Buck电路闭环控制器设计仿真
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Buck 电路闭环控制器设计15121501 曾洋斌作业要求：1、 建立Buck 电路的状态平均模型，设计系统闭环控制器；2、 分析稳态误差产生原因，并提出改进措施，并进行仿真；3、完成作业报告。
4、Buck 电路参数：输入电压为20V ，输出电压5V ，负载电阻4欧姆，电感1×10-3H ，电容5×10-4F ，开关频率20kHz 。
一、Buck 电路的状态平均模型根据题目所给参数，容易计算得其占空比为25%，Buck 电路如图1所示：SVoV图1：Buck 电路根据状态空间平均法建模步骤如下： 1、列写状态方程、求平均变量设状态方程各项如下：[()()]T L o i t v t =x()s u v t = ()VD y i t =则有状态方程如下：x =Ax +BuT y =C x（1）列写[0，1S d T ]时间内的状态方程如图2所示，根据KCL 、KVL 以及电感电容的特性可以得到状态方程的系数矩阵如下所示：11011L CRC ⎛⎫-⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ，11[0]T L =B ，1[00]T =CSVoV图2：开关VT 导通状态（2）列写[1S d T ，S T ]时间内的状态方程如图3所示，根据KCL 、KVL 以及电感电容的特性可以得到状态方程的系数矩阵如下所示：21011L CRC ⎛⎫-⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ，2[00]T =B ，2[10]T =C SVoV图3：开关VT 关断状态因此，在[0，1S d T ]和[1S d T ，S T ]两个时间段内分别有如下两种状态方程：[0，1S d T ]： 11x x u =+A B ，1T y x =C [1S d T ，S T ]： 22x x u =+A B ，2T y x =C根据平均状态向量：()()1SSt T T tSx t x d T ττ+=⎰可得： ()()()()()()()()()112211SSSSSSS t dT t T T tt dT St dT t T tt dT Sx t x d x d T x u d x u d T ττττττττττ++++++=+=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰A B A B又根据建模的低频假设和小纹波假设，可得到如下近似：()()ST x t x τ≈ ()()ST u t u τ≈将这两个近似式回代原方程得：''11211121()[()()]()[()()]()SSST T T x t d t d t x t d t d t u t =+++A A B B同理可得：'1121()[()()]()SST T T T y t d t d t x t =+C C因此有：X =AX +BU ，T Y =C X其中1112(1)d d =+-A A A ，1112(1)d d =+-ΒΒΒ，1112(1)T T T d d =+-C C C2、求解稳态方程及动态方程 （1）求解稳态方程根据电感伏秒平衡以及电容电荷平衡，稳态时有0X =，令大写表示稳态值，即：11,,,x X y Y d D u U ====则有方程组⎧⎨⎩TAX +BU =0Y =C X解方程组得：-1X =-A BU T -1Y =-C A BU由前面求得的两个时间段状态方程系数矩阵得：1011L CRC ⎛⎫-⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ，1[0]T D L =B ，11[10]T D =-C以下令'111D D =-。
则稳态方程如下所示：1110110L s o D I L V L V C RC -⎛⎫-⎡⎤ ⎪⎡⎤⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦- ⎪⎣⎦⎝⎭11'1100110VD s D L I D V L C RC -⎛⎫-⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤=- ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪- ⎪⎣⎦⎝⎭（2）求解动态方程若需要研究系统的动态过程，则可以在系统稳态工作点附近引入小信号扰动量，令瞬时值：111ˆd D d =+，ˆx X x =+，ˆu U u =+，ˆy Y y =+ 代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：[]T T T T 112121212111T 12121ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()ˆˆˆˆˆˆ+()()A u d U d ud d d +=++++-+-+-+-+=+-+-y X xX BU Ax B A A X B B A A x B B Y CX C x C C X C C x假定动态过程中的扰动信号比其稳态量小的多，非线性方程中的变量乘积项可被忽略，则线性化的小信号状态方程和输出方程如下所示：[]T T 12121T121ˆˆˆˆ()()ˆˆˆ()u d U d =++-+-=+-y x Ax B A A X B B C x C C X对小信号公式代入A 、B 、C 的值，可得如下：11110ˆˆˆˆ11ˆˆ00L