 ( )

A.[-x]=-[x] word B.=[x] C.[2x]=2[x]

D.[x]+=[2x]

【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].

选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.

选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________. 【解析】由⇒⇒0

所以该函数的定义域为(0,1].

答案:(0,1]

9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.

【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.

答案:0 2-3

10.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.

【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为. word

答案:

1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 ( )

A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|

C.f(x)=x+1D.f(x)=-x

【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=

当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),

当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);

对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.

2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.

3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407

【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+logax(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+loga2,所以3+loga2≥4,解得1

答案:(1,2]

4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=

(1)求f(g(2))与g(f(2)).

(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.

【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;

f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2. word (2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;

当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.

所以f(g(x))=

同理可得g(f(x))=

5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).

(1)求y关于x的函数.

(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;

当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,

y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;

当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,

所以y=.

(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,

当x∈时,y≤f<26.4;

当x∈时,y≤f<26.4;

当x∈时,令24x-9.6=26.4,

解得x=1.5. word

所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元);

乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).