L s s o o D i i L vv d L L v v CRC ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦- ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ []'11ˆˆˆ010ˆL L VD o o I i i D d V v⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、求解传递函数上面得出的动态方程进行拉普拉斯变化后可得：[]TT1212s s 1T 121ˆˆˆˆ()()()()()()ˆˆˆ()()()()s s s u s U d s ys s d s =++-+-=+-x Ax B A A X B B C x C C X 求解得：T T 111212s s 1T 1s T 1121212s 1ˆˆˆ()()()()[()+()]()ˆˆ()()()ˆ {()[()+()]()}()s s u s s U d s ys s A u s s A U d s ----=-+---=-+---+-I A B I A A A B B C I B C I A A B B C C x X X X所以传递函数如下：1ˆs ()0ˆ()()ˆ()d s s s us -==-xE A BT 1ˆs ()0ˆ()()ˆ()d s ys s us -==-C E A B[]s 11212ˆ()0ˆ()()()()ˆ()us s s U ds -==--+-E xA A A XB B[]T T s T 1121212ˆ()0ˆ()()()()()ˆ()us ys s U ds -==--+-+-E C A A A X B B C C X代入状态方程可得开环传递函数为：21()1vd V G s LDs s LCR=++4、建立交流小信号等效电路模型 由B 中小信号状态方程可得：111ˆˆˆˆs L o s D v i v v d L L L =-++ 11ˆˆˆo L o vi vC RC =-由此可得Buck 电路的小信号模型：ˆo v+ˆg g V v+二、系统闭环控制器设计根据题目给出的参数要求，可以推出以下相关式子，由参考电压为5V ，输出电压为5V ，载波信号幅值为4V 得：515ref V H V === 50.2520D == 1c M V DV V ==上述各值决定了系统的静态工作点。
控制-输出开环传递函数：220011()11()vd d V G s G Ls sDs s LCRQ ωω==++++其中：020d VG V D==0 1.414kHz ω==0 2.8289.03Q dB === 代入参数后的开环传递函数如下：4272120()1 2.5105101vd V G s LDs s ss LC R--==+⨯⨯+⨯⨯++可得如下Bode 图如图4所示：图4：未补偿的Buck 电路Bode 图从图中可以读到其相位裕度为5°，交越频率为6.48kHz ，相角裕度明显不符合要求，因此设计补偿网络。
已知开关频率为20kHz ，因此设计穿越频率为10kHz ，选择相角裕度为52°。
由前面可知：05u MHVT DV == 则有：(1029p kHz kHz ω==(10 3.4z kHz kHz ω==采用PD 控制器时，开环增益补偿为：200() 1.35c c f G f == 101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)M a g n i t u d e (d B )002000454273427311(1)(s)(1)(1())(1 2.94110)5 1.35(1 3.410)(1 2.510510)6.75 1.9853101 2.84510 5.0910 1.72510zu c psT T G sssQ s s s s s s s s ωωωω--------+=++++⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 补偿后的开环传递函数的Bode 图如图5所示：图5：补偿后的Buck 电路Bode 图三、系统闭环MATLAB 仿真图6：Buck 闭环系统仿真模型利用搭建的Buck 闭环控制系统，反馈采用Transfer fcn 模块，输出的控制M a g n i t u d e (d B )1010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)量直接经过限幅后作为调制波与载波比较得到驱动脉冲，首先开始仿真采用的是PD 控制器，即单零单极补偿器，仿真的输出波形如图7所示：图7：PD 控制器的闭环系统输出电压波形图8：稳态后的输出电压放大波形从图7中可知，0.002s 后系统输出稳定，稳定在 4.9675V 左右，纹波范围为4.9665V~4.9685V ，则波动大小为0.002V 。
四、稳态误差分析与解决从上面的PD 控制器闭环系统的仿真波形可以看出系统存在稳态误差，即静差，加上补偿器后的Bode 图从0dB 开始，系统为零阶系统，所以存在静差，要想消除静差可以提高系统的阶数，又要考虑相位裕度要求，因此选择增加一个零极点和一个小于共轭极点的零点，增加后的输出电压波形图如图9所示：t/sV o /VV o /V图9：双零双极补偿器闭环系统输出电压波形图10：双零双极补偿器闭环系统输出电压放大波形从图9中看出，稳定后输出电压稳定在5V 左右，放大后的纹波如图10所示，纹波范围为4.9985~5.0005，波动大小为0.002，基本消除了稳态误差。
t/sU /Vt/sU /V。